हरात्मक माध्य कैलकुलेटर

हरात्मक माध्य = n ÷ (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ) = n ÷ Σ(1/xᵢ)

xᵢ

सूची का एक मान, और इनमें से हर एक शून्य से बड़ा होना चाहिए। शून्य पर 1/x अनंत बनता है, इसलिए व्युत्क्रमों का जोड़ अनंत हो जाता है और जवाब साधारण शून्य निकलता है, जो नतीजा दिखता है पर है नहीं; और कोई ऋणात्मक मान हर को शून्य कर सकता है या जवाब को मानों के दायरे से बाहर धकेल सकता है।

1/xᵢ

मान का व्युत्क्रम — यानी उसकी दर का समय में बदल जाना, या समय का दर में। यही वह क़दम है जो हरात्मक माध्य के बर्ताव को बाक़ी दोनों से इतना अलग बनाता है: छोटे मान का व्युत्क्रम बड़ा होता है और वह जवाब को सबसे ज़ोर से अपनी तरफ़ खींचता है, और यह ठीक वही है जो होना चाहिए जब वह छोटा मान कोई धीमी चाल हो जो घंटे खा जाती है।

Σ(1/xᵢ)

इन व्युत्क्रमों का जोड़, और भिन्न का हर। छोटी सूची में पैनल इसे पद दर पद खोलकर लिखता है, क्योंकि पूरा हिसाब यही जोड़ है: बाक़ी सब कुछ आख़िर में एक भाग है।

n

सूची में कितने मान हैं, जो नतीजे के पैनल पर छपता है। यह उस कमी को वापस पूरा करता है जो व्युत्क्रमों ने की थी — इसके बिना जवाब किसी औसत का व्युत्क्रम होता, औसत नहीं।

हरात्मक माध्य तब लगाइए जब ऊपर का अंश तय हो और नीचे का हर बदलता हो: तय दूरी अलग-अलग चालों से तय हो, तय काम अलग-अलग दरों से हो, तय वोल्टता अलग-अलग प्रतिरोधों पर गिरे। सबसे पुरानी मिसाल दो हिस्सों की यात्रा है — जाना 30 और वापसी 60 का औसत 40 बनता है, क्योंकि वापसी में जाने से आधा समय लगता है, इसलिए धीमी चाल को जवाब पर असर डालने के लिए दुगुना समय मिलता है। दोनों चालों का अंकगणितीय औसत 45 देता है, और 45 सही होता अगर दोनों चालों पर आधा-आधा *समय* बिताया गया होता — यह साफ़ कर लेना काम का है कि सवाल इन दोनों में से कौन-सा पूछ रहा है। यही ढाँचा यात्रा के दो हिस्सों के ईंधन ख़र्च पर भी लगता है, तय बजट को दो अलग दामों पर ख़र्च करने पर चुकाई गई औसत कीमत पर भी, और समानांतर प्रतिरोध पर भी, जहाँ कुल प्रतिरोध व्युत्क्रमों के जोड़ का व्युत्क्रम होता है — बराबर प्रतिरोधों के लिए वह प्रतिरोध बटा उनकी गिनती बन जाता है, यानी एक जैसे मानों वाली सूची का हरात्मक माध्य। जो राशियाँ जुड़ती हैं उन पर यह न लगाइए: अंकों, लंबाइयों या रक़मों के लिए हरात्मक माध्य एक छोटी संख्या देता है जिसके पीछे कोई पाठ नहीं होता, और मान जितने ज़्यादा फैले हों उतना ही नीचे अंकगणितीय औसत से गिरता है। सूची के सारे मान एक ही इकाई में लिखिए, क्योंकि जवाब उसी इकाई में आता है — चालें सब किलोमीटर प्रति घंटा में, या सब मीटर प्रति सेकंड में।

1. पाँच परीक्षा अंक

   1. हर मान का व्युत्क्रम लीजिए: 1/85 = 0.011765, 1/90 = 0.011111, 1/78 = 0.012821, 1/92 = 0.010870, 1/88 = 0.011364
   2. इन्हें जोड़िए: 0.011765 + 0.011111 + 0.012821 + 0.010870 + 0.011364 = 0.057931
   3. गिनती को व्युत्क्रमों के जोड़ से भाग दीजिए — ऊपर का गोल किया 0.057931 इस भाग में नहीं बैठता: 5 ÷ (1/85 + 1/90 + 1/78 + 1/92 + 1/88) = 86.3118

   पैनल जान-बूझकर बीच का वह जोड़ 0.057931 नहीं छापता: वह गोल किया हुआ आँकड़ा है, और 5 ÷ 0.0579 = 86.3558 देता है, यानी जो पाठक उससे हिसाब परखता वह पैनल पर लिखे जवाब से अलग संख्या पाता। इसकी जगह अभिव्यक्ति छापी जाती है, जो यह बताती है कि क्या किया गया, पर ऐसा भाग नहीं देती जो पूरा न बैठे। यह मिसाल इस साइट की कड़ी भी पूरी करती है: इन्हीं पाँच संख्याओं के लिए हरात्मक माध्य 86.3118 है, गुणोत्तर माध्य 86.458, और अंकगणितीय औसत 86.6 — तीनों उसी क्रम में बैठे हैं जिसका वादा असमानता करती है, और इनके बीच का फ़ासला यह पढ़ने का तरीक़ा है कि सूची कितनी असमान है।

2. जाना 30 से, वापसी 60 से — औसत चाल 40

   1. व्युत्क्रम लीजिए: 1/30 = 0.033333 और 1/60 = 0.016667
   2. इन्हें जोड़िए: 0.033333 + 0.016667 = 0.05
   3. गिनती को जोड़ से भाग दीजिए: 2 ÷ 0.05 = 40

   यह वह मिसाल है जिसके लिए यह पूरा पेज है। 100 किलोमीटर जाना 30 की चाल से और 100 किलोमीटर वापसी 60 की चाल से: जाने में दो घंटे लगे और वापसी में एक, यानी 200 किलोमीटर तीन घंटे में, और वह 40 प्रति घंटा है। 30 और 60 का अंकगणितीय औसत 45 है, और 45 सही होता अगर हर चाल पर एक घंटा चला गया होता — वह समय का सवाल है, और यह दूरी का। दूसरी तरफ़ भी देख लीजिए: जाना 30 और वापसी 30 — तब दोनों तरीक़े 30 ही देते हैं, क्योंकि बराबर मानों पर दोनों औसतों के पास अलग होने की कोई वजह ही नहीं होती। यही कारण है कि इस पेज का मुख्य जवाब हरात्मक माध्य रखा गया है और अंकगणितीय औसत उसके बग़ल — एक जवाब, और उसकी परख।

3. तीन मान: 1, 2 और 4

   1. व्युत्क्रम लीजिए: 1/1 = 1, 1/2 = 0.5, 1/4 = 0.25
   2. इन्हें जोड़िए: 1 + 0.5 + 0.25 = 1.75
   3. गिनती को जोड़ से भाग दीजिए: 3 ÷ 1.75 = 1.7143

   व्युत्क्रम मानों के उलट चलते हैं, और इसी में इस औसत का पूरा स्वभाव है: 1 सबसे छोटा मान है पर सबसे बड़ा पद देता है, 1, जबकि 4 मान में सबसे बड़ा है और सबसे छोटा पद देता है, 0.25। इसलिए जवाब अंकगणितीय औसत 2.3333 से काफ़ी नीचे बैठता है, और सूची के छोटे सिरे के ज़्यादा क़रीब। यहाँ के मान गुणोत्तर श्रेणी में हैं — हर एक पिछले का दुगुना — और ऐसी सूची में तीनों माध्य सबसे ज़्यादा अलग-अलग दिखते हैं: 1.7143, फिर 2 गुणोत्तर माध्य के रूप में, और फिर 2.3333।

4. 1 से नीचे के मान: व्युत्क्रम क्रम उलट देते हैं

   1. व्युत्क्रम लीजिए: 1/0.5 = 2 और 1/2 = 0.5
   2. इन्हें जोड़िए: 2 + 0.5 = 2.5
   3. गिनती को जोड़ से भाग दीजिए: 2 ÷ 2.5 = 0.8

   1 से छोटे मानों के व्युत्क्रम 1 से बड़े बनते हैं, इसलिए इस जोड़े में छोटा मान बड़ा पद बनाकर हर पर राज करता है: 0.5 से 2 आता है जबकि 2 से सिर्फ़ 0.5। इसलिए हरात्मक माध्य 0.8 पर उतर आता है, छोटे मान के पास, जबकि अंकगणितीय औसत 1.25 दोनों के बीच बैठता है। इसे उलटा कर देने पर — यानी जोड़ को गिनती से भाग देने पर — 1.25 निकलता है, जो अंकगणितीय औसत है और पैनल पर बिलकुल भरोसेमंद दिखता है, इसलिए यहाँ क्रम मायने रखता है और यही जोड़ा वह जगह है जहाँ क्रम की ग़लती सबसे साफ़ दिखती है। भाग देने से पहले यह भी देख लीजिए कि जवाब सूची के सबसे छोटे मान से कभी बड़ा नहीं होता — यही इस पेज की सबसे तेज़ परख है।

5. आठ मान, Σ में लिखे हुए

   1. हर मान का व्युत्क्रम लीजिए: 1, 0.5, 0.333333, 0.25, 0.2, 0.166667, 0.142857, 0.125
   2. इन्हें जोड़िए: 2.717857
   3. गिनती को उस जोड़ से भाग दीजिए: 8 ÷ 2.717857 = 2.9435

   छह से ज़्यादा मान होने पर चरण दर चरण वाली पंक्ति संकेत-लेखन पर चली जाती है, 8 / Σ(1/xᵢ) = 2.9435, क्योंकि हर व्युत्क्रम कम से कम चार अक्षर का है और दो सौ मानों वाली सूची वरना हज़ार से ऊपर अक्षरों की पंक्ति बना देती। यह संक्षेप वही एक बात बचाए रखता है जिसका अंदाज़ा नहीं लगाया जा सकता — कि भिन्न किस तरफ़ उलटा है। यहाँ का फ़ासला इस पेज पर सबसे बड़ा है: 2.9435 बनाम अंकगणितीय औसत 4.5, क्योंकि ये आठ मान आठ गुना के फ़ासले में बराबर फैले हैं, और हरात्मक माध्य ही वह माध्य है जिस पर सूची का छोटा सिरा सबसे ज़्यादा असर डालता है।

हर मान शून्य से बड़ा होना चाहिए, और जिस सूची में शून्य या ऋणात्मक संख्या हो उसे पेज ठुकरा देता है। शून्य सबसे ख़तरनाक है, क्योंकि शून्य का व्युत्क्रम अनंत होता है और सूत्र से जो जवाब निकलता है वह साधारण शून्य है — ऐसी संख्या जो नाकामी नहीं बल्कि नतीजा दिखती है। कोई ऋणात्मक मान व्युत्क्रमों के जोड़ को शून्य कर सकता है, जो शून्य से भाग होगा, या जवाब को मानों के दायरे से बाहर धकेल सकता है। यह माध्य सिर्फ़ वहीं मतलब रखता है जहाँ कोई तय कुल बाँटा जा रहा हो, जैसे अलग-अलग चालों से तय दूरी तय करना या अलग-अलग दामों पर तय बजट ख़र्च करना; अंकों, लंबाइयों या रक़मों पर लगाने से यह एक छोटी संख्या देता है जिसका कोई पाठ नहीं निकलता, और मान जितने ज़्यादा बदलते हैं उतना ही नीचे अंकगणितीय औसत से गिरता है। व्युत्क्रमों का बीच वाला जोड़ पैनल पर गोल करके नहीं दिखाया जाता — वह अभिव्यक्ति छापता है, ठीक इसलिए कि गोल किया हुआ बीच का मान छपे हुए जवाब तक वापस नहीं पहुँचता। सूची 200 मानों तक सीमित है, और 1,500 जैसा टुकड़ा अंदाज़ा लगाने के बजाय ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि अंकों के बीच का अल्पविराम दुनिया के बड़े हिस्से में दशमलव का चिह्न है; 1500 या 1.5 लिखिए।

हरात्मक माध्य कैसे निकालें?

हर मान का व्युत्क्रम लीजिए, उन सब को जोड़ दीजिए, और फिर मानों की गिनती को उस जोड़ से भाग दीजिए। 30 और 60 के व्युत्क्रम 0.033333 और 0.016667 बनते हैं, जिनका जोड़ 0.05 है, और 2 ÷ 0.05 = 40 आता है। क्रम मायने रखता है: गिनती को जोड़ से भाग दिया जाता है, जोड़ को गिनती से नहीं — उलटा करने पर अंकगणितीय औसत निकल आता है।

हरात्मक माध्य बाक़ी दोनों से छोटा क्यों होता है?

क्योंकि व्युत्क्रम लेने से मानों का क्रम उलट जाता है, और फिर हर मान उतना ही योगदान देता है जितना वह छोटा था। छोटे मान का व्युत्क्रम बड़ा होता है और हर को ऊपर खींचता है, जिससे जवाब नीचे आता है, और यह असर मानों के फ़ासले के साथ बढ़ता है। बराबर मानों पर तीनों माध्य एक ही जवाब देते हैं; सूची जितनी फैलेगी, हरात्मक माध्य गुणोत्तर माध्य से उतना ही नीचे गिरेगा, और वह अपने बदले अंकगणितीय औसत से नीचे।

औसत चाल 40 बनती है, 45 क्यों नहीं?

क्योंकि दोनों हिस्सों में समय अलग-अलग लगा। बराबर दूरी 30 और 60 की चाल से तय करने पर धीमे हिस्से में दुगुना समय लगता है, इसलिए जवाब में उसका कहना भी दुगुना होता है: 30 पर दो घंटे और 60 पर एक घंटा, यानी 200 किलोमीटर तीन घंटे में, और वह 40 प्रति घंटा है। 45 वाला आँकड़ा अंकगणितीय औसत है और वह अलग सवाल का जवाब देता है — वह औसत चाल जब हर चाल पर बराबर *समय* बिताया गया हो, बराबर दूरी नहीं।

सादे औसत के बजाय इसे कब लगाना चाहिए?

जब कुल तय हो और दर बदलती हो — तय दूरी अलग-अलग चालों से, तय काम अलग-अलग दरों वाली मशीनों से, तय बजट अलग-अलग दामों पर, तय वोल्टता अलग-अलग प्रतिरोधों पर। अगर इसके बजाय प्रविष्टियाँ ऐसी रक़में हों जो जुड़ती हैं, या ऐसे मान हों जिनमें से हर एक बराबर गिना जाना चाहिए, तो अंकगणितीय औसत सही है और हरात्मक माध्य एक छोटी संख्या देगा जिसके पीछे कुछ नहीं होगा।

इसका समानांतर प्रतिरोध से क्या नाता है?

सीधा नाता है: समानांतर जुड़े प्रतिरोधों का कुल प्रतिरोध उनके व्युत्क्रमों के जोड़ का व्युत्क्रम होता है, यानी यही सूत्र बिना आख़िर में गिनती से गुणा किए। 10 ओम के दो प्रतिरोध समानांतर में 5 ओम देते हैं, जबकि इस पेज का 10 और 10 का हरात्मक माध्य 10 है — औसत व्युत्क्रम कट जाता है, क्योंकि एक जैसे मानों वाली सूची का हरात्मक माध्य वही मान होता है, और वही अंकगणितीय तथा गुणोत्तर माध्य भी। दिलचस्प मामले असमान वाले हैं: समानांतर कुल हमेशा सबसे छोटे प्रतिरोध से नीचे रहता है, ठीक वैसे ही जैसे हरात्मक माध्य हमेशा सूची के सबसे छोटे मान से नीचे रहता है।

क्या मान 1 से छोटे भी हो सकते हैं?

हाँ, बशर्ते सब शून्य से बड़े हों। 1 से छोटे मानों के व्युत्क्रम 1 से बड़े बनते हैं, इसलिए वे सबसे बड़े पद देते हैं और जवाब उन्हीं के पास बैठता है: 0.5 और 2 के लिए हरात्मक माध्य 0.8 है, जो अंकगणितीय औसत 1.25 से काफ़ी नीचे है। यह इस पेज का वही नियम है, दूसरी तरफ़ से पढ़ा हुआ — छोटा मान ही खींचता है, चाहे वह 1 के किसी भी तरफ़ बैठा हो।

• Harmonic Mean — MathWorld (the definition, the relation to the arithmetic and geometric means, and the classical mean proportional construction) — Wolfram MathWorld (United States)
• Harmonic mean — Encyclopedia of Mathematics (why a fixed total over varying rates calls for the harmonic mean rather than the arithmetic one) — Encyclopedia of Mathematics (EMS Press)