शीर्ष रूप कैलकुलेटर

y = ax² + bx + c → h = −b ÷ 2a → k = c − b² ÷ 4a → y = a(x − h)² + k

a

वही अग्रणी गुणांक जो मानक रूप में था — यह बदलाव उसे छूता तक नहीं — और अब कोष्ठक के सामने खड़ा दिखता है। धनात्मक हो तो परवलय ऊपर खुलता है, ऋणात्मक हो तो नीचे, और उसका परिमाण तय करता है कि वक्र कितना संकरा है: 1 से बड़ा परिमाण सादे x² से संकरा, और 1 से छोटा उससे चौड़ा।

h

शीर्ष बिंदु का x, जिसके इर्द-गिर्द कोष्ठक बनता है। कोष्ठक में जाते समय इसका चिह्न पलट जाता है: x = -3 पर शीर्ष हो तो कोष्ठक (x + 3) लिखा जाता है। यही सममिति अक्ष भी है, और वक्र का सबसे ऊँचा या सबसे निचला बिंदु इसी खड़ी रेखा पर बैठता है।

k

शीर्ष बिंदु का y: x = h पर वक्र जो मान लेता है, इसलिए परवलय ऊपर खुलता हो तो यह उसका सबसे छोटा मान है और नीचे खुलता हो तो सबसे बड़ा। शेष हिसाब से यही बचता है, और k = 0 वह ख़ास हालत है जिसमें शीर्ष बिंदु ठीक x-अक्ष पर आ जाता है।

x, y

बने हुए समीकरण के दो चर। जोड़ा जो भी इसे संतुष्ट करे वह इसी वक्र पर बैठता है, इसलिए शीर्ष रूप परवलय का पूरा बयान है — मानक रूप जितना ही पूरा, बस ऐसे सजाया हुआ कि जो बिंदु काम का है वही सबसे पहले पढ़ा जाए।

इसे तब उठाइए जब द्विघात मानक रूप में दिया हो और यह जानना हो कि वक्र कहाँ मुड़ता है — किसी मुनाफ़े का सबसे ऊँचा बिंदु, किसी लागत का सबसे नीचा, फेंकी गई गेंद की चोटी — या जब वक्र का ख़ाका खींचना हो, क्योंकि शीर्ष बिंदु और खुलने की दिशा मिलकर आकार का ज़्यादातर हिस्सा बता देते हैं। उलटी दिशा में भी यही पेज काम आता है: शीर्ष बिंदु पता हो और मानक रूप चाहिए तो वही रूप पीछे की ओर पढ़ा जाता है। तीन गुणांक वाली गणना ही इतनी है — कोई भी द्विघात यहीं आकर अपना शीर्ष बिंदु बता देता है। पूर्ण वर्ग बनाने वाला पेज वही गुणांक लेकर व्यंजक और तरीक़ा लौटाता है, द्विघात सूत्र वाला पेज मूल निकालता है, और FOIL वाला पेज छपे रूप को फैलाकर वापस मानक रूप पर ले जाता है।

1. y = 2x² - 4x + 1 — 1 से अलग अग्रणी गुणांक

   1. शीर्ष का x: h = −b ÷ 2a = 4 ÷ 4 = 1
   2. शीर्ष का y: k = c − b² ÷ 4a = 1 − 16 ÷ 8 = 1 − 2 = −1
   3. कोष्ठक h = 1 के इर्द-गिर्द बनता है, इसलिए वह (x − 1) पढ़ा जाता है
   4. अग्रणी गुणांक 2 कोष्ठक के सामने खड़ा होता है: y = 2(x - 1)² - 1

   जाँच फैलाकर की जाती है: 2(x − 1)² = 2x² − 4x + 2, और −1 जोड़ने पर 2x² − 4x + 1 वापस आ जाता है, यानी वही जिससे शुरू किया था। इसी वजह से यह दूसरा वक्र नहीं बल्कि उसी परवलय का दूसरा बयान है — मोड़ के बिंदु से पहचाना हुआ, गुणांकों से पहचाने हुए की तरह। सामने खड़ा 2 असली काम कर रहा है और ग़ायब नहीं होता; सिर्फ़ 1 ही ऐसा गुणांक है जो कोष्ठक को अकेला छोड़ देता है। यही डिफ़ॉल्ट मामला भी है।

2. y = -x² + 4 — नीचे खुलता वक्र, x वाला पद ही नहीं

   1. शीर्ष का x: h = −0 ÷ (2 × −1) = 0
   2. शीर्ष का y: k = 4 − 0 = 4
   3. h = 0 पर कोष्ठक (x − 0) बनता, इसलिए वह सिकुड़कर सादा x² रह जाता है
   4. अग्रणी गुणांक −1 अकेले ऋण चिह्न के रूप में लिखा जाता है: y = -x² + 4

   यह वह हालत है जिसमें शीर्ष रूप और मानक रूप एक ही डोर हो जाते हैं, और बात भी यही है: जब b शून्य हो तो शीर्ष बिंदु पहले से y-अक्ष पर बैठता है, इसलिए खिसकाने को कुछ नहीं था और पूरा करने को भी कुछ नहीं बचा। उत्तर को बदलाव नहीं बल्कि बयान की तरह पढ़िए — वक्र नीचे की ओर खुलता है और (0, 4) पर मुड़ता है, यानी मूल बिंदु से चार इकाई ऊपर।

3. y = 0.5x² + 3x + 0.5 — भिन्न वाला अग्रणी गुणांक

   1. शीर्ष का x: h = −3 ÷ (2 × 0.5) = −3
   2. शीर्ष का y: k = 0.5 − 9 ÷ 2 = 0.5 − 4.5 = −4
   3. कोष्ठक h = −3 के इर्द-गिर्द बनता है, इसलिए वह (x + 3) पढ़ा जाता है — चिह्न पलट जाता है
   4. आधा भिन्न के रूप में और कोष्ठक में लिखा जाता है, क्योंकि 1/2(x + 3)² पढ़ने में 1 बटा 2(x + 3)² लगता है: y = (1/2)(x + 3)² - 4

   फैलाकर पुष्टि हो जाती है: (1/2)(x + 3)² = 0.5x² + 3x + 4.5, और 4.5 में से 4 घटाने पर अचर पद 0.5 पर लौट आता है। भिन्न इसलिए दिखता है क्योंकि गुणांक ही भिन्न थे, कोई अनुमान नहीं लगाया गया — 1/2 ठीक-ठीक है जहाँ 0.5 उसकी बस एक और वर्तनी है, और छपा हुआ रूप वही है जो हाथ से लिखा जाता। गुणांक पर कोष्ठक इसीलिए लगता है कि भिन्न कोष्ठक से जुड़ा रहे, उसके बाद वाले वर्ग से नहीं।

अग्रणी गुणांक शून्य नहीं हो सकता: a = 0 पर वर्ग वाला पद ही नहीं बचता, ग्राफ़ सरल रेखा बन जाता है, और रेखा का कोई शीर्ष बिंदु नहीं होता — इसलिए पेज वह इनपुट ठुकरा देता है और सामान्य संदेश दिखाता है, यह नहीं बताता कि गड़बड़ी किस खाने में है। तीनों गुणांक का परिमाण दस लाख तक सीमित है, यानी -10,00,000 से 10,00,000 तक, और इससे बाहर के इनपुट पर उसी खाने के नीचे लाल संदेश आ जाता है। छोटा a और बड़ा b मिलकर शीर्ष बिंदु को बहुत दूर धकेल देते हैं, पर पेज उसे मंज़ूर करता है: a = 0.000001 और b = 10,00,000 पर y = 0.000001(x + 500000000000)² - 250000000000000000 छपता है, और नीचे के दोनों कॉलम -5,00,00,00,00,000.000000 तथा -2,50,00,00,00,00,00,00,000.000000 दिखाते हैं। इनकार तभी होता है जब शीर्ष बिंदु के निर्देशांक परिमित संख्या ही न रहें: a = 10 की घात -100 तक मंज़ूर होता है, और 10 की घात -297 पर पेज इनकार कर देता है। यहीं एक और बात जुड़ती है — छपाई छह दशमलव तक होती है, इसलिए बहुत छोटा a छपे रूप में शून्य बनकर आता है: a = 0.000000001 पर रूप y = 0(x + 500000000000000)² - 250000000000000000000 बनता है, जो पढ़ने में ऐसा वर्ग दिखाता है जिसका गुणांक शून्य है, जबकि नीचे के दोनों कॉलम असली संख्याएँ बताते हैं। भिन्न तब लिखा जाता है जब छोटा करने पर बचा हर ठीक-ठीक बैठता हो और हज़ार से बड़ा न हो, और बाक़ी हालतों में छह दशमलव — यह नियम हर मान पर अलग लगता है, इसलिए एक ही उत्तर में दोनों चल सकते हैं: a = 500, b = 1, c = 0 पर कोष्ठक (x + 1/1000) बनता है और पूँछ - 0.0005, क्योंकि 1/2000 का हर हज़ार से बड़ा है। जो मान भिन्न में नहीं बैठता वह गोल होकर छपता है, और तब छपा रूप शुरू वाले परवलय का ठीक-ठीक रूप नहीं रहता: a = 3, b = 2, c = 1 पर रूप y = 3(x + 0.333333)² + 0.666667 है, जिसे फैलाने पर 3x² + 1.999998x + 1.000000 मिलता है, ठीक 3x² + 2x + 1 नहीं। यह पेज समीकरण हल नहीं करता: मूल, यानी वे बिंदु जहाँ वक्र x-अक्ष को काटता है, द्विघात सूत्र वाले पेज पर निकलते हैं, और छपे रूप को फैलाकर मानक रूप पर लौटना FOIL वाले पेज का काम है। यह ऊपर या नीचे खुलने की बात भी नहीं छापता, क्योंकि वह a के चिह्न से तय होती है और वह चिह्न तीनों नतीजों में से किसी में नहीं आता — वह आपके भरे हुए पहले खाने में दिखता है। कहीं कोई मात्रक नहीं है, क्योंकि गुणांक संख्याएँ हैं, माप नहीं।

शीर्ष रूप क्या है?

यह y = a(x - h)² + k है, यानी द्विघात समीकरण लिखने का वह तरीक़ा जिसमें परवलय का शीर्ष बिंदु खुला दिखता रहता है: वह (h, k) पर बैठता है और उसके दोनों निर्देशांक बिना कोई गणना किए समीकरण से पढ़ लिए जाते हैं। मानक रूप ax² + bx + c उसी परवलय का दूसरा बयान है — दोनों एक-दूसरे में बदले जा सकते हैं, और a दोनों में एक ही संख्या रहती है।

यह पूर्ण वर्ग बनाने वाले कैलकुलेटर से कैसे अलग है?

गणना एक ही है और शीर्ष बिंदु भी बिल्कुल वही निकलता है, क्योंकि दोनों पेज ठीक वही तीन गुणांक लेते हैं। फ़र्क़ लौटाई गई चीज़ में है: वह पेज व्यंजक बदलकर देता है — a(x − h)² + k — और बताता है कि वहाँ तक पहुँचा कैसे जाता है; यह पेज परवलय का समीकरण देता है — y = a(x − h)² + k — और पढ़ने की बात करता है: मोड़ कहाँ है, मुँह किधर है, और वक्र कितना फैला हुआ है।

पता कैसे चले कि परवलय ऊपर खुलता है या नीचे?

कोष्ठक के बाहर खड़े a के चिह्न से: धनात्मक हो तो ऊपर खुलता है, तो शीर्ष बिंदु वक्र का सबसे निचला बिंदु होता है और k सबसे छोटा मान; ऋणात्मक हो तो नीचे खुलता है, तो शीर्ष सबसे ऊँचा बिंदु और k सबसे बड़ा मान। पेज यह वाक्य इसलिए नहीं छापता कि a का चिह्न उसके किसी नतीजे में नहीं आता — पर समीकरण में वह सामने खड़ा दिखता है, कोष्ठक से ठीक पहले।

सममिति अक्ष कहाँ होता है?

x = h पर, यानी शीर्ष बिंदु से होकर खड़ी जाती रेखा पर — वही h जो कोष्ठक में दिखता है, बस वहाँ उसका चिह्न पलटा हुआ मिलता है। परवलय उस रेखा के दोनों ओर दर्पण जैसा होता है, और इसी वजह से शीर्ष बिंदु मोड़ बनता है: उसके बाईं ओर का हर हिस्सा दाईं ओर के किसी हिस्से का प्रतिबिंब है। इसका एक और नतीजा यह है कि दोनों मूल, जब मौजूद हों, उस रेखा से समान दूरी पर बैठते हैं, यानी उनका औसत h होता है।

उत्तर में भिन्न कब दिखता है?

जब ठीक मान भिन्न ही हो और छोटा करने पर बचा हर हज़ार तक आ जाए: 0.5 से (1/2) बनता है, 0.25 से (1/4), और 0.1 से (1/10)। बाक़ी सब जगह मान छह दशमलव में गोल होकर आता है, इसलिए एक तिहाई 0.333333 बन जाता है। यह नियम हर मान पर अलग-अलग लगता है, इसलिए एक ही उत्तर में दोनों चीज़ें दिख सकती हैं: a = 500, b = 1, c = 0 पर कोष्ठक (x + 1/1000) बनता है और पूँछ - 0.0005, क्योंकि 1/2000 का हर हज़ार से बड़ा है।

उत्तर से आख़िरी पद कभी-कभी ग़ायब क्यों रहता है?

क्योंकि शीर्ष बिंदु का y, यानी k, शून्य निकला है, और शून्य जोड़ने का कोई मतलब नहीं — + 0 लिखने के बजाय पूरी पूँछ छोड़ दी जाती है। ऐसा ठीक तब होता है जब परवलय x-अक्ष को काटने के बजाय उसे छूता है: शीर्ष बिंदु अक्ष पर बैठता है और द्विघात पूर्ण वर्ग बन जाता है। इसलिए y = (x + 1)² बिना किसी कमी के पूरा शीर्ष रूप है, जैसा तालिका की छठी पंक्ति दिखाती है।

• Parabola vertex — the point this page reports, and why the curve turns around there — Wolfram MathWorld (United States)
• Vertex — the same notion for curves in general, of which the parabola's turning point is one case — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadratic polynomial — ax² + bx + c and the several ways it can be written, vertex form among them — Wolfram MathWorld (United States)