गोले का आयतन कैलकुलेटर

V = 4⁄3 × πr³ r = d ÷ 2 r = C ÷ 2π

त्रिज्या

केंद्र से सतह तक की दूरी, सेंटीमीटर में। आयतन असल में इसी एक संख्या से बनता है — बाक़ी दो ख़ाने सिर्फ़ इस तक पहुँचने के और तरीक़े हैं

व्यास

बीच से सीधे पार जाती दूरी, सेंटीमीटर में, जिसे पेज आधा करके त्रिज्या बना लेता है। यह ख़ाना तब भरना चाहिए जब गेंद सामने रखी हो और उस पर स्केल रखकर नापना सबसे आसान हो

परिधि

सबसे चौड़े हिस्से के चारों ओर की दूरी, सेंटीमीटर में, जिसे पेज 2π से भाग देकर त्रिज्या निकालता है। यह ख़ाना तब भरना चाहिए जब बाहर से फ़ीता लपेटना ही आपके हाथ में हो

आयतन

गेंद जितनी जगह घेरती है, घन सेंटीमीटर में। पेज का इकलौता आउटपुट, और यहाँ की अकेली ऐसी राशि जो नाप के साथ नहीं, नाप के घन के साथ बढ़ती है

4⁄3 πr³

सूत्र, और इसमें चार तिहाई ही वह हिस्सा है जिसका कोई मतलब है। यह गेंद को उसके चारों ओर ठीक-ठीक बैठने वाले बेलन का दो तिहाई बनाता है, जो गोलों की ख़ासियत है, हिसाब की कोई निराली बात नहीं

r³

त्रिज्या का घन, और यही वजह है कि इतने छोटे इनपुट से इतने बड़े जवाब निकल सकते हैं। त्रिज्या दुगुनी करने पर आयतन आठ गुना हो जाता है; यह बात कंचे पर भी सच है और ग्रह पर भी

चार दशमलव

जवाब कितनी चौड़ाई में लिखा जाता है। आयतन में हमेशा एक π और एक घन लगा रहता है, इसलिए जब तक त्रिज्या शून्य न हो वह कभी पूरा-पूरा नहीं आता — चार दशमलव एक प्रदर्शन-चौड़ाई है, नाप की सटीकता का दावा नहीं

यह पेज समाई, हटाव और सामग्री के लिए है, और इन तीनों में वह सब समा जाता है जो लोग आम तौर पर गेंद से चाहते हैं। समाई: कोई गोलाकार टंकी, गैस होल्डर या पानी की टंकी कितना उठाती है, फ़ुटबॉल में कितनी हवा है, एक स्कूप में कितनी आइसक्रीम आती है। हटाव: कोई तैरने वाली चीज़ या नाव का पेंदा कितना पानी हटाता है, जो उसके आयतन के बराबर ही होता है और यही तय करता है कि वह तैरेगी या नहीं और कितना उठा सकेगी। सामग्री: किसी बॉल-बेयरिंग में कितना स्टील लगा है, किसी गुंबद को भरने में कितनी कंक्रीट गई, या घनत्व पता हो तो आटे व मिट्टी की गोली का वज़न कितना होगा। यह उन बहुत सी चीज़ों का आकार भी है जो गोल सिर्फ़ करीब-करीब हैं, और करीब-करीब काफ़ी होता है — अंडा, पानी की बूँद, ओला, और वह ग्रह जो भूमध्य रेखा पर ज़रा-सा फूला हुआ है। एक उलटा इस्तेमाल भी है: अगर किसी बर्तन में इतना आयतन समाना है, तो यही पेज बताता है कि गोला कितना बड़ा होना चाहिए, क्योंकि इन दोनों के बीच बस एक घनमूल खड़ा है।

1. त्रिज्या 5 वाली गेंद

   1. त्रिज्या का घन कीजिए: 5³ = 125
   2. π से और चार तिहाई से गुणा कीजिए: (4 ÷ 3) × π × 125 = 500π ÷ 3
   3. 500π ÷ 3 = 523.5987…, जो पूरा करने पर 523.5988 होता है

   यही वह इनपुट है जिसके साथ पेज खुलता है, और यही वह पंक्ति है जिस पर सूत्र जाँचना चाहिए: आयतन 500π/3 है, इसलिए पूरी चीज़ π का एक साफ़ गुणज है। पाँच सेंटीमीटर की गेंद टेनिस बॉल से ज़रा छोटी है, और जवाब — आधा लीटर से कुछ ज़्यादा — का एहसास होना काम का है, क्योंकि रसोई के नुस्ख़े और छोटे बर्तन ऐसी ही मात्राओं में चलते हैं। आधा लीटर से ज़रा ज़्यादा यानी करीब 524 मिलीलीटर, और एक मिलीलीटर ठीक एक घन सेंटीमीटर होता है।

2. व्यास 12 वाली गेंद

   1. त्रिज्या: 12 ÷ 2 = 6
   2. त्रिज्या का घन कीजिए: 6³ = 216
   3. π से और चार तिहाई से गुणा कीजिए: (4 ÷ 3) × π × 216 = 288π
   4. 288π = 904.7786…, जो पूरा करने पर 904.7787 होता है

   यह वह ख़ाना है जो तब भरना चाहिए जब गेंद हाथ में हो, क्योंकि बीच से स्केल रखकर जो नाप मिलता है वही व्यास है और ज़्यादातर गेंदें इसी में बताई जाती हैं। जवाब 288π है, फिर π का पूरा गुणज, और ऐसा तब होता है जब त्रिज्या पूर्ण संख्या में आए। ऊपर की पंक्ति से तुलना कीजिए: त्रिज्या पाँचवें हिस्से जितनी बढ़ी, 5 से 6, और आयतन दो तिहाई से ज़्यादा बढ़ गया, 523.5988 से 904.7787।

3. भूमध्य रेखा पर नापी गई गेंद

   1. त्रिज्या: 20 ÷ (2π) = 3.1830988…
   2. त्रिज्या का घन कीजिए: 3.1830988…³ = 32.2519…
   3. π से और चार तिहाई से गुणा कीजिए: (4 ÷ 3) × π × 32.2519… = 4000 ÷ 3π²
   4. 4000 ÷ 3π² = 135.0948…, जो पूरा करने पर 135.0949 होता है

   यह वह पंक्ति है जो तब पढ़नी चाहिए जब आप यह हिसाब ख़ुद करने की सोच रहे हों, क्योंकि यहीं जल्दी पूरा करने से ग़लती होती है। गोला वाला पेज इस गेंद की त्रिज्या 3.1831 छापता है, जो सटीक दिखती है और है नहीं: उसका घन करके गुणा कीजिए तो 135.0950 आता है। यह पेज 135.0949 बताता है और पेज सही है, क्योंकि असली जवाब उस 20 का है जो आपने डाला, न कि स्क्रीन पर दिख रही पूरी की हुई त्रिज्या का। दोनों में फ़र्क़ आख़िरी अंक का है और बस उतना ही, और यह ठीक ऐसी ग़लती है जो किसी मोटी जाँच में पकड़ में नहीं आती।

4. त्रिज्या एक वाली गेंद

   1. त्रिज्या का घन कीजिए: 1³ = 1
   2. π से और चार तिहाई से गुणा कीजिए: (4 ÷ 3) × π × 1 = 4π ÷ 3
   3. 4π ÷ 3 = 4.18879…, जो पूरा करने पर 4.1888 होता है

   इकाई गोला, और यह वह पंक्ति है जो दिखाती है कि चार तिहाई असल में क्या है: आयतन 4π/3 है, और उसी गेंद का सतह क्षेत्रफल गोला कैलकुलेटर 4π बताता है। संख्यात्मक रूप से आयतन सतह क्षेत्रफल का एक तिहाई है, जो त्रिज्या एक होने का संयोग है, कोई सामान्य नियम नहीं — पर यह जोड़ी याद रखने में सुविधाजनक है और इससे दोनों सूत्र आसानी से अलग पहचाने जाते हैं।

5. त्रिज्या शून्य वाली गेंद

   1. त्रिज्या का घन कीजिए: 0³ = 0
   2. π से और चार तिहाई से गुणा कीजिए: (4 ÷ 3) × π × 0 = 0

   बिना नाप की गेंद एक बिंदु है और कुछ नहीं समेटती। शून्य जायज़ इनपुट है, ख़ाली ख़ाना नहीं, इसलिए यह असली जवाब है — पेज इसे तीनों ख़ाने ख़ाली छोड़ने से अलग रखता है, जहाँ कोई नतीजा नहीं दिखता क्योंकि काम करने को कुछ ही नहीं है।

पेज सिर्फ़ गोलों के लिए है: ऐसी सतह जिसका हर बिंदु केंद्र से बराबर दूरी पर हो। अंडा, रग्बी की गेंद या ज़रा-सा दबा हुआ ग्रह गोला नहीं है, और अर्धगोला भी नहीं — वह आधे में कटा गोला है और यहाँ जो निकलता है उसका ठीक आधा समेटता है, हालाँकि उसका सतह क्षेत्रफल आधा नहीं होता। आयतन डाला नहीं जा सकता, इसलिए जो गेंद अपनी समाई से बताई गई हो उसे पहले कहीं और त्रिज्या में बदलना पड़ेगा। जवाब घन सेंटीमीटर में ही आता है, ड्रॉपडाउन चाहे जिस पर हो, इसलिए इंच में डाला गया व्यास सेंटीमीटर वाला जवाब देता है जिसे आपको बदलना पड़ेगा — और चूँकि यह आयतन है, यह बदलाव घन वाला है: घन इंच से घन सेंटीमीटर का अनुपात करीब 16.4 है, 2.54 नहीं। चार दशमलव एक प्रदर्शन-चौड़ाई है, सटीकता का दावा नहीं, क्योंकि आयतन में हमेशा एक π और एक घन लगा रहता है। ठीक एक ख़ाना भरा जा सकता है; दो एक साथ भरने पर जवाब चुपचाप निकालने के बजाय साफ़ मना कर दिया जाता है। ख़ोखली गेंद की दीवार की मोटाई, गेंद की सामग्री या उसका वज़न यहाँ नहीं आता, और पेज सतह क्षेत्रफल नहीं देता — बग़ल वाला गोला कैलकुलेटर उन्हीं तीन इनपुट पर आयतन के साथ वह भी छापता है।

यह गोला कैलकुलेटर से अलग कैसे है?

इनपुट बिल्कुल एक जैसे हैं — वही तीन ख़ाने, और वही नियम कि ठीक एक भरना है। फ़र्क़ नतीजे में है। गोला कैलकुलेटर पाँच जवाब छापता है: आयतन, सतह का क्षेत्रफल, और तीनों लंबाइयाँ। यह पेज आयतन छापता है और बस वही, क्योंकि लोग आम तौर पर यही लेने आते हैं और बाक़ी हटा देने से स्क्रीन पर अकेला यही रह जाता है।

आयतन व्यास से इतना तेज़ क्यों बढ़ता है?

क्योंकि वह त्रिज्या के घन के साथ चलता है जबकि व्यास त्रिज्या के साथ ही चलता है। गेंद का व्यास दुगुना कीजिए तो आयतन आठ गुना हो जाता है; तिगुना कीजिए तो सत्ताईस गुना। इसीलिए टंकी के नाप में छोटा-सा बदलाव उसकी समाई में बड़ा बदलाव कर देता है, और इसीलिए यहाँ देखने में छोटा-सा इनपुट बहुत बड़ा जवाब दे सकता है।

चार तिहाई कहाँ से आता है?

यह गेंद को उसके चारों ओर ठीक-ठीक बैठने वाले सबसे छोटे बेलन का दो तिहाई बनाता है — वही त्रिज्या, और ऊँचाई त्रिज्या की दुगुनी। आर्किमिडीज़ ने यह साबित किया था और कहा था कि उसकी क़ब्र पर गोला और बेलन तराश दिए जाएँ। इसी वजह से सूत्र में भिन्न लगा हुआ है: गोला सपाट परतों का ढेर नहीं है, और उसकी टेढ़ी परतों को जोड़ने वाला कलन ही चार तिहाई निकालता है।

मेरे हिसाब से 135.0950 आता है पर पेज 135.0949 कहता है। सही कौन है?

पेज। उस गेंद की त्रिज्या 10/π है, यानी 3.1830988…, और स्क्रीन पर छपी त्रिज्या 3.1831 तक पूरी की हुई है। पूरी की हुई संख्या का घन करने से ही 135.0950 आता है — फ़र्क़ आख़िरी अंक का है और वह पूरा का पूरा जल्दी पूरा करने से आया है। असली जवाब उस संख्या का है जो आपने डाली, और पेज भीतर आख़िर तक सटीक त्रिज्या ही लिए चलता है।

क्या आयतन से त्रिज्या वापस निकाल सकते हैं?

इस पेज पर नहीं — आयतन आउटपुट है, इनपुट नहीं। हो सकता तो है, क्योंकि त्रिज्या तीन गुणा आयतन बटा चार π का घनमूल होती है, पर वह अलग क्रिया है और पेज उसे नहीं करता। अगर आप जानते हैं कि बर्तन में कितना समाना है और यह पूछना है कि उतनी बड़ी गेंद कितनी होगी, तो वह हिसाब अलग से करना पड़ेगा।

जवाब लीटर में होना चाहिए?

पेज घन सेंटीमीटर छापता है, और हज़ार घन सेंटीमीटर का एक लीटर होता है — इसलिए 523.5988 घन सेंटीमीटर करीब 0.524 लीटर है, और एक मिलीलीटर ठीक एक घन सेंटीमीटर। बड़े गोलों में संख्याएँ जल्दी बड़ी हो जाती हैं: एक मीटर व्यास वाली गेंद में आधे घन मीटर से ज़्यादा, यानी पाँच सौ लीटर से ऊपर समाता है। ड्रॉपडाउन यह बदलता है कि आप क्या डालते हैं, यह नहीं कि जवाब किसमें आता है।

• Sphere — the ball itself, with the volume formula this page computes and the two-thirds relation to the cylinder that just contains it — Wolfram MathWorld (United States)
• Volume — what a volume is in general and how it is defined for a curved solid, which is the part of the sphere that cannot be reached by stacking flat slices — Wolfram MathWorld (United States)
• Cylinder — the solid a sphere fits inside, whose volume the sphere takes exactly two thirds of, and the shape most nearly comparable to it — Wolfram MathWorld (United States)