भारित औसत कैलकुलेटर

भारित औसत = Σ wᵢxᵢ ÷ Σ wᵢ

xᵢ

सूची का एक मान — कोई अंक, कोई दाम, कोई नाप। हर मान देना पड़ता है, वे भी जिनका भार शून्य निकलता है; किसी मान को छोड़ देना और उसे शून्य भार देना, दोनों एक बात नहीं हैं।

wᵢ

उस मान का भार, दूसरे ख़ाने में उसी जगह लिखा हुआ। यह प्रतिशत हो सकता है, क्रेडिट की गिनती, लोगों की संख्या, या कोई और हिस्सा — सिर्फ़ भारों के बीच का अनुपात मायने रखता है, और उनका पूर्ण संख्या होना या 100 तक जुड़ना ज़रूरी नहीं।

Σ wᵢxᵢ

भारित योग: हर मान अपने भार से गुणा करके जोड़ा हुआ। यह भिन्न का अंश है, और यही जवाब को उन मदों की तरफ़ खींचता है जिनका भार बड़ा है।

Σ wᵢ

भारों का कुल जोड़, जो नतीजे के पैनल पर छपता है। इससे भाग देना ही भारित योग को वापस औसत बनाता है — और यह परख भी यही है: यह संख्या आपकी उम्मीद से अलग निकले तो कोई भार ग़लत लिखा गया है, और जवाब इस तरह ग़लत है जो पैनल की कोई और पंक्ति नहीं बताती।

भारित औसत तब लगाइए जब प्रविष्टियों का महत्व अलग-अलग हो, और सादा औसत तब जब वह बराबर हो। पढ़ाई की मिसाल सबसे आम है: वार्षिक परीक्षा के 30% और किसी क्विज़ के 10% को बराबर मानकर औसत नहीं किया जा सकता, और वही अंकगणित क्रेडिट औसत पर भी लगता है, किसी निवेश की औसत ख़रीद कीमत पर भी, और ग्राहक संतुष्टि के अंकों पर भी जहाँ हर शाखा से जवाब अलग-अलग संख्या में आते हैं। यह उस संख्या के लिए भी सही औज़ार है जो ख़ुद एक औसत है: अगर शाखा से 10 बिक्री से औसत 40 आता है और शाखा ख़ से 2 बिक्री से 90, तो 40 और 90 का सादा औसत 65 बनता है — जो किसी ग्राहक ने कभी नहीं चुकाया — जबकि गिनती के भार से पूरी कंपनी की असली कमाई निकलती है। जहाँ आप एक मान को बढ़ा-चढ़ाकर महत्व देना चाहते हैं, वहाँ यह न लगाइए; इसका भार कुल का हिस्सा है, और जवाब ठीक वही होता है जो सादा औसत देता, अगर हर मान को उसके भार जितनी बार लिखा जाए। जब प्रविष्टियाँ बराबर महत्व की हों तो सादा औसत चुनिए — भारित औसत तब उससे अलग जवाब देगा ही, और वह अंतर भार की जानकारी से ही बनता है, इसलिए बिना असली भार वाले किसी कारण के यह न लगाइए। साथ ही यह औसत उस सवाल का जवाब नहीं है जहाँ कुछ गिने-चुने बहुत बड़े मान आम हालत को दबा दें — वहाँ भार जोड़ने से मदद नहीं मिलती जब तक हर मान को उसका असली भार न पता हो; बिना भार वाली तिरछी सूची के लिए अपना अलग पेज इसी साइट पर है।

1. पाँच परीक्षा अंकों पर प्रतिशत भार

   1. हर अंक को उसके भार से गुणा कीजिए: 85 × 20 = 1700, 90 × 20 = 1800, 78 × 10 = 780, 92 × 20 = 1840, 88 × 30 = 2640
   2. गुणनफल जोड़िए: 1700 + 1800 + 780 + 1840 + 2640 = 8760
   3. भार जोड़िए: 20 + 20 + 10 + 20 + 30 = 100
   4. भाग दीजिए: 8760 ÷ 100 = 87.6

   इन्हीं पाँच अंकों का सादा औसत 86.6 है, इसलिए यहाँ भार लगाने की क़ीमत 1.0 अंक है। यह अंतर इस बात से बनता है कि भार कहाँ बैठा है: 78 सबसे कम अंक है और उसका भार सिर्फ़ 10 है, जबकि 88 का 30 है, यानी सबसे बड़ा हिस्सा। भारित औसत इसलिए ऊपर खिंच जाता है — इसलिए नहीं कि भार लगाना ग़लत है, बल्कि इसलिए कि भार से यही माँगा गया था। और अगर 30 का भार 88 के बजाय 78 पर बैठता, तो जवाब 85.6 बनता, यानी सादे औसत से एक अंक नीचे — दोनों तरफ़ देखने पर तस्वीर पूरी होती है। इसीलिए भारों का जोड़ जवाब के बग़ल छपता है: भारित औसत उतना ही भरोसेमंद होता है जितने भार।

2. पाँच विषयों के क्रेडिट पर औसत

   1. हर अंक को उस विषय के क्रेडिट से गुणा कीजिए: 4 × 3 = 12, 3.7 × 4 = 14.8, 3.3 × 3 = 9.9, 3 × 2 = 6, 4 × 3 = 12
   2. गुणनफल जोड़िए: 12 + 14.8 + 9.9 + 6 + 12 = 54.7
   3. क्रेडिट जोड़िए: 3 + 4 + 3 + 2 + 3 = 15
   4. भाग दीजिए: 54.7 ÷ 15 = 3.6467

   यही वह हिसाब है जो क्रेडिट औसत के पीछे बैठता है, और यही वजह है कि यह पेज भारों का कुल जोड़ छापता है: 15 क्रेडिट भिन्न का हर है, और 15 क्रेडिट से निकला औसत वही दावा नहीं है जो 60 क्रेडिट से निकला औसत है। पाँचों अंकों का सादा औसत 3.6 है, इसलिए क्रेडिट जवाब को 0.0467 हिलाते हैं — पिछली मिसाल से कम, क्योंकि वहाँ भार 10 से 30 तक फैले थे और यहाँ क्रेडिट सिर्फ़ 2 से 4 तक। जिस काम के लिए यह अंक इस्तेमाल होता है — ग्रेड पॉइंट औसत, यानी GPA — वहाँ भार विषय के क्रेडिट होते हैं और मान उस विषय में मिला ग्रेड पॉइंट; इस पूरे पेज का यही सबसे आम इस्तेमाल है, और वही जवाब निकलता है जो किसी विश्वविद्यालय की परीक्षा शाखा निकालती।

3. भार जो 100 तक नहीं जुड़ते

   1. हर मान को उसके भार से गुणा कीजिए: 10 × 1 = 10, 20 × 2 = 40, 30 × 3 = 90
   2. गुणनफल जोड़िए: 10 + 40 + 90 = 140
   3. भार जोड़िए: 1 + 2 + 3 = 6
   4. भाग दीजिए: 140 ÷ 6 = 23.3333

   यहाँ भारों का जोड़ 6 बनता है, और यह बिलकुल ठीक है — जवाब वही आता अगर भार 10, 20, 30 लिखे होते, या 0.1, 0.2, 0.3। मायने सिर्फ़ अनुपात का है, इसलिए भारों के एक सेट को प्रतिशत की तरह नहीं बल्कि किसी नुस्ख़े की तरह पढ़िए: भार जो भी जोड़ बनाएँ, मान उसी अनुपात में मिलाए जा रहे हैं। बदलती सिर्फ़ एक चीज़ है — जवाब के बग़ल छपने वाला भारों का कुल जोड़, जो आपके लिखे भारों के साथ चलता है। और ध्यान दीजिए कि जवाब सबसे बड़े मान 30 के ज़्यादा क़रीब बैठा है, जबकि सादा औसत 20 देता: सबसे भारी भार सबसे बड़ी मद पर है, और भारित औसत एक संतुलन बिंदु है, इसलिए वह उसी तरफ़ सरकता है जिस पर सबसे ज़्यादा भार हो। भार शून्य होने की हालत भी जानने लायक़ है: शून्य भार का मतलब है वह मद जवाब में कुछ नहीं जोड़ती — छोटा भार और शून्य भार, दोनों अलग बातें हैं।

भार शून्य या धनात्मक होने चाहिए, और उनमें से कम से कम एक शून्य से बड़ा होना चाहिए: जिस सूची के सारे भार शून्य हों उसका भारित औसत नहीं होता, और पेज शून्य से भाग देने के बजाय उसे सिरे से मना कर देता है। किसी एक भार का शून्य होना मंज़ूर है और उसका मतलब है वह मद नज़रअंदाज़ हो जाती है — वह गिनती में गिनी जाती है और मानों में दिखती भी है, पर जवाब में कुछ नहीं जोड़ती, यह बात किसी शून्य को छोटा भार पढ़ लेने से पहले जान लेनी चाहिए। आपकी तरफ़ से कुछ भी सामान्य नहीं किया जाता, इसलिए 150 तक जुड़ने वाले भार भी ठीक हैं और 0.4 तक जुड़ने वाले भी; नतीजे पर सिर्फ़ उनके बीच का अनुपात असर करता है। दोनों ख़ाने जगह के हिसाब से मिलाए जाते हैं, इसलिए भार मानों के उसी क्रम में लिखे जाने चाहिए और उनकी गिनती बराबर होनी चाहिए — गिनती मेल न खाने पर पेज यह अंदाज़ा लगाने के बजाय कि कौन-सा भार किस मान का है, सिरे से मना कर देता है, और यही मना करना यहाँ की सबसे बड़ी ग़लती से बचाता है: मिलते-जुलते जवाब के पीछे ग़लत जोड़ी में बैठे मान और भार। यह किसी आवृत्ति सारणी का भारित औसत नहीं है, जहाँ एक मान कई पढ़तों की तरफ़ से खड़ा होता है; उसके लिए मान एक बार लिखकर गिनती को भार बना दीजिए, जवाब वही आएगा, पर सारणी को ज्यों-का-त्यों चिपकाकर नहीं। सूचियाँ 200 जोड़ों तक सीमित हैं, और 1,500 जैसा टुकड़ा अंदाज़ा लगाने के बजाय ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि अंकों के बीच का अल्पविराम दुनिया के बड़े हिस्से में दशमलव का चिह्न है; 1500 या 1.5 लिखिए।

भारित औसत कैसे निकालें?

हर मान को उसके भार से गुणा कीजिए, गुणनफल जोड़ दीजिए, और जोड़ को भारों के जोड़ से भाग दीजिए। इस पेज के पाँच अंकों में गुणनफल 1700, 1800, 780, 1840 और 2640 बनते हैं, जिनका योग 8760 है, और भारों का योग 100, इसलिए भारित औसत 8760 ÷ 100 = 87.6 आता है। उस भाग के दोनों अंग नतीजे के पैनल पर छपते हैं, यानी गुणा दोबारा किए बिना हिसाब परखा जा सकता है।

अगर सारे भार बराबर हों तो क्या होगा?

तब जवाब ठीक वही निकलता है जो बिना भार वाला सादा औसत देता है, क्योंकि भारों का जोड़ गिनती का कई गुना बन जाता है और वह गुणक भाग में कट जाता है। इसीलिए भार किसी मान को बढ़ाने का ज़रिया नहीं हैं, बल्कि यह बताने का ज़रिया हैं कि सूची में किस मान की कितनी प्रतियाँ गिनी गईं। जहाँ सारे मानों का महत्व सचमुच बराबर हो, वहाँ भार लगाना सिर्फ़ काम बढ़ाता है — और जवाब वही रहता है।

क्या भारों का जोड़ 100 होना ज़रूरी है?

नहीं, भारों को 100 तक जोड़ना ज़रूरी नहीं है, और इस पेज पर कहीं 100 से भाग नहीं दिया जाता। भार एक हिस्सा है, इसलिए सिर्फ़ उनके बीच का अनुपात मायने रखता है: 1, 2 और 3 वही जवाब देते हैं जो 10, 20 और 30 देते हैं, और वही जो प्रतिशत देते हैं। जब भार प्रतिशत ही न हों तब 100 तक न जुड़ना आम बात है — विषयों के क्रेडिट, जवाबों की गिनती, निवेश में हिस्से। आपके लिखे हिसाब से चलने वाली एक ही संख्या है भारों का कुल जोड़, जो पेज जवाब के बग़ल छापता है।

किसी एक भार का शून्य होना क्या मतलब रखता है?

उस मान को औसत से पूरी तरह बाहर कर दिया जाता है, जैसे वह सूची में था ही नहीं — पर वह गिनती में गिना जाता है और दोनों ख़ानों में लिखा जाना ज़रूरी है, क्योंकि दोनों ख़ाने जगह के हिसाब से मिलाए जाते हैं। शून्य छोटा भार नहीं है; शून्य यानी कोई भार नहीं, और ये दो अलग बातें हैं। जो पेज मंज़ूर नहीं करता वह यह है कि सारे भार शून्य हों: तब भारों का जोड़ शून्य बनता है और भाग का कोई जवाब नहीं होता, इसलिए ऐसी प्रविष्टि अनंत निकालने के बजाय ठुकरा दी जाती है।

क्या मैं इसे परीक्षा के अंकों या क्रेडिट औसत के लिए लगा सकता हूँ?

हाँ, और दोनों इसके मानक इस्तेमाल हैं। अंकों का भारित औसत वही अंकगणित है जो पहली मिसाल में है: अंक पहले ख़ाने में और हर परीक्षा का भार दूसरे ख़ाने में डालिए। क्रेडिट औसत यानी GPA भी वैसे ही चलता है, जिसमें मान विषय का ग्रेड पॉइंट होता है और भार उस विषय के क्रेडिट — वही दूसरी मिसाल है, और जवाब वही संख्या है जो परीक्षा शाखा निकालती, तथा बग़ल छपा कुल जोड़ क्रेडिट का जोड़ है। सिर्फ़ इस साइट पर GPA का अपना अलग पेज भी है, जिसमें ग्रेड पॉइंट की सारणी और अंकों के ग्रेड में बदलने का नियम भी है; वह पेज तब अच्छा है जब आपके पास अंक हों और ग्रेड में बदलना हो, और यह पेज तब जब आपके पास ग्रेड पॉइंट और क्रेडिट सीधे हों।

जब जवाब भारों के जोड़ पर निर्भर नहीं है तो वह जोड़ दिखाया क्यों जाता है?

क्योंकि वही हर है जिससे आप भाग परखेंगे, और क्योंकि लिखने की ग़लती सबसे पहले वहीं दिखती है। जहाँ आपका मतलब प्रतिशत था वहाँ भारों का जोड़ 100 के बजाय 97 निकले, तो कोई भार ग़लत लिखा गया — और उससे निकला भारित औसत इस तरह ग़लत होता है जो पैनल की कोई दूसरी पंक्ति नहीं बताती, क्योंकि मान और गिनती दोनों ठीक दिखते हैं। और जब भार किसी असली चीज़ की गिनती हों — क्रेडिट, जवाब, लोग — तब वह जोड़ अपने आप में एक काम की संख्या है।

• Weighted Mean — MathWorld — Wolfram MathWorld (United States)
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (why the mean is a balance point, and how weights move it) — National Institute of Standards and Technology (NIST)