वर्गमूल कैलकुलेटर

√x = √(m² · r) = m · √r √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d

x

करणीय (√ के नीचे की संख्या), यानी वह मान जिसका वर्गमूल चाहिए। ऋणात्मक नहीं हो सकता: ऋणात्मक करणीय का कोई वास्तविक वर्गमूल नहीं होता, और किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं आता, इसलिए पेज उसे ठुकरा देता है और सामान्य मूल वाले पेज की विषम घात के मूल की तरफ़ भेज देता है। शून्य चल जाता है — 0 का वर्गमूल 0 है। कुल मिलाकर करणीय 0 से 1000000 के बीच, दो दशमलव स्थानों तक

m²

करणीय को बाँटने वाला सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग: 4, 9, 16, 25, 36 वग़ैरह। इसे ढूँढ़ लेना ही पूरी सरलीकरण प्रक्रिया है, और पेज ऊपर से नीचे की तरफ़ खोजता है ताकि मिलने वाला पहला गुणक सबसे बड़ा ही हो। 72 के लिए वह गुणक 36 है, और उसके बाद मूल चिह्न के नीचे 2 बचता है

m

उस पूर्ण वर्ग का वर्गमूल, जो मूल चिह्न के आगे आ जाता है: 72 के मामले में 6। जब गुणांक कोई और पूर्ण संख्या हो तो वह सीधे छपती है, इसलिए सटीक रूप 6√2 पढ़ा जाता है। जब वह 1 हो तो गुणांक लिखा ही नहीं जाता, क्योंकि 1√2 किसी संख्या की लिखत नहीं है

r

हर वर्ग गुणक निकाल लेने के बाद मूल चिह्न के नीचे जो बचता है। वह वर्ग-मुक्त होता है, यानी कोई पूर्ण वर्ग उसे बाँटता नहीं, और यही उस रूप को अंतिम बनाता है। अगर कुछ भी न बचे — यानी करणीय शुरू से ही पूर्ण वर्ग था — तो मूल चिह्न पूरा ग़ायब हो जाता है और सटीक रूप सादा नंबर रह जाता है, जैसे 144 का वर्गमूल 12

√x

दशमलव मान, छह स्थानों तक। यह सटीक रूप को हल करने पर वही संख्या निकलती है — 6√2 का मान 8.485281 है — और दोनों एक-दूसरे के बदले नहीं, बग़ल में छपते हैं, क्योंकि दोनों अलग सवालों का जवाब हैं। जब करणीय दशमलव हो तो यह पंक्ति सारे काम के बाद आती है: 1.5 के लिए √6 ÷ 2, जिसका दशमलव 1.224745 है

1. 72 के वर्गमूल को सरल करना

   1. वह सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग ढूँढ़िए जो 72 को बाँट दे
   2. 36 बाँट देता है: 72 ÷ 36 = 2, इसलिए 72 = 36 × 2
   3. 36 का वर्गमूल 6 है, जो आगे आ जाता है: √72 = 6√2
   4. सटीक रूप को हल करने पर 8.485281 मिलता है

   यही वह मामला है जिसके लिए दो कॉलम रखना फ़ायदे का है। दशमलव के रूप में √72 = 8.485281 है और उसके बारे में कहने को कुछ और नहीं; सटीक रूप के रूप में वह 6√2 है, जो एक नज़र में दिखा देता है कि उसका वर्ग करने पर ठीक 72 वापस आता है। जाँच एक पंक्ति की है: 6√2 का वर्ग 36 × 2 यानी 72।

2. एक दशमलव स्थान वाला करणीय

   1. दशमलव करणीय को पहले भिन्न में बदला जाता है: 1.5 = 3/2
   2. √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d से मूल अंश और हर पर बाँट दीजिए
   3. इससे √(3 × 2) ÷ 2 = √6 ÷ 2 मिलता है
   4. दशमलव 1.224745 है

   सटीक रूप में तिरछी पट्टी के बजाय भाग का निशान जान-बूझकर है। √6/2 लिखने पर पंक्ति दो अर्थ देती है — छह का वर्गमूल बटा दो, या छह बटे दो का वर्गमूल, और दूसरी पढ़त √3 निकलती है। पेज √6 ÷ 2 छापता है ताकि पढ़ने का एक ही तरीक़ा बचे। यही वह मामला है जिसे सामान्य मूल वाला पेज जान-बूझकर नहीं लेता, क्योंकि वहाँ करणीय पूर्ण संख्या ही होनी चाहिए।

3. ऐसा दशमलव जो निकला पूर्ण वर्ग

   1. 2.25 भिन्न के रूप में 9/4 है
   2. दोनों भाग पूर्ण वर्ग हैं: √9 = 3 और √4 = 2
   3. मूल चिह्न के नीचे कुछ नहीं बचता, इसलिए सटीक रूप भिन्न 3/2 है
   4. दशमलव के रूप में यह 1.5 है

   जब करणी ख़ाली हो जाए तो सटीक रूप करणी रह ही नहीं जाता — वह सादी भिन्न बन जाता है, और यही संकेत है कि करणीय पूर्ण वर्ग था। आगे के किसी भी हिसाब में सटीक रूप 3/2 को 1.5 से प्राथमिकता दीजिए, क्योंकि 3 से गुणा करना और 2 से भाग देना सब कुछ ठीक-ठीक रखता है जबकि दशमलव नहीं रखता। यही बात पूर्ण संख्या वाले करणीय पर भी लागू होती है: 144 का वर्गमूल 12 है, और वहाँ भी मूल चिह्न बचता ही नहीं।

करणीय ऋणात्मक नहीं हो सकता: ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या नहीं होता, और किसी वास्तविक संख्या का वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं आता। शून्य स्वीकार किया जाता है और शून्य ही देता है। करणीय अधिकतम दो दशमलव स्थानों तक लिया जाता है, और तीसरा स्थान गोल करने के बजाय ठुकरा दिया जाता है — सरलीकरण पहले दशमलव को भिन्न बनाता है और फिर तोड़कर देखता है, हर अतिरिक्त दशमलव स्थान इस काम को दस गुना कर देता है, इसलिए पेज सीमा बता देता है और चुपचाप किसी थोड़ी अलग संख्या का सरल रूप नहीं छापता। सटीक रूप एक लिखत है, कोई संख्या नहीं: वह हर भाषा में एक ही तरह लिखा जाता है, क्योंकि मूल चिह्न और भाग का निशान अपने भीतर कोई शब्द नहीं रखते। दूसरी तरफ़ दशमलव छह स्थानों तक गोल होता है, जो परिशुद्धता की नहीं, प्रदर्शन की सीमा है। इस पेज का घातांक दो पर स्थिर है — यह सिर्फ़ वर्गमूल सरल करता है। घनमूल, चौथा मूल और बाक़ी हर घातांक, ऋणात्मक संख्याओं की विषम घात के मूल समेत, उस सामान्य मूल वाले पेज पर जाते हैं जिसका लिंक इस पेज से लगता है। नीचे की संदर्भ तालिका 13 पंक्तियों पर स्थिर है और आपके टाइप किए मान का पीछा नहीं करती — पैनल आपकी संख्या का जवाब देता है और तालिका यह दिखाती है कि वह जवाब पढ़ा कैसे जाता है।

वर्गमूल को सरल करने से असल में क्या होता है?

सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग मूल चिह्न के नीचे से बाहर आ जाता है। 72 का वर्गमूल 6√2 के बराबर ही है — कुछ भी अनुमानित या गोल नहीं हुआ — पर 6√2 लिखने का साफ़-सुथरा तरीक़ा है, और आगे के हिसाब में ठीक-ठीक बचा रहने वाला भी यही रूप है। सरल करने से मान कभी नहीं बदलता, सिर्फ़ लिखने का ढंग बदलता है।

पता कैसे चले कि वर्गमूल पूरा सरल हो चुका है?

जब मूल चिह्न के नीचे ऐसा कुछ न बचे जिसे कोई पूर्ण वर्ग बाँटता हो। 6√2 में वह 2 वर्ग-मुक्त है: 4 उसे नहीं बाँटता, 9 नहीं बाँटता, और कोई बड़ा वर्ग भी नहीं, इसलिए रूप अंतिम है। पेज भी यही करता है — सबसे बड़ा वर्ग गुणक ऊपर से नीचे खोजता है और पहला मिलने पर रुक जाता है।

सटीक रूप में भाग का निशान क्यों लिखा जाता है?

क्योंकि तिरछी पट्टी दो अर्थ देती है। √6/2 को छह का वर्गमूल बटा दो भी पढ़ा जा सकता है और छह बटे दो का वर्गमूल भी, और ये दो अलग संख्याएँ हैं — दूसरी वाली √3 है। √6 ÷ 2 छापने पर पढ़ने का एक ही तरीक़ा बचता है। यही वजह है कि गुणांक 1 होने पर लिखा नहीं जाता: लिखत इसलिए चुनी जाती है कि उसे ग़लत न पढ़ा जा सके, इसलिए नहीं कि वह छोटी लगे।

क्या दशमलव करणीय डाल सकते हैं?

हाँ, दो दशमलव स्थानों तक। पेज दशमलव को वापस भिन्न में बदलता है, फिर √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d से अंश और हर का मूल अलग-अलग निकालता है। 1.5 का वर्गमूल √6 ÷ 2 है, जिसका दशमलव 1.224745 आता है, और 2.25 का वर्गमूल ठीक 3/2 है। तीसरा दशमलव स्थान ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि हर अतिरिक्त स्थान तोड़कर देखने का काम दस गुना कर देता है।

दशमलव का वर्गमूल कभी-कभी भिन्न में क्यों बदल जाता है?

जब करणीय ख़ुद किसी भिन्न का पूर्ण वर्ग हो तो मूल चिह्न के नीचे कुछ नहीं बचता और सटीक रूप सादी भिन्न रह जाता है — 2.25 का वर्गमूल 3/2। यह वही नियम है जो पूर्ण संख्या वाले करणीय पर लागू होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो, और तब सटीक रूप सादा पूर्णांक रह जाता है: करणी ख़ाली हुई तो उसके चारों तरफ़ लिखने को कुछ बचा ही नहीं।

यहाँ ऋणात्मक करणीय क्यों ठुकरा दिया जाता है?

ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसका वर्ग ऋणात्मक हो, इसलिए ऋणात्मक करणीय का वर्गमूल वास्तविक संख्या ही नहीं है। इस पेज का घातांक दो पर स्थिर है, इसलिए यहाँ विषम घात वाला वह आधा हिस्सा ही नहीं जहाँ ऋणात्मक मान चल जाते। सामान्य मूल वाला पेज ऋणात्मक संख्याओं का घनमूल ले लेता है, क्योंकि ऋणात्मक संख्या की विषम घात अब भी ऋणात्मक रहती है, और यह पेज उसी तरफ़ भेज देता है।

• Square Root — the definition, the principal root, and the rule for pulling square factors out of a radicand — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign, the radicand, and the convention that the principal square root is the non-negative one — Wolfram MathWorld (United States)
• Square Number — the perfect squares the simplification searches for, from 4 up to whatever the radicand allows — Wolfram MathWorld (United States)