घन कैलकुलेटर

x³ = x × x × x ∛x = x^(1/3)

x

वह संख्या जिसका घन निकालना है। यह ऋणात्मक हो सकती है और उसमें दशमलव भी हो सकता है, छह स्थानों तक, और मान -1000000 से 1000000 के बीच कहीं भी हो सकता है। इस पेज पर धनात्मकता की कोई शर्त नहीं है, क्योंकि ऋणात्मक संख्या का घन बिलकुल ठीक तरह से परिभाषित है: -4 गुणा -4 गुणा -4 बराबर -64। नीचे वाले घनमूल का भी यही हाल है — विषम घात का मूल है, इसलिए ऋणात्मक इनपुट पर भी वह परिभाषित है

x³

घन ख़ुद, छह दशमलव स्थानों तक छपा हुआ। यहाँ के प्रदर्शन-खिड़की के पार जाने पर वह वैज्ञानिक संकेतन में लिखा जाता है ताकि परिमाण पढ़ने लायक बना रहे: 1000000 का घन 1.000000 × 10¹⁸ बनता है, पैनल पर फैली उन्नीस अंकों की क़तार नहीं। खिड़की के भीतर साधारण रूप ही रखा जाता है, इसलिए 343 को 343.000000 छापा जाता है, दस की किसी घात के रूप में नहीं

∛x

उसी संख्या का घनमूल, जो पहले कॉलम को उलट देता है: यह वह मान है जिसे ख़ुद से दो बार गुणा करने पर x वापस मिलता है। जब x पूर्ण घन हो तो मूल बिना किसी गोलाई के ठीक पूर्ण संख्या निकलता है; बाक़ी हर हाल में छह दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित। यही विषम और सम मूल का फ़र्क़ है, और ऋणात्मक इनपुट यहाँ चल जाता है जबकि ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या में कहीं नहीं होता

यह पेज तब खोलिए जब सवाल किसी आकृति का नहीं, किसी संख्या का हो: 7 का घन क्या है, 1.5 का घन क्या है, 343 का घनमूल क्या है। जब घन किसी असली चीज़ का नाम बन जाए — किनारे की लंबाई वाला बक्सा और घन सेंटीमीटर में उसका आयतन — तब घन आयतन वाला पेज किनारा लेता है और जवाब इकाइयों में देता है। पढ़ाई में यह पेज दोनों दिशाएँ एक साथ देने के लिए काम आता है: आगे का सवाल घन है और उलटा सवाल घनमूल, और नीचे की तालिका वही जोड़ी 1 से 12 तक तैयार रखती है। जहाँ जड़ निकालना पड़े वहाँ भी यही मान काम आते हैं — 64 का घनमूल 4 है और 4 का घन 64, और घनफल या बेलन जैसे सवालों में पहचाने हुए पूर्ण घन ही वह कड़ी हैं जो हिसाब को छोटा कर देती हैं।

1. सात का घन, और वापस आता मूल

   1. पहले वर्ग कीजिए: 7 × 7 = 49
   2. एक बार और 7 से गुणा कीजिए: 49 × 7 = 343
   3. 343 का घनमूल 7 है, क्योंकि 7 × 7 × 7 = 343
   4. इनपुट 7 का घनमूल 1.912931 आता है, और यहीं से छह दशमलव आते हैं — 7 पूर्ण घन नहीं है

   पेज के दोनों हिस्से अलग-अलग सवालों का जवाब देते हैं और दोनों रखने लायक हैं। घन 343 ठीक-ठीक है, और उससे वापस जाने वाला मूल भी ठीक-ठीक है। इनपुट का मूल, 1.912931, वही पूर्णांकित वाला है: उसे तीन बार ख़ुद से गुणा करने पर 6.999999 और कुछ आता है, जो छह दशमलव स्थानों की हद तक 7 के सबसे क़रीब पहुँच है।

2. पूर्ण घन: 27

   1. 27 × 27 = 729
   2. 729 × 27 = 19683
   3. 27 का घनमूल ठीक 3 लौटाता है, दशमलव के बाद कुछ नहीं
   4. यही ठीक 3 इस सवाल का पूरा जवाब है कि 27 पूर्ण घन है या नहीं

   पूर्ण घन ही वह अकेला मामला है जहाँ मूल वाले कॉलम में कोई गोलाई नहीं होती, और यह देख लेना गिनती की दृष्टि से काम का है: कोई मशीन 27 की एक-तिहाई घात निकाले तो उसे 3.0000000000000004 मिलता, जो 3.000000 बनकर छपता और गोलाई की ग़लती जैसा लगता। पेज यह गड़बड़ साफ़ कर देता है — वह जाँचता है कि कोई पड़ोसी पूर्ण संख्या ख़ुद को तीन बार गुणा करके इनपुट तक पहुँचती है या नहीं।

3. ऋणात्मक संख्या का घन

   1. -4 × -4 = 16, धनात्मक, क्योंकि दो ऋण गुणा होकर धनात्मक बनते हैं
   2. 16 × -4 = -64, फिर ऋणात्मक, क्योंकि तीसरा गुणक अब भी ऋणात्मक है
   3. इसलिए -4 का घन -64 है, और -64 का घनमूल ठीक -4
   4. इनपुट -4 का घनमूल -1.587401 है

   तीन गुणकों की गिनती ही चिह्न तय करती है: विषम संख्या में ऋण वाला गुणनफल ऋणात्मक आता है और सम संख्या वाला धनात्मक। इसीलिए घनमूल ऋणात्मक मान ले लेता है जबकि वर्गमूल नहीं लेता — विषम मूल को उलटा जा सकता है, सम मूल को नहीं। ऋण चिह्न मूल के आगे वैसे ही छपता है जैसे हाथ से लिखा जाता है।

इनपुट दोनों दिशाओं में 1000000 तक सीमित है। यह गणित की नहीं, प्रदर्शन की सीमा है: 1000000 का घन 1000000000000000000 है, जो अब भी ठीक-ठीक रखी जा सकने वाली संख्या है, यानी सीमा पर कुछ भी बहकर बाहर नहीं जाता — पेज बस ऐसा नंबर छापने से मना कर देता है जिसे पाठक एक नज़र में न ले पाए। सीमा के भीतर घन पूर्ण संख्याओं के लिए ठीक-ठीक है और बाक़ी सबके लिए छह दशमलव स्थानों तक सही। छपने का तरीक़ा एक और सीमा लगाता है जिसका अंदाज़ा रखना अच्छा है: नतीजा 1000000 से छोटा रहने तक साधारण रूप में आता है — 99 का घन 9,70,299.000000 — और 1000000 पर या उससे ऊपर पहुँचते ही वैज्ञानिक संकेतन में बदल जाता है, जैसे 100 का घन 1.000000 × 10⁶। घनमूल एक ही वास्तविक मान देता है, वे तीनों घनमूल नहीं जो सम्मिश्र संख्याओं की विधि में होते हैं: ऋणात्मक इनपुट का वास्तविक मूल वही ऋणात्मक वाला है, और बाक़ी दो जटिल मूल यहाँ नहीं दिखाए जाते। विस्तारित रूप वाला कॉलम गुणा की लिखत है और हर भाषा में एक ही तरह लिखा जाता है — उसमें अनुवाद करने लायक कुछ है ही नहीं। नीचे की संदर्भ तालिका 1 से 12 तक स्थिर है और आपके टाइप किए हुए मान का पीछा नहीं करती; पैनल आपकी संख्या का जवाब देता है और तालिका यह दिखाती है कि जवाब पढ़ा कैसे जाता है। अगर आपको किसी बक्से का आयतन चाहिए, किसी संख्या का घन नहीं, तो किनारे की लंबाई इकाई के साथ लेने वाला पेज ही सही जगह है।

घन कैलकुलेटर वह क्या कर देता है जो सादा गुणा नहीं करता?

यह दोनों दिशाएँ एक साथ देता है और दोनों को ठीक-ठीक रखता है। 27 डालिए तो घन 19683 लौटता है और उसके बग़ल में घनमूल 3 — वह मान जिसे तीन बार गुणा करने पर 27 वापस आता। हाथ से यह दो अलग हिसाब हैं, और उनमें से मूल वाला वह है जहाँ लोग चूकते हैं।

कौन-कौन सी संख्याएँ पूर्ण घन हैं?

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331 और 1728 — यानी 1 से 12 तक पूर्ण संख्याओं के घन, जो नीचे की संदर्भ तालिका में ठीक-ठीक यही दिखते हैं। जाँच रटने की चीज़ नहीं है: संख्या डालिए और मूल देखिए। वहाँ पूर्ण संख्या मिले तो पूर्ण घन है, दशमलव मिले तो नहीं।

क्या ऋणात्मक संख्या का घन और उसका घनमूल दोनों निकाल सकते हैं?

दोनों, और जवाब दोनों बार ऋणात्मक आता है। तीन ऋणात्मक संख्याएँ गुणा होने पर ऋणात्मक बनती हैं, क्योंकि विषम गिनती में ऋण चिह्न बच जाता है, इसलिए -4 का घन -64 है और -64 का घनमूल -4। सम मूल यह नहीं कर सकता — ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या नहीं होता — और इसीलिए वर्गमूल वाला पेज ऋणात्मक मान ठुकरा देता है जबकि यह पेज नहीं।

बड़ा नतीजा वैज्ञानिक संकेतन में क्यों बदल जाता है?

क्योंकि उन्नीस अंकों की क़तार से कुछ पता नहीं चलता। 1000000 का घन 1 और उसके बाद अठारह शून्य है, और पूरा छापने पर वह पैनल पर लिपटकर फैल जाता है पर परिमाण उतना ही धुँधला रहता है। 1.000000 × 10¹⁸ लिखने पर आकार तुरंत समझ आता है। छोटे नतीजों पर यह लागू नहीं होता: 343 को 343.000000 छापा जाता है, दस की घात नहीं।

घन और घनमूल में क्या संबंध है?

एक दूसरे को उलट देते हैं। घनमूल वह मान है जिसे ख़ुद से दो बार गुणा करने पर शुरू की संख्या वापस आ जाए, इसलिए 343 का घनमूल 7 है — क्योंकि 7 × 7 × 7 = 343 — और 27 का घनमूल 3 है। इसलिए 27 लिखकर 19683 मिलने के बाद मूल कॉलम थोड़ा नीचे 3 दिखाता है: वह वही संख्या है जो आपने डाली थी, और यही जाँच यह भी बता देती है कि 27 पूर्ण घन है।

क्या किसी सम्मिश्र मान का घनमूल मिल सकता है?

इस पेज पर नहीं। यहाँ घनमूल वह एक वास्तविक मान है जिसे घन करने पर ऋणात्मक इनपुट के लिए ऋणात्मक ही नतीजा आता है, और वे दो जटिल मूल नहीं दिखाए जाते जो सम्मिश्र संख्याओं में निकलते हैं। अगर किसी सवाल में तीनों मूल चाहिए, तो वह सम्मिश्र संख्याओं की विधि का काम है, यह पेज उसके लिए नहीं बना है।

• Cube — the third power of a number, the expansion x · x · x, and why the cube of a negative stays negative — Wolfram MathWorld (United States)
• Cubic Number — the perfect cubes 1, 8, 27, 64 and the test for recognising one — Wolfram MathWorld (United States)
• Cube Root — the inverse of cubing, defined for negative inputs because the index is odd — Wolfram MathWorld (United States)