सतह क्षेत्रफल कैलकुलेटर
नतीजा
कुल सतह का क्षेत्रफल
सतह क्षेत्रफल कैलकुलेटर किसी ठोस के बाहरी हिस्से का क्षेत्रफल बताता है: उसे ढकने में कितनी सामग्री लगेगी, रंगने में कितना पेंट लगेगा, पैक करने में कितना गत्ता लगेगा। आकृति चुनिए और उसके माप डालिए — गोले के लिए त्रिज्या, शंकु या बेलन के लिए त्रिज्या और ऊँचाई, आयताकार प्रिज़्म के लिए लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई — और पेज वर्ग सेंटीमीटर में एक संख्या लौटा देता है। यहाँ की चारों आकृतियाँ वही हैं जो स्कूल और कारख़ाने के लगभग हर सवाल को कवर कर लेती हैं। गोला चार π गुणा त्रिज्या का वर्ग होता है। शंकु π गुणा त्रिज्या गुणा (त्रिज्या जमा तिर्यक ऊँचाई) है, जहाँ तिर्यक ऊँचाई नोक से नीचे किनारे तक की सीधी दूरी है और त्रिज्या तथा ऊँचाई पर पाइथागोरस से निकलती है। बेलन दो π गुणा त्रिज्या गुणा (त्रिज्या जमा ऊँचाई) है, यानी दोनों गोल सिरे जमा खोलकर फैलाया हुआ बग़ल का हिस्सा। आयताकार प्रिज़्म तीन जोड़ी फलकों के योग का दुगुना है: लंबाई गुणा चौड़ाई, लंबाई गुणा ऊँचाई, चौड़ाई गुणा ऊँचाई। चार आकृतियाँ, चार सूत्र, और नीचे की संदर्भ तालिकाएँ बता देती हैं कि कौन-सा कौन-सा है। शुरू करने से पहले यह जान लेना ज़रूरी है कि चारों लंबाई वाले खाने एक साथ स्क्रीन पर रहते हैं और आकृति बदलने पर भरे हुए ही रहते हैं। यह जानबूझकर है, भूल नहीं। जो फ़ॉर्म उस आकृति से काम न लेने वाले खाने छिपा देता, उसे आपके मन बदलने के साथ-साथ खाने इधर-उधर खिसकाने पड़ते, और जो फ़ॉर्म उन्हें रखकर भी अनदेखा कर देता, वह आपके लिखे हुए आँकड़े को चुपचाप फेंक देता। इसलिए यह पेज हर खाने को उसकी जगह पर रखता है और सिर्फ़ वही पढ़ता है जो चुनी हुई आकृति को चाहिए, और यह नियम आसान है: गोला सिर्फ़ त्रिज्या पढ़ता है, शंकु और बेलन त्रिज्या और ऊँचाई पढ़ते हैं, और आयताकार प्रिज़्म लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई पढ़ता है। त्रिज्या वाला खाना प्रिज़्म नहीं पढ़ता और लंबाई तथा चौड़ाई वाले खाने बाक़ी तीनों नहीं पढ़ते, और जिस खाने को पढ़ा ही नहीं जा रहा, उसमें पड़ा आँकड़ा जवाब में कुछ नहीं बदलता। संदर्भ तालिकाएँ इसे ठोस बना देती हैं, क्योंकि उनका सूत्र वाला स्तंभ बताता है कि किस कतार में कौन-सा सूत्र लगा। एक बात और जान लेना काम की है: जवाब वर्ग सेंटीमीटर में आता है, चाहे ड्रॉपडाउन किसी भी इकाई पर हों — यह इस पूरे समूह का स्थायी नियम है और यहाँ के हर पेज पर लागू होता है।
त्रिज्या और ऊँचाई से निकलने वाले गोल ठोस
| सूत्र | त्रिज्या (cm) | ऊँचाई (cm) | कुल सतह का क्षेत्रफल (cm²) |
|---|---|---|---|
| 4πr² | 3 | — | 113.1 |
| 4πr² | 5 | — | 314.16 |
| πr(r + l) | 3 | 4 | 75.4 |
| πr(r + l) | 5 | 12 | 282.74 |
| 2πr(r + h) | 3 | 4 | 131.95 |
| 2πr(r + h) | 5 | 12 | 534.07 |
| 4πr² | 1 | — | 12.57 |
| 2πr(r + h) | 1 | 2 | 18.85 |
आठ कतारें, जो गोले, शंकु और बेलन को कवर करती हैं। पहला स्तंभ ही इस तालिका की पूरी बात है: आकृति तय हो जाने के बाद कतार पर ऐसा कुछ नहीं बचता जो बताए कि वह कौन-सा ठोस था, इसलिए आकृति के नाम की जगह सूत्र खड़ा हो जाता है। वह वह काम भी करता है जो नाम नहीं कर सकता — यह बताना कि कतार के बाक़ी दो आँकड़ों में से असल में कौन-सा इस्तेमाल हुआ: गोले की दोनों कतारों में ऊँचाई वाले स्तंभ में डैश है, क्योंकि गोले की कोई ऊँचाई होती ही नहीं और वह खाना पढ़ा ही नहीं जाता। पहली दो कतारें त्रिज्या 3 और 5 के गोले हैं, और उनके बीच का अनुपात जाँचने लायक़ है: पाँच बटा तीन का वर्ग क़रीब 2.78 होता है, और 113.1 गुणा 2.78 क़रीब 314.16, यानी दूसरी कतार। क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के साथ चलता है, त्रिज्या के साथ कभी नहीं। तीसरी कतार वह 3-4-5 शंकु है जिसकी तिर्यक ऊँचाई ठीक 5 निकलती है, और पाँचवीं कतार बेलन वाले पेज की अपनी डिफ़ॉल्ट है: त्रिज्या 3, ऊँचाई 4, सतह क्षेत्रफल 131.95, वही आँकड़ा जो वह पेज अपना कुल छापता है। चौथी कतार त्रिज्या 5 और ऊँचाई 12 का शंकु है, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 13 बैठती है और जवाब 282.74 आता है। छठी कतार उसी त्रिज्या और ऊँचाई का बेलन है, और वह 534.07 देती है — शंकु से क़रीब दुगुना, क्योंकि उसमें दोनों सिरे भी जुड़ते हैं। सातवीं कतार त्रिज्या 1 का गोला है, 12.57 वर्ग सेंटीमीटर, यानी 4π — इस तालिका का अकेला ऐसा आँकड़ा जो किसी नाप के बजाय जाना-पहचाना स्थिरांक है। आठवीं त्रिज्या 1 और ऊँचाई 2 का बेलन है, 18.85, यानी 6π। यहाँ का हर आँकड़ा पेज बनते समय उसकी त्रिज्या और ऊँचाई से दोबारा गिना जाता है, सेंटीमीटर में, और डैश जैसे हैं वैसे ही छपते हैं।
लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई से निकलने वाले आयताकार डिब्बे
| लंबाई (cm) | चौड़ाई (cm) | ऊँचाई (cm) | कुल सतह का क्षेत्रफल (cm²) |
|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 4 | 112 |
| 1 | 2 | 3 | 22 |
| 2 | 2 | 2 | 24 |
| 10 | 10 | 10 | 600 |
| 0.5 | 0.5 | 0.5 | 1.5 |
| 3 | 4 | 0 | 24 |
छह डिब्बे, और पहली कतार वही है जिसके साथ पेज खुलता है जब आयताकार प्रिज़्म चुना गया हो। दूसरी कतार सबसे छोटा पूर्णांक डिब्बा है, एक बटा दो बटा तीन, 22 वर्ग सेंटीमीटर पर — वहाँ की गिनती इतनी छोटी है कि दिमाग़ में हो जाए, इसलिए सूत्र जाँचने की कतार यही है: 2 × (2 + 3 + 6) = 22। तीसरी कतार दो सेंटीमीटर भुजा वाला घन है, 24 पर, और छठी कतार तीन बटा चार की सपाट चादर है जिसकी ऊँचाई शून्य है, वह भी 24 पर। ये दोनों इस तालिका की सबसे काम की चीज़ हैं, क्योंकि दोनों ठोस देखने में बिलकुल अलग हैं और एक ही आँकड़ा रखते हैं: घन के छह फलक चार-चार के हैं, और चादर के दो फलक बारह-बारह के तथा चार सिमटकर शून्य रह गए हैं। अकेला सतह क्षेत्रफल किसी आकृति को तय नहीं करता, और यह उसका सबसे सस्ता प्रमाण है। चौथी कतार दस सेंटीमीटर भुजा वाला घन है, 600 वर्ग सेंटीमीटर पर, यानी उस डिब्बे का नाप जिसमें काग़ज़ की एक गड्डी आती है, और पाँचवीं आधे सेंटीमीटर भुजा वाला घन है, जहाँ दशमलव मायने रखने लगते हैं। हर आँकड़ा ठीक-ठीक पूरा है, क्योंकि प्रिज़्म के सूत्र में π है ही नहीं, और छहों पेज बनते समय दोबारा गिने जाते हैं।
फ़ॉर्मूला
गोला: S = 4πr² शंकु: S = πr(r + l), l = √(r² + h²) बेलन: S = 2πr(r + h) आयताकार प्रिज़्म: S = 2(lw + lh + wh)
- आकृति
- आप किस ठोस को ढक रहे हैं। यह तय करता है कि चारों में से कौन-सा सूत्र चलेगा, और इसलिए यह भी कि नीचे के लंबाई वाले खानों में से कौन-से पढ़े जाएँगे — गोला सिर्फ़ त्रिज्या लेता है, जबकि आयताकार प्रिज़्म लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई लेता है और त्रिज्या को बिलकुल नहीं छूता
- r
- त्रिज्या, सेंटीमीटर में: गोले में उसके केंद्र से सतह तक की दूरी, या शंकु और बेलन में गोल फलक के केंद्र से उसके किनारे तक की दूरी। चारों में से तीन आकृतियाँ इसे पढ़ती हैं और आयताकार प्रिज़्म इसे छोड़ देता है
- h
- ऊँचाई, सेंटीमीटर में: आयताकार प्रिज़्म में आधार से सामने वाले फलक तक की लंबवत दूरी, या शंकु में आधार से नोक तक, या बेलन में दोनों गोल सिरों के बीच की दूरी। गोला इसे छोड़ देता है, क्योंकि उसकी कोई ऊँचाई होती ही नहीं
- l
- दो अलग चीज़ें, और यही वह जगह है जहाँ यह पेज आपसे ध्यान से पढ़ने को कहता है। शंकु के सूत्र में यह तिर्यक ऊँचाई है — नोक से किनारे तक बग़ल के रास्ते की सीधी दूरी, जो त्रिज्या और ऊँचाई से पाइथागोरस द्वारा निकलती है। प्रिज़्म के सूत्र में यह डिब्बे की लंबाई है। संदर्भ तालिका का सूत्र वाला स्तंभ बताता है कि कौन-सी कतार कौन-सी है
- lw, w और बाक़ी अक्षर
- आयताकार प्रिज़्म की तीनों नापें सेंटीमीटर में: लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई। प्रिज़्म के छह फलक हैं, तीन जोड़ियों में, और हर जोड़ी इन तीन गुणनफलों में से एक है — इसीलिए सूत्र उनके योग को दुगुना करता है, छह अलग-अलग पद जोड़ने के बजाय
- π
- वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात, लगभग 3.14159। यह चारों में से तीन सूत्रों में आता है और प्रिज़्म के सूत्र में नहीं, और यही वजह है कि डिब्बे का सतह क्षेत्रफल अक्सर ठीक-ठीक पूरा आँकड़ा होता है जबकि गोले का लगभग कभी नहीं
- वर्ग सेंटीमीटर
- जवाब की इकाई, हमेशा, चाहे ड्रॉपडाउन किसी भी इकाई पर हों। सतह क्षेत्रफल दो नापों वाली राशि है, इसलिए इकाई इनपुट की इकाई का वर्ग होती है — सेंटीमीटर में दी गई त्रिज्या वर्ग सेंटीमीटर में क्षेत्रफल देती है, और इस पेज पर कहीं तीसरी घात का कोई क़दम नहीं है
- दो दशमलव स्थान
- जवाब कितना चौड़ा लिखा जाता है। चार के बजाय दो, क्योंकि ये चीज़ों के नाप हैं, समतल के निर्देशांक नहीं: फ़ुटे से ली गई त्रिज्या तीसरे दशमलव से पहले ही उतनी ही अनिश्चित होती है
ज़्यादातर सवाल सामग्री का होता है, और आकृति ही बता देती है कि कौन-सा सूत्र चाहिए। गेंद, ग्लोब या गुब्बारा गोला है और सवाल आम तौर पर इतना होता है कि उसे ढकने में कितना कपड़ा या पेंट लगेगा। पार्टी की टोपी, फ़नल या रेत का शंक्वाकार ढेर शंकु है, और लोग जो नाप भूलते हैं वह तिर्यक ऊँचाई है — वह शंकु की ऊँचाई नहीं बल्कि उसके किनारे से नीचे की दूरी है, और त्रिज्या 3 तथा ऊँचाई 4 वाले शंकु की तिर्यक ऊँचाई ठीक 5 होती है, यानी पाइथागोरस का सबसे छोटा पूर्णांक रूप। टिन, पाइप या खंभा बेलन है, और वहाँ का सूत्र वह है जिसे रटने के बजाय निकाला जा सकता है: दो सिरे, हर एक πr² का, जमा एक बग़ल जो खुलकर 2πr चौड़ा और h ऊँचा आयत बन जाता है। डिब्बा, क्रेट या कमरा आयताकार प्रिज़्म है, और छह फलक तीन जोड़ियों में — यही पूरी बात है। एक चेतावनी चारों पर लागू होती है: सतह क्षेत्रफल और आयतन एक-दूसरे के अनुपात में नहीं बढ़ते, और हर लंबाई दुगुनी कर देने पर क्षेत्रफल चार गुना और आयतन आठ गुना हो जाता है — इसीलिए बड़ा जानवर छोटे से तेज़ी से गर्मी खोता है, और इसीलिए छोटे डिब्बे पर उसके अंदर की चीज़ के मुक़ाबले बेतुका लगने वाला गत्ता लगता है।
हल किए हुए उदाहरण
त्रिज्या 3 और ऊँचाई 4 का बेलन
- दोनों सिरे: 2 × π × 3 × 3 = 56.548667…
- खोलकर फैलाया बग़ल: 2 × π × 3 × 4 = 75.398223…
- कुल: 56.548667… + 75.398223… = 131.946891…, जो 131.95 होता है
- लंबाई और चौड़ाई वाले खाने बेलन नहीं पढ़ता, और उनमें पड़े 5 तथा 4 कुछ नहीं बदलते
वह आकृति जिसके साथ पेज खुलता है, और वह कतार जिसे बेलन वाले पेज से मिलाकर देखना बनता है — वह भी इन्हीं त्रिज्या और ऊँचाई पर कुल सतह क्षेत्रफल 131.95 लौटाता है। दो पेज, दो औज़ार, एक ही आँकड़ा — दोनों एक ही सूत्र चलाते हैं, और उनका मेल खाना ही पूरी बात है। वह जाँच जिसके लिए कैलकुलेटर की ज़रूरत नहीं: दोनों सिरे मिलकर क़रीब 28-28 के हैं और बग़ल खुलकर क़रीब 18.8 चौड़ा और 4 ऊँचा आयत बनता है, इसलिए कुल जवाब 130 से ज़रा ऊपर ही आना चाहिए।
त्रिज्या 3 और ऊँचाई 4 का शंकु
- तिर्यक ऊँचाई: √(3² + 4²) = √25 = 5
- आधार: π × 3 × 3 = 28.274333…
- बग़ल की सतह: π × 3 × 5 = 47.123889…
- कुल: 28.274333… + 47.123889… = 75.398223…, जो 75.4 होता है
3-4-5 त्रिभुज अपना रोज़ का काम करता हुआ: त्रिज्या 3 और ऊँचाई 4 पर तिर्यक ऊँचाई ठीक 5 आती है, इसलिए गिनती शुरू से आख़िर तक साफ़-सुथरी रहती है। यह वही 75.4 भी है जो बेलन वाला पेज त्रिज्या 3 और ऊँचाई 4 के लिए बग़ल की सतह के रूप में लौटाता है, और यह दो अलग ठोसों का इत्तेफ़ाक़ है, किसी साझा सूत्र का नतीजा नहीं — शंकु की बग़ल और बेलन की बग़ल दो अलग आकृतियाँ हैं जो यहाँ एक ही आँकड़े पर पहुँच जाती हैं।
त्रिज्या 3 का गोला
- चार वृत्त: 4 × π × 3 × 3 = 36π = 113.097335…
- जो 113.1 होता है
- सिर्फ़ त्रिज्या पढ़ी जाती है; ऊँचाई, लंबाई और चौड़ाई वाले खाने गोला छोड़ देता है
गोले का सतह क्षेत्रफल उसके सबसे बड़े परिच्छेद के क्षेत्रफल का ठीक चार गुना होता है, और यही उसके बारे में याद रखने लायक़ बात है — त्रिज्या 3 का वृत्त 28.27 का है, और ऐसे चार मिलकर 113.1। ऊँचाई वाले खाने में पिछली आकृति का 4 अब भी पड़ा है और पेज उस पर ध्यान नहीं देता, यही वह बर्ताव है जो शुरू में बताया गया है और इसीलिए बताया गया है।
5 × 4 × 4 का आयताकार प्रिज़्म
- ऊपर और नीचे: 2 × 5 × 4 = 40
- आगे और पीछे: 2 × 5 × 4 = 40
- दोनों बाजू: 2 × 4 × 4 = 32
- कुल: 40 + 40 + 32 = 112 वर्ग सेंटीमीटर, जो ठीक-ठीक पूरा है
चारों में अकेली आकृति जिसका जवाब आम तौर पर ठीक-ठीक पूरा आता है, और अकेली जो त्रिज्या को छोड़ देती है। यहाँ लंबाई और ऊँचाई संयोग से बराबर हैं, इसलिए तीन जोड़ियों में से दो एक ही नाप की हैं और जोड़ पीछा करने में आसान रहता है: 40, 40 और 32। त्रिज्या वाले खाने में पड़ा 3 किसी काम का नहीं है।
2 × 2 × 2 का घन, और 3 × 4 × 0 का प्रिज़्म
- ऊपर और नीचे: 2 × 3 × 4 = 24
- आगे और पीछे: 2 × 3 × 0 = 0
- दोनों बाजू: 2 × 4 × 0 = 0
- कुल: 24 वर्ग सेंटीमीटर
इन दोनों को साथ देखिए, क्योंकि दो सेंटीमीटर भुजा वाला घन और तीन बटा चार की सपाट चादर, दोनों 24 वर्ग सेंटीमीटर पर आते हैं। घन 2 × 2 × 2 है और 2 × (4 + 4 + 4) = 24 देता है; दूसरे की ऊँचाई शून्य है, इसलिए उसके छह फलकों में से चार शून्य में सिमट गए और जो बचे वे ऊपर तथा नीचे वाले हैं। एक ही आँकड़ा, बिलकुल अलग ठोस, और याद दिलाता है कि अकेला सतह क्षेत्रफल किसी आकृति को तय नहीं करता।
सीमाएँ
जवाब हमेशा वर्ग सेंटीमीटर में आता है, चाहे ड्रॉपडाउन किसी भी इकाई पर हों। इंच चुनने से सिर्फ़ यह बदलता है कि आपके आँकड़े भीतर आते समय कैसे समझे जाएँ, जवाब दिखने का तरीक़ा नहीं बदलता। चारों लंबाई वाले खाने हर आकृति पर स्क्रीन पर रहते हैं, और जिन्हें चुनी हुई आकृति नहीं पढ़ती वे हटाए नहीं जाते बल्कि अनदेखे किए जाते हैं, इसलिए गोले से बचा हुआ त्रिज्या का आँकड़ा डिब्बे के जवाब में कुछ नहीं बदलता। पेज आपको यह भी नहीं रोकेगा कि आप कोई खाना पिछली आकृति के लायक़ मान पर छोड़ दें, और यह भी नहीं बताएगा कि उसने उसे पढ़ा ही नहीं। संदर्भ तालिकाओं का सूत्र वाला स्तंभ इस पेज की अकेली जगह है जो बताती है कि किस कतार में कौन-से आँकड़े गए, इसीलिए वह वहाँ है। दो दशमलव स्थान लिखने की चौड़ाई है, परिशुद्धता का दावा नहीं। शंकु का सतह क्षेत्रफल तिर्यक ऊँचाई लेता है, लंबवत ऊँचाई नहीं, और पेज वह तिर्यक ऊँचाई ख़ुद त्रिज्या तथा ऊँचाई से निकालता है — इसलिए ऐसा शंकु जिसे उसकी ढलवाँ भुजा के साथ नापा गया हो, वैसे ही दर्ज नहीं किया जा सकता। इस साइट पर बेलन और शंकु के अपने पेज भी कुछ इन्हीं इनपुट पर आँकड़े लौटाते हैं, और वे इस पेज से मेल खाते हैं क्योंकि तीनों एक ही सूत्र चलाते हैं — मेल न खाना राय का फ़र्क़ नहीं, गड़बड़ होगी। यहाँ इन चारों के सिवा किसी और आकृति, खुले बर्तन जिसके सिरे न हों, या बीच में छेद वाले ठोस का कोई हिसाब नहीं है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
- हर आकृति असल में कौन-से खाने पढ़ती है?
- गोला सिर्फ़ त्रिज्या पढ़ता है, और कुछ नहीं। शंकु और बेलन त्रिज्या तथा ऊँचाई पढ़ते हैं। आयताकार प्रिज़्म लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई पढ़ता है और त्रिज्या को छोड़ देता है। हर खाना स्क्रीन पर बना रहता है और उसमें पड़ा आँकड़ा वैसे ही रहता है, इसलिए पहले देखी गई किसी आकृति से बचा हुआ आँकड़ा कुछ नहीं करता। संदर्भ तालिकाओं का सूत्र वाला स्तंभ सबसे तेज़ तरीक़ा है यह देखने का कि किसी कतार में कौन-से आँकड़े गए।
- तिर्यक ऊँचाई क्या है और उसे कैसे नापूँ?
- यह शंकु की नोक से नीचे उसके किनारे तक की सीधी दूरी है, और जब तक शंकु चपटा न हो, यह लंबवत ऊँचाई से लंबी होती है। इसे नापना ज़रूरी नहीं: पेज इसे त्रिज्या और ऊँचाई से पाइथागोरस लगाकर निकाल लेता है, क्योंकि त्रिज्या, ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। त्रिज्या 3 और ऊँचाई 4 वाले शंकु की तिर्यक ऊँचाई ठीक 5 होती है।
- जब मैंने इंच में लिखा तो जवाब वर्ग सेंटीमीटर में क्यों आया?
- क्योंकि जवाब एक तय इकाई, वर्ग सेंटीमीटर, में दिया जाता है ताकि नतीजे का पैनल और उसके नीचे की संदर्भ तालिकाएँ हमेशा एक-दूसरे से मेल खाएँ। ड्रॉपडाउन यह बदलते हैं कि भीतर आते समय आपके नाप कैसे समझे जाएँ, यह नहीं कि जवाब कैसे लिखा जाए। बदलने के लिए नतीजे को 6.4516 से भाग दीजिए और वर्ग इंच मिल जाएँगे — या बदलाव गुणक का वर्ग कीजिए, क्योंकि क्षेत्रफल लंबाई के वर्ग के साथ बदलता है।
- 2 सेंटीमीटर भुजा वाले घन का सतह क्षेत्रफल 3 × 4 की चादर जितना क्यों है?
- क्योंकि दोनों 24 वर्ग सेंटीमीटर पर आते हैं, और इसमें इससे ज़्यादा कुछ नहीं है: घन के छह फलक हैं, हर एक 4 का, और सपाट चादर के दो फलक 12-12 के हैं तथा चार उसकी ऊँचाई शून्य होने की वजह से सिमटकर कुछ नहीं रहे। अकेला सतह क्षेत्रफल किसी आकृति की पहचान नहीं करता, और दूसरा ठोस वह अपवाद है जिसे पेज ख़ुशी से गिन लेता है, कोई ग़लती नहीं।
- क्या बेलन और शंकु वाले पेज इसी जैसे जवाब देते हैं?
- जहाँ आँकड़े एक-दूसरे पर पड़ते हैं, वहाँ हाँ, और यह जानबूझकर है, संयोग नहीं — तीनों पेज एक ही सूत्र चलाते हैं। त्रिज्या 3 और ऊँचाई 4 वाले बेलन का कुल सतह क्षेत्रफल यहाँ 131.95 है, और बेलन वाला पेज भी अपना कुल सतह क्षेत्रफल वही 131.95 छापता है, क्योंकि दोनों उन्हीं दो सिरों को उसी खुले हुए बग़ल में जोड़ते हैं।
- क्या मैं निकाल सकता हूँ कि कितना पेंट या लपेटने की सामग्री चाहिए?
- हाँ, बंद ठोस के लिए, और यही इस पेज का सबसे आम इस्तेमाल है। दो बातें ध्यान में रखिए: जवाब पूरी बाहरी सतह का है, इसलिए खुले बर्तन में से एक फलक घटाना पड़ेगा; और यह आँकड़ा ओवरलैप, बरबादी या मोटाई का हिसाब नहीं रखता, इसलिए काम का अंदाज़ा जोड़कर ऊपर की ओर गोल करना बनता है। क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर में है, तो वर्ग मीटर के लिए दस हज़ार से भाग दीजिए।
संदर्भ
- Surface area — the area of the boundary of a solid, with the formulas for the sphere, the cone, the cylinder and the rectangular prism that this page implements — Wolfram MathWorld (United States)
- Cone — the solid whose lateral surface unrolls into a sector, and whose slant height is the hypotenuse of the right triangle formed by the radius and the height — Wolfram MathWorld (United States)
- Sphere — the surface at a fixed distance from a centre, whose area is exactly four times that of its great circle, the relation the sphere formula here states — Wolfram MathWorld (United States)