पिरामिड आयतन कैलकुलेटर

V = A × h ÷ 3

आधार का क्षेत्रफल

आधार का क्षेत्रफल, वर्ग सेंटीमीटर में। यह किनारों की जोड़ी के बजाय क्षेत्रफल है क्योंकि आधार कोई भी बहुभुज हो सकता है: सूत्र आधार को सिर्फ़ इससे इस्तेमाल करता है कि वह कितनी ज़मीन ढकता है, इसलिए 36 वर्ग सेंटीमीटर का वर्गाकार आधार और 36 वर्ग सेंटीमीटर का षट्कोणीय आधार एक ही ऊँचाई पर एक ही आयतन देते हैं। क्षेत्रफल निकालना अलग क़दम है, और आयत, त्रिभुज, वृत्त तथा समबहुभुज के क्षेत्रफल कैलकुलेटर इसी साइट पर हैं

ऊँचाई

ऊँचाई, सेंटीमीटर में: आधार से सीधे ऊपर शिखर तक की लंबवत दूरी, किसी ढलवाँ किनारे के साथ नापी गई दूरी नहीं। पिरामिड में यही वह अकेला नाप है जो फ़ीते से सतह के साथ नहीं लिया जा सकता, और यही लोग ग़लत लेते हैं — कोने के किनारे की लंबाई हमेशा ऊँचाई से ज़्यादा होती है, क्योंकि वह उस त्रिभुज का कर्ण है जिसकी बाक़ी दो भुजाएँ ऊँचाई और आधे आधार की दूरी हैं

आयतन

आयतन, घन सेंटीमीटर में। यह उसी आधार और ऊँचाई वाले प्रिज़्म का तिहाई है, और सूत्र का पूरा सार इतना ही है: पिरामिड की तीन प्रतियाँ उस प्रिज़्म को बिना जगह बचाए भर देती हैं, आधार चाहे जिस आकार का हो। यहाँ जवाब चार दशमलव के बजाय दो दशमलव तक छपता है, क्योंकि इस परिवार में तीन से भाग ही वह अकेली क्रिया है जो पूर्ण संख्याओं को आवर्ती दशमलव में बदल देती है — आधार 1 और ऊँचाई 1 पर 0.3333 आता है, और काम का पाठ यह है कि यह एक तिहाई है

÷ 3

वह स्थिरांक जो पिरामिड को पिरामिड बनाता है। यह इस तथ्य से आता है कि एक ही आधार और ऊँचाई के तीन सर्वांगसम पिरामिड मिलकर एक प्रिज़्म बना देते हैं, इसलिए पिरामिड उस प्रिज़्म का ठीक एक तिहाई है — लगभग नहीं, ठीक; और सिर्फ़ वर्गाकार आधारों के लिए नहीं। शंकु आयतन वाले पेज पर भी यही भाग है, क्योंकि शंकु वह पिरामिड है जिसका आधार संयोग से वृत्त है

यह पेज तब इस्तेमाल कीजिए जब आपके पास एक पिरामिड हो, आप जानना चाहते हों कि वह कितना समेटता है या उसमें कितनी सामग्री है, और आप आधार को एक क्षेत्रफल के रूप में लिख सकते हों। यह आख़िरी शर्त ही तय करती है कि सही पेज यही है या नहीं। अगर आधार वर्ग या आयत है और उसकी दो भुजाएँ पता हैं, तो हिसाब दिमाग़ में ही हो जाता है और इस साइट के क्षेत्रफल कैलकुलेटर एक क़दम में आधार दे देंगे; अगर आधार षट्भुज या पंचभुज है, या कोई ऐसा अनियमित आकार है जिसे आपने किसी और तरीक़े से नापा है, तो वह क्षेत्रफल यहीं डाला जाता है। यह सूत्र किसी भी पिरामिड जैसी चीज़ की सबसे तेज़ जाँच भी है: आधार चाहे जो हो, आकार उतना समेटता है जितना उसी फ़र्श और ऊँचाई का बक्सा समेटता, उसका एक तिहाई। किसी भी संख्या पर भरोसा करने से पहले यह जाँच लगा लेना अच्छा है — सौ वर्ग मीटर के फ़र्श पर नौ मीटर ऊँची पिरामिड जैसी छत 300 घन मीटर जगह घेरती है, जबकि वही छत अगर सपाट ऊपर वाला बक्सा होती तो 900 घन मीटर घेरती, और इन दोनों संख्याओं का फ़र्क़ ही वह वजह है जिससे पिरामिड जैसी छतें ऐसी दिखती हैं। दो छोटे इस्तेमाल भी गिनाने लायक़ हैं। ठोस सामग्री से पिरामिड काटना आयतन का सवाल है और बर्बादी का भी: किसी गुटके से तराशा गया पिरामिड गुटके का दो तिहाई पीछे छोड़ देता है, और ढालने तथा काटने का यही सबसे साफ़ फ़र्क़ है। और पिरामिड भरना — कोई हॉपर, अनाज की कोठी, बजरी का शंक्वाकार ढेर, रेत की घड़ी — यह पेज ही है जिसमें आधार फ़र्श का क्षेत्रफल है, जवाब क्षमता है, और वही जवाब एक गोल बर्तन के लिए शंकु वाला पेज देता। अगर आपका पिरामिड सीधी भुजाओं वाला नहीं है, या शिखर आधार के ठीक ऊपर नहीं है, तो भी पेज लागू होता है: सूत्र सिर्फ़ लंबवत ऊँचाई और आधार का क्षेत्रफल इस्तेमाल करता है, और एक ही आधार तथा एक ही ऊँचाई वाला झुका हुआ पिरामिड ठीक उतना ही समेटता है जितना सीधा खड़ा — यह सचमुच चौंकाने वाला तथ्य है और काम का भी।

1. 36 वर्ग सेंटीमीटर का आधार और 4 की ऊँचाई

   1. आधार गुणा ऊँचाई: 36 × 4 = 144
   2. तीन से भाग दीजिए: 144 ÷ 3 = 48

   यही वह इनपुट है जिसके साथ पेज खुलता है, और यही वह पंक्ति है जो वह रिश्ता दिखाती है जिस पर सूत्र टिका है: उसी आधार और ऊँचाई वाले प्रिज़्म में 144 घन सेंटीमीटर समाता, और पिरामिड उसका ठीक एक तिहाई समेटता है। दोनों संख्याएँ याद रखने लायक़ हैं, क्योंकि एक से दूसरे तक पहुँचने में बस एक गुणा या भाग लगता है और प्रिज़्म वाली संख्या की जाँच चीज़ के आकार से करना कहीं आसान है।

2. 1 का आधार और 1 की ऊँचाई

   1. आधार गुणा ऊँचाई: 1 × 1 = 1
   2. तीन से भाग दीजिए: 1 ÷ 3 = 0.33333…, जो पूरा करने पर 0.33 होता है

   इकाई पिरामिड, और यही वजह है कि यह पेज चार दशमलव के बजाय दो दशमलव छापता है। एक को तीन से भाग देने पर चार दशमलव तक 0.3333 आता है, जो ऐसा लगता है जैसे किसी नाप का नतीजा हज़ार के तीन दसवें हिस्से पर आया हो; 0.33 पढ़ते ही वह दिखता है जो वह है — किसी चीज़ का एक तिहाई। यहाँ कम चौड़ाई रखने की पूरी दलील यही है: इस परिवार में तीन से भाग ही वह अकेली क्रिया है जो भरोसे के साथ आवर्ती दशमलव बनाती है, और उसके ज़्यादा अंकों से कोई नई जानकारी नहीं मिलती।

3. 100 का आधार और 9 की ऊँचाई

   1. आधार गुणा ऊँचाई: 100 × 9 = 900
   2. तीन से भाग दीजिए: 900 ÷ 3 = 300

   यह वह पंक्ति है जिस पर पूरे पेज की जाँच कर लेनी चाहिए, क्योंकि तीनों संख्याएँ पूरी हैं और प्रिज़्म वाली बात साफ़ है: 100 वर्ग सेंटीमीटर के आधार और 9 की ऊँचाई वाले बक्से में 900 घन सेंटीमीटर समाता है, और पिरामिड उसमें से 300 समेटता है। अगर पिरामिड जैसी छत सौ वर्ग मीटर पर नौ मीटर ऊँची हो, तो वह 300 घन मीटर जगह घेरेगी, और किसी इमारत में कितनी हवा गरम करनी पड़ेगी यह ऐसी ही संख्या तय करती है।

4. गीज़ा का महान पिरामिड

   1. आधार का क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर में: 230 मीटर × 230 मीटर = 52900 वर्ग मीटर, यानी 529000000 वर्ग सेंटीमीटर
   2. ऊँचाई सेंटीमीटर में: 146.6 मीटर = 14660 सेंटीमीटर
   3. आधार गुणा ऊँचाई: 529000000 × 14660 = 7755139999999.999…, यानी 7.75514 × 10¹²
   4. तीन से भाग दीजिए: 7755140000000 ÷ 3 = 2585046666666.666…, जो पूरा करने पर 2585046666666.67 होता है

   मिस्र के पिरामिडों में सबसे बड़ा, जिसका मूल आधार करीब 230 मीटर प्रति भुजा और मूल ऊँचाई करीब 146.6 मीटर थी। जवाब घन सेंटीमीटर में है क्योंकि पेज की इकाई यही है, और यह ऐसी संख्या है जिसे कोई सीधे नहीं पढ़ता: दस लाख से भाग दीजिए तो 2.585 मिलियन घन मीटर बैठता है, यानी करीब 25.85 लाख घन मीटर पत्थर — या कहिए करीब 26 लाख घन मीटर। यही वह पंक्ति है जहाँ तीन से भाग नज़र आता है: जो बक्सा इस पिरामिड को घेरेगा उसमें 7.755 मिलियन घन मीटर, यानी ठीक तीन गुना समाएगा, इसलिए एक ही फ़र्श और एक ही ऊँचाई से तीन गुना आयतन निकलता है।

आधार सपाट होना चाहिए और भुजाएँ उसके किनारों से सीधी ऊपर एक ही शिखर तक जानी चाहिए: सीढ़ीनुमा प्रोफ़ाइल वाला पिरामिड, जैसे पुराने मिस्री पिरामिड और ज़िगुरात, एक पिरामिड नहीं बल्कि बक्सों और तख़्तों का ढेर है, और इस सूत्र से उसका हिसाब बहुत बड़ी ग़लती देगा। छिन्नक — यानी वह पिरामिड जिसका ऊपरी हिस्सा काट दिया गया हो, और जो असल में ज़्यादातर छतें तथा हॉपर होते हैं — भी यह आकार नहीं है; उसका आयतन निकालने के लिए ऊपरी और निचला दोनों क्षेत्रफल चाहिए, और इस पेज पर आधार का एक ही ख़ाना है। ऊँचाई आधार के तल से सीधे ऊपर शिखर तक की लंबवत दूरी होनी चाहिए, किसी ढलवाँ किनारे या फ़लक के साथ नापी गई दूरी नहीं; ढलवाँ किनारा नापना ही सबसे आम तरीक़ा है जिससे जवाब असली से बड़ा आता है, और ऊँचे पिरामिड में वह थोड़ा नहीं, बहुत बड़ा आता है। आधार का क्षेत्रफल इनपुट है, पेज उसे निकालता नहीं, इसलिए दो किनारों में नापे गए आधार को पहले क्षेत्रफल में बदलना पड़ता है, और अनियमित आधार को जिस तरीक़े से बने उसी से नापना पड़ता है। पेज तिर्यक ऊँचाई, सतह का क्षेत्रफल या किसी किनारे की लंबाई नहीं दे सकता, क्योंकि इनमें से कोई भी सिर्फ़ आधार के क्षेत्रफल से निकाला नहीं जा सकता: बराबर क्षेत्रफल वाले लंबे-पतले और गोल-मटोल आधारों की तिर्यक ऊँचाइयाँ, सतह के क्षेत्रफल और किनारे सब अलग होते हैं। जवाब घन सेंटीमीटर में ही आता है, आधार और ऊँचाई की ड्रॉपडाउन चाहे जिस पर हों, इसलिए वर्ग मीटर में डाला गया आधार घन सेंटीमीटर वाला जवाब देता है जिसे आपको ख़ुद बदलना पड़ेगा — एक घन मीटर में दस लाख घन सेंटीमीटर, या हर घन सेंटीमीटर में एक घन मीटर का दस लाखवाँ हिस्सा। दो दशमलव एक प्रदर्शन-चौड़ाई है, नाप की सटीकता का दावा नहीं, और नापे गए पिरामिड के लिए यह ईमानदार है पर बड़े पिरामिड के लिए बहुत मोटा, जहाँ दशमलव से पहले के आख़िरी दो अंक ही काम के होते हैं। पेज यह मानकर चलता है कि शिखर आधार के कहीं ऊपर है और उसे इससे मतलब नहीं कि कहाँ: एक ही आधार और एक ही ऊँचाई वाले सीधे और झुके हुए पिरामिड का आयतन बराबर होता है, जो सही है और जानने लायक़ है, कोई कमी नहीं। वज़न, सामग्री की लाग़त या किसी ठोस गुटके से आकार काटने में हुई बर्बादी के बारे में यह कुछ नहीं कहता, हालाँकि इन सबका हिसाब आयतन से ही निकलता है — वह यहाँ छपता नहीं।

पिरामिड का आयतन उसके चारों ओर के प्रिज़्म का एक तिहाई क्यों होता है?

क्योंकि एक ही आधार और ऊँचाई के तीन पिरामिड उस प्रिज़्म में ठीक-ठीक समा जाते हैं, न कोई जगह बचती है न कोई हिस्सा ऊपर चढ़ता है, और आधार कोई भी बहुभुज हो। यह लगभग नहीं है और यह सिर्फ़ वर्गाकार आधारों की बात नहीं है — त्रिभुजाकार आधार वाला और षट्कोणीय आधार वाला पिरामिड, दोनों अपने-अपने प्रिज़्म के ठीक एक तिहाई हैं। यही एक तिहाई शंकु आयतन वाले पेज पर भी मिलता है, क्योंकि शंकु वह पिरामिड है जिसका आधार वृत्त है।

आधार की भुजाएँ डालनी हैं या उसका क्षेत्रफल?

क्षेत्रफल। सूत्र आधार को सिर्फ़ इससे इस्तेमाल करता है कि वह कितनी ज़मीन ढकता है, इसलिए आयताकार आधार की दो भुजाएँ माँगना बेवजह संकरा रास्ता होता। क्षेत्रफल डालने से पेज ऐसे आधार भी सँभाल लेता है जिन्हें वह और किसी तरह बता ही नहीं सकता: षट्कोणीय आधार, त्रिभुजाकार आधार, या कोई अनियमित आकार जिसे आपने किसी और तरीक़े से नापा है। अगर आपका आधार आयत या वर्ग है, तो इस साइट के आयत और वर्ग क्षेत्रफल कैलकुलेटर एक ही क़दम में क्षेत्रफल दे देंगे।

कौन-सी ऊँचाई नापनी है?

लंबवत ऊँचाई: आधार के तल से सीधे ऊपर शिखर तक की सीधी दूरी, आधार के समकोण पर नापी हुई। ढलवाँ किनारे की लंबाई नहीं, और किसी फ़लक के बीच से ऊपर जाती दूरी भी नहीं। ढलवाँ किनारा हमेशा ऊँचाई से लंबा होता है — वह उस त्रिभुज का कर्ण है जिसकी दूसरी भुजाएँ ऊँचाई और आधे आधार का विकर्ण हैं — इसलिए उसे नापने पर जवाब ज़रूरत से बड़ा आता है, और ऊँचे पिरामिड में बहुत बड़ा।

गीज़ा के महान पिरामिड में कितना पत्थर है?

उसका मूल आधार करीब 230 मीटर प्रति भुजा था, यानी 52900 वर्ग मीटर, और मूल ऊँचाई करीब 146.6 मीटर। आधार का क्षेत्रफल गुणा ऊँचाई बटा तीन से करीब 25.85 लाख घन मीटर निकलता है। तुलना उस बक्से से कीजिए जो उसे घेरेगा, और उसमें तीन गुना — 77.55 लाख घन मीटर — समाएगा; यही फ़र्क़ भाग की पूरी कहानी है: एक ही फ़र्श, एक ही ऊँचाई, और आयतन का सिर्फ़ एक तिहाई।

क्या पेज तिर्यक ऊँचाई या सतह का क्षेत्रफल दे सकता है?

नहीं, और वजह इनपुट में है। तिर्यक ऊँचाई शिखर से नीचे किसी किनारे के मध्य तक की दूरी है, और वह आधार के आकार पर निर्भर है, सिर्फ़ उसके क्षेत्रफल पर नहीं: 100 वर्ग सेंटीमीटर का लंबा-पतला आधार और उतने ही क्षेत्रफल का गोल-मटोल आधार बिल्कुल अलग तिर्यक ऊँचाइयाँ और बिल्कुल अलग सतह क्षेत्रफल देंगे। इनमें से कोई भी निकालने के लिए पेज को आधार की बनावट जाननी पड़ेगी, और दो किनारों के बजाय क्षेत्रफल माँगकर यही बात टाली गई है।

क्या झुका हुआ पिरामिड सीधे से कम समेटता है?

नहीं, ठीक उतना ही, बशर्ते आधार का क्षेत्रफल और लंबवत ऊँचाई वही हों। आयतन का सूत्र सिर्फ़ यही दो संख्याएँ इस्तेमाल करता है और कभी नहीं पूछता कि शिखर आधार के ऊपर कहाँ है, इसलिए जिस पिरामिड की चोटी एक तरफ़ झुकी हो वह उतना ही समेटता है जितना बीच में सीधा खड़ा। यह असली नतीजा है, पूरा करने का असर नहीं, और वजह वही है जिससे सिक्कों का ढेर सीधा हो या तिरछा, समेटता बराबर ही है।

• Pyramid — the solid this page computes, including the relation between a pyramid and the prism of the same base and height that produces the division by three — Wolfram MathWorld (United States)
• Volume — what a volume is and how the volume of a solid is defined, which is the framework the pyramid formula sits in — Wolfram MathWorld (United States)
• Prism — the solid three copies of a pyramid assemble into, which is where the one-third in the formula comes from and why it holds for every shape of base — Wolfram MathWorld (United States)