पूर्ण वर्ग बनाने का कैलकुलेटर

ax² + bx + c = a(x − h)² + k h = −b ÷ 2a k = c − b² ÷ 4a

a

अग्रणी गुणांक, जो शून्य नहीं हो सकता: a शून्य हो तो वर्ग वाला पद ही नहीं बचता, व्यंजक द्विघात नहीं रहता बल्कि सरल रेखा बन जाता है, और पूरा करने के लिए कोई वर्ग नहीं होता। a का चिह्न तय करता है कि परवलय किस ओर खुलता है — धनात्मक हो तो ऊपर, ऋणात्मक हो तो नीचे — और उसका परिमाण तय करता है कि वक्र कितना संकरा होगा।

b

रैखिक पद का गुणांक। यही शीर्ष बिंदु की क्षैतिज स्थिति तय करता है: h, −b को 2a से भाग देकर निकलता है, इसलिए धनात्मक b शीर्ष को बाईं ओर और ऋणात्मक b दाईं ओर धकेलता है। इसका वर्ग k में भी जाता है, इसीलिए बड़ा b और छोटा a मिलकर शीर्ष बिंदु को लंबवत बहुत दूर ले जाते हैं।

c

अचर पद। यह पूरे परवलय को ऊपर या नीचे खिसकाता है और शीर्ष बिंदु को क्षैतिज रूप से ज़रा भी नहीं हिलाता — c सिर्फ़ k में आता है, h में कभी नहीं। इसे वैकल्पिक बनाने के बजाय अनिवार्य ही रखा गया है, क्योंकि छोड़ देने पर छपे हुए रूप का k ग़लत हो जाता और पेज पर कहीं यह नहीं दिखता कि कुछ मान लिया गया है।

h

शीर्ष बिंदु का x-निर्देशांक, जो −b ÷ 2a के बराबर है। x का वही मान जिस पर वर्ग वाला पद शून्य हो जाता है — यही यहाँ शीर्ष का अर्थ है: a धनात्मक हो तो वक्र का सबसे निचला बिंदु, और ऋणात्मक हो तो सबसे ऊँचा। छपे हुए रूप में इसका चिह्न कोष्ठक के भीतर समा जाता है, इसलिए −3 पर शीर्ष वाला व्यंजक (x + 3)² लिखा जाता है, (x − (−3))² नहीं।

k

शीर्ष बिंदु का y-निर्देशांक, जो c − b² ÷ 4a के बराबर है। यह वह मान है जो पूरा व्यंजक x = h पर लेता है, इसलिए a धनात्मक हो तो यह द्विघात का न्यूनतम और ऋणात्मक हो तो अधिकतम है। k शून्य निकले तो छपे हुए रूप से अचर पद पूरी तरह हट जाता है — पूर्ण वर्ग को (x + 3)² लिखा जाता है, (x + 3)² + 0 नहीं।

1. x² + 6x + 5 का पूर्ण वर्ग बनाना

   1. x के गुणांक को आधा कीजिए: 6 ÷ 2 = 3, तो कोष्ठक बना (x + 3)
   2. उसका वर्ग कीजिए: (x + 3)² = x² + 6x + 9, जो दिए हुए व्यंजक से 4 ज़्यादा है
   3. ज़्यादा हिस्सा घटा दीजिए: (x + 3)² − 4
   4. शीर्ष बिंदु (−3, −4) पर है, और अग्रणी गुणांक धनात्मक है इसलिए परवलय ऊपर की ओर खुलता है

   सबसे आम उदाहरण, और वह भी जिसे फैलाकर जाँचा जा सकता है। कोष्ठक ऐसा चुना जाता है कि उसका वर्ग पहले दो पद बिल्कुल वापस दे दे; उस वर्ग से जितना ज़्यादा बनता है वह फिर घटा दिया जाता है, और नतीजा वही व्यंजक होता है — बस आकार दूसरा। इस रूप से शीर्ष बिंदु बिना कोई गणना किए पढ़ा जाता है।

2. वह रूप जो भिन्न में आता है

   1. 1 को आधा करके कोष्ठक बनाइए: (x + 1/2)
   2. इसका वर्ग x² + x + 1/4 देता है, यानी x² + x से एक चौथाई ज़्यादा
   3. वह चौथाई घटाइए: (x + 1/2)² − 1/4
   4. शीर्ष बिंदु (−1/2, −1/4) पर है, जिसे दोनों संख्या-कॉलम −0.5 और −0.25 के रूप में बताते हैं

   यहीं भिन्न में छापना अपनी जगह कमाता है। विषम गुणांक का आधा भिन्न होता है और पूरी गणना में भिन्न ही बना रहता है, इसलिए छपा हुआ रूप ठीक-ठीक है, जबकि 0.5 और 0.25 उसकी दशमलव वर्तनियों में से बस दो हैं। दोनों संख्या-कॉलम मजबूरी में दशमलव इस्तेमाल करते हैं, क्योंकि उनमें संख्याएँ रहती हैं, संकेतन नहीं — और यहाँ हर कॉलम दूसरे की वजह से पढ़ने लायक है।

3. एक पूर्ण वर्ग

   1. 6 को आधा करके कोष्ठक बनाइए: (x + 3)
   2. वर्ग करने पर x² + 6x + 9 मिलता है, जो व्यंजक बिल्कुल वही है
   3. कुछ बचता ही नहीं, इसलिए छपे हुए रूप से अचर पद हट जाता है
   4. शीर्ष बिंदु x-अक्ष पर, (−3, 0) पर बैठता है

   यही वह स्थिति है जो दिखाती है कि अचर पद को + 0 छापने के बजाय छोड़ा क्यों जाता है। जब व्यंजक पहले से पूर्ण वर्ग हो तो शीर्ष बिंदु x-अक्ष को छूता है और तैयार रूप में तीन के बजाय दो पद रह जाते हैं। पूँछ का ग़ायब होना अपने आप में सूचना है: यह बताता है कि द्विघात का मूल दोहराया हुआ है, जिसे मूल वाला पेज एक ही उत्तर के रूप में बताता है।

अग्रणी गुणांक शून्य नहीं हो सकता। a शून्य हो तो व्यंजक रैखिक रह जाता है, उसका ग्राफ़ सरल रेखा बनता है, और पूर्ण वर्ग बनाने की बात ही नहीं रहती — पेज h तक पहुँचने के रास्ते में शून्य से भाग देने के बजाय वह इनपुट ही ठुकरा देता है और नाम लेकर बताता है। तीनों गुणांक का परिमाण दस लाख तक सीमित है, क्योंकि शीर्ष बिंदु के निर्देशांक b के वर्ग के साथ बढ़ते हैं: b अपनी सीमा पर और a = 1 हो तो k अकेले ढाई खरब तक चला जाता है (−2,50,00,00,00,000, और c भी अपनी सीमा पर हो तो −2,49,99,90,00,000), और a इससे भी छोटा लेने पर यह और कई गुना बड़ा हो जाता है। छपे हुए रूप के मान भिन्न में तब दिखाए जाते हैं जब हर पूरा-पूरा कट जाए और हज़ार से बड़ा न हो, और बाकी हालतों में छह दशमलव में; दो नाम वाले कॉलम हमेशा दशमलव ही इस्तेमाल करते हैं, क्योंकि उनमें संख्याएँ रहती हैं, संकेतन नहीं। यह पेज द्विघात को हल नहीं करता। यह व्यंजक को उसके पूर्ण वर्ग रूप में और शीर्ष बिंदु के निर्देशांक बताता है; मूल — यानी x के वे मान जहाँ परवलय x-अक्ष को काटता है — उस द्विघात सूत्र वाले पेज पर निकलते हैं जिसका लिंक इस पेज से जाता है। और यह ऊपर या नीचे खुलने की बात भी नहीं छापता: वह अग्रणी गुणांक के चिह्न से तय होती है, और वह चिह्न आपके भरे हुए पहले खाने में दिखता है, तीनों नतीजों में से किसी में नहीं।

पूर्ण वर्ग बनाने से होता क्या है?

यह द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग रूप a(x − h)² + k में बदल देता है, जहाँ से परवलय का शीर्ष बिंदु निकालने के बजाय सीधे पढ़ा जाता है। तरीका यह है: x के गुणांक का आधा लेकर कोष्ठक बनाइए, उसका वर्ग कीजिए, और वर्ग से जो ज़्यादा आया उतना घटा दीजिए। व्यंजक का मान ज़रा भी नहीं बदलता — सिर्फ़ आकार बदलता है।

भिन्न में उत्तर क्यों छपता है?

क्योंकि विषम गुणांक का आधा भिन्न होता है, और भिन्न बाकी पूरी गणना में ठीक-ठीक बना रहता है। 1/2 को 0.5 लिखना तब तक बेज़रर लगता है जब तक अगला कदम उसे गुणा न करे — वहीं दशमलव को पूर्णांकित करना पड़ता है और उत्तर खिसक जाता है। छपा हुआ रूप तब भिन्न इस्तेमाल करता है जब हर पूरा-पूरा कट जाए और ज़्यादा से ज़्यादा हज़ार हो, और जब ऐसा न हो तभी छह दशमलव पर लौटता है।

परवलय ऊपर खुलता है या नीचे, यह कैसे पता चले?

अग्रणी गुणांक a के चिह्न से: धनात्मक ऊपर खोलता है, ऋणात्मक नीचे। यह पेज वह नतीजा नहीं छापता, क्योंकि a का चिह्न इसके तीनों नतीजों में से किसी में नहीं आता — वह आपके भरे हुए पहले खाने में दिखता है, और पूर्ण वर्ग रूप का आकार उसी की ओर इशारा करता है। a धनात्मक हो तो शीर्ष बिंदु द्विघात का न्यूनतम होता है, और ऋणात्मक हो तो अधिकतम।

क्या यह पेज द्विघात समीकरण हल करता है?

नहीं। यह व्यंजक को पूर्ण वर्ग रूप में और शीर्ष बिंदु के निर्देशांक बताता है। हल करने का मतलब है x के वे मान निकालना जिन पर व्यंजक शून्य हो जाए, यानी वे बिंदु जहाँ परवलय x-अक्ष को काटता है — और वह नीचे दिए द्विघात सूत्र वाले पेज का काम है। दोनों पेज यही तीन गुणांक लेते हैं और अलग चीज़ें लौटाते हैं: एक व्यंजक लौटाता है, दूसरा मूल।

नतीजे से अचर पद कभी-कभी ग़ायब क्यों रहता है?

क्योंकि वह शून्य निकला है। जब द्विघात पहले से पूर्ण वर्ग हो तो शीर्ष बिंदु x-अक्ष पर बैठता है, और छपे हुए रूप से आख़िरी अचर पद हट जाता है — + 0 लिखने के बजाय x + 3 का वर्ग (x + 3)² लिखा जाता है, (x + 3)² + 0 नहीं। पूँछ का ग़ायब होना ख़ुद एक जानकारी है: यह बताता है कि द्विघात का मूल उसी मान पर दोहराया हुआ है।

अग्रणी गुणांक शून्य क्यों नहीं हो सकता?

क्योंकि तब वर्ग वाला पद ही नहीं बचता, व्यंजक सरल रेखा बन जाता है और पूरा करने के लिए कुछ नहीं होता। शीर्ष बिंदु निकालने के लिए 2a से भाग देना भी शून्य से भाग देना हो जाता, और रेखा के शीर्ष बिंदु का वही अर्थ नहीं रहता। पेज इस इनपुट को ठुकरा देता है और नाम लेकर बताता है, बजाय कोई बेतुका रूप बनाने के।

• Completing the Square — the algebraic procedure, its use in deriving the quadratic formula, and the vertex form it produces — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadratic Equation — the equation this page's expression belongs to, and where the roots that this page does not compute come from — Wolfram MathWorld (United States)
• Parabola — the curve the expression draws, with the vertex at the point this page reports — Wolfram MathWorld (United States)