घनाभ आयतन कैलकुलेटर

V = lwh S = 2(lw + lh + wh)

l

बक्से की लंबाई, सेंटीमीटर में — तीन में से कोई भी किनारा, बशर्ते बाक़ी दो चौड़ाई और ऊँचाई बनें। बक्से को इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता कि किस किनारे पर कौन-सा नाम चिपका है

w

चौड़ाई, सेंटीमीटर में। लंबाई के साथ यह आधार वाला आयत तय करती है, यानी वह फलक जिस पर बक्सा खड़ा है

h

ऊँचाई, सेंटीमीटर में: बक्सा अपने आधार से कितना ऊपर उठता है। यह तीसरी दिशा है, और यही किसी आयत के क्षेत्रफल को आयतन वाले ठोस में बदलती है

lwh

आयतन — तीन लंबाइयों का गुणनफल। यह इतना ही है कि भीतर एक सेंटीमीटर भुजा के कितने घन समा जाते हैं, और घन सेंटीमीटर का मतलब भी यही है

lw, lh, wh

छह फलकों में से तीन अलग आयत: आधार, सामने का फलक और बग़ल का फलक। बाक़ी तीन फलक वही तीन आयत दोबारा हैं, इसीलिए सतह वाले सूत्र को छह अलग क्षेत्रफल जोड़ने की ज़रूरत नहीं पड़ती

2(lw + lh + wh)

कुल सतह का क्षेत्रफल, वर्ग सेंटीमीटर में। यह दो इस बात का प्रतीक है कि बक्से के आमने-सामने के फलक एक जैसे होते हैं, और यही वह क़दम है जो लोग छोड़ देते हैं जब वे छह फलक जोड़ते हैं और हर जोड़ी को दो-दो बार गिन लेते हैं

चार दशमलव

जवाब कितनी चौड़ाई में छपते हैं। तीनों लंबाइयाँ पूरी हों तो दोनों आँकड़े भी पूरे आते हैं, इसलिए चार दशमलव कोई अनुमान का संकेत नहीं बल्कि प्रदर्शन की चौड़ाई है — 0.125 पूरा का पूरा लिखा जाता है

पैकिंग और ढुलाई सबसे सीधा मामला है। पार्सल का आयतन ही वह चीज़ है जिस पर कूरियर चार्ज लगाते हैं, और कुल सतह का क्षेत्रफल वह गत्ता है जो डिब्बा बनाने में लगता है — किसी कारोबार को कार्टन का नाप तय करने से पहले यही दो संख्याएँ चाहिए, और आयतन यह भी तय करता है कि कोई चीज़ भीतर आएगी या नहीं। भंडारण दूसरा: किसी क्रेट, दराज़, भंडारण के डिब्बे, फ़ाइल-बॉक्स या ख़ानों वाले रैक में कितना समाता है, और उसका बाहरी हिस्सा दीवार पर कितनी जगह घेरेगा। सामग्री तीसरा: बक्से को जो रंगना, लपेटना, भीतर से मढ़ना, पाउडर-कोट करना या ढकना है वह सब सतह का क्षेत्रफल है, इसलिए जो काम वर्ग मीटर के भाव पर दिया जाता है वह इसी सूत्र से शुरू होता है, और जब भरने वाली चीज़ आयतन से बिकती हो तो बक्से में क्या भरेगा यह आयतन तय करता है। निर्माण में यह एक आयताकार नींव की कंक्रीट है, आयताकार खुदाई की मिट्टी है, आयताकार टंकी या हौज़ का पानी है, और आयताकार क्यारी की भराई है — चारों यही एक गुणा हैं, और जो हिस्सा सचमुच ग़लत होता है वह तीनों नाप को एक ही इकाई में न रखना है। कारख़ाने में यह किसी गुटके में लगी सामग्री है, किसी हॉपर की क्षमता है, और किसी पिंड का वह आयतन है जो किसी मशीन पर चढ़ने से पहले का होता है। विज्ञान में यह हर उस चीज़ का घनत्व निकालने का पहला क़दम है जिसे आयताकार ठोस में काटा जा सके, क्योंकि घनत्व द्रव्यमान बटा आयतन है। और कक्षा में यह सबसे साफ़ प्रदर्शन है कि आयतन और कुल सतह का क्षेत्रफल दो अलग चीज़ें हैं जो एक ही तीन संख्याओं से निकलती हैं: सेंटीमीटर के घनों से एक बक्सा बनाइए, आयतन के लिए घन गिनिए, सतह के लिए बाहर के वर्ग गिनिए, और दुगुना करने पर ये दो गिनतियाँ अलग-अलग गुना बढ़ती हैं — पूरा पाठ इतना ही है।

1. 5 गुणा 4 गुणा 4 का बक्सा

   1. आधार का आयत: 5 × 4 = 20
   2. बाक़ी दो आयत: 5 × 4 = 20 और 4 × 4 = 16
   3. तीनों जोड़कर दुगुना कीजिए: 2 × (20 + 20 + 16) = 112 वर्ग सेंटीमीटर
   4. तीनों लंबाइयाँ गुणा कीजिए: 5 × 4 × 4 = 80 घन सेंटीमीटर

   यही वे नाप हैं जिनके साथ पेज खुलता है, और यही वह मामला है जो कुल सतह क्षेत्रफल वाला पेज अपने प्रिज़्म वाले विकल्प में हल करता है। दोनों पेज इस पर 112 छापते हैं, और यह जाँच लेना अच्छा है: दोनों इस आँकड़े तक अलग रास्तों से पहुँचते हैं, और इनका बेमेल होना किसी एक में बग़ होने का सबूत होता। ध्यान दीजिए कि यहाँ तीन में से दो नाप बराबर हैं, इसलिए तीन अलग फलकों में से दो एक ही आयत हैं।

2. 3 गुणा 4 गुणा 5 का बक्सा

   1. तीन आयत: 3 × 4 = 12, 3 × 5 = 15 और 4 × 5 = 20
   2. जोड़कर दुगुना कीजिए: 2 × (12 + 15 + 20) = 94 वर्ग सेंटीमीटर
   3. तीनों गुणा कीजिए: 3 × 4 × 5 = 60 घन सेंटीमीटर

   नापों का क्लासिक सेट, और नीचे की पंक्ति के बग़ल में देखने वाली जोड़ी: हर किनारा दुगुना करना सिर्फ़ बड़ा बक्सा नहीं है, वह जवाब का दूसरा आकार है। यह पंक्ति उस प्रदर्शन का छोटा आधा हिस्सा है जिसके बारे में असल में यह पूरा पेज है।

3. वही बक्सा दुगुना: 6 गुणा 8 गुणा 10

   1. तीन आयत: 6 × 8 = 48, 6 × 10 = 60 और 8 × 10 = 80
   2. जोड़कर दुगुना कीजिए: 2 × (48 + 60 + 80) = 376 वर्ग सेंटीमीटर
   3. तीनों गुणा कीजिए: 6 × 8 × 10 = 480 घन सेंटीमीटर

   हर किनारा दुगुना, इसलिए कुल सतह का क्षेत्रफल पिछली पंक्ति के 94 का चार गुना है और आयतन उसके 60 का आठ गुना। यह इस पेज की सबसे काम की बात है: बक्से को दुगुना करने से न वह दुगुना समेटता है न उसकी सामग्री दुगुनी लगती है, और ये दोनों तो एक-दूसरे की तुलना में भी एक ही रफ़्तार से नहीं बढ़ते। यही वह रिश्ता है जिससे बड़ा बर्तन हर लीटर पर छोटे से सस्ता पड़ता है।

4. बारह गुणा आठ गुणा छह का बक्सा

   1. तीन आयत: 12 × 8 = 96, 12 × 6 = 72 और 8 × 6 = 48
   2. जोड़कर दुगुना कीजिए: 2 × (96 + 72 + 48) = 432 वर्ग सेंटीमीटर
   3. तीनों गुणा कीजिए: 12 × 8 × 6 = 576 घन सेंटीमीटर

   चपटा और लंबा बक्सा, और तालिका के घन से तुलना करने वाली पंक्ति। यह 576 घन सेंटीमीटर समेटता है और इसकी सतह 432 वर्ग सेंटीमीटर है, यानी हर एक घन सेंटीमीटर सामान पर 0.75 वर्ग सेंटीमीटर गत्ता; जबकि घन 1000 समेटता है और उसकी सतह 600 है, यानी हर घन सेंटीमीटर पर 0.6 वर्ग सेंटीमीटर। दिए हुए आयतन के सब बक्सों में घन वह है जिसकी सतह सबसे कम होती है, और उससे जितना भी हटिए उतनी सामग्री ज़्यादा लगती है — इसीलिए घन जैसा कार्टन किफ़ायती होता है और उतनी ही समाई वाला चपटा डिब्बा नहीं।

5. बिना ऊँचाई का बक्सा: 5 गुणा 5 गुणा 0

   1. तीन आयत: 5 × 5 = 25, 5 × 0 = 0 और 5 × 0 = 0
   2. जोड़कर दुगुना कीजिए: 2 × (25 + 0 + 0) = 50 वर्ग सेंटीमीटर
   3. तीनों गुणा कीजिए: 5 × 5 × 0 = 0 घन सेंटीमीटर

   दबकर चादर बन गया बक्सा। आयतन शून्य है, जो सही है और यह पेज के जवाब देने से चूक जाने का सबूत नहीं, और सतह का क्षेत्रफल शून्य नहीं है — वह 50 है, यानी वे दो फलक जो अब भी मौजूद हैं। तीनों ख़ानों में से किसी में भी शून्य जायज़ मान है: शून्य नापना भी एक नाप है, और काम करने को कुछ न बचने का मामला सिर्फ़ ख़ाना ख़ाली छोड़ना है।

यह पेज आयताकार बक्सा निकालता है और बस वही: न बेलन, न शंकु, न गोला, न पिरामिड, न कोई अनियमित ठोस, और यह आयतन लेकर उलटी दिशा में कोई छूटा हुआ किनारा नहीं निकालता। तीनों नाप भरनी पड़ती हैं और इनमें से कोई ऋणात्मक नहीं हो सकती। दोनों जवाब सेंटीमीटर में ही आते हैं — आयतन घन में, सतह वर्ग में — हर ख़ाना चाहे जिस इकाई पर सेट हो, क्योंकि बदलाव भीतर आते वक़्त ही हो जाता है। इसलिए इंच में नापे गए बक्से का आयतन घन इंच में पढ़ने के लिए 16.387064 से भाग देना पड़ता है: आयतन लंबाई के गुणक के घन से बदलता है, और लंबाई या क्षेत्रफल की नक़ल पर 2.54 या 6.4516 से भाग दे देना वह ग़लती है जिससे बचना है। बक्से के बीच से जाती विकर्ण की कोई नाप यहाँ नहीं है, और स्क्रीन के नाप से जो विकर्ण पाठक के ज़हन में होता है वह किसी फलक का विकर्ण होता है, जो अलग लंबाई है। गोल कोनों वाला बक्सा, ऊपर से खुला बक्सा, या जिस सामग्री से वह बना है उसकी मोटाई — इनमें से कुछ भी यहाँ नहीं आता; ऊपर से खुला बक्सा यहाँ छपे आँकड़े से कम सामग्री लेता है, और फ़र्क़ उतना ही है जितना वह फलक जो आपने छोड़ दिया। चार दशमलव एक प्रदर्शन-चौड़ाई है; हिसाब ख़ुद तीनों इनपुट पूरे हों तो पूरा ही रहता है, इसलिए 0.125 जैसा आँकड़ा पूरा लिखा जाता है, पूरा किया हुआ नहीं। और घन सेंटीमीटर से लीटर में यहाँ कुछ नहीं बदला जाता: अगर वही चाहिए तो एक्वेरियम वाला पेज यही तीन नाप लेकर लीटर और गैलन में जवाब देता है।

हर भुजा दुगुनी करने पर आयतन आठ गुना क्यों हो जाता है?

क्योंकि तीनों लंबाइयाँ दुगुनी होती हैं और वे आपस में गुणा होती हैं, इसलिए दो का गुणक तीन बार लगता है: दो गुणा दो गुणा दो आठ। कुल सतह का क्षेत्रफल सिर्फ़ दो बार दुगुना होता है, क्योंकि क्षेत्रफल दो लंबाइयों का गुणनफल है, इसलिए वह चार गुना बढ़ता है। यही फ़र्क़ वजह है कि बड़ा बर्तन छोटे से कहीं ज़्यादा समेटता है पर उतनी ही सामग्री के अनुपात में कम लेता है, और यही वजह है कि एक ही आकार का छोटा डिब्बा कभी सस्ता सौदा नहीं होता।

मैंने इंच में डाला। आयतन घन सेंटीमीटर में क्यों आया?

क्योंकि बदलाव भीतर आते वक़्त होता है, बाहर जाते वक़्त नहीं। आपके इंच सेंटीमीटर में बदल दिए जाते हैं और दोनों जवाब सेंटीमीटर में लौटते हैं। आयतन घन इंच में पढ़ने के लिए 16.387064 से भाग दीजिए — यही 2.54 का घन है। लंबाई की तरह 2.54 से भाग देना ऐसा जवाब देता है जो करीब चालीस गुना ग़लत है।

तीनों ख़ानों में से ऊँचाई कौन-सी है?

जिसे आप खड़ी दिशा मान रहे हों — बक्से को इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता कि किस किनारे पर कौन-सा नाम है, क्योंकि आयतन और कुल सतह का क्षेत्रफल तीनों में एक जैसे सममित हैं। पेज ऊँचाई शब्द इस अर्थ में इस्तेमाल करता है कि यह किसी आकृति की ऊँचाई है, किसी टंकी या किसी आदमी की नहीं, पर अगर आप दो ख़ानों की संख्याएँ आपस में बदल दें तो भी हिसाब नहीं बदलेगा।

क्या यह एक्वेरियम आयतन वाले पेज जैसा ही है?

ज्यामिति बिल्कुल वही है और तीनों नाप भी वही तीन हैं, पर जवाब वही नहीं हैं। वह पेज इस आकृति को बर्तन मानकर लीटर और गैलन में जवाब देता है, और उसकी नापों पर ऐसी सीमा लगी है जो किसी टंकी के लिए बनती है। यह पेज इसे ज्यामितीय ठोस मानकर घन सेंटीमीटर में जवाब देता है और साथ में कुल सतह का क्षेत्रफल भी, जो तब चाहिए जब बक्सा बर्तन न होकर कोई सामग्री की चीज़ हो।

सिर्फ़ सतह का क्षेत्रफल चाहिए, या कोई दूसरा आकार?

कुल सतह क्षेत्रफल वाला पेज गोला, शंकु, बेलन या आयताकार प्रिज़्म लेता है और सिर्फ़ बाहरी क्षेत्रफल लौटाता है, इसलिए वह इस बक्से को तीन और आकृतियों के साथ सँभालता है। उसका प्रिज़्म वाला विकल्प वही सूत्र है जो यह पेज इस्तेमाल करता है, और दोनों मेल खाते हैं: 5 गुणा 4 गुणा 4 का बक्सा दोनों पर 112 पढ़ता है। अगर एक बार में एक ही आँकड़ा चाहिए और चुनने का झंझट नहीं, तो यह पेज तेज़ रास्ता है।

बक्से का विकर्ण क्यों नहीं है?

क्योंकि जो विकर्ण ज़्यादातर लोगों के ज़हन में होता है, और जो इस साइट पर कहीं और पहले से दिखता है, वह किसी सपाट फलक के आर-पार जाता है — वही जो स्क्रीन के नाप में बताया जाता है। बक्से में एक विकर्ण बीच से भी जाता है, एक कोने से सामने वाले कोने तक, और वह अलग लंबाई है जिसका सूत्र भी अलग है। सिर्फ़ विकर्ण लिखकर एक ही नाम के नीचे उसे छाप देना दोनों में से किसी एक पेज पर नाम को ग़लत बना देता, इसलिए यह पेज उसे छोड़ देता है।

• Cuboid — the rectangular solid this page measures, its volume, its surface area and its diagonals — Wolfram MathWorld (United States)
• Volume — what a volume is and how it is defined, including why it is measured in cubed units and why the conversion between them is the cube of the length conversion — Wolfram MathWorld (United States)
• Surface Area — the area of the outside of a solid, and why opposite faces of a box can be counted once and doubled — Wolfram MathWorld (United States)