आयतन में तीन से भाग क्यों दिया जाता है?

क्योंकि शंकु में उसी आधार और उसी ऊँचाई वाले बेलन का ठीक एक तिहाई समाता है। आधार का क्षेत्रफल लीजिए, ऊँचाई से गुणा कीजिए, और आपके पास उस बेलन का आयतन आ जाता है; शंकु उसका एक तिहाई है। यही रिश्ता पिरामिड और उस प्रिज़्म के बीच भी है जिसमें वह बैठता। यह इस हिसाब में सबसे ज़्यादा भूला जाने वाला गुणक है — तीन गुना बड़ा आया कोई भी नतीजा लगभग हमेशा भाग देने की चूक होता है, जोड़-घटाव की ग़लती नहीं।

क्या ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई एक ही हैं?

नहीं, और यही ग़लती यह आकार सबसे ज़्यादा करवाता है। ऊँचाई आधार के केंद्र से सीधे ऊपर शिखर तक नापी जाती है। तिर्यक ऊँचाई सतह के साथ नापी जाती है, शिखर से नीचे धार तक, इसलिए वह त्रिज्या, ऊँचाई और किनारे से बने त्रिभुज का कर्ण है और बाक़ी दोनों में से हर एक से हमेशा लंबी होती है। आयतन ऊँचाई इस्तेमाल करता है। पार्श्व सतह का क्षेत्रफल तिर्यक ऊँचाई इस्तेमाल करता है। इन दोनों को मिला देने पर जवाब उतने गुणक से ग़लत आता है जितना शंकु ऊँचा है, और पेज इसे पकड़ नहीं सकता।

तिर्यक ऊँचाई कैसे निकालें?

वह त्रिज्या के वर्ग जमा ऊँचाई के वर्ग का वर्गमूल है, यानी शंकु के किनारे वाले त्रिभुज पर लगाया गया पाइथागोरस प्रमेय। त्रिज्या तीन और ऊँचाई चार से तिर्यक ऊँचाई ठीक पाँच आती है, और इसीलिए पेज इन्हीं संख्याओं के साथ खुलता है: हर क़दम दिमाग़ में जाँचा जा सकता है। ज़्यादातर जोड़ियाँ इतनी सुथरी नहीं बैठतीं, और तब तिर्यक ऊँचाई दो दशमलव तक पूरी की हुई अपरिमेय संख्या होती है।

कुल सतह का क्षेत्रफल पार्श्व सतह जमा आधार ही क्यों नहीं है?

ठीक-ठीक हिसाब में वह है भी, और पेज दो अलग-अलग पूरी की हुई राशियाँ जोड़ने के बजाय मिला हुआ रूप πr(l + r) इस्तेमाल करता है। फ़र्क़ छपे हुए अंकों में दिखता है: पार्श्व क्षेत्रफल आपके देखने तक दो दशमलव तक पूरा किया जा चुका होता है, इसलिए उसे आधार के क्षेत्रफल में ख़ुद जोड़ने पर जवाब पेज के जवाब से सौवें हिस्से जितना हट सकता है। पेज का आँकड़ा त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई से एक ही क़दम में निकाला गया है, और भरोसा उसी पर कीजिए।

मैंने इंच में डाला तो जवाब सेंटीमीटर में क्यों आया?

क्योंकि यह पेज ड्रॉपडाउन चाहे जिस पर हों, सब कुछ सेंटीमीटर, वर्ग सेंटीमीटर और घन सेंटीमीटर में ही बताता है, ताकि नतीजे और उनके नीचे की तुलना तालिका हमेशा एक-दूसरे से मेल खाएँ। ड्रॉपडाउन यह बदलता है कि आपकी संख्या भीतर आते वक़्त कैसे समझी जाए। बदलना हो तो लंबाई को 2.54 से, क्षेत्रफलों को 6.4516 से और आयतन को 16.3871 से भाग दीजिए; या बदलाव आख़िर तक टालकर जवाब की इकाई बदल दीजिए, जो आम तौर पर कम मेहनत का काम है।

क्या त्रिज्या या ऊँचाई शून्य हो सकती है?

हाँ, और दोनों ख़ाली के बजाय असली जवाब देती हैं। ऊँचाई शून्य करने पर शंकु दबकर चक्र बन जाता है: आयतन शून्य है क्योंकि आधार के ऊपर कुछ है ही नहीं, पर घूमी हुई सतह बस दूसरा चक्र बन गई है, इसलिए पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार के बराबर हो जाता है और कुल सतह का क्षेत्रफल उसका दुगुना। त्रिज्या शून्य करने पर शंकु सिकुड़कर खड़ा रेखाखंड रह जाता है: आयतन और दोनों क्षेत्रफल शून्य, जबकि तिर्यक ऊँचाई ऊँचाई के बराबर हो जाती है। दोनों शून्य करने पर हर जगह शून्य आता है।

शंकु आयतन कैलकुलेटर

नतीजा

37.70 cm³

आयतन

तिर्यक ऊँचाई: 5.00 cm
पार्श्व सतह का क्षेत्रफल: 47.12 cm²
कुल सतह का क्षेत्रफल: 75.40 cm²

शंकु आयतन कैलकुलेटर वे दो संख्याएँ लेता है जो एक शंकु को तय कर देती हैं — आधार की त्रिज्या और उसकी ऊँचाई — और आयतन के साथ वे तीन नाप भी देता है जो आम तौर पर उसी वक़्त चाहिए होती हैं: किनारे से नीचे जाती तिर्यक ऊँचाई, घूमी हुई सतह का क्षेत्रफल, और आधार समेत कुल सतह का क्षेत्रफल। शंकु वह आकार है जो किसी वृत्त को लेकर उसका केंद्र तल से ऊपर खींचने पर बनता है, और इन दो संख्याओं से उस खिंचाव का पूरा हिसाब हो जाता है: आधार की त्रिज्या बताती है कि वृत्त कितना चौड़ा है, और ऊँचाई बताती है कि शिखर कितना ऊपर उठाया गया है। इनमें से कोई एक बदलिए तो शंकु दूसरा हो जाता है, इसीलिए दोनों ख़ाने भरना ज़रूरी है और इसीलिए कोई ख़ाना ख़ाली होने पर नतीजों की जगह शिकायत के बजाय सुन्न पड़ी रहती है। आयतन आधार के क्षेत्रफल गुणा ऊँचाई का एक तिहाई है। यह एक तिहाई ही असली दिलचस्प हिस्सा है। वृत्ताकार आधार वाला शंकु और उसी आधार तथा उसी ऊँचाई वाला बेलन सबसे सीधे रिश्ते में हैं: शंकु में बेलन का ठीक एक तिहाई समाता है। यही बात पिरामिड और उसके प्रिज़्म पर भी लागू होती है। किसी भी ठोस को देखकर यह साफ़ नहीं लगता, और जब पहली बार साबित हुआ तो यह असली खोज थी — मैथवर्ल्ड इसे यूडॉक्सस तक ले जाता है, और बाद में आर्किमिडीज़ तथा यूक्लिड ने एलिमेंट्स की बारहवीं पुस्तक में इसके प्रमाण दिए। चार में से तीन जवाब ऐसी संख्याओं पर टिके हैं जो कभी ख़त्म नहीं होतीं। आयतन, पार्श्व सतह का क्षेत्रफल और कुल सतह का क्षेत्रफल — तीनों में π लगा है, इसलिए जो नतीजा ठीक-ठीक बैठ जाए वह अपवाद है, और स्क्रीन पर दिखते दो दशमलव वह जगह हैं जहाँ अंक रुकते हैं, जहाँ संख्या रुकती है वह नहीं। चौथा अलग है: तिर्यक ऊँचाई शिखर से किनारे के साथ नीचे आधार की धार तक की सीधी दूरी है, यानी वह उस समकोण त्रिभुज का कर्ण है जिसकी भुजाएँ त्रिज्या और ऊँचाई हैं, और वह तभी ठीक बैठती है जब ये दोनों कोई पूर्ण-संख्या त्रिक बनाएँ — पेज तीन और चार के साथ खुलता है, जिनसे तिर्यक ऊँचाई ठीक पाँच आती है। इसीलिए डिफ़ॉल्ट इनपुट ही वह नाप है जिस पर पूरे पेज की जाँच की जा सकती है, क्योंकि उसका हर क़दम दिमाग़ में हो सकता है। जवाबों के बारे में दो बातें इस्तेमाल से पहले जान लेना अच्छा है। सब कुछ सेंटीमीटर, वर्ग सेंटीमीटर और घन सेंटीमीटर में बताया जाता है, चाहे दोनों इनपुट के बग़ल वाले ड्रॉपडाउन में कोई भी इकाई चुनी हो; वे ड्रॉपडाउन यह तय करते हैं कि आपकी संख्याएँ भीतर आते वक़्त कैसे पढ़ी जाएँ, और जवाब कैसे लिखा जाएगा उससे उनका कोई लेना-देना नहीं। और जवाब आपकी त्रिज्या तथा ऊँचाई से सीधे निकाले जाते हैं, एक-दूसरे से कभी नहीं, इसलिए कुल सतह का क्षेत्रफल पार्श्व सतह का क्षेत्रफल जमा आधार नहीं है — वह वही सूत्र है जो एक ही क़दम में हल किया गया है, और जो पाठक स्क्रीन पर छपे पार्श्व क्षेत्रफल से उसे दोबारा जोड़ेगा उसे आख़िरी अंक में फ़र्क़ मिल सकता है।

आम शंकु, और उनसे निकलने वाली नापें

त्रिज्या (cm)	ऊँचाई (cm)	आयतन (cm³)	तिर्यक ऊँचाई (cm)	पार्श्व सतह का क्षेत्रफल (cm²)	कुल सतह का क्षेत्रफल (cm²)
5	12	314.16	13	204.2	282.74
3	4	37.7	5	47.12	75.4
6	8	301.59	10	188.5	301.59
10	10	1047.2	14.14	444.29	758.45
2	6	25.13	6.32	39.74	52.3
7.5	20	1178.1	21.36	503.28	680
1	1	1.05	1.41	4.44	7.58
1	2	2.09	2.24	7.02	10.17

आठ शंकु, पहले दो कॉलम में दो इनपुट और उनके बाद चारों जवाब। दूसरी पंक्ति वह इनपुट है जिसके साथ पेज खुलता है — त्रिज्या तीन, ऊँचाई चार — और शुरुआत यहीं से करनी चाहिए, क्योंकि तीन और चार से तिर्यक ऊँचाई ठीक पाँच आती है और उसका हर आँकड़ा हाथ से जाँचा जा सकता है। पहली पंक्ति वही पूर्ण-संख्या त्रिक बड़े पैमाने पर है, पाँच और बारह से तिर्यक ऊँचाई तेरह और आयतन करीब तीन सौ चौदह घन सेंटीमीटर — यानी एक लीटर का करीब तीसरा हिस्सा। तीसरी पंक्ति वह है जिसे लोग ग़लती बताकर भेजते हैं: उसका आयतन और उसका कुल सतह क्षेत्रफल दोनों 301.59 हैं, जो उन नापों का असली संयोग है, दोहराया हुआ कॉलम नहीं — आयतन 96π बैठता है और कुल सतह क्षेत्रफल भी 96π, और ये दो अलग तरह की राशियाँ हैं, घन सेंटीमीटर बनाम वर्ग सेंटीमीटर। चौथी पंक्ति में त्रिज्या और ऊँचाई बराबर हैं, जिससे तिर्यक ऊँचाई त्रिज्या गुणा दो का वर्गमूल बन जाती है और यह उस आम मामले की मिसाल है जिसमें जवाब कभी ख़त्म नहीं होता। पाँचवीं पंक्ति ऊँचा-पतला शंकु है और छठी भिन्न त्रिज्या वाला चौड़ा शंकु, और दोनों की तिर्यक ऊँचाइयाँ अपरिमेय हैं, जो 6.32 और 21.36 पर पूरी होती हैं। सातवीं पंक्ति त्रिज्या एक और ऊँचाई एक का छोटा शंकु है, जिसका आयतन मुश्किल से एक घन सेंटीमीटर का है। आठवीं में वही त्रिज्या है और ऊँचाई दुगुनी, जिससे आयतन दुगुना हो जाता है पर पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ऐसे गुणक से बदलता है जो दो नहीं है — यह देख लेना काम का है, क्योंकि इससे पता चलता है कि किसी एक नाप को दुगुना करने से घूमी हुई सतह दुगुनी नहीं होती। चारों जवाब पेज बनते समय त्रिज्या और ऊँचाई से दोबारा निकाले जाते हैं, और चारों सेंटीमीटर में हैं।

फ़ॉर्मूला

V = πr²h ÷ 3 l = √(r² + h²) पार्श्व सतह का क्षेत्रफल = πrl कुल सतह का क्षेत्रफल = πr(l + r)

r: वृत्ताकार आधार की त्रिज्या, सेंटीमीटर में। भरना ज़रूरी है, और शून्य भी जायज़ है: त्रिज्या शून्य वाला शंकु एक बिंदु पर खड़ा खड़ा रेखाखंड है
h: आधार के केंद्र से सीधे ऊपर शिखर तक की लंबवत ऊँचाई, सेंटीमीटर में। भरना ज़रूरी है, और यह तिर्यक ऊँचाई नहीं है — उस विकृत शंकु को छोड़कर, जिसकी ऊँचाई शून्य है, हर शंकु पर ये दो अलग संख्याएँ होती हैं
l: तिर्यक ऊँचाई, यानी शिखर से किनारे के साथ नीचे धार तक की दूरी। वह त्रिज्या, ऊँचाई और किनारे से बने त्रिभुज का कर्ण है, इसलिए इन दोनों में से हर एक से हमेशा लंबी होती है। चारों आउटपुट में यह अकेली है जो नियमित रूप से ठीक-ठीक बैठती है, क्योंकि पूर्ण-संख्या त्रिज्या और ऊँचाई से पूर्ण-संख्या तिर्यक ऊँचाई निकल सकती है
V: आयतन, घन सेंटीमीटर में, यानी आधार का क्षेत्रफल गुणा ऊँचाई का एक तिहाई। यही एक तिहाई इस पेज और बेलन वाले पेज के बीच का पूरा फ़र्क़ है, जहाँ यही व्यंजक बिना किसी भाजक के लिखा जाता है
पार्श्व सतह का क्षेत्रफल: सिर्फ़ घूमी हुई सतह का क्षेत्रफल, यानी π गुणा त्रिज्या गुणा तिर्यक ऊँचाई। इसमें आधार नहीं जुड़ता। ध्यान दीजिए कि इसमें तिर्यक ऊँचाई लगती है, ऊँचाई नहीं — इस आकार पर सबसे ज़्यादा यही ग़लत जगह रखी जाती है
कुल सतह का क्षेत्रफल: घूमी हुई सतह जमा वृत्ताकार आधार, जो सरल होकर π गुणा त्रिज्या गुणा (तिर्यक ऊँचाई जमा त्रिज्या) बन जाता है। यह त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई से एक ही क़दम में निकाला जाता है, दोनों क्षेत्रफल जोड़कर नहीं, इसलिए यह हमेशा स्क्रीन पर दिखते पार्श्व क्षेत्रफल जमा πr² नहीं होता
दो दशमलव: हर आउटपुट कितनी चौड़ाई में लिखा जाता है। लगभग हर इनपुट पर आयतन और दोनों क्षेत्रफल अपरिमेय होते हैं; तिर्यक ऊँचाई तब ठीक बैठती है जब त्रिज्या और ऊँचाई कोई पाइथागोरस त्रिक बनाएँ, और इसीलिए पेज के डिफ़ॉल्ट मानों पर आख़िर में शून्य लगे दिखते हैं

सीधे-सीधे वे काम सबसे पहले आते हैं जिनमें शंकु सामने रखा हो और उसके बारे में कोई संख्या चाहिए। रेत या अनाज का शंक्वाकार ढेर, जिसमें आप आधार की चौड़ाई और ऊँचाई नाप सकते हैं पर तिर्यक ऊँचाई सामग्री के भीतर दबी रहती है — और साइट पर रेत का हिसाब आयतन से ही बिकता है, इसलिए ढेर की चौड़ाई और ऊँचाई से उसका आयतन निकालना रोज़ का काम है। शंक्वाकार छत या मंदिर का शिखर, जहाँ ढलवाँ सतह ही ढकी जानी होती है और तिर्यक ऊँचाई वही संख्या है जिस पर ताँबा या पन्नी का दाम लगता है। फनल, हॉपर, कागज़ का कप, पार्टी की टोपी — आयतन बताता है कि वह कितना समेटेगा और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल बताता है कि उसे बनाने में कितनी सामग्री लगेगी, और ये एक ही पेज पर दो अलग सवाल हैं जिनके दो अलग जवाब हैं। तीसरा सवाल तुलना का है। बर्तनों और भंडारण में शंकु और बेलन के बीच चुनना असली फ़ैसला होता है, और तुलना हमेशा वही तीन का पहाड़ा है: उसी आधार और उसी ऊँचाई वाले बेलन में ठीक तीन गुना समाता है, इसलिए दिए हुए फ़र्श वाला शंक्वाकार हॉपर बेलनाकार के एक तिहाई जितना समेटता है। दो आदतें साथ ले जाने लायक़ हैं। किनारे वाले त्रिभुज की तीनों लंबाइयों में तिर्यक ऊँचाई हमेशा सबसे बड़ी होती है, इसलिए अगर तिर्यक ऊँचाई ऊँचाई से छोटी निकले तो समझिए कि दोनों ख़ाने उलटे भर दिए गए — तिर्यक ऊँचाई वह है जो आप बाहर से फ़ीता लगाकर नापेंगे, और वह छोटी हो ही नहीं सकती। और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल हमेशा कुल सतह के क्षेत्रफल से कम होता है, क्योंकि कुल में पार्श्व के ऊपर आधार भी जुड़ता है, इसलिए कुल को पार्श्व से छोटा देखना इस बात का संकेत है कि कहीं जोड़ने के बजाय घटा दिया गया।

हल किए हुए उदाहरण

त्रिज्या तीन और ऊँचाई चार
1. तिर्यक ऊँचाई: √(3² + 4²) = √25 = 5
2. आयतन: π × 3² × 4 ÷ 3 = π × 36 ÷ 3 = 12π = 37.6991…, जो पूरा करने पर 37.70 होता है
3. पार्श्व सतह का क्षेत्रफल: π × 3 × 5 = 15π = 47.1239…, जो पूरा करने पर 47.12 होता है
4. कुल सतह का क्षेत्रफल: π × 3 × (5 + 3) = 24π = 75.3982…, जो पूरा करने पर 75.40 होता है
यही वह इनपुट है जिसके साथ पेज खुलता है, और इस पूरे सेट में अकेला यही है जिसका हर क़दम दिमाग़ में हो सकता है: तीन और चार से कर्ण ठीक पाँच आता है, इसलिए तिर्यक ऊँचाई पूर्ण संख्या है और दोनों क्षेत्रफल π के पूरे गुणज। आयतन का हिसाब देखिए — आधार का क्षेत्रफल नौ π है और उसका तिहाई गुणा चार बारह π, इसीलिए जवाब सौ से थोड़ा ऊपर के बजाय अड़तीस से थोड़ा कम आता है। इस नाप का शंकु करीब अड़तीस मिलीलीटर समेटता है, और जब कोई नतीजा तीन गुना ग़लत लगे तो यह जानना काम आता है।
त्रिज्या पाँच और ऊँचाई बारह
1. तिर्यक ऊँचाई: √(25 + 144) = √169 = 13
2. आयतन: π × 25 × 12 ÷ 3 = 100π = 314.1592…, जो पूरा करने पर 314.16 होता है
3. पार्श्व सतह का क्षेत्रफल: π × 5 × 13 = 65π = 204.2035…, जो पूरा करने पर 204.20 होता है
4. कुल सतह का क्षेत्रफल: π × 5 × (13 + 5) = 90π = 282.7433…, जो पूरा करने पर 282.74 होता है
दूसरा जाना-माना पूर्ण-संख्या त्रिक, और डिफ़ॉल्ट से ऊँचा तथा पतला शंकु। देखिए कि आयतन किसी सुथरी संख्या के कितना क़रीब है: सौ π यानी 314.16 घन सेंटीमीटर, जो एक लीटर का करीब तीसरा हिस्सा है — 314 मिलीलीटर। सेंटीमीटर में काम करते वक़्त इस तरह के संयोग को जाँच के तौर पर इस्तेमाल करना ठीक है: सौ π घन सेंटीमीटर का मतलब है एक-एक सेंटीमीटर के सौ घनों का आयतन, फिर π से गुणा, इसलिए स्क्रीन पर तीन सौ के थोड़ा ऊपर की संख्या आनी चाहिए — और लीटर में पूछा जाए तो एक हज़ार से भाग देकर करीब 0.314 लीटर।
त्रिज्या छह और ऊँचाई आठ, जहाँ दो जवाब एक हो जाते हैं
1. तिर्यक ऊँचाई: √(36 + 64) = √100 = 10
2. आयतन: π × 36 × 8 ÷ 3 = 96π = 301.5928…, जो पूरा करने पर 301.59 होता है
3. पार्श्व सतह का क्षेत्रफल: π × 6 × 10 = 60π = 188.4955…, जो पूरा करने पर 188.50 होता है
4. कुल सतह का क्षेत्रफल: π × 6 × (10 + 6) = 96π = 301.5928…, जो पूरा करने पर 301.59 होता है
नीचे की तालिका की वह पंक्ति जिसे लोग ग़लती समझकर बताते हैं। आयतन और कुल सतह का क्षेत्रफल एक ही संख्या हैं, 301.59, और यह हिसाब है, दोहराया हुआ कॉलम नहीं: आयतन 96π बैठता है और कुल सतह का क्षेत्रफल भी 96π बैठता है, क्योंकि दस की तिर्यक ऊँचाई पर πr(l + r) वाला व्यंजक π × 6 × 16 बन जाता है, जो आयतन वाले भाग का वही छियानवे π है। दोनों एक ही तरह की राशि नहीं हैं — एक घन सेंटीमीटर है और दूसरा वर्ग सेंटीमीटर — इसलिए यह संयोग सिर्फ़ अंकों का है, और कहीं और का नहीं। ऐसा इसलिए हुआ कि इस ख़ास शंकु की तिर्यक ऊँचाई दस निकली और उसकी त्रिज्या तथा ऊँचाई एक त्रिक बनाती हैं; यह कोई नियम नहीं है और बग़ल की पंक्तियों में यह नहीं दोहराता।
त्रिज्या और ऊँचाई बराबर
1. तिर्यक ऊँचाई: √(100 + 100) = √200 = 14.1421…, जो पूरा करने पर 14.14 होता है
2. आयतन: π × 100 × 10 ÷ 3 = 1000π ÷ 3 = 1047.1975…, जो पूरा करने पर 1047.20 होता है
3. पार्श्व सतह का क्षेत्रफल: π × 10 × 14.14214 = 444.2883…, जो पूरा करने पर 444.29 होता है
4. कुल सतह का क्षेत्रफल: π × 10 × (14.14214 + 10) = 758.4479…, जो पूरा करने पर 758.45 होता है
ऐसा शंकु जितना ऊँचा है उतना ही आधार की त्रिज्या में चौड़ा, जिससे किनारे वाला त्रिभुज समद्विबाहु हो जाता है और तिर्यक ऊँचाई ठीक त्रिज्या गुणा दो का वर्गमूल बनती है। वह वर्गमूल अपरिमेय है, इसलिए यह आम मामला है: ऐसी तिर्यक ऊँचाई जो कभी ख़त्म नहीं होती, और उसके पीछे-पीछे दोनों क्षेत्रफल। यही वह मामला भी है जिसमें आयतन का सूत्र पढ़ने में सबसे आसान है — हज़ार π बटा तीन — और जिसमें तीन से भाग भूल चुका पाठक 3141.59 पर जा उतरेगा, यानी ठीक तीन गुना ज़्यादा। इस पेज पर तीन का यही गुणक सबसे आम ग़लती है।
ऊँचाई शून्य
1. तिर्यक ऊँचाई: √(16 + 0) = 4, जो त्रिज्या के बराबर है, क्योंकि शिखर ज़रा भी ऊपर नहीं उठाया गया
2. आयतन: π × 16 × 0 ÷ 3 = 0, क्योंकि उसे देने के लिए कोई ऊँचाई ही नहीं है
3. पार्श्व सतह का क्षेत्रफल: π × 4 × 4 = 16π = 50.2655…, जो पूरा करने पर 50.27 होता है
4. कुल सतह का क्षेत्रफल: π × 4 × (4 + 4) = 32π = 100.5310…, जो पूरा करने पर 100.53 होता है
जायज़ इनपुट, और नतीजा चौंकाने वाला: आयतन शून्य है और बाक़ी तीनों जवाब शून्य नहीं। शून्य ऊँचाई वाला शंकु एक सपाट चक्र है — आधार के ऊपर कुछ है ही नहीं, इसलिए वह कुछ नहीं समेटता, पर उसकी घूमी हुई सतह ग़ायब नहीं हुई, वह दबकर आधार जितना ही दूसरा चक्र बन गई है, और दोनों फलकों का कुल क्षेत्रफल अकेले चक्र का दुगुना है। यह एक बार देख लेना काम का है, क्योंकि शून्य आयतन के बग़ल में तीन ग़ैर-शून्य जवाब अधूरे हिसाब जैसे लगते हैं, हैं नहीं। यही वह इनपुट है जो ऊपर बताई गई छोटी राह पकड़ लेता है: यहाँ कुल सतह का क्षेत्रफल πr² + πr² है, यानी पार्श्व क्षेत्रफल का ठीक दुगुना, और जो पेज दोनों क्षेत्रफल जोड़कर कुल निकालता वह इस पंक्ति पर वही जवाब देता और पहली पंक्ति पर दूसरा।

सीमाएँ

हर आउटपुट सेंटीमीटर, वर्ग सेंटीमीटर और घन सेंटीमीटर में ही आता है, चाहे इनपुट के ड्रॉपडाउन किस पर हों। इंच चुनने से यह बदलता है कि आपकी संख्याएँ भीतर आते वक़्त कैसे पढ़ी जाएँ, नतीजों से उसका कोई लेना-देना नहीं, इसलिए चार इंच गुणा छह इंच डाला गया शंकु घन सेंटीमीटर वाला आयतन लौटाता है। यह जान-बूझकर ऐसा है और नीचे की तुलना तालिका भी यही चलन अपनाती है, पर इसका मतलब यह है कि अगर जवाब उसी इकाई में चाहिए जो आपने डाली थी तो उसे बदलना पड़ेगा। आयतन घन सेंटीमीटर में बताया जाता है, लीटर या मिलीलीटर में नहीं, जो उसी विमा की दूसरी इकाई है; लीटर चाहिए तो हज़ार से भाग दीजिए, और मिलीलीटर चाहिए तो जितने घन सेंटीमीटर उतने ही मिलीलीटर। चार में से तीन जवाबों में π लगा है और इसलिए वे लगभग हर इनपुट पर अपरिमेय हैं, तो दो दशमलव काट है, पूरा जवाब नहीं। चारों जवाब आपकी त्रिज्या और ऊँचाई से सीधे निकाले जाते हैं, एक-दूसरे से कभी नहीं, इसलिए कुल सतह का क्षेत्रफल हमेशा स्क्रीन पर दिखता पार्श्व क्षेत्रफल जमा स्क्रीन पर दिखता आधार का क्षेत्रफल नहीं होता — वह वही व्यंजक है जो एक ही क़दम में हल किया गया है, और छपे पार्श्व क्षेत्रफल से उसे दोबारा जोड़ने पर आख़िरी अंक में फ़र्क़ आ सकता है। यह पेज दो नाप लेता है और चार देता है; यह आयतन से उलटी दिशा में त्रिज्या नहीं निकालता, और इसमें तिर्यक ऊँचाई डालने का ख़ाना नहीं है, इसलिए जिस शंकु की तिर्यक ऊँचाई नापी जा सके पर ऊँचाई सामग्री में दबी हो, वह यहाँ जैसा है वैसा डाला नहीं जा सकता। ऊँचाई लंबवत ऊँचाई है, तिर्यक ऊँचाई नहीं, और पेज यह पकड़ नहीं सकता कि दोनों में गड़बड़ हो गई है — ऊँचाई वाले ख़ाने में तिर्यक ऊँचाई डालने पर चारों जवाब भीतर-भीतर एक-दूसरे से मेल खाते होंगे और चारों ग़लत होंगे। अर्थपूर्ण जवाब के लिए कम से कम एक इनपुट ग़ैर-शून्य होना चाहिए, हालाँकि अगर आकार नहीं बल्कि हिसाब देखना हो तो दोनों शून्य भी रखे जा सकते हैं। और यह शिखर के सीधे आधार के केंद्र के ऊपर वाला लंब वृत्तीय शंकु है; एक तरफ़ झुका हुआ शंकु, या जिसका आधार दीर्घवृत्त हो, दूसरे ठोस हैं और यहाँ के सूत्र उन पर लागू नहीं होते।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

आयतन में तीन से भाग क्यों दिया जाता है?: क्योंकि शंकु में उसी आधार और उसी ऊँचाई वाले बेलन का ठीक एक तिहाई समाता है। आधार का क्षेत्रफल लीजिए, ऊँचाई से गुणा कीजिए, और आपके पास उस बेलन का आयतन आ जाता है; शंकु उसका एक तिहाई है। यही रिश्ता पिरामिड और उस प्रिज़्म के बीच भी है जिसमें वह बैठता। यह इस हिसाब में सबसे ज़्यादा भूला जाने वाला गुणक है — तीन गुना बड़ा आया कोई भी नतीजा लगभग हमेशा भाग देने की चूक होता है, जोड़-घटाव की ग़लती नहीं।
क्या ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई एक ही हैं?: नहीं, और यही ग़लती यह आकार सबसे ज़्यादा करवाता है। ऊँचाई आधार के केंद्र से सीधे ऊपर शिखर तक नापी जाती है। तिर्यक ऊँचाई सतह के साथ नापी जाती है, शिखर से नीचे धार तक, इसलिए वह त्रिज्या, ऊँचाई और किनारे से बने त्रिभुज का कर्ण है और बाक़ी दोनों में से हर एक से हमेशा लंबी होती है। आयतन ऊँचाई इस्तेमाल करता है। पार्श्व सतह का क्षेत्रफल तिर्यक ऊँचाई इस्तेमाल करता है। इन दोनों को मिला देने पर जवाब उतने गुणक से ग़लत आता है जितना शंकु ऊँचा है, और पेज इसे पकड़ नहीं सकता।
तिर्यक ऊँचाई कैसे निकालें?: वह त्रिज्या के वर्ग जमा ऊँचाई के वर्ग का वर्गमूल है, यानी शंकु के किनारे वाले त्रिभुज पर लगाया गया पाइथागोरस प्रमेय। त्रिज्या तीन और ऊँचाई चार से तिर्यक ऊँचाई ठीक पाँच आती है, और इसीलिए पेज इन्हीं संख्याओं के साथ खुलता है: हर क़दम दिमाग़ में जाँचा जा सकता है। ज़्यादातर जोड़ियाँ इतनी सुथरी नहीं बैठतीं, और तब तिर्यक ऊँचाई दो दशमलव तक पूरी की हुई अपरिमेय संख्या होती है।
कुल सतह का क्षेत्रफल पार्श्व सतह जमा आधार ही क्यों नहीं है?: ठीक-ठीक हिसाब में वह है भी, और पेज दो अलग-अलग पूरी की हुई राशियाँ जोड़ने के बजाय मिला हुआ रूप πr(l + r) इस्तेमाल करता है। फ़र्क़ छपे हुए अंकों में दिखता है: पार्श्व क्षेत्रफल आपके देखने तक दो दशमलव तक पूरा किया जा चुका होता है, इसलिए उसे आधार के क्षेत्रफल में ख़ुद जोड़ने पर जवाब पेज के जवाब से सौवें हिस्से जितना हट सकता है। पेज का आँकड़ा त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई से एक ही क़दम में निकाला गया है, और भरोसा उसी पर कीजिए।
मैंने इंच में डाला तो जवाब सेंटीमीटर में क्यों आया?: क्योंकि यह पेज ड्रॉपडाउन चाहे जिस पर हों, सब कुछ सेंटीमीटर, वर्ग सेंटीमीटर और घन सेंटीमीटर में ही बताता है, ताकि नतीजे और उनके नीचे की तुलना तालिका हमेशा एक-दूसरे से मेल खाएँ। ड्रॉपडाउन यह बदलता है कि आपकी संख्या भीतर आते वक़्त कैसे समझी जाए। बदलना हो तो लंबाई को 2.54 से, क्षेत्रफलों को 6.4516 से और आयतन को 16.3871 से भाग दीजिए; या बदलाव आख़िर तक टालकर जवाब की इकाई बदल दीजिए, जो आम तौर पर कम मेहनत का काम है।
क्या त्रिज्या या ऊँचाई शून्य हो सकती है?: हाँ, और दोनों ख़ाली के बजाय असली जवाब देती हैं। ऊँचाई शून्य करने पर शंकु दबकर चक्र बन जाता है: आयतन शून्य है क्योंकि आधार के ऊपर कुछ है ही नहीं, पर घूमी हुई सतह बस दूसरा चक्र बन गई है, इसलिए पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार के बराबर हो जाता है और कुल सतह का क्षेत्रफल उसका दुगुना। त्रिज्या शून्य करने पर शंकु सिकुड़कर खड़ा रेखाखंड रह जाता है: आयतन और दोनों क्षेत्रफल शून्य, जबकि तिर्यक ऊँचाई ऊँचाई के बराबर हो जाती है। दोनों शून्य करने पर हर जगह शून्य आता है।

संदर्भ

Cone — the solid formed by a circular base and an apex, with the volume one third of the base area times the height and the lateral area πrl, both of which this page evaluates; the entry traces the one-third result to Eudoxus, with later proofs by Archimedes in On the Sphere and Cylinder and by Euclid in Elements XII.10 — Wolfram MathWorld (United States)
Pythagorean theorem — the relation that gives the slant height from the radius and the perpendicular height, since those two are the legs of the right triangle down the side of the cone — Wolfram MathWorld (United States)
Pi — the constant in the volume and the two areas, and the reason three of the four answers on this page are irrational for almost every input — Wolfram MathWorld (United States)

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बेलन आयतन कैलकुलेटरबेलन का आयतन, साथ में दोनों सिरों और वक्र सतह का क्षेत्रफल।गोले का आयतन कैलकुलेटरत्रिज्या या व्यास से गोले द्वारा घेरी गई जगह।पिरामिड आयतन कैलकुलेटरकिसी भी पिरामिड का आयतन: आधार क्षेत्रफल गुणा ऊँचाई बटा तीन।सतह क्षेत्रफल कैलकुलेटरगोले, शंकु, बेलन और प्रिज़्म का सतह क्षेत्रफल।

शंकु आयतन कैलकुलेटर

नतीजा

आम शंकु, और उनसे निकलने वाली नापें

फ़ॉर्मूला

हल किए हुए उदाहरण

त्रिज्या तीन और ऊँचाई चार

त्रिज्या पाँच और ऊँचाई बारह

त्रिज्या छह और ऊँचाई आठ, जहाँ दो जवाब एक हो जाते हैं

त्रिज्या और ऊँचाई बराबर

ऊँचाई शून्य

सीमाएँ

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

संदर्भ

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