मध्य परिसर कैलकुलेटर

मध्य-परिसर = (न्यूनतम + अधिकतम) ÷ 2

न्यूनतम

समूह का सबसे छोटा मान। हिसाब में सिर्फ़ यह और सबसे बड़ा मान उतरते हैं, इसलिए बीच का हर मान बदल भी जाए तो नतीजा नहीं हिलता

अधिकतम

समूह का सबसे बड़ा मान। जवाब पर भरोसा करने से पहले इन दोनों छोरों को एक बार देख लीजिए, क्योंकि एक ग़लत टाइप हुआ अंक सीधे नतीजे में बैठता है

मध्य-परिसर

छोरों का मध्यबिंदु, आँकड़ों की ही इकाई में। यह सदा सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच रहता है, और सूची में एक ही मान हो तो उसी के बराबर होता है

माध्य

अंकगणितीय औसत, तुलना के लिए मध्य-परिसर के बग़ल छपा। इन दोनों के बीच का फ़ासला बताता है कि आँकड़ों का कितना हिस्सा छोरों के बीच से हटकर बैठा है

मध्य-परिसर तब सही सारांश है जब छोर ही विषय हों: किसी दिन के सबसे ठंडे और सबसे गर्म तापमान का मध्यबिंदु, साल भर में नदी के सबसे नीचे और सबसे ऊपर तक पहुँचे जलस्तर का बीच, मुक़ाबले के सबसे अच्छे और सबसे ख़राब अंक का केंद्र, या किसी बोली और माँगे गए दाम का मध्यबिंदु। इन सबमें दोनों सिरे ही आँकड़े हैं — आप किसी बड़े समूह से नमूना नहीं ले रहे, आप ऐसा फैलाव बयान कर रहे हैं जिसके दो छोर हैं। यह ग़लत चुनाव है जब आँकड़ों का भीतरी हिस्सा मायने रखता हो, क्योंकि यह दो मानों के अलावा सब कुछ फेंक देती है और इसीलिए किसी भी असली नमूने पर माध्य या माध्यिका से ज़्यादा अस्थिर होती है। यह माध्यिका भी नहीं है: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 और 9 पर माध्यिका 4.5 है और मध्य-परिसर 5.5, और दोनों सिर्फ़ सममित आँकड़ों पर एक होते हैं। जब मोटा-मोटी संख्या चल जाए तो इसे केंद्र के तेज़ अनुमान की तरह इस्तेमाल कीजिए — सबसे बड़ी और सबसे छोटी मापों की सारणी से यह बिना किसी और हिसाब के पढ़ा जा सकता है।

1. आठ मान: मध्य-परिसर 5.5, माध्य 5

   1. सबसे छोटा मान 2 है और सबसे बड़ा 9
   2. मध्य-परिसर = (2 + 9) ÷ 2 = 5.5
   3. उसी सूची का माध्य 40 ÷ 8 = 5 है — आधा इकाई नीचे, क्योंकि आठ में से छह मान उसी पर या उसके नीचे बैठे हैं
   4. यानी दोनों संख्याएँ अलग-अलग सवालों के जवाब हैं, और इसीलिए दोनों छपती हैं

   दोनों संख्याएँ असहमत हैं, और काम की बात यही है। मध्य-परिसर इतना ही देखता है कि आँकड़े 2 से शुरू होते हैं और 9 पर ख़त्म; माध्य यह भी देखता है कि आँकड़े नीचे की तरफ़ ढेर हैं। कोई भी ग़लत नहीं है — दोनों अलग सवालों के जवाब हैं, और दोनों को साथ छापने का मतलब है कि एक नज़र में पता चल जाता है कि आँकड़े अपने छोरों के बीच बराबर फैले हैं या एक तरफ़ झुके हुए।

2. एक मान बदला: मध्य-परिसर दुगुने से भी ज़्यादा हो गया

   1. सिर्फ़ सबसे बड़ा मान बदला, 9 से 90 — बाक़ी सात पहले उदाहरण जैसे ही हैं
   2. मध्य-परिसर = (2 + 90) ÷ 2 = 46
   3. उसी सूची का माध्य 121 ÷ 8 = 15.125 है, जो 5 से ऊपर आया
   4. मध्य-परिसर ने एक छोर के बदलाव का आधा हिस्सा पूरा उठा लिया, और माध्य ने वही बदलाव सारे मानों में बाँट दिया

   मध्य-परिसर चालीस से ज़्यादा इकाई हिला जबकि माध्य दस इकाई हिला। छोर के मान में हुए किसी भी बदलाव का आधा हिस्सा मध्य-परिसर बिना किसी पतला करने वाले के उठा लेता है; माध्य वही बदलाव सूची के हर मान पर बाँट देता है। अगर आपके आँकड़ों में कोई एक माप भरोसे लायक़ न हो, तो मध्य-परिसर उस ग़लती के आधे हिस्से जितना ग़लत होगा — इसीलिए यह उन्हीं मौक़ों के लिए रखा गया है जहाँ छोर ही मुद्दा हों।

3. शून्य के आसपास, नीचे और ऊपर

   1. सबसे ठंडा मान −10 है और सबसे गर्म 40
   2. मध्य-परिसर = (−10 + 40) ÷ 2 = 30 ÷ 2 = 15
   3. ऋणात्मक मानों के लिए कुछ अलग करना नहीं पड़ता: वे अधिकतम में जुड़ जाते हैं, इसलिए शून्य को पार करने वाली सूची बिलकुल वैसे ही चलती है जैसे कोई और
   4. बग़ल का माध्य 10 है, यानी मध्य-परिसर से पाँच नीचे — सूची ठंडे सिरे की तरफ़ भारी है

   मौसम विभाग जो दैनिक मध्य-परिसर बताता है वह यही संख्या है: उस दिन के सबसे नीचे और सबसे ऊपर तापमान का मध्यबिंदु, हर घंटे की माप का औसत नहीं। यह परंपरा जान लेना काम की है, क्योंकि जब तापमान अपने फैलाव के एक सिरे के पास ज़्यादा देर रहा हो तो दोनों जवाब अलग आते हैं।

मध्य-परिसर मज़बूत नहीं है, और वजह मात्रा की नहीं बनावट की है: यह दो सबसे छोर वाले मानों से बनता है, इसलिए उसके पास ग़लत टाइप हुए अंक, उपकरण की ख़राबी या सचमुच असामान्य माप के सामने कोई बचाव नहीं है। NIST इसे यह कहते हुए गिनाता है कि इसका इस्तेमाल आम तौर पर उन्हीं मौक़ों तक सीमित रहता है जहाँ छोरों पर होने वाला बर्ताव ही मायने रखता है — और वह इसे Measures of Scale की सूची में नहीं, Measures of Location में रखता है। यह माध्यिका भी नहीं है, नाम की समानता के बावजूद: माध्यिका क्रम से लगी सूची का बीच का मान है और मध्य-परिसर छोरों का मध्यबिंदु, और दोनों सिर्फ़ उन्हीं आँकड़ों पर एक होते हैं जो अपने केंद्र के दोनों ओर सममित हों। सूची में एक ही मान हो तो मध्य-परिसर, माध्य, न्यूनतम और अधिकतम — चारों वही एक संख्या हैं। सूची 200 मानों तक सीमित है, और 1,500 जैसा टोकन अंदाज़ा लगाने के बजाय ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि अंकों के बीच बैठा कॉमा कहीं दशमलव बिंदु होता है और कहीं हज़ार का विभाजक। यह पेज किसी मान को बाहरी नहीं ठहराता; मध्य-परिसर को तय करने वाले छोर ठीक वही मान हैं जिन्हें ऐसा कोई नियम जाँचता।

मध्य-परिसर कैसे निकाला जाता है?

सबसे छोटे मान को सबसे बड़े में जोड़कर दो से भाग दीजिए: मध्य-परिसर = (न्यूनतम + अधिकतम) ÷ 2। सूची 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 के लिए यह (2 + 9) ÷ 2 = 5.5 है। इसमें बीच का कोई मान हिस्सा नहीं लेता, इसलिए सूची क्रम से लगाने की ज़रूरत नहीं — ज़रूरत सिर्फ़ दोनों छोरों की है, और उन्हें एक नज़र डालकर ढूँढ़ लेना आम तौर पर काफ़ी है। ऊपर का कैलकुलेटर वे न्यूनतम और अधिकतम छापता है जिन्हें उसने इस्तेमाल किया, ताकि जोड़ जाँचा जा सके।

क्या मध्य-परिसर केंद्र की माप है या फैलाव की?

यह केंद्र की माप है — यानी यह कहने का एक तरीक़ा कि आँकड़े मोटे तौर पर कहाँ बैठे हैं, ठीक माध्य और माध्यिका की तरह। इसे फैलाव की माप समझ लेना आसान है, क्योंकि जो दो छोर इसे बनाते हैं वही परिसर भी बनाते हैं, और दोनों सूत्र एक ही क्रिया की दूरी पर हैं: परिसर अधिकतम − न्यूनतम है और मध्य-परिसर (अधिकतम + न्यूनतम) ÷ 2। वे अलग सवालों के जवाब हैं। परिसर बताता है कि आँकड़े कितने चौड़े हैं; मध्य-परिसर बताता है कि उनका बीच कहाँ है। मानक संदर्भ इसे केंद्र की मापों के साथ रखता है, फैलाव की मापों के साथ नहीं।

मध्य-परिसर मज़बूत क्यों नहीं है?

क्योंकि यह नमूने के दो सबसे छोर वाले मानों से बनता है और बाक़ी किसी चीज़ से नहीं, इसलिए उनमें से किसी एक की ग़लती सीधे जवाब में उतरती है — और उसका सिर्फ़ आधा हिस्सा सोखा जाता है। उदाहरण में 9 की जगह 90 रखिए और मध्य-परिसर 5.5 से 46 कूद जाता है, जबकि माध्य सिर्फ़ 5 से 15.125 हिलता है। यह संवेदनशीलता तब काम की है जब छोर ही आपकी माप का विषय हों, जैसे किसी दिन का सबसे नीचे और सबसे ऊपर तापमान, और तब नुक़सान है जब वे विषय न हों।

क्या मध्य-परिसर माध्यिका जैसा ही है?

नहीं। माध्यिका क्रम से लगी सूची का बीच का मान है, इसलिए आठ मानों पर यह चौथे और पाँचवें का औसत होती है: (4 + 5) ÷ 2 = 4.5। मध्य-परिसर दोनों छोरों का मध्यबिंदु है: (2 + 9) ÷ 2 = 5.5। ये सिर्फ़ तब एक होते हैं जब आँकड़े अपने केंद्र के दोनों ओर सममित हों, और इनके बीच का फ़ासला ख़ुद जानकारी देता है — यहाँ मध्य-परिसर माध्यिका के ऊपर बैठता है, यानी ऊपरी आधा हिस्सा केंद्र से उतनी ही दूर और फैला हुआ है जितना निचला नहीं।

मध्य-परिसर का असल इस्तेमाल कहाँ होता है?

जब दोनों सिरे ही आँकड़े हों, किसी बड़े समूह का नमूना न हों। जो मौसम सारांश उस दिन का सबसे नीचे और सबसे ऊपर तापमान बताता है, वह मध्य-परिसर ही बयान कर रहा होता है। वैसा ही किसी बनावटी सहन-सीमा की जाँच में, जहाँ विशिष्टि एक न्यूनतम और एक अधिकतम देती है और आपको उनका केंद्र चाहिए। यह तब भी काम का पहला अनुमान है जब सिर्फ़ छोर दर्ज हुए हों: अगर किसी सारणी में सबसे सस्ता और सबसे महँगा कोट बैठा हो, तो मध्य-परिसर उस फैलाव का मध्यबिंदु है, जो बीच के दामों के बारे में कुछ जाने बिना मिल जाता है।

अगर सब मान एक जैसे हों, या सिर्फ़ एक ही मान हो तो?

दोनों मामले चलते हैं और दोनों वही एक मान देते हैं। अकेले मान 42 पर सबसे छोटा और सबसे बड़ा दोनों 42 हैं, इसलिए मध्य-परिसर, माध्य, न्यूनतम और अधिकतम चारों 42 हैं — इस हिसाब को दूसरी माप की ज़रूरत ही नहीं। वैसे ही 3, 3, 3, 3 पर, जहाँ दोनों छोर बराबर हैं और मध्य-परिसर 3 है। यहाँ मानों की कोई न्यूनतम गिनती नहीं है, प्रसरण और मानक विचलन के उलट, जिन्हें भाजक चाहिए और इसलिए एक से ज़्यादा मान चाहिए।

• Measures of Location — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1 (lists the midrange among the alternative measures of location as (smallest + largest)/2, and states that it is not robust because it is based on the two most extreme points) — National Institute of Standards and Technology
• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (the companion list of spread measures, where the midrange does not appear — the reason this page treats it as a measure of location) — National Institute of Standards and Technology