72 का नियम कैलकुलेटर

72 का नियम: दुगुना होने के साल ≈ 72 ÷ सालाना दर; सटीक: साल = ln(2) ÷ ln(1 + सालाना दर ÷ 100)

सालाना दर

सालाना दर प्रतिशत में — 8 का मतलब आठ प्रतिशत — जो शून्य से ऊपर होनी चाहिए क्योंकि दोनों व्यंजक वहाँ किसी ऐसी चीज़ से भाग देते हैं जो शून्य पर लुप्त हो जाती है

72

छोटे रास्ते का अंश, ऐसा चुना गया कि ज़्यादातर मिलने वाली दरों पर भाग देना दिमाग़ में आसानी से हो जाए

ln(2)

दो का प्राकृतिक लघुगणक, क़रीब 0.6931, जो इसलिए आता है कि दुगुना होने का मतलब है (1 + r) की घात n बराबर 2 हल करना

दुगुना होने के साल

चक्रवृद्धि होती दर पर पैसा दुगुना होने में कितना समय लेता है; छोटा रास्ता और सटीक जवाब साथ-साथ रखे जाते हैं

चूक

छोटे रास्ते का जवाब घटा सटीक जवाब, जो कम दरों पर धनात्मक और ऊँची दरों पर ऋणात्मक होता है

नियम के जवाब पर गुणक

अगर आप ठीक उतना ही इंतज़ार करें जितना छोटे रास्ते ने बताया, तो आपका पैसा असल में कितना बनता है — जो लगभग हर दर पर दो से ज़रा कम रहता है

छोटे रास्ते का इस्तेमाल तब कीजिए जब बातचीत के दौरान दिमाग़ में जवाब चाहिए, और सटीक आँकड़े का तब जब जवाब लिखा जाने वाला हो। चूँकि जिन दरों पर आम ज़िंदगी चलती है उनमें दोनों क़रीब-क़रीब मिलते हैं, छोटा रास्ता पाँच से दस प्रतिशत पर मोटे अनुमान के लिए सबसे अच्छा है, और दोनों सिरों पर सबसे ख़राब: क़रीब तीन प्रतिशत से नीचे यह इंतज़ार बुरी तरह बढ़ा-चढ़ाकर बताता है, और क़रीब पंद्रह प्रतिशत से ऊपर इसे कम बताता है। गुणक वाला नतीजा उस सवाल का जवाब देता है जो चूक उठाती है पर तय नहीं करती — कि साल के पाँचवें हिस्से की चूक से असल में कुछ बिगड़ता भी है या नहीं। बीस प्रतिशत पर नियम के 3.6 साल के बजाय सही 3.802 साल का इंतज़ार कीजिए तो 2 के बजाय 1.93 गुना मिलता है — यानी आपके फ़ायदे का क़रीब सात प्रतिशत, जो ऊँची दर पर छोटा रास्ता इस्तेमाल करने से पहले जान लेना अच्छा है।

1. आठ प्रतिशत: वह दर जहाँ नियम लगभग सटीक है

   1. नियम: 72 ÷ 8 = 9.00 साल
   2. सटीक जवाब: ln(2) ÷ ln(1.08) = 0.693147 ÷ 0.076961 = 9.006 साल
   3. चूक: 9.00 − 9.006 = −0.006 साल, यानी क़रीब दो दिन
   4. 8% पर ठीक 9 साल तक बढ़ाने पर: 1.08^9 = 1.9990

   यही इस पेज का डिफ़ॉल्ट है क्योंकि यह नियम का सबसे अच्छा मामला है, और यह देख लेना अच्छा है कि सबसे अच्छा मामला कितना अच्छा है: नौ साल में छोटा रास्ता क़रीब दो दिन चूकता है। गुणक वाला नतीजा ही यह बताता है कि यहाँ भी बात ठीक-ठीक नहीं है — आठ प्रतिशत पर नौ साल की चक्रवृद्धि आपके पैसे का 2 नहीं, 1.9990 गुना देती है, और वह आख़िरी हज़ारवाँ हिस्सा पाटने में कुछ और दिन लगते हैं।

2. एक प्रतिशत: नियम इंतज़ार दो साल से ज़्यादा बढ़ा-चढ़ाकर बताता है

   1. नियम: 72 ÷ 1 = 72.00 साल
   2. सटीक जवाब: ln(2) ÷ ln(1.01) = 0.693147 ÷ 0.009950 = 69.661 साल
   3. चूक: 72.00 − 69.661 = +2.339 साल
   4. 1% पर 72 साल तक बढ़ाने पर: 1.01^72 = 2.0471

   बचत खाते जैसी दर पर छोटा रास्ता इंतज़ार के बारे में उदार हो जाता है, और दिशा उलटी है उससे जो ज़्यादातर लोग मान लेते हैं। गुणक इसे ठोस बना देता है: एक प्रतिशत पर नियम के 72 साल का इंतज़ार कीजिए तो 2 के बजाय 2.0471 गुना मिलता है, यानी वे दो-से-ज़्यादा साल बरबाद नहीं हुए, बस निशाना ज़रा आगे चला गया। यह इस तालिका की सबसे बड़ी चूक है।

3. बीस प्रतिशत: अब नियम इंतज़ार कम बताता है

   1. नियम: 72 ÷ 20 = 3.60 साल
   2. सटीक जवाब: ln(2) ÷ ln(1.2) = 0.693147 ÷ 0.182322 = 3.802 साल
   3. चूक: 3.60 − 3.802 = −0.202 साल
   4. 20% पर 3.6 साल तक बढ़ाने पर: 1.2^3.6 = 1.9278

   इसकी तुलना एक प्रतिशत वाले मामले से कीजिए और पेज की बात सामने आ जाती है: चूक का चिह्न बदल गया है। अब नियम दुगुना होने का वादा अवधि के पाँचवें हिस्से जितना जल्दी कर रहा है, और उस पर भरोसा कीजिए तो 2 के बजाय 1.9278 गुना मिलता है — यानी जिस फ़ायदे की उम्मीद थी उसका क़रीब सात प्रतिशत। ये दोनों मामले जान-बूझकर दर में बहुत दूर और सालों की चूक के आकार में क़रीब-क़रीब बराबर रखे गए हैं, इसीलिए अकेली सालों की चूक भरोसे लायक़ राहनुमा नहीं है और उसके बग़ल गुणक भी छपता है।

72 का नियम एक अनुमान है और यह पेज ऐसा दिखाता नहीं कि वह कुछ और है; यह करता यह है कि आपकी दर पर वह अनुमान कितना बड़ा है, बता देता है। यह मान लेता है कि दर चक्रवृद्धि होती है और पूरी अवधि में वही रहती है — बीच में बदलने वाली दर का कोई एक दुगुना-समय होता ही नहीं, और नियम के पास उसे कहने का कोई तरीक़ा नहीं। यह सिर्फ़ शून्य से ऊपर की दर पर चलता है, क्योंकि शून्य पर भाग और लघुगणक दोनों फ़ेल हो जाते हैं, इसीलिए यह फ़ील्ड एक दशमलव शून्य से कम दर नहीं लेता। यह कर या महँगाई के बारे में कुछ नहीं कहता, इसलिए जो दुगुना-समय यह बताता है वह नाममात्र पैसे का है: तीन प्रतिशत की महँगाई पर चौबीस साल में दुगुनी हुई रक़म उस चीज़ में दुगुनी नहीं हुई जो वह ख़रीद सकती है। और यह एक अकेली एकमुश्त रक़म के बारे में है जिसे छेड़ा नहीं जाता, इसलिए लगातार होने वाली जमाओं पर लागू नहीं होता, जहाँ अंकगणित दूसरा है और जवाब छोटा। और आख़िर में, छोटा रास्ता 72 आँकड़े के बारे में नियम है, आपके निवेश के बारे में नहीं — जहाँ आँकड़ा मायने रखता हो वहाँ सटीक जवाब लीजिए, और जहाँ बातचीत चल रही हो वहाँ छोटा रास्ता।

72 का नियम कैसे काम करता है?

72 को सालाना दर से भाग दीजिए और जो आए वह मोटे तौर पर उतने साल हैं जिनमें पैसा दुगुना हो जाता है। आठ प्रतिशत पर यह 9.00 साल कहता है और सटीक जवाब 9.006 साल है, इसलिए छोटा रास्ता लगभग ठीक है; एक प्रतिशत पर यह 72 साल कहता है जबकि सटीक जवाब 69.661 है, और बीस प्रतिशत पर 3.60 कहता है जबकि सटीक 3.802। छोटा रास्ता दिमाग़ी हिसाब का औज़ार है और यह पेज उसके बग़ल सटीक दुगुना समय भी दिखाता है।

72 का नियम सिर्फ़ अनुमान क्यों है?

क्योंकि वह लघुगणक की जगह भाग दे देता है। सटीक दुगुना समय चक्रवृद्धि ब्याज के समीकरण को अवधियों की संख्या के लिए हल करता है, जिससे दो का प्राकृतिक लघुगणक बटा एक जोड़ दर का लघुगणक आता है। छोटा रास्ता उसके बजाय एक स्थिर अंश इस्तेमाल करता है, और वह स्थिर अंश सिर्फ़ एक दायरे की दरों पर अच्छा बैठता है: दोनों जवाब कहीं सात और आठ प्रतिशत के बीच काटते हैं और उस कटाव के दोनों तरफ़ उलटी दिशाओं में दूर होते जाते हैं।

72 का नियम किस दिशा में ग़लत होता है?

दर के हिसाब से दोनों दिशाओं में, और यही वह हिस्सा है जिसकी ज़्यादातर लोग उम्मीद नहीं करते। कटाव-बिंदु से नीचे छोटा रास्ता ज़्यादा लंबा जवाब देता है: एक प्रतिशत पर यह 72 साल कहता है जबकि सटीक 69.661 है, यानी इंतज़ार दो साल से ज़्यादा बढ़ा-चढ़ाकर। उसके ऊपर छोटा रास्ता ज़्यादा छोटा जवाब देता है: बीस प्रतिशत पर यह 3.60 कहता है जबकि सटीक 3.802। चूक का चिह्न सात प्रतिशत और आठ प्रतिशत के बीच बदलता है — सात पर वह अब भी धनात्मक है, आठ पर ऋणात्मक हो चुका है।

नियम के जवाब पर गुणक का क्या मतलब है?

यह वह है जो आपका पैसा असल में बनता है अगर आप ठीक उतना ही इंतज़ार करें जितना छोटे रास्ते ने बताया। आठ प्रतिशत पर नौ साल तक रक़म बढ़ाने पर 2 के बजाय 1.9990 गुना मिलता है, और बीस प्रतिशत पर नियम के 3.60 साल का इंतज़ार सिर्फ़ 1.9278 गुना देता है। यह चूक को सालों से पैसे में बदल देता है, और उसी रूप में वह चूक आपको असल में कुछ गँवाती है।

क्या मैं 72 का नियम कम दर पर इस्तेमाल कर सकता हूँ?

कर सकते हैं, पर दर गिरने के साथ चूक तेज़ी से बढ़ती है, और वह इंतज़ार को बढ़ा-चढ़ाकर बताने की दिशा में बढ़ती है। एक प्रतिशत पर छोटा रास्ता 72 साल कहता है जबकि सटीक दुगुना समय 69.661 है, यानी दो साल से ज़्यादा का फ़ासला, और एक प्रतिशत पर 72 साल बढ़ी हुई रक़म अपनी शुरुआती क़ीमत का 2.0471 गुना बनती है। शून्य या उससे कम दर यह फ़ील्ड लेता ही नहीं, क्योंकि वहाँ भाग और लघुगणक दोनों टूट जाते हैं।

क्या 72 का नियम महँगाई या कर गिनता है?

नहीं, और इस पेज का सटीक आँकड़ा भी नहीं गिनता। दोनों उसी दर पर चलते हैं जो आप भरते हैं, इसलिए अगर वह नाममात्र प्रतिफल है तो दुगुना समय नाममात्र पैसे का है, और तीन प्रतिशत महँगाई पर नाममात्र रूप से चौबीस साल में दुगुनी हुई रक़म क्रय शक्ति में दुगुनी नहीं हुई। यही कर पर भी लागू है: रास्ते में जिस प्रतिफल पर कर लगता रहा, वह कम असरदार दर पर चक्रवृद्धि करता है, और कर-पश्चात दर का दुगुना समय यहाँ दिखाए गए समय से लंबा होता है।

• 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value factors and the price formula for Treasury notes and bonds — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Compound Interest Calculator — the forward form of the arithmetic, for checking a rate by growing a balance at it — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• H.15 Selected Interest Rates — the published benchmark rates a computed rate is compared against — Board of Governors of the Federal Reserve System (United States)
• Economic Survey, Chapter 3: Monetary Management and Financial Intermediation — the Ministry of Finance's annual review of Indian deposit and lending rates, the rates a doubling-time estimate is checked against in India — Ministry of Finance, Government of India (Economic Survey)