घन का आयतन कैलकुलेटर

V = s³ S = 6s²

s

भुजा की लंबाई, यानी इस आकृति को जिस एक नाप की ज़रूरत है। घन ही वह एकमात्र बक्सा है जिसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई तीनों बराबर होती हैं, इसलिए एक ही संख्या उसे पूरी तरह तय कर देती है। यह किसी इकाई के साथ भरी जाती है और हिसाब से पहले सेंटीमीटर में बदल दी जाती है, इसीलिए नतीजे हमेशा सेंटीमीटर में बताए जाते हैं, चाहे आपने किसी भी इकाई में संख्या टाइप की हो।

V

आयतन, यानी घन जितनी जगह घेरता है। यह भुजा की लंबाई का घन है, चार दशमलव स्थानों तक घन सेंटीमीटर में बताया जाता है, और पैनल पर मुख्य पाठ यही है। पूरी संख्या वाली भुजाओं पर नतीजा अनुमानित नहीं, ठीक-ठीक होता है: 5 का घन 125 है और दशमलव के बाद कुछ नहीं आता — चार स्थान उन भुजाओं के लिए हैं जो पूरी संख्या नहीं हैं।

S

कुल सतह का क्षेत्रफल, यानी छह वर्गाकार फलकों का कुल जोड़। हर फलक s² है और फलक छह हैं, इसलिए पूरा क्षेत्रफल 6s² बनता है, चार दशमलव स्थानों तक वर्ग सेंटीमीटर में। घन का हर फलक एक जैसा होता है, और यही वजह है कि सतह का क्षेत्रफल एक ही गुणा और जोड़ से निकल जाता है, अलग-अलग आयतों को जोड़ने की ज़रूरत नहीं पड़ती।

यह पेज तब उठाइए जब सामने कोई असली घन हो जिसका नाप लेना है: डिब्बा, पासा, क्रेट, सामग्री का टुकड़ा, या ऐसा टैंक जो जितना ऊँचा है उतना ही चौड़ा भी हो। जब सवाल सिर्फ़ किसी संख्या का हो — 7 का घन क्या है — तो घन वाला कैलकुलेटर वही हिसाब सादे मान पर करता है और साथ में घनमूल भी देता है, और जब आधार वर्गाकार न हो तो घनाभ के आयतन वाला पेज तीनों कोर लेता है।

1. 5 cm भुजा वाला घन

   1. आयतन भुजा का घन है: 5 × 5 = 25, फिर 25 × 5 = 125
   2. यानी घन में 125 घन सेंटीमीटर जगह है
   3. हर फलक 5 × 5 = 25 वर्ग सेंटीमीटर है
   4. छह फलक मिलकर 6 × 25 = 150 वर्ग सेंटीमीटर सतह बनाते हैं

   यहाँ दोनों पाठ ठीक-ठीक हैं, और यह ध्यान देने लायक़ है क्योंकि हर ठोस के लिए यह सच नहीं है। गोले या बेलन की त्रिज्या पूरी संख्या हो तो भी आयतन अनुमानित आता है, क्योंकि पाई अपरिमेय है; घन के साथ ऐसा कभी नहीं होता। दोनों संख्याएँ असल में दो अलग सवालों के जवाब भी हैं — 125 cm³ बताता है कि डिब्बे में कितना समाता है, और 150 cm² बताता है कि उसे बनाने में कितना गत्ता लगेगा।

2. वह भुजा जहाँ आयतन और सतह का क्षेत्रफल मिल जाते हैं

   1. आयतन: 6 × 6 = 36, फिर 36 × 6 = 216 घन सेंटीमीटर
   2. सतह का क्षेत्रफल: एक फलक 6 × 6 = 36 है, और छह मिलकर 216 वर्ग सेंटीमीटर
   3. दोनों पाठ 216 पर आते हैं, और यह संयोग नहीं है
   4. ऐसा इसलिए होता है कि s³ = 6s² हल करने पर शून्य से बड़ी हर भुजा के लिए s = 6 निकलता है

   सिर्फ़ एक ही भुजा है जिस पर दोनों संख्याएँ बराबर होती हैं, और वह 6 है। इससे नीचे सतह का क्षेत्रफल बड़ा होता है — 1 cm के घन में 1 cm³ सामान के चारों ओर 6 cm² की खाल होती है — और इससे ऊपर आयतन बहुत तेज़ी से बढ़ता है, इसीलिए घन की भुजा दुगुनी करने पर आयतन आठ गुना हो जाता है जबकि सतह का क्षेत्रफल सिर्फ़ चार गुना।

3. 10 cm का घन

   1. 10 × 10 = 100, और 100 × 10 = 1000, इसलिए आयतन 1000 घन सेंटीमीटर है
   2. यह ठीक एक लीटर है, और इसीलिए लीटर को एक घन डेसीमीटर के रूप में परिभाषित किया जाता है
   3. एक फलक 10 × 10 = 100 वर्ग सेंटीमीटर है
   4. छह फलक मिलकर 600 वर्ग सेंटीमीटर

   10 cm का घन याद रखने लायक़ है, क्योंकि यह इस पेज को साइट के हर दूसरे आयतन वाले पेज से जोड़ देता है: 1000 cm³ एक लीटर है, इसलिए जिस भी टंकी को आप लीटर में बता सकते हैं, उसे इसी आकार के घन से मिलाकर जाँचा जा सकता है। यही घन घनाभ के आयतन वाले पेज की संदर्भ तालिका में भी आता है, जहाँ तीनों कोर संयोग से बराबर हो जाते हैं।

भुजा की लंबाई 1,00,00,00,000 cm तक सीमित है (यानी 10,000 km), और ऋणात्मक नहीं हो सकती — ऋणात्मक कोर ऐसी आकृति को ऋणात्मक आयतन देगा जिसका आयतन आँखों से साफ़ दिखता है। शून्य स्वीकार किया जाता है और दोनों पाठ शून्य लौटाते हैं। नतीजों की इकाइयाँ तय हैं: आयतन हमेशा घन सेंटीमीटर में और सतह का क्षेत्रफल हमेशा वर्ग सेंटीमीटर में, चाहे इनपुट इंच या फुट में दिया गया हो। इसलिए 2 इंच का घन 8 घन इंच के बजाय 131.0965 cm³ लौटाता है। पूरी संख्या वाली भुजाओं पर दोनों पाठ ठीक-ठीक होते हैं और बाक़ी हालतों में चार दशमलव स्थानों तक सही, सिवाय बहुत बड़ी भुजाओं के: घन 2,08,064 cm पर ही 2⁵³ से बड़ा हो जाता है (2,08,063 cm तक सब ठीक रहता है), यानी उस बिंदु से आगे जहाँ हर पूर्णांक को ठीक-ठीक नहीं लिखा जा सकता, और आख़िरी अंक भरोसेमंद नहीं रहते। यहाँ सिर्फ़ आयतन और सतह का क्षेत्रफल दिया जाता है। घन का विकर्ण (s√3) नतीजों में नहीं है, और यह चूक नहीं बल्कि फ़ैसला है — इस साइट पर विकर्ण वाली गणना दो आयामों की है, यानी वर्ग और स्क्रीन वाले पेजों का विषय।

घन का आयतन कैसे निकालें?

भुजा की लंबाई का घन कीजिए, यानी उसे दो बार ख़ुद से गुणा कीजिए। 5 cm भुजा वाले घन का आयतन 5 × 5 × 5 = 125 घन सेंटीमीटर है। घन ही वह एकमात्र बक्सा है जिसे एक ही नाप चाहिए, क्योंकि परिभाषा से उसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई तीनों एक ही भुजा होती हैं।

घन की सतह का क्षेत्रफल क्या होता है?

एक फलक के क्षेत्रफल का छह गुना, यानी 6s²। 5 cm के घन का एक फलक 25 वर्ग सेंटीमीटर है, और छह फलक मिलकर 150 वर्ग सेंटीमीटर बनाते हैं। हर फलक एक जैसा होता है, इसलिए यह एक ही गुणा है — किसी बक्से की तरह अलग-अलग आयतों को जोड़ना नहीं पड़ता।

क्या कोई ऐसी भुजा है जिस पर आयतन और सतह का क्षेत्रफल एक ही संख्या हों?

हाँ, 6 — और वही एकमात्र है। 6 cm के घन का आयतन 216 घन सेंटीमीटर और सतह का क्षेत्रफल 216 वर्ग सेंटीमीटर होता है। s³ को 6s² के बराबर रखिए और s² से भाग दीजिए, तो s = 6 बचता है। इससे नीचे सतह का क्षेत्रफल बड़ा होता है और इससे ऊपर आयतन।

क्या भुजा इंच या फुट में डाल सकते हैं?

हाँ, और रूपांतरण ख़ुद हो जाता है, लेकिन पाठ हमेशा सेंटीमीटर तथा वर्ग या घन सेंटीमीटर में लौटते हैं। इस पेज पर यही एक बात ध्यान रखने लायक़ है: 2 इंच डालने पर 8 घन इंच के बजाय 131.0965 cm³ आता है, इसलिए अगर जवाब इंच-फुट में चाहिए तो नतीजे को ख़ुद बदलिए, पैनल से उम्मीद मत रखिए।

जवाब पूर्णांकित क्यों नहीं किया जाता?

क्योंकि इस आकृति में उसकी ज़रूरत ही नहीं पड़ती। आयतन s³ है और सतह का क्षेत्रफल 6s², दोनों पूर्णांक गुणांक वाले व्यंजक हैं, इसलिए पूरी संख्या वाली भुजा पूरी संख्या वाला जवाब देती है — 7 cm से 343 cm³ और 294 cm²। चार दशमलव स्थान भिन्न वाली भुजाओं के लिए हैं, जैसे आधा सेंटीमीटर वाला घन जो 0.125 cm³ पर आता है।

घन का विकर्ण नतीजों में क्यों नहीं है?

घन के तीन जाने-माने सूत्र हैं — आयतन V = s³, सतह का क्षेत्रफल S = 6s², और विकर्ण d = s√3 — और यह पेज पहले दो देता है। विकर्ण इसलिए नहीं है कि इस साइट पर विकर्ण वाली गणना दो आयामों की है: वह वर्ग और स्क्रीन वाले पेजों का विषय है।

• Cube — the regular hexahedron, its volume s³ and its surface area 6s², with all edges equal by definition — Wolfram MathWorld (United States)
• Volume — how the volume of a solid is defined and why the units come out cubed — Wolfram MathWorld (United States)
• Surface Area — the total area of a solid's boundary, and the six congruent faces of a cube — Wolfram MathWorld (United States)