FOIL कैलकुलेटर

(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd F = ac O = ad I = bc L = bd

a, c

x के दोनों गुणांक, एक-एक हर द्विपद से। इनमें से कोई भी शून्य नहीं हो सकता: जिस द्विपद का x वाला पद शून्य हो वह असल में स्थिरांक है, और उससे गुणा करना इस विधि का काम नहीं। दोनों का गुणनफल विस्तार का पहला पद बनता है, इसीलिए जवाब का अग्र गुणांक ac होता है, सिर्फ़ a या सिर्फ़ c नहीं

b, d

दोनों स्थिरांक। ये शून्य, ऋणात्मक या भिन्न हो सकते हैं, और चार में से दो गुणनफल यही तय करते हैं: बाहरी जोड़ी ad और भीतरी जोड़ी bc मिलकर मध्य पद बनाते हैं, जबकि उनका गुणनफल bd आख़िर का स्थिरांक होता है। दोनों के ऋणात्मक होने से आख़िरी पद फिर धनात्मक बन जाता है

F, O, I, L

चारों गुणनफल, उसी क्रम में जिस क्रम से विधि उनके नाम लेती है: पहला (ac), बाहरी (ad), भीतरी (bc), आख़िरी (bd)। विस्तार का मध्य पद बाहरी और भीतरी गुणनफलों का योग है, और FOIL में यही अकेला क़दम है जहाँ दो संख्याएँ लिखी जाने के बजाय आपस में मिलती हैं

x

वह चर जिसमें दोनों द्विपद लिखे गए हैं। इसकी यहाँ कोई संख्या नहीं है — जवाब एक व्यंजक है, संख्या नहीं, और इसीलिए मुख्य पठन संख्या का स्तंभ नहीं बल्कि टेक्स्ट है

इसका इस्तेमाल दो द्विपदों को हाथ से गुणा करके नतीजा एक-एक क़दम जाँचने के लिए कीजिए। उलटी दिशा — यानी विस्तारित द्विघात को लेकर उसे गुणनफल के रूप में लिखना — गुणनखंडन है, और पूर्ण वर्ग बनाने का कैलकुलेटर उसी व्यंजक को दूसरे छोर से पकड़ता है।

1. (x + 2)(x + 3)

   1. First: x × x = x², इसलिए पहला गुणनफल 1 है
   2. Outer: x × 3 = 3x, बाहरी गुणनफल 3 है
   3. Inner: 2 × x = 2x, भीतरी गुणनफल 2 है
   4. Last: 2 × 3 = 6
   5. बाहरी और भीतरी मिलकर मध्य पद बनाते हैं: 3x + 2x = 5x
   6. विस्तारित रूप x² + 5x + 6 है

   यही मानक मामला है, और वह भी जिसमें चारों गुणनफल धनात्मक तथा एक-दूसरे से अलग हैं। मध्य पद बाहरी और भीतरी गुणनफलों को जोड़ने से आता है, और यही वह क़दम है जिसे पाठक सबसे ज़्यादा छोड़ देते हैं — दोनों संख्याएँ जवाब के बग़ल छपी होने से यह क़दम जाँचा जा सकता है।

2. जब x का गुणांक दोनों जगह 1 न हो

   1. First: 2x × 3x = 6x², इसलिए अग्र गुणांक 6 है
   2. Outer: 2x × 4 = 8x
   3. Inner: 1 × 3x = 3x
   4. Last: 1 × 4 = 4
   5. मध्य पद: 8x + 3x = 11x
   6. विस्तारित रूप 6x² + 11x + 4 है

   अग्र गुणांक यहाँ किसी एक संख्या के बजाय एक गुणनफल है, इसलिए वह किसी भी द्विपद से सीधे पढ़ा नहीं जा सकता। बाक़ी विधि में कुछ नहीं बदलता: मध्य पद फिर भी बाहरी और भीतरी गुणनफलों का योग है, और यही अकेली जगह है जहाँ चारों में से दो संख्याएँ आपस में मिलती हैं।

3. दो वर्गों का अंतर

   1. First: x × x = x²
   2. Outer: x × (−5) = −5x
   3. Inner: 5 × x = 5x
   4. Last: 5 × (−5) = −25
   5. बाहरी और भीतरी गुणनफल −5x और +5x हैं, जो एक-दूसरे को पूरा काट देते हैं
   6. मध्य पद बचा ही नहीं, इसलिए विस्तारित रूप x² − 25 है

   यही वह मामला है जो साबित करता है कि मध्य पद एक योग है, गुणनफल नहीं। चारों नामित गुणनफल शून्य नहीं हैं, फिर भी विस्तार में सिर्फ़ दो पद हैं — क्योंकि जो दो मध्य पद बनाते, वे बराबर और उलटे चिह्न वाले हैं। यही मामला पूर्ण वर्ग बनाने की तरफ़ से भी पहचाना जाता है, बस उलटी दिशा में।

हर द्विपद में x का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। इनमें से कोई एक भी शून्य हो तो जोड़ने को x वाला पद ही नहीं बचता, व्यंजक एक स्थिरांक गुणा द्विपद बन जाता है, और विधि का पहला क़दम कुछ देता ही नहीं — इसलिए ऐसा इनपुट जवाब देने के बजाय नाम लेकर ठुकरा दिया जाता है, और यह मनाही इनपुट के दरवाज़े पर नहीं बल्कि हिसाब के भीतर लगती है। चारों गुणांक का मान दस लाख तक जाता है, क्योंकि बाहरी और भीतरी गुणनफल गोल होने से पहले जोड़े जाते हैं और सबसे बड़े मध्य मान आँख से जाँचने लायक दायरे से बहुत पहले निकल जाते हैं। भिन्न वाले नतीजे भिन्न के रूप में छपते हैं जब हर हज़ार तक का हो और पूरा-पूरा बँट जाए, और बाक़ी हालत में छह दशमलव के रूप में — इसलिए (x + 1/2)(x + 3) आधा छापता है, शून्य दशमलव पाँच नहीं। यह पेज गुणा करता है, गुणनखंड नहीं निकालता: विस्तारित द्विघात से वापस उसके दो द्विपदों तक जाना उलटा सवाल है और यहाँ वह कोशिश नहीं की जाती। और एक बात जो पहली नज़र में गड़बड़ लगती है, इसलिए पहले से जान लीजिए: इस पेज पर एक ही संख्या दो तरह से छपती है। विस्तारित रूप की पंक्ति की संख्याएँ बिना समूह-चिह्न छपती हैं, जबकि ठीक उसी पेज के चारों नामित गुणनफल समूह-चिह्न के साथ — यानी मोटे गुणांकों पर एक जगह 1000000000000 दिखेगा और दूसरी जगह 10,00,00,00,00,000.000000। दोनों एक ही मान हैं; फ़र्क़ सिर्फ़ छापने की रीति का है, हिसाब का नहीं।

FOIL का मतलब क्या है?

First, Outer, Inner, Last। यह उसी क्रम में दोनों द्विपदों से लिए गए पदों के चार जोड़े बताता है: दोनों अग्र पद, लिखे हुए गुणनफल के बाहर वाले दो, भीतर वाले दो, और दोनों स्थिरांक। इन चारों जोड़ों को गुणा करके जोड़ देने से विस्तारित द्विघात बनता है। यह कोई जादुई सूत्र नहीं बल्कि यह ध्यान रखने का तरीक़ा है कि कोई भी जोड़ी छूटे नहीं।

बाहरी और भीतरी गुणनफल जोड़े क्यों जाते हैं?

क्योंकि दोनों से x वाला पद बनता है, और समान पद आपस में जुड़ जाते हैं। FOIL में कुछ भी ऐच्छिक नहीं है: चारों गुणनफल जोड़ियों की पूरी सूची हैं, और नतीजा उनका योग है। बाहरी और भीतरी ही अकेले ऐसे पद हैं जो मिल सकते हैं, और इसीलिए दो द्विपदों के विस्तार में चार के बजाय तीन पद बनते हैं।

क्या ऋणात्मक गुणांक के साथ FOIL चलता है?

हाँ चलता है, और चिह्न अपने पद के साथ चलता है। (x + 5)(x − 5) में बाहरी गुणनफल −5x है और भीतरी +5x; दोनों कट जाते हैं, इसलिए मध्य पद पूरा गायब हो जाता है और सिर्फ़ दो पद बचते हैं। दोनों स्थिरांक ऋणात्मक होना अलग मामला है: तब आख़िरी गुणनफल फिर धनात्मक बन जाता है, जैसे (x − 2)(x − 3) का x² − 5x + 6।

क्या x का गुणांक शून्य हो सकता है?

इस पेज पर नहीं। जिस द्विपद का x गुणांक शून्य हो वह असल में सिर्फ़ एक स्थिरांक है, और उससे गुणा करना इस विधि का नहीं बल्कि सादे अंकगणित का काम है — पहले क़दम में लिखने को कुछ बचता ही नहीं। ऐसा इनपुट चुपचाप स्थिरांक मान लेने के बजाय ठुकरा दिया जाता है और उसमें यह भी बताया जाता है कि कौन-सा गुणांक शून्य मिला।

जवाब से कभी कोई पद गायब क्यों रह जाता है?

क्योंकि उसका गुणांक शून्य निकला। जब बाहरी और भीतरी गुणनफल एक-दूसरे को काट देते हैं तो x वाला पद बचता ही नहीं, और विस्तार x² − 25 लिखा जाता है, x² + 0x − 25 नहीं। ख़ाली पद गिरा देना इस पेज की हर जगह इस्तेमाल होने वाली परिपाटी है; चारों नामित गुणनफल फिर भी दिखा देते हैं कि उस पद का क्या हुआ।

भिन्न वाले जवाब भिन्न के रूप में क्यों छपते हैं?

क्योंकि भिन्न ठीक-ठीक रहता है जबकि दशमलव उसका एक ही रूप है। (x + 1/2)(x + 3) का x गुणांक 7/2 है, और उसे 3.5 छापना यहाँ सही लगता पर अगले क़दम में उसी से गुणा होते ही खिसकने लगता। छपा हुआ रूप भिन्न तब इस्तेमाल करता है जब हर पूरा-पूरा बँट जाए और हज़ार तक का हो, और जब मजबूरी हो तभी छह दशमलव पर उतरता है।

• Quadratic Equation — the equation whose left-hand side the expansion produces, and the standard form the coefficients feed into — Wolfram MathWorld (United States)
• Completing the Square — the same quadratic expression taken the other way, from expanded form into a squared bracket — Wolfram MathWorld (United States)
• Parabola — the curve an expanded quadratic draws, and the reason its coefficients are worth getting right — Wolfram MathWorld (United States)