द्विघात सूत्र कैलकुलेटर

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a Δ = b² − 4ac x₁ + x₂ = −b ÷ a x₁ · x₂ = c ÷ a

a

x² का गुणांक। यह शून्य नहीं हो सकता: a शून्य होने पर समीकरण असल में एक सीधी रेखा है, उसका एक ही मूल होता है दो के बजाय, और योग तथा गुणनफल के दोनों सूत्र a से भाग देते हैं। पेज वह इनपुट ठुकरा देता है और यह भी बताता है कि कौन-सी चीज़ ग़ायब है, ताकि कोई दूसरा ही सवाल हल न हो जाए

b

x का गुणांक। इसी का चिह्न सूत्र के धन-ऋण को तय करता है, और यहीं कटौती का ख़तरा भी बैठा है: b बड़ा हो और दोनों मूल दूर-दूर हों तो एक वर्गमूल को दूसरे में से घटाने पर अंक गिरने लगते हैं। पेज उस घटाव से बचकर निकलता है, यह उम्मीद करने के बजाय कि उससे कुछ फ़र्क़ नहीं पड़ेगा

c

अचर पद। यह दोनों मूलों का गुणनफल गुणे a है, और कैलकुलेटर के बिना उपलब्ध सबसे तेज़ जाँच यही है: जिन मूलों की उम्मीद आप कर रहे थे, उनका गुणनफल c ÷ a न बने तो ऊपर कहीं कुछ ग़लत है। c शून्य हो तो एक मूल शून्य होता है और दूसरा −b ÷ a, जो सूत्र से बिना किसी विशेष मामले के निकल आता है

Δ = b² − 4ac

विविक्तकर, वह अकेली संख्या जो जवाब का आकार तय करती है। धनात्मक का मतलब दो अलग-अलग वास्तविक मूल, शून्य का मतलब एक ही दोहराया हुआ वास्तविक मूल, और ऋणात्मक का मतलब मूल सम्मिश्र हैं और संयुग्मी युग्म के रूप में आते हैं। पेज इसका इस्तेमाल दो बार करता है — एक बार यह चुनने में कि कौन-से मूल निकालने हैं, और एक बार परिणाम के ऊपर का बैज चुनने में — और दोनों पाठ एक ही मान से आते हैं, इसलिए वे आपस में टकरा नहीं सकते

x = (−b ± √Δ) ÷ 2a

स्वयं द्विघात सूत्र। धन-ऋण एक ही व्यंजक से दोनों मूल निकालता है, और वर्गमूल ही वह अकेला क़दम है जो वास्तविक संख्याओं में नाकाम हो सकता है: ऋणात्मक Δ का कोई वास्तविक वर्गमूल नहीं होता, और यही वह मामला है जिसका जवाब यह पेज सम्मिश्र संख्याओं में फिर भी देता है। 2a से भाग देना ही वह जगह है जहाँ से यह अनिवार्य हो जाता है कि a शून्य न हो

x₁ + x₂ = −b ÷ a

मूलों का योग, जिसे वियत के सूत्रों में से एक कहा जाता है। यह छपने लायक इसलिए है कि सम्मिश्र मामले में भी बिना किसी बदलाव के टिका रहता है: x² − 2x + 5 के मूल 1 + 2i और 1 - 2i हैं, और उनका योग फिर भी 2 ही है। जिसे शक हो कि ऋणात्मक विविक्तकर पर पेज जवाब गढ़ रहा है, वह इस कॉलम को जाँच ले और उसे अपने टाइप किए समीकरण से मेल खाता पाए

x₁ · x₂ = c ÷ a

मूलों का गुणनफल, वियत का दूसरा सूत्र, और वह जाँच जो अचर पद की चिह्न-ग़लती पकड़ती है। जिस समीकरण में अगला गुणांक 1 हो वहाँ यह बस c है: x² − 3x + 2 के गुणनखंड (x − 1)(x − 2) हैं, इसलिए मूलों का गुणनफल 2 और योग 3 बैठता है। योग की तरह यह भी मूलों के सम्मिश्र होने पर ज़रा नहीं बदलता

b² − 4ac = 0

सीमा का मामला, जहाँ दोनों मूल सिमटकर एक हो जाते हैं और पेज दोनों पंक्तियों में वही मान छापता है। यह कोई दुर्लभ किनारा नहीं है: यही पूर्ण वर्ग त्रिपद की शर्त है, इसलिए गुणनखंड के हर अभ्यास में आता है। परिणाम के ऊपर का बैज बदलकर यही बताता है, और पेज पर यह अकेली जगह है जहाँ मूलों की गिनती शब्दों में कही जाती है

इसे हर उस समीकरण के लिए उठाइए जिसमें x² पद हो और जिसके मूल चाहिए; व्यवहार में यह तीन हालत में होता है: कोई अभ्यास जिसमें गुणनखंड साफ़ नहीं दिखता, कोई भौतिक नमूना जिसके गुणांक नाप से आए हैं इसलिए गुणनखंड वहाँ है ही नहीं, और वह मामला जिसमें जवाब सम्मिश्र होना मालूम है और सिर्फ़ वास्तविक मूल देखने वाला तरीक़ा आपके हाथ ख़ाली छोड़ देगा। यह उस गुणनखंड की जाँच का भी औज़ार है जो आप पहले ही कर चुके हैं: मूलों का योग और गुणनफल छपते हैं, इसलिए (x − 1)(x − 2) को दोबारा खोलने की ज़रूरत नहीं पड़ती। जब a शून्य निकले तो ढाल कैलकुलेटर उठाइए — वह एक रेखा है, और ax + by = c वाला पेज ही उसका जवाब देता है। जब असल में ज़रूरत वर्गमूल निकालने की हो तो मूल कैलकुलेटर उठाइए, क्योंकि मूल चिह्न के नीचे बैठा विविक्तकर भी बाक़ी वर्गमूलों जैसा ही वर्गमूल है और ऊँचे मूलों के नियम वहीं हैं। और जब x² को हल करना नहीं बल्कि निकालना हो, तो घात कैलकुलेटर उठाइए — द्विघात का मान निकालना और द्विघात का शून्य खोजना, यही दोनों में फ़र्क़ है।

1. x² − 3x + 2 = 0

   1. विविक्तकर: Δ = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1
   2. Δ धनात्मक है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और अलग-अलग हैं
   3. √Δ = 1, इसलिए मूल (3 + 1) ÷ 2 = 2 और (3 − 1) ÷ 2 = 1 हैं
   4. घटते क्रम में 2 पहली पंक्ति में आता है, और जाँच भी बैठती है: 2 + 1 = 3 तथा 2 × 1 = 2

   वही समीकरण जिसके साथ ज़्यादातर लोग आते हैं, और वही जो साफ़-सुथरे ढंग से (x − 1)(x − 2) बनता है — इसलिए पैनल की हर संख्या गुणनखंडों को दोबारा खोलकर जाँची जा सकती है। यह वह मामला भी है जहाँ जवाब कैलकुलेटर के लायक बहुत आसान लगता है, और यही बात का मुद्दा है: पैनल उस सवाल पर अपना काम दिखा रहा है जिसका जवाब आपको पहले से पता है, और वही पाँच पंक्तियाँ उस सवाल पर लौटकर आती हैं जिसका नहीं पता।

2. x² − x − 1 = 0

   1. विविक्तकर: Δ = (−1)² − 4 × 1 × (−1) = 1 + 4 = 5
   2. Δ धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं, इसलिए मूल अपरिमेय हैं
   3. √5 = 2.2360679…, इसलिए मूल (1 + 2.2360679…) ÷ 2 और (1 − 2.2360679…) ÷ 2 हैं
   4. छह दशमलव तक छपने पर: 1.618034 और −0.618034

   स्वर्ण अनुपात, और वह मामला जो दिखाता है कि पेज भिन्न सिर्फ़ तभी क्यों छापता है जब वे ठीक-ठीक हों। (1 + √5) ÷ 2 के बराबर कोई भिन्न है ही नहीं, इसलिए जवाब दशमलव है — और 1.618034 देखने वाला जान जाता है कि यह गोल किया हुआ है, जबकि वही संख्या भिन्न के रूप में लिखी होती तो ठीक-ठीक लगती। दोनों मूलों का गुणनफल ठीक −1 बैठता है, और इस तरह का संयोग इनपुट की नहीं हिसाब की पुष्टि करता है।

3. 2x² + 3x − 2 = 0

   1. विविक्तकर: Δ = 3² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25
   2. √Δ = 5, इसलिए मूल (−3 + 5) ÷ 4 = 1/2 और (−3 − 5) ÷ 4 = −2 हैं
   3. पहला मूल भिन्न के रूप में ठीक-ठीक है, इसलिए 0.5 के बजाय 1/2 छपता है
   4. जाँच: 1/2 + (−2) = −1.5 और 1/2 × (−2) = −1

   यही मामला तय करता है कि पेज मूल कैसे छापता है। दोनों मूल ठीक-ठीक लिखे जा सकते हैं, और उनमें छोटा वाला पूर्णांक है जबकि बड़ा वाला भिन्न — इसलिए जिस पाठक ने मान लिया हो कि 'मूल दशमलव में छपते हैं', वह पहली पंक्ति पर ग़लत होगा और दूसरी पर सही। योग और गुणनफल ही भिन्न को पढ़ने लायक बनाते हैं: −1.5, 1/2 और −2 का योग है यह बिना जोड़े दिखता नहीं, और जोड़ने में एक पंक्ति लगती है।

4. x² − 2x + 5 = 0

   1. विविक्तकर: Δ = (−2)² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16
   2. Δ ऋणात्मक है, इसलिए मूल सम्मिश्र हैं और संयुग्मी युग्म के रूप में आते हैं
   3. वास्तविक भाग −b ÷ 2a = 1 है और काल्पनिक भाग √16 ÷ 2 = 2
   4. दोनों मूल छपते हैं, और वियत के सूत्र फिर भी टिकते हैं: उनका योग 2 और गुणनफल 5

   यहीं यह पेज उन पेजों से अलग हो जाता है जो 'कोई वास्तविक मूल नहीं' छापकर रुक जाते हैं। दोनों मूल पूरी तरह निश्चित संख्याएँ हैं, और जाँच के दोनों कॉलम यही साबित करते हैं: 2 और 5 वही योग और गुणनफल हैं जो समीकरण माँगता है, और वही मान तब भी लौटते अगर मूल वास्तविक होते। जिसे बताया गया हो कि जवाब है ही नहीं, उसे यह उदाहरण पूरा पढ़कर आख़िरी दो पंक्तियाँ देखनी चाहिए।

5. x² − 4x + 4 = 0

   1. विविक्तकर: Δ = (−4)² − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0
   2. Δ ठीक शून्य है, इसलिए दोनों मूल एक हो जाते हैं
   3. दोहराया हुआ मूल −b ÷ 2a = 4 ÷ 2 = 2 है
   4. पेज दोनों पंक्तियों में 2 छापता है, और योग 4 है क्योंकि मूल दो बार गिना जाता है

   यही वह सीमा है जिसके लिए बैज मौजूद है। समीकरण (x − 2)² है, इसलिए दोनों पंक्तियाँ 2 कहती हैं और इस जोड़ी में कुछ भी ग़लती जैसा नहीं दिखता — पर पंक्तियाँ गिनने वाला पाठक यह नतीजा निकाल लेगा कि दो मूल हैं जबकि एक ही है। परिणाम के ऊपर का बैज कहता है कि एक ही दोहराया वास्तविक मूल है, और योग का 2 के बजाय 4 होना वह हिसाब है जो इस फ़ैसले से सहमत होता है।

यह पेज द्विघात समीकरण हल करता है और वहीं रुक जाता है। त्रिघात, चतुर्घात और x⁴ पद वाले समीकरणों के अपने-अपने तरीक़े और अपने-अपने पेज कहीं और हैं; यहाँ से कुछ भी उन तक नहीं पहुँचता। शून्य अगला गुणांक चुपचाप रेखीय समीकरण मान लेने के बजाय ठुकरा दिया जाता है, इसलिए bx + c = 0 को ढाल कैलकुलेटर के पास जाना पड़ता है, जो उस आकार को सँभालता है। विविक्तकर ऋणात्मक होने पर मूल a ± bi रूप में सम्मिश्र संख्याओं के रूप में छपते हैं, जो पढ़ने और जाँचने के लिए काफ़ी है पर कोई पूरा सम्मिश्र-अंकगणित का औज़ार नहीं है — उनमें से दो को हाथ से गुणा करना आपका काम है। अपरिमेय मूल छह दशमलव तक गोल होकर छपते हैं, और यह सीमा दिखाने की है, शुद्धता की नहीं: भीतर का हिसाब पूरी दोहरी परिशुद्धता में चलता है और गोलाई सिर्फ़ बाहर निकलते समय होती है। दोनों मूलों का क्रम सूत्र से नहीं बल्कि परंपरा से तय है, इसलिए जो पेज या किताब उन्हें उलटे क्रम में लिखती है वह इससे टकरा नहीं रही, बस दूसरे क्रम में रख रही है। तीनों गुणांक निरपेक्ष मान में दस लाख तक सीमित हैं, और यह दिखाने की हद है, गणित की नहीं। यह सीमा सिर्फ़ गुणांकों पर है और उनसे निकलने वाली संख्याओं पर नहीं: तीनों गुणांक अपनी हद पर खड़े हों तो विविक्तकर −30,00,00,00,00,000 तक चला जाता है। आख़िर में, मूलों का योग और गुणनफल बाक़ी सब की तरह उसी छह दशमलव वाली गिनती से छपते हैं, इसलिए ठीक एक-तिहाई जोड़ने पर जवाब भिन्न के बजाय 0.333333 बनकर आएगा — भिन्न वाला नियम सिर्फ़ दोनों मूलों के कॉलम पर लागू होता है, इन दो पर नहीं।

विविक्तकर ऋणात्मक हो तो क्या करें?

पेज जो दो मूल छापता है, उन्हें पढ़ लीजिए। ऋणात्मक विविक्तकर का मतलब यह है कि हल दो वास्तविक संख्याओं के बजाय संयुग्मी सम्मिश्र संख्याओं का युग्म है, और वे पूरी तरह निश्चित हैं: x² − 2x + 5 के मूल 1 + 2i और 1 - 2i हैं। बहुत सी किताबें 'कोई वास्तविक मूल नहीं' पर रुक जाती हैं, जो सच है पर अधूरा — समीकरण के दो हल तब भी हैं, और इस पेज के योग तथा गुणनफल वाले कॉलम उन्हीं की पुष्टि करते हैं।

पहला मूल कौन-सा होता है?

दोनों में से बड़ा। सूत्र का धन-ऋण मूलों को क्रम नहीं देता, इसलिए पेज को ख़ुद चुनना पड़ता है और वह घटता क्रम चुनता है — यानी मूल 1 कभी मूल 2 से छोटा नहीं होता। यह सुनने से ज़्यादा मायने रखता है: क्रम तय न हो तो b का चिह्न बदलने पर दोनों पंक्तियाँ जगह बदल लेतीं और दो हिसाब मिलाने वाले पाठक को लगता कि जवाब बदल गए।

मूल कभी भिन्न में और कभी दशमलव में क्यों छपता है?

भिन्न तब छपते हैं जब वे ठीक-ठीक हों और उनका हर छोटा हो, बाक़ी मामलों में दशमलव। 2x² + 3x − 2 के मूल 1/2 और −2 हैं, और 1/2 ठीक भी है और छोटा भी, इसलिए उसे भिन्न में लिखा जाता है — वहाँ 0.5 छापना गोल किए हुए मान का संकेत देता। स्वर्ण अनुपात (1 + √5) ÷ 2 है, जो भिन्न है ही नहीं, इसलिए वह 1.618034 बनकर आता है और दशमलव बिंदु ख़ुद बता देता है कि यह लगभग है।

a शून्य हो तो क्या होता है?

पेज वह इनपुट हल करने के बजाय ठुकरा देता है। a शून्य होने पर समीकरण bx + c = 0 बचता है, जो एक सीधी रेखा है और जिसका अकेला मूल −c ÷ b है, और मूलों के योग तथा गुणनफल के दोनों सूत्र a से भाग देते हैं और बेमानी हो जाते हैं। उस आकार के समीकरण ढाल कैलकुलेटर सँभालता है, इसलिए इनकार उसी का नाम लेकर बताता है कि कहाँ जाना है।

विविक्तकर किस काम आता है?

यह वह अकेली संख्या है जो बाक़ी कुछ भी निकालने से पहले बता देती है कि आप तीन में से किस मामले में हैं: Δ = b² − 4ac। धनात्मक का मतलब दो अलग-अलग वास्तविक मूल, शून्य का मतलब एक ही दोहराया वास्तविक मूल, ऋणात्मक का मतलब संयुग्मी सम्मिश्र मूलों का युग्म। यह सूत्र में वर्गमूल के नीचे बैठता है, इसलिए उसका चिह्न ठीक यही सवाल है कि 'क्या कोई वास्तविक वर्गमूल लेने को बचता है'।

क्या इससे गुणनखंड जाँचे जा सकते हैं?

हाँ, और योग तथा गुणनफल वाले कॉलम इसी के लिए हैं। अगर आपको लगता है कि x² − 3x + 2 के गुणनखंड (x − 1)(x − 2) हैं, तो मूल 1 और 2 होने चाहिए, उनका योग 3 और गुणनफल 2 — और पैनल यही छापता है। अचर पद की चिह्न-ग़लती तुरंत ग़लत चिह्न वाले गुणनफल के रूप में पकड़ में आ जाती है, जो कोष्ठक दोबारा खोलने से तेज़ है।

• Quadratic Equation — the formula, the discriminant and the three cases it distinguishes, including the complex roots this page prints — Wolfram MathWorld (United States)
• Discriminant — how a single combination of the coefficients determines the number and nature of the roots — Wolfram MathWorld (United States)
• Vieta's Formulas — the relations between the coefficients of a polynomial and the sums and products of its roots, which this page prints as a check — Wolfram MathWorld (United States)