बेलन आयतन कैलकुलेटर

V = πr²h आधार का क्षेत्रफल = πr² पार्श्व सतह का क्षेत्रफल = 2πrh कुल सतह का क्षेत्रफल = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)

त्रिज्या

सिरे के केंद्र से किनारे तक की दूरी, सेंटीमीटर में। यह व्यास का आधा है, इसलिए ऊपर से आर-पार नापा गया बेलन पहले दो से भाग देना पड़ेगा। शून्य भी चलेगा, और ऐसे बेलन की चौड़ाई शून्य होगी — तब चारों जवाब शून्य आते हैं

ऊँचाई

दोनों गोल सिरों के बीच की सीधी लंबवत दूरी, सेंटीमीटर में। यह किनारे के साथ एक सिरे से दूसरे सिरे तक की दूरी नहीं है — वह ज़्यादा लंबी होती है, क्योंकि वह सीधी चढ़ने के बजाय घूमकर जाती है, और उसे लेने पर आयतन बढ़ा-चढ़ाकर आता है

आयतन

बेलन के अंदर की जगह, घन सेंटीमीटर में: एक सिरे का क्षेत्रफल × ऊँचाई। एक घन सेंटीमीटर एक मिलीलीटर होता है, इसलिए हज़ार से भाग देते ही यही संख्या लीटर बन जाती है

आधार का क्षेत्रफल

एक गोल सिरे का क्षेत्रफल, वर्ग सेंटीमीटर में, यानी π × त्रिज्या का वर्ग। दोनों सिरे बराबर हैं, इसलिए यह किसी एक का क्षेत्रफल है, दोनों को जोड़कर नहीं

पार्श्व सतह का क्षेत्रफल

अकेली मुड़ी हुई पार्श्व सतह का क्षेत्रफल, वर्ग सेंटीमीटर में। खोल दें तो यह ऊँचाई h और चौड़ाई 2πr का आयत बनती है — सूत्र यहीं से आता है, और यही देखने का सबसे आसान तरीका है कि इसमें ऊँचाई और परिधि दोनों क्यों आते हैं

कुल सतह का क्षेत्रफल

दोनों सिरे + मुड़ी हुई पार्श्व सतह, वर्ग सेंटीमीटर में। आयतन से गहरा रिश्ता है पर अनुपात नहीं: ऊँचाई दुगनी करने पर दोनों दुगने होते हैं, जबकि त्रिज्या दुगनी करने पर आयतन चार गुना होता है और कुल सतह चार गुना से कम बढ़ती है

π

किसी भी वृत्त की परिधि और व्यास का अनुपात, करीब 3.14159। पेज पूरा दोहरा-परिशुद्धता वाला मान इस्तेमाल करता है, उसे छोटा नहीं करता — इसलिए 3.14 से हाथ से किया हिसाब आख़िरी अंक पर छपे हुए जवाब से हट जाएगा

दो दशमलव स्थान

हर जवाब कितनी चौड़ाई में लिखा जाता है। चार नहीं, दो — क्योंकि ये असली चीज़ों की नापें हैं: फ़ीते से ली गई त्रिज्या में ही तीसरे दशमलव से ज़्यादा अनिश्चितता होती है, और ज़्यादा अंक छापने से वैसी सटीकता का दावा बन जाता है जो नाप में कभी थी ही नहीं

पेज एक ही जोड़े नापों से दो अलग तरह के सवालों का जवाब देता है। पहला है क्षमता: कोई टंकी, ड्रम, पाइप या डिब्बा कितना समेटता है। वह आयतन है, और यह जानना काम का है कि बेलन का आयतन त्रिज्या के वर्ग के साथ बढ़ता है — दुगनी चौड़ाई वाली टंकी चार गुना समेटती है, जबकि दुगनी ऊँचाई वाली सिर्फ़ दुगना। इसीलिए जगह कम पड़ने पर चौड़ी टंकी ऊँची टंकी से बेहतर निकलती है। दूसरा है माल: किसी डिब्बे पर कितनी चादर लगेगी, किसी खंभे पर कितना पेंट, किसी रोल पर कितनी परत। ये सतह के क्षेत्रफल हैं, और पेज सिरों को पार्श्व सतह से अलग रखता है क्योंकि दोनों अकसर अलग-अलग आते हैं — चादर एक ही जगह से कटती है, पेंट और लेबल पार्श्व सतह पर लगते हैं। पार्श्व सतह वही है जो सबसे ज़्यादा चौंकाती है, क्योंकि उसे आयत में खोलना एक बार करके देखने तक ज़ाहिर नहीं होता: त्रिज्या 5 और ऊँचाई 12 वाले बेलन की पार्श्व सतह खुलकर 31.4 सेंटीमीटर चौड़ा और 12 ऊँचा आयत बनती है। एक बदलाव याद रखने लायक है: घन सेंटीमीटर में आयतन मिलीलीटर में आयतन है, इसलिए 942.48 घन सेंटीमीटर का बेलन करीब 0.94 लीटर का होता है — और यह बस हज़ार से भाग देना है, इससे मुश्किल कुछ नहीं।

1. त्रिज्या 3 और ऊँचाई 4

   1. आधार का क्षेत्रफल: π × 3 × 3 = 28.274333…, यानी 28.27
   2. आयतन: 28.274333… × 4 = 113.097335…, यानी 113.1
   3. पार्श्व सतह: 2 × π × 3 × 4 = 75.398223…, यानी 75.4
   4. कुल सतह: 2 × 28.274333… + 75.398223… = 131.946891…, यानी 131.95

   यही नाप पेज के साथ पहले से भरी मिलती है। बिना कैलकुलेटर की जाँच: त्रिज्या 3 का सिरा करीब 28 वर्ग सेंटीमीटर का है, और ऐसे चार ऊपर-नीचे रखने पर करीब 113। मज़ेदार मेल यह है कि शंकु वाला पेज इन्हीं दो नापों पर 37.7 लौटाता है, जो इसका ठीक एक तिहाई है — हर शंकु अपने बेलन का एक तिहाई होता है। दोनों पेज साथ रखकर एक बार देख लेना ठीक है, ताकि यह मेल गलती न लगे।

2. त्रिज्या 5 और ऊँचाई 12

   1. आधार का क्षेत्रफल: π × 5 × 5 = 78.539816…, यानी 78.54
   2. आयतन: 78.539816… × 12 = 942.477796…, यानी 942.48
   3. पार्श्व सतह: 2 × π × 5 × 12 = 376.991118…, यानी 376.99
   4. कुल सतह: 2 × 78.539816… + 376.991118… = 534.070751…, यानी 534.07

   अगर एक ही पंक्ति याद रखनी हो तो यही, क्योंकि इसकी पार्श्व सतह एक ऐसा आयत है जिसे आँखों के सामने रखा जा सकता है: 2π × 5 यानी 31.4159 सेंटीमीटर गोलाई, और 31.4159 चौड़ा × 12 ऊँचा आयत 376.99 वर्ग सेंटीमीटर का — वही पार्श्व सतह। आयतन 942.48 मिलीलीटर है, यानी यह बेलन एक लीटर से ज़रा कम समेटता है। ऊँचाई दुगनी करके 24 कर दें तो आयतन और पार्श्व सतह दोनों दुगने हो जाएँगे, पर आधार का क्षेत्रफल 78.54 ही रहेगा — कौन-सा जवाब किस नाप के साथ बढ़ता है, यह देखने का यह सबसे साफ़ तरीका है।

3. त्रिज्या 10 और ऊँचाई 10

   1. आधार का क्षेत्रफल: π × 10 × 10 = 314.159265…, यानी 314.16
   2. आयतन: 314.159265… × 10 = 3141.592654…, यानी 3141.59
   3. पार्श्व सतह: 2 × π × 10 × 10 = 628.318531…, यानी 628.32
   4. कुल सतह: 2 × 314.159265… + 628.318531… = 1256.637061…, यानी 1256.64

   जितना ऊँचा उतना ही चौड़ा बेलन — किसी से बेलन बनाने को कहा जाए तो दस में से नौ बार यही आकार बनता है। आयतन हज़ार गुना π है, और चूँकि एक घन सेंटीमीटर एक मिलीलीटर है, यह 3.14 लीटर हुआ। ध्यान दीजिए कि यहाँ पार्श्व सतह ठीक आधार के क्षेत्रफल की दुगनी है — यह ऊँचाई और त्रिज्या के बराबर होने की वजह से है, दस होने की नहीं: जहाँ भी h = r होगा, वहाँ यही दुगुनापन आएगा।

4. त्रिज्या 2 और ऊँचाई 6

   1. आधार का क्षेत्रफल: π × 2 × 2 = 12.566370…, यानी 12.57
   2. आयतन: 12.566370… × 6 = 75.398223…, यानी 75.4
   3. पार्श्व सतह: 2 × π × 2 × 6 = 75.398223…, यानी 75.4
   4. कुल सतह: 2 × 12.566370… + 75.398223… = 100.530964…, यानी 100.53

   यह वह पंक्ति है जहाँ दो जवाब बराबर निकलते हैं: आयतन और पार्श्व सतह, दोनों 75.4। यह छपाई की गलती नहीं है और कोई ख़ास मामला भी नहीं — πr²h को 2πrh के बराबर रखकर काटने पर r = 2 बचता है, यानी इस त्रिज्या पर ऊँचाई कोई भी हो, दोनों संख्याएँ एक ही आती हैं। इकाइयाँ एक नहीं हैं — एक घन सेंटीमीटर में, दूसरा वर्ग सेंटीमीटर में — बराबरी सिर्फ़ आँकड़ों की है। यह ऐसी चीज़ है जो नतीजे वाले पैनल पर तुरंत नज़र आती है और लोग इसी पर सवाल लिखते हैं, इसलिए पहले यहीं मिल जाना बेहतर है।

5. त्रिज्या 1 और ऊँचाई 1

   1. आधार का क्षेत्रफल: π × 1 × 1 = 3.141592, यानी 3.14
   2. आयतन: 3.141592 × 1 = 3.141592, यानी 3.14
   3. पार्श्व सतह: 2 × π × 1 × 1 = 6.283185…, यानी 6.28
   4. कुल सतह: 2 × 3.141592 + 6.283185… = 12.566370…, यानी 12.57

   वही संयोग, दूसरी जोड़ी पर: ऊँचाई 1 होने पर आयतन और आधार का क्षेत्रफल बराबर हो जाते हैं, क्योंकि एक से गुणा करने से कुछ नहीं बदलता। यह भी हर त्रिज्या पर सच है, और यहाँ भी सिर्फ़ संख्याएँ मिलती हैं, इकाइयाँ नहीं। ऊपर वाली पंक्ति के साथ पढ़ें तो एक बात पक्की हो जाती है — जब तालिका के दो कॉलम एक जैसे दिखें, तो पहले देखिए कि कोई नाप ऐसी कीमत पर है जो यह ज़बरदस्ती कर रही है, और फिर देखिए कि दोनों कॉलम एक ही तरह की चीज़ नाप रहे हैं या नहीं।

चारों जवाब हमेशा घन और वर्ग सेंटीमीटर में आते हैं, चाहे इनपुट का ड्रॉपडाउन किसी भी इकाई पर हो। इंच चुनने से आपके दोनों नंबर पढ़े जाने का तरीका बदलता है, जवाब लिखे जाने का नहीं — इंच में नापा हो तो वापस बदलना आपका काम है (एक इंच 2.54 सेंटीमीटर, यानी आयतन के लिए 16.387 से और क्षेत्रफलों के लिए 6.4516 से भाग दीजिए)। यह जानबूझकर है, और नीचे की तालिका भी इसी नियम पर चलती है ताकि पेज ख़ुद से कहीं उलटा न हो जाए। लीटर और मिलीलीटर इस पेज के आउटपुट में नहीं हैं: जवाब घन सेंटीमीटर में मिलता है और लीटर चाहिए तो हज़ार से भाग दीजिए। त्रिज्या और ऊँचाई को त्रिज्या और लंबवत ऊँचाई ही माना जाता है — पेज यह नहीं जान सकता कि आपने व्यास नापा था या किनारे के साथ घूमकर गया नाप, और दोनों ही जैसे हैं वैसे लग जाते हैं और विश्वसनीय दिखने वाला ग़लत जवाब देते हैं। दो दशमलव स्थान लिखने की चौड़ाई है, सटीकता का दावा नहीं: ये असली चीज़ों की नापें हैं, और आख़िरी अंक सिर्फ़ बिल्कुल सटीक इनपुट के लिए ही मायने रखता है। कुल सतह का क्षेत्रफल बिना गोल किए हुए त्रिज्या से निकलता है, इसलिए छपे हुए आधार और पार्श्व क्षेत्रफल जोड़ने पर छपे हुए जोड़ से सौवें हिस्से का फ़र्क़ आ सकता है — छपा हुआ जोड़ ही भरोसे के लायक है। पेज मान लेता है कि बेलन दोनों सिरों से बंद है; पाइप या खुले डिब्बे की सतह यहाँ दिखाए आँकड़े से ठीक एक आधार क्षेत्रफल कम होगी। और दीवार की मोटाई का कोई हिसाब नहीं है, यानी टंकी की क्षमता अंदर का आयतन है और लगने वाला माल बाहर की सतह — ये दो नापें हैं जिन्हें एक ही ड्रॉपडाउन में नहीं बताया जा सकता।

कौन-सी दो नापें चाहिए?

किसी एक गोल सिरे की त्रिज्या और दोनों सिरों के बीच की लंबवत ऊँचाई। त्रिज्या ऊपर से आर-पार की दूरी की आधी है, इसलिए ऊपर से नापा गया दस सेंटीमीटर का डिब्बा त्रिज्या 5 देता है। ऊँचाई किनारे के साथ सीधी ऊपर तक नापनी है, मुड़ी हुई सतह के आर-पार नहीं — फ़र्क़ मायने रखता है: त्रिज्या 5 और ऊँचाई 12 पर सीधी दूरी 12 है, पर बाहर से छोटा रास्ता उससे लंबा है, और लंबा वाला लेने पर आयतन बढ़ा-चढ़ाकर आता है।

मैंने इंच में डाला तो जवाब सेंटीमीटर में क्यों?

क्योंकि चारों जवाब सेंटीमीटर में ही तय हैं, इसलिए चुने गए कि नतीजे वाला पैनल और नीचे की तालिका हमेशा एक ही बात कहें। ड्रॉपडाउन आपके नंबरों को समझे जाने का तरीका बदलता है, जवाब लिखे जाने का नहीं। अपनी इकाई में जवाब चाहिए तो घन इंच के लिए आयतन को 16.387 से और वर्ग इंच के लिए तीनों क्षेत्रफलों को 6.4516 से भाग दीजिए।

पार्श्व सतह और कुल सतह का क्षेत्रफल में क्या फ़र्क़ है?

पार्श्व सतह का क्षेत्रफल अकेली मुड़ी हुई सतह है। कुल सतह का क्षेत्रफल उसी मुड़ी हुई सतह के साथ दोनों गोल सिरे जोड़कर है। बंद बेलन के लिए कुल चाहिए; पाइप, खुले ड्रम या बिना सिरे की किसी भी चीज़ के लिए पार्श्व सतह चाहिए। पेज दोनों छापता है, और आधार का क्षेत्रफल भी, ताकि सिरों का सवाल बिना घटाए जवाब मिल जाए।

आयतन को लीटर में कैसे बदलें?

हज़ार से भाग दीजिए। एक घन सेंटीमीटर एक मिलीलीटर है और हज़ार मिलीलीटर का एक लीटर, इसलिए 942.48 घन सेंटीमीटर का आयतन 0.942 लीटर होता है। यह बदलाव दोनों तरफ़ बिल्कुल सटीक है, और इसी वजह से इस पेज पर अलग से «लीटर मोड» की ज़रूरत नहीं — मिलीलीटर की परिभाषा ही एक घन सेंटीमीटर है।

आयतन और पार्श्व सतह एक ही क्यों आ रहे हैं?

सिर्फ़ तब जब त्रिज्या 2 हो। आयतन πr²h को पार्श्व सतह 2πrh के बराबर रखकर काटने पर r = 2 बचता है, ऊँचाई कोई भी हो — यानी उस त्रिज्या पर हर पंक्ति में दोनों कॉलम मिल जाते हैं। ठीक यही बात आयतन और आधार के क्षेत्रफल के साथ ऊँचाई 1 पर होती है। दोनों आँकड़े सिर्फ़ मूल्य में बराबर हैं: एक आयतन है और एक क्षेत्रफल, और दोनों अलग-अलग इकाइयों में नापे जाते हैं।

क्या यह पेज पाइप या खुले डिब्बे के लिए चलेगा?

आयतन और पार्श्व सतह के लिए हाँ, और पाइप या खुले डिब्बे को असल में यही दो आँकड़े चाहिए। कुल सतह का क्षेत्रफल मान लेता है कि दोनों सिरे बंद हैं, इसलिए खुले बर्तन के लिए उसमें से एक आधार क्षेत्रफल घटा दीजिए। पेज को दीवार की मोटाई की भी जानकारी नहीं है, इसलिए टंकी की क्षमता अंदर की नाप है और उसका माल बाहर की — दोनों के लिए अलग त्रिज्या चाहिए होगी।

• Cylinder — the solid swept by a circle moving along its axis, with the volume and the three surface areas this page computes, including the argument that the curved side unrolls into a rectangle — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — the cross-section of every cylinder, and the source of the πr² that appears in the volume and in both surface formulas — Wolfram MathWorld (United States)
• Pi — the constant in all four outputs, and the reason three of the four are irrational for almost every input — Wolfram MathWorld (United States)