अभाज्य संख्या कैलकुलेटर

n अभाज्य है <=> d(n) = 2; previousPrime(97) = 97; nextPrime(97) = 97; nextPrime(1000000) = 1000003

n

वह पूर्ण संख्या जिसकी जाँच हो रही है — 2 से 1000000 तक। निचली सीमा विरासत में मिली नहीं बल्कि जान-बूझकर रखी गई है: 1 की पिछली अभाज्य संख्या होती ही नहीं, इसलिए जो पेज 1 स्वीकार करता उसे एक ऐसी पंक्ति भरनी पड़ती जिसे वह ईमानदारी से नहीं भर सकता। 1 अभाज्य है या नहीं, यह परिभाषा का सवाल है और उसका उत्तर नीचे के सवालों में दिया गया है, कैलकुलेटर से नहीं

d(n)

धनात्मक भाजकों की संख्या, जो नतीजे की पहली पंक्ति है और वह अकेली दलील है जिस पर फ़ैसला टिका है। d(n) = 2 का मतलब है कि ठीक दो संख्याएँ उसे बाँटती हैं, और यही अभाज्य संख्या की परिभाषा है। यह गिनती साझा संख्या-सिद्धांत वाले हिस्से से आती है, इसलिए यह उसी इनपुट के लिए वही मान है जो गुणनखंड वाला पेज और अभाज्य गुणनखंडन वाला पेज बताते हैं

d(n) = 2

जाँच ख़ुद, समीकरण की तरह लिखी हुई। यह तुल्यता है, कोई अनुमान नहीं: कोई संख्या ठीक तभी अभाज्य होती है जब उसके ठीक दो भाजक हों। 97 के भाजक 1 और 97 हैं, इसलिए गिनती 2 है और बैज अभाज्य पढ़ता है। 100 के भाजक 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 और 100 हैं, इसलिए गिनती 9 है और बैज भाज्य पढ़ता है

previousPrime(n)

वह सबसे बड़ी अभाज्य संख्या जो n से बड़ी न हो। ऊपरी सिरे पर यह समेत है, इसलिए जब n अभाज्य हो तो उत्तर n ख़ुद होता है। 100 के लिए उत्तर 97 है; 25 के लिए 23; 97 के लिए 97। अंतराल बंद इसलिए है कि वरना यह नियम बनाना पड़ता कि n के पहले से अभाज्य होने पर क्या छापा जाए, और नतीजे के पैनल में ख़ाली पंक्ति तथ्य की तरह नहीं बल्कि नाकामी की तरह पढ़ी जाती है

nextPrime(n)

वह सबसे छोटी अभाज्य संख्या जो n से छोटी न हो, नीचे के सिरे पर उसी समेत वाले नियम के साथ। 25 के लिए यह 29 है, 100 के लिए 101, और 97 के लिए 97। यह इनपुट के दायरे से बाहर जा सकती है: nextPrime(1000000) = 1000003, जो पेज की स्वीकार की हुई किसी भी संख्या से बड़ी अभाज्य संख्या है, और इसे सीमा से बाहर मानने के बजाय उत्तर की तरह बताया जाता है

1e6 से 1e6 + 100 तक

इनपुट की ऊपरी सीमा का आसपास, और यही वजह है कि वहाँ एक अलग जाँच की ज़रूरत पड़ती है। दस लाख के आसपास की अभाज्य संख्याएँ 999983 और 1000003 हैं, इसलिए 1000000 से शुरू होने वाली खोज को एक दिशा में दस लाख के पार देखना पड़ता है। भाजक गिनने वाला हिस्सा दस लाख से बड़े मान नहीं लेता और वहाँ चूक जाता, इसलिए पड़ोसी अभाज्य संख्या की खोज अपनी अलग जाँच चलाती है जिस पर कोई ऐसी सीमा नहीं, और जहाँ दोनों का दायरा मिलता है वहाँ उन्हें एक ही बात कहनी चाहिए — उदाहरणों की अभाज्य संख्या वाली पंक्तियाँ यही जाँचती हैं

किसी चुनी हुई संख्या के पास अभाज्य संख्या चाहिए हो, तो सबसे काम की वजह मापांक चुनना है। हैश तालिका में ख़ानों की संख्या आम तौर पर अभाज्य ली जाती है, क्योंकि अभाज्य मापांक ऐसी कुंजियों को बिखेर देता है जिनमें कोई साझा गुणनखंड हो, उन्हें टकराने देने के बजाय; 1000 ख़ानों वाली तालिका 25 के हर गुणज को उन्हीं कुछ ख़ानों में डाल देती है, जबकि 997 ख़ानों वाली ऐसा नहीं करती। यही बात क्रिप्टोग्राफ़ी में भी लगती है, जहाँ कुंजियाँ ऐसी अभाज्य संख्याओं से बनती हैं जो बड़ी भी हों और एक-दूसरे से दूर भी। यह जाँचना कि कोई संख्या अभाज्य है या नहीं, विभाज्यता के सवाल भी जल्दी हल कर देता है: अगर किसी संख्या का वर्गमूल तक कोई अभाज्य भाजक न हो तो उसका कोई भी अभाज्य भाजक नहीं होता, और बैज यह बात आज़माइश के बजाय एक ही क़दम में बता देता है। कुछ पहेलियाँ सिर्फ़ अभाज्यता की ही होती हैं — जुड़वाँ अभाज्य संख्याएँ, क्रमागत अभाज्य संख्याओं के बीच की दूरियाँ, और यह कि कोई दी हुई संख्या दो अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है या नहीं। जहाँ सवाल गुणनखंडों का ही निकले वहाँ अभाज्य गुणनखंडन वाला पेज संख्या को अभाज्य संख्याओं में तोड़ता है और वही अगला पड़ाव है; जहाँ यह हो कि आपकी संख्या को कौन-कौन सी संख्याएँ बाँटती हैं, वहाँ गुणनखंड वाला पेज उन सबको गिनाता है; और जहाँ जाँची जा रही संख्या अभाज्य न हो और आप जानना चाहें कि वह किससे बनी है, वहाँ इस पेज की भाजक गिनती पहला सुराग़ है, पूरा उत्तर नहीं। इस पेज के पीछे की विधि क्रमिक भाग है — वर्गमूल तक के भाजक आज़माना — और इसी सीमा के कारण दस लाख पर छत लगती है।

1. एक अभाज्य संख्या: 97

   1. 97 के भाजक आज़माइए: 2 उसे नहीं बाँटता, और 3, 5, 7 तथा 11 भी नहीं
   2. वर्गमूल पर रुक जाइए: 10 × 10 = 100 पहले ही 97 से आगे है, इसलिए आज़माने के लिए कुछ नहीं बचता
   3. इकलौते भाजक 1 और 97 हैं, इसलिए गिनती 2 है और संख्या अभाज्य है
   4. पिछली अभाज्य संख्या 97 ख़ुद है, क्योंकि 97 पहले से अभाज्य है और खोज समेत है
   5. अगली अभाज्य संख्या भी 97 है, उसी वजह से

   डिफ़ॉल्ट इनपुट, और समेत वाले नियम का सबसे साफ़ उदाहरण। दोनों पड़ोसी संख्या ख़ुद बनकर लौटते हैं, जो पहली नज़र में ऐसा लगता है जैसे उन पंक्तियों ने कुछ किया ही नहीं। उन्होंने किया: 97 से बड़ी न होने वाली सबसे बड़ी अभाज्य संख्या 97 है, और 97 से छोटी न होने वाली सबसे छोटी अभाज्य संख्या भी 97 है। दूसरा रास्ता — सख़्त असमिका — इन दोनों पंक्तियों को ठीक उन इनपुटों पर ख़ाली छोड़ देता जहाँ पेज सबसे ज़्यादा निश्चिंत है, और नतीजे के पैनल की ख़ाली पंक्ति ग़लती जैसी पढ़ी जाती है। यही वह मामला भी है जहाँ पेज की दोनों स्वतंत्र जाँचें मिलती हैं: भाजक गिनती 2 कहती है, और पड़ोसी खोज भी मानती है कि 97 अभाज्य है, और दोनों वहाँ तक अलग-अलग कोड से पहुँचती हैं।

2. एक भाज्य संख्या: 100

   1. 100 सम है, इसलिए 2 उसे बाँटता है; वह 00 पर ख़त्म होता है, इसलिए 4, 5, 10, 20, 25 और 50 भी उसे बाँटते हैं
   2. भाजक हैं 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 और 100 — कुल नौ
   3. नौ दो से ज़्यादा है, इसलिए बैज अभाज्य के बजाय भाज्य पढ़ता है
   4. 100 से बड़ी न होने वाली सबसे बड़ी अभाज्य संख्या 97 है; और 100 से छोटी न होने वाली सबसे छोटी 101 है
   5. दोनों पड़ोसी संख्या से एक क़दम बाहर हैं, और अंतराल के बीच में भाज्य होने का मतलब ठीक यही दिखता है

   वह मामला जो दिखाता है कि पड़ोसी असली काम कर रहे हैं। जब संख्या भाज्य हो तो वे दो पंक्तियाँ ही काम का नतीजा हैं, क्योंकि वे उस सवाल का जवाब देती हैं जो पाठक के मन में इसके बाद आता है: अगर यह संख्या नहीं, तो कौन? सत्तानबे और एक सौ एक सबसे नज़दीकी अभाज्य संख्याएँ हैं, और 100 उनके बीच बैठा है। भाजकों की गिनती नौ भी देखने लायक़ है — यह विषम है, और विषम ठीक तभी होती है जब संख्या पूर्ण वर्ग हो, और 100 दस का वर्ग है। इसलिए गिनती पर एक नज़र यह बता देती है कि संख्या की बनावट कैसी है, कोई गुणनखंडन किए बिना।

3. अभाज्य के ठीक बाद वाली संख्या: 25

   1. 25 के भाजक हैं 1, 5 और 25 — तीन, क्योंकि 5 अपने आप के साथ जोड़ा बनाता है
   2. तीन दो से ज़्यादा है, इसलिए 25 भाज्य है
   3. 25 से नीचे चलिए: 24, 23 — 23 अभाज्य है, इसलिए वही पिछली अभाज्य संख्या है
   4. 25 से ऊपर चलिए: 26, 27, 28, 29 — 29 अभाज्य है, इसलिए वही अगली अभाज्य संख्या है
   5. यहाँ कुल फ़ासला छह है: 23 और 29, 25 के दोनों ओर

   एक पूर्ण वर्ग, और इसीलिए भाजकों की गिनती विषम है; और वह मामला जहाँ दोनों पड़ोसी साफ़-साफ़ अलग दूरी पर हैं — नीचे दो और ऊपर चार। गिनती का तीन होना यह भी दिखाता है कि सही कसौटी दो ही क्यों है, अभाज्य गुणनखंडों की गिनती नहीं: 25 का अभाज्य गुणनखंड सिर्फ़ एक, 5, है, पर वह अभाज्य नहीं है, और भाजकों की गिनती यह बात गुणनखंडन की तरफ़ देखे बिना ही पकड़ लेती है।

इनपुट 2 से 1000000 तक की पूर्ण संख्या होनी चाहिए। शून्य और एक अस्वीकार किए जाते हैं, और एक शून्य से अलग वजह से: वह दायरे से बाहर की संख्या नहीं बल्कि परिभाषा का सवाल है, और 1 की पिछली अभाज्य संख्या होती ही नहीं। ऋणात्मक संख्याएँ अस्वीकार की जाती हैं — अभाज्यता 1 से बड़ी पूर्ण संख्याओं का गुण है, और गणित की कुछ शाखाओं में ऋणात्मक अभाज्य संख्याओं की परंपरा हो भी, यह पेज उसे नहीं अपनाता। दशमलव पूर्णांकित करके नहीं लिए जाते बल्कि अस्वीकार किए जाते हैं। दस लाख की छत सिर्फ़ इनपुट पर लगती है; पड़ोसी अभाज्य संख्या वाली दोनों पंक्तियाँ वैध रूप से उससे बाहर की अभाज्य संख्या बता सकती हैं, और दस लाख के बाद की अगली अभाज्य संख्या 1000003 है, जिसे अस्वीकार करने के बजाय बता दिया जाता है। फ़ैसले के पीछे की जाँच वर्गमूल तक क्रमिक भाग है, जो इस आकार पर पलक झपकते हो जाती है और बीस अंकों की संख्या पर बेकार है, और यह सीमा समस्या का गुण है, इस कार्यान्वयन की कमी नहीं। पेज तीन संख्याएँ और एक बैज बताता है: यह भाजक ख़ुद नहीं गिनाता, किसी भाज्य संख्या का गुणनखंडन नहीं करता, और एक बार में एक ही संख्या जाँचता है, कोई परास नहीं। नीचे की संदर्भ तालिकाएँ तय पंक्तियाँ हैं, आपके इनपुट का जवाब नहीं। और अभाज्य संख्या को उसकी अपनी पिछली तथा अगली अभाज्य संख्या बताया जाता है, जो समेत अंतराल का जान-बूझकर चुना गया नियम है, ऐसी दो पंक्तियाँ नहीं जिन्हें कुछ मिला ही नहीं।

क्या 1 अभाज्य संख्या है?

नहीं, और वह भाज्य संख्या भी नहीं है। अभाज्य संख्या की परिभाषा है 1 से बड़ी ऐसी पूर्ण संख्या जिसके ठीक दो धनात्मक भाजक हों, और 1 का भाजक सिर्फ़ एक है, इसलिए वह दोनों ओर से परिभाषा पर खरा नहीं उतरता। यह जान-बूझकर लिया गया फ़ैसला है, कोई चूक नहीं: अगर 1 को अभाज्य गिना जाता, तो यह कथन ग़लत हो जाता कि हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन ठीक एक होता है, क्योंकि आप किसी भी गुणनखंडन को जितनी बार चाहें 1 से गुणा कर सकते हैं। 1 को बाहर रखना ही उस प्रमेय को साफ़ रखता है। और चूँकि यह अंकगणित का नहीं परिभाषा का सवाल है, पेज 1 को इनपुट की तरह स्वीकार नहीं करता — उत्तर यहीं दिया गया है।

पिछली और अगली अभाज्य संख्या दोनों संख्या ख़ुद क्यों लौटती हैं?

क्योंकि दोनों खोजें समेत हैं। पिछली अभाज्य संख्या वह सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है जो आपकी संख्या से बड़ी न हो, और अगली अभाज्य संख्या वह सबसे छोटी है जो उससे छोटी न हो। जब संख्या पहले से अभाज्य हो तो वह दोनों ब्यौरे पूरे करती है, इसलिए दोनों पंक्तियाँ उसे ही बताती हैं। दूसरा रास्ता सख़्त असमिका होता, और तब अभाज्य इनपुट पर दो पंक्तियों के पास छापने को कुछ न बचता। नतीजे के पैनल की ख़ाली पंक्ति कुछ बिगड़ने जैसी पढ़ी जाती है, और पेज ठीक उस मामले में जवाब देने से चूक जाता जहाँ वह सबसे ज़्यादा निश्चिंत है। यही परंपरा पूर्णांकन में भी दिखती है, जहाँ तय परिशुद्धता पर पहले से बैठी संख्या बिना बदले लौट आती है।

अगली अभाज्य संख्या दस लाख से बड़ी कैसे हो सकती है जब इनपुट नहीं हो सकता?

क्योंकि छत इस पर लगती है कि आप क्या पूछ सकते हैं, इस पर नहीं कि उत्तर क्या हो सकता है। दस लाख के बाद की अगली अभाज्य संख्या 1000003 है, और उसे छापने से मना करने का मतलब होता कि पेज की स्वीकार की हुई संख्या के बारे में पूछे गए बिल्कुल ठीक सवाल का जवाब देने से मना कर दिया जाए। इसलिए पड़ोसी अभाज्य संख्या की खोज अपनी अलग जाँच पर चलती है, बिना किसी ऊपरी सीमा के, जबकि भाजक गिनती साझा वाला हिस्सा इस्तेमाल करती रहती है जो सिर्फ़ उसी दायरे को समेटता है। इसका मतलब यह भी है कि दो अलग-अलग हिस्से यह तय करते हैं कि कोई संख्या अभाज्य है या नहीं — एक सीमा वाला, एक बिना सीमा वाला — और जहाँ उनका दायरा मिलता है वहाँ उन्हें एक ही बात कहनी चाहिए, और 97 वाला उदाहरण यही जाँचता है: गिनती 2 कहती है, और पड़ोसी खोज कहती है कि 97 अभाज्य है।

अभाज्य संख्या का असल में इस्तेमाल कहाँ होता है?

ज़्यादातर चीज़ों का आकार तय करने में। हैश तालिकाओं को आम तौर पर अभाज्य ख़ाने दिए जाते हैं, क्योंकि अभाज्य मापांक ऐसी कुंजियों को बिखेर देता है जिनमें कोई साझा गुणनखंड हो — 1000 ख़ानों वाली तालिका 25 के हर गुणज को उन्हीं कुछ जगहों पर भेज देती है, जबकि 997 ख़ानों वाली नहीं। यही तर्क हर उस जगह लगता है जहाँ कोई गिनती लपेट खाती है: जिस चक्र की लंबाई अभाज्य हो वह डेटा के नियमित पैटर्न के साथ गूँजती नहीं। क्रिप्टोग्राफ़ी दूसरा बड़ा इस्तेमाल है, जहाँ कुंजियाँ ऐसी अभाज्य संख्याओं से बनती हैं जो बहुत बड़ी भी हों और एक-दूसरे से दूर भी, और सुरक्षा इस पर टिकी है कि उनके गुणनफल को दोबारा उन दोनों अभाज्य संख्याओं में तोड़ना कितना मुश्किल है। छोटे इस्तेमाल हर जगह हैं: विभाज्यता के किसी दावे की जाँच, यह परखना कि कोई संख्या दो अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है, और जुड़वाँ अभाज्य संख्याओं तथा क्रमागत अभाज्य संख्याओं के फ़ासलों वाली पुरानी पहेलियाँ।

पेज फ़ैसला कैसे करता है, और कितने भरोसे के साथ?

भाजक गिनकर, जो संभावना पर नहीं बल्कि सटीकता पर टिका है। कोई संख्या ठीक तभी अभाज्य होती है जब उसके ठीक दो धनात्मक भाजक हों, इसलिए गिनती यह सवाल ग़लत होने की कोई गुंजाइश छोड़े बिना तय कर देती है, और ऐसी किसी जाँच पर भरोसा करने की ज़रूरत नहीं पड़ती जिसे धोखा दिया जा सके। गिनती वर्गमूल तक क्रमिक भाग से होती है, और इसीलिए दस लाख छत है: उसके आगे यह तरीक़ा भरोसेमंद होना बंद नहीं करता, धीमा हो जाता है। बहुत बड़ी संख्याओं के लिए सटीक तरीक़े सचमुच अव्यावहारिक हो जाते हैं और संभावना वाली जाँचें इस्तेमाल होती हैं, पर इस आकार पर निश्चितता से कम कुछ मानने की कोई वजह नहीं है, और पेज मानता भी नहीं।

सिर्फ़ फ़ैसले के बजाय भाजक गिनती क्यों दिखाई जाती है?

क्योंकि गिनती ही फ़ैसले की वजह है, और उसे दिखाने से दोनों कभी अलग नहीं पड़ सकते — बैज कोई दूसरी गणना नहीं बल्कि उसके बग़ल छपी संख्या का पाठ है। वह अपने आप में काम की भी है। विषम गिनती का मतलब है कि संख्या पूर्ण वर्ग है, क्योंकि तब वर्गमूल किसी दूसरे भाजक के साथ नहीं बल्कि अपने आप के साथ जोड़ा बनाता है। गिनती 2 होना अभाज्य संख्या की परिभाषा है। संख्या के आकार के मुक़ाबले बड़ी गिनती बताती है कि उसमें बहुत से छोटे गुणनखंड हैं, और ऐसी संख्या जल्दी भाजक जमा करती है। और यह पेज को बाक़ी पेजों से जोड़ती भी है: अभाज्य गुणनखंडन वाला पेज उसी इनपुट के लिए वही भाजक गिनती बताता है, बस उसे घातों से निकालता है, इसलिए दोनों पेज एक-दूसरे की जाँच कर देते हैं।

• Prime Number — the definition, the divisor-count test, and why 1 is excluded by it — Wolfram MathWorld (United States)
• Prime Gaps — the distances between consecutive primes, and what the neighbourhood of a million looks like — Wolfram MathWorld (United States)
• Composite Number — the complement of the primes, and why 1 belongs to neither group — Wolfram MathWorld (United States)