गुणनखंड कैलकुलेटर

60 ÷ 1 = 60 ⇒ 1 * 60; 60 ÷ 2 = 30 ⇒ 2 * 30; 60 ÷ 3 = 20 ⇒ 3 * 20; 60 ÷ 4 = 15 ⇒ 4 * 15; 60 ÷ 5 = 12 ⇒ 5 * 12; 60 ÷ 6 = 10 ⇒ 6 * 10; 60 ÷ 7 पूरा नहीं बँटता, 8 × 8 > 60, रुक जाइए

n

वह संख्या जिसके गुणनखंड निकाले जा रहे हैं — 1 से 1000000 तक कोई पूर्ण संख्या। एक भी चलती है और एक अकेला गुणनखंड देती है, 1, जो असली जवाब है, कोई विकृत मामला नहीं: 1 ख़ुद अपना गुणनखंड है और उसके अलावा सिर्फ़ उन्हीं संख्याओं को बाँटती है जो उसके गुणज हैं

d

परीक्षण-भाजक, जो 1, 2, 3, 4 और इसी तरह क्रम से आज़माया जाता है। पेज n के वर्गमूल से आगे कभी जाँचता ही नहीं, और यही पूरा करतब है: अगर d × e = n हो और d वर्गमूल से बड़ा हो, तो e उससे छोटा होगा, यानी e पहले ही मिल चुका है और वह जोड़ा छप चुका है

d * d ≤ n

रुकने का नियम, खुला लिखा हुआ। 60 के लिए आख़िरी परीक्षित भाजक 7 है, क्योंकि 7 × 7 = 49, 60 से नीचे है और 8 × 8 = 64 उससे ऊपर। इसी नियम की वजह से जाँचों की गिनती इनपुट के साथ नहीं, इनपुट के वर्गमूल के साथ बढ़ती है — दस लाख पर दस लाख नहीं, क़रीब हज़ार जाँचें लगती हैं

n / d

गुणनखंड का साथी। जब d, n को ठीक-ठीक बाँटता है, तो भागफल उस जोड़ी का दूसरा आधा होता है, और पेज उसे उसी क़दम में बना देता है। इसीलिए 60 के जोड़े 1 * 60, 2 * 30, 3 * 20 और इसी तरह क्रम में निकलते हैं, बिना किसी छँटाई के: छोटे आधे बढ़ते क्रम में मिलते हैं, इसलिए जोड़े भी

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

60 का हर गुणनखंड, एक सपाट सूची में, बढ़ते क्रम में। बारह प्रविष्टियाँ, जो सम संख्या है — जोड़े पूरे बन गए, हर गुणनखंड को साथी मिल गया। यह सूची नीचे के जोड़ों की ही जानकारी है, दूसरे ढंग से रखी हुई: जोड़े पढ़कर संख्याएँ इकट्ठी कर लीजिए और यही पंक्ति वापस मिल जाएगी

6 * 6

36 का बीच का जोड़ा, और वह अकेली शक्ल जिसमें एक ही गुणनखंड एक पंक्ति में दो बार आता है। 36 पूर्ण वर्ग है, इसलिए उसके गुणनखंडों की गिनती विषम है — 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, यानी नौ — और पेज बीच का जोड़ा दो बार के बजाय एक बार छापता है। इसीलिए किसी पूर्ण वर्ग के गुणनखंडों की गिनती कभी सम नहीं होती

भिन्न को छोटा करना गुणनखंड-सूची चाहने की सबसे आम वजह है। 42/60 को हाथ से छोटा करने के लिए आप ऐसी संख्या ढूँढ़ते हैं जो दोनों को बाँटे, और 60 के गुणनखंड उम्मीदवार बता देते हैं जबकि 42 के गुणनखंड बताते हैं कि उनमें से कौन बाँटता है — इनमें से सबसे बड़ी संख्या ही महत्तम समापवर्तक है, और अगर बस वही चाहिए तो gcf कैलकुलेटर वह सवाल सीधे हल कर देता है। दूसरा इस्तेमाल तय क्षेत्रफल का आयत है: साठ वर्ग मीटर की एक क्यारी 1 बटा 60, 2 बटा 30, 3 बटा 20, 4 बटा 15, 5 बटा 12 या 6 बटा 10 हो सकती है, और गुणनखंडों के जोड़े ठीक उन्हीं मुमकिन शक्लों की सूची हैं — इसीलिए वे उसी शक्ल में छपते हैं। यही सवाल हर उस मौक़े पर आता है जहाँ चीज़ों को बराबर पंक्तियों और कॉलमों में लगाना हो: साठ मेहमानों को बराबर आकार की मेज़ों पर बैठाना, या किसी कक्षा को एक ही आकार के समूहों में बाँटना जहाँ कोई बचे नहीं। तीसरा इस्तेमाल किसी दावे की जाँच है। अगर कोई कहे कि 91 अभाज्य है, तो उसकी गुणनखंड-सूची यह तय कर देती है — 1, 7, 13, 91 — और यह तथ्य कि प्रविष्टियाँ दो के बजाय चार हैं, वही खंडन है। 2, 3, 5 और 9 की विभाज्यता के नियम छोटे मामले हाथ से निपटा देते हैं, और जहाँ वे मुश्किल पड़ने लगें वहाँ से यह पेज सँभाल लेता है। जब सवाल असल में गुणनखंडों के बजाय टुकड़ों का हो, तो जवाब कहीं और रहता है: prime-factors कैलकुलेटर संख्या को अभाज्यों में तोड़ता है, जो यह पेज जान-बूझकर नहीं करता; lcm कैलकुलेटर और gcf कैलकुलेटर एक संख्या का बखान करने के बजाय दो संख्याओं की तुलना करते हैं; और simplify-fractions कैलकुलेटर सामान्य गुणनखंड से भिन्न को सीधे छोटा कर देता है, बिना सूची दिखाए।

1. बारह गुणनखंड: 60

   1. जाँच 1: 60 ÷ 1 = 60 ठीक-ठीक, इसलिए 1 और 60 दोनों गुणनखंड हैं
   2. जाँच 2: 60 ÷ 2 = 30, इसलिए 2 और 30 गुणनखंड हैं; जाँच 3: 60 ÷ 3 = 20, यानी 3 और 20
   3. जाँच 4: 60 ÷ 4 = 15, यानी 4 और 15; जाँच 5: 60 ÷ 5 = 12, यानी 5 और 12
   4. जाँच 6: 60 ÷ 6 = 10, यानी 6 और 10; जाँच 7: 60 ÷ 7 पूर्ण संख्या नहीं देता
   5. 8 × 8 = 64, जो 60 से आगे है, इसलिए रुक जाइए — बारहों गुणनखंड पूरे हो गए

   यही डिफ़ॉल्ट इनपुट है, और अच्छा इसलिए है कि 60 के बहुत गुणनखंड हैं — बारह, जो उससे छोटी किसी भी संख्या से ज़्यादा हैं। देखिए कि खोज कितनी सस्ती रही: सात परीक्षण-भाजक, साठ नहीं। जोड़ों की पंक्ति और गुणनखंड-सूची एक ही बारह संख्याएँ हैं; जोड़े बस इस तरह मोड़े हुए हैं कि हर एक उस संख्या के बग़ल में बैठा हो जिससे उसका गुणा होता है। यह भी देखने लायक है कि जोड़ों की सूची 6 * 10 पर ख़त्म होती है, 10 * 6 में आगे नहीं बढ़ती: जब किसी जोड़े का छोटा आधा वर्गमूल के पार चला जाता है, तो बाक़ी हर जोड़ा पहले छपे हुए जोड़े की ही पुनरावृत्ति होता है।

2. एक पूर्ण वर्ग: 36

   1. 1 का जोड़ा 36, फिर 2 का 18, फिर 3 का 12, फिर 4 का 9
   2. 6 × 6 = 36, इसलिए 6 ख़ुद अपना साथी है — सूची के बीच में
   3. 7, 36 को नहीं बाँटता; 7 × 7 = 49 तो पहले ही पार है, पर 6 वर्गमूल से नीचे का आख़िरी भाजक था
   4. गुणनखंड हैं 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 — नौ, यानी विषम गिनती

   यह वह मामला है जो दिखाता है कि गुणनखंडों की गिनती विषम क्यों हो सकती है। वर्गमूल के अलावा हर गुणनखंड का एक अलग साथी होता है, इसलिए वे जोड़ों में बँटकर सम गिनती जोड़ते हैं; वर्गमूल का साथी वह ख़ुद होता है और वह एक जोड़ता है। पूरी वजह यही है कि 36 के नौ गुणनखंड हैं जबकि 60 के — जो 36 से बड़ा है — बारह, और 12 के छह। जोड़ों की पंक्ति 6 * 6 एक बार छापती है, दो बार नहीं, और यह एक चुनाव है — दो बार छापने से दोनों पंक्तियाँ इस बात पर झगड़ने लगतीं कि गुणनखंड कितने हैं।

3. एक अभाज्य संख्या: 7

   1. जाँच 1: 7 ÷ 1 = 7 ठीक-ठीक, इसलिए 1 और 7 गुणनखंड हैं
   2. जाँच 2: 7 ÷ 2 पूर्ण संख्या नहीं देता; 3 × 3 = 9, जो 7 से आगे है, इसलिए खोज वहीं रुक जाती है
   3. 1 और 7 के बीच कोई भी इसे नहीं बाँटता
   4. दो गुणनखंड और एक जोड़ा — और यही अभाज्य संख्या की परिभाषा है

   पेज का सबसे छोटा ग़ैर-तुच्छ नतीजा, और वह जो दिखाता है कि अभाज्य होना गुणनखंड न मिल पाना नहीं है। अभाज्य वह संख्या है जिसके ठीक दो गुणनखंड हों, और वे दोनों हमेशा 1 तथा वह संख्या ख़ुद होते हैं; पेज यह तथ्य बताता है, यह नहीं कि उसे कुछ मिला ही नहीं। रुकने का नियम यहाँ असली काम करता है — 2 जाँचने के बाद जाँचने को कुछ बचता ही नहीं, क्योंकि 3 × 3 पहले से 7 से बड़ा है। 3, 4, 5 और 6 जाँचने में चार भाग लगते और कुछ मिल भी नहीं सकता था।

इनपुट 1 से 1000000 तक कोई पूर्ण संख्या होनी चाहिए। शून्य ठुकरा दिया जाता है: हर पूर्ण संख्या शून्य को बाँटती है, इसलिए उसकी गुणनखंड-सूची अनंत हो जाती और छापने लायक कुछ बचता ही नहीं। ऋणात्मक संख्याएँ भी ठुकरा दी जाती हैं, हालाँकि ±1, ±2 वग़ैरह सब −60 को बाँटते हैं — पेज किसी धनात्मक संख्या के धनात्मक गुणनखंड बताता है, और चिह्न वाली गुणनखंड-सूची के लिए यह तय करना पड़ता कि दोनों चिह्न दिखाए जाएँ या नहीं, जो यह पेज कहीं नहीं लिखता। दशमलव गोल करने के बजाय ठुकरा दिए जाते हैं। दस लाख की छत परीक्षण-भाग को बँधा रखती है: खोज वर्गमूल पर रुकती है, इसलिए सबसे बुरे मामले में हज़ार जाँचें लगती हैं, और जवाब की सूची लंबी हो सकती है पर कभी असँभाली नहीं। लंबी फिर भी हो सकती है — 720720 के 240 गुणनखंड हैं, जो दस लाख से नीचे किसी भी संख्या से ज़्यादा हैं — और उतनी बड़ी सूची सही तो होती है, पढ़ने में मज़ा नहीं आता। पेज गुणनखंड और गुणनखंडों के जोड़े बताता है, अभाज्य गुणनखंड नहीं, और यह फ़र्क़ चूकना आसान है: 60 की गुणनखंड-सूची में 2, 3 और 5 मौजूद हैं, पर पेज कभी नहीं कहता कि 60 = 2² × 3 × 5, और बड़ी संख्या पर इन दो सवालों की क़ीमत बहुत अलग होती है। 2, 3, 5 और 9 की विभाज्यता के नियम अलग से नहीं बताए जाते — वे परीक्षण-भाग में समा जाते हैं, इसलिए 0 पर ख़त्म होती संख्या 2, 5 और 10 को गुणनखंड बताती है और पेज यह नहीं कहता कि ऐसा क्यों। हर गुणनखंड एक पूर्ण संख्या के रूप में अल्पविराम से अलग की गई सूची में छपता है, और जोड़ों में गुणा के लिए तारा लगता है; हज़ार के विभाजक इस्तेमाल नहीं होते, इसलिए दस लाख का गुणनखंड 1000000 छपता है। अंत में, नीचे की संदर्भ तालिका तीन तय संख्याएँ दिखाती है, आपके इनपुट का पीछा नहीं करती; जो आपने टाइप किया उसका जवाब ऊपर का पैनल देता है।

गुणनखंड की गिनती में आख़िर क्या शामिल होता है?

कोई भी पूर्ण संख्या जो आपकी संख्या को ठीक-ठीक बाँट दे, कुछ बचे बिना। हर जोड़े का दोनों सदस्य गिना जाता है, इसलिए 60 की सूची 1 से चलकर सीधे 60 तक जाती है — 1 और संख्या ख़ुद हमेशा गुणनखंड होते हैं, और दिलचस्प वाले बीच में होते हैं। भिन्न नहीं गिने जाते, चाहे वे बराबर बाँट दें: 2.5, 60 में चौबीस बार जाता है, पर 2.5 पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए वह गुणनखंड नहीं है। यह पेज किसी धनात्मक संख्या के धनात्मक गुणनखंड बताता है, और यही मानक परिपाटी है।

खोज वर्गमूल पर ही क्यों रुक जाती है?

क्योंकि उसके पार जो भी गुणनखंड मिलता, वह उसी का साथी होता जिसे आप पहले देख चुके हैं। अगर d × e = 60 हो और d, 60 के वर्गमूल से बड़ा हो, तो e उससे छोटा होगा — यानी e पहले जाँचा जा चुका और वह जोड़ा तब ही छप चुका। उसके आगे जाँचने से जोड़े दूसरे क्रम में दोबारा मिल ही सकते हैं। इसीलिए 60 को साठ के बजाय सात परीक्षण-भाजक लगते हैं, और इसीलिए इस पेज की क़ीमत इनपुट के वर्गमूल के साथ बढ़ती है: दस लाख के क़रीब की संख्या को दस लाख नहीं, क़रीब हज़ार जाँचें लगती हैं।

36 के गुणनखंड विषम संख्या में क्यों हैं?

क्योंकि 36 पूर्ण वर्ग है, इसलिए उसका वर्गमूल अपना साथी ख़ुद बन जाता है। बाक़ी हर गुणनखंड का साथी अलग होता है — 1 का 36, 2 का 18, 3 का 12, 4 का 9 — और ऐसा हर जोड़ा गिनती में दो जोड़ता है। फिर 6 × 6 = 36 एक जोड़ता है। इसलिए कुल 4 × 2 + 1 = 9 होता है। सामान्य तौर पर किसी संख्या के गुणनखंडों की गिनती ठीक तभी विषम होती है जब वह पूर्ण वर्ग हो, और गुणनखंड-सूची देखकर यह पता लगाने का यही सबसे तेज़ तरीक़ा है।

क्या यह अभाज्य गुणनखंडन जैसा ही है?

नहीं, और यह फ़र्क़ साफ़ समझ लेना काम का है। यह पेज हर गुणनखंड देता है; अभाज्य गुणनखंडन संख्या को आपस में गुणे हुए अभाज्यों में तोड़ता है। 60 का अभाज्य गुणनखंडन 2² × 3 × 5 है, और पेज यह कभी नहीं छापता — हालाँकि 2, 3 और 5 तीनों गुणनखंड-सूची में दिखते हैं, क्योंकि अभाज्य भी बाक़ी गुणनखंडों की तरह गुणनखंड ही हैं। व्यावहारिक फ़र्क़ क़ीमत का है: यह पेज संख्या के वर्गमूल के अनुपात में काम करता है, जबकि बड़ी संख्याओं के लिए अभाज्य गुणनखंडन सचमुच कठिन है — और सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफ़ी इसी मान्यता पर टिकी है।

क्या मैं 0 या ऋणात्मक संख्या डाल सकता हूँ?

नहीं, और यह कोई मनमानी रोक नहीं है। हर पूर्ण संख्या शून्य को बाँटती है, इसलिए उसकी गुणनखंड-सूची कभी ख़त्म ही नहीं होगी। ऋणात्मक संख्या के गुणनखंड दोनों चिह्नों में आते हैं — 1 और −1, 2 और −2, और इसी तरह — और तब इस पेज को यह तय करना पड़ता कि दोनों दिखाए जाएँ या नहीं, जो वह नहीं करता। इनपुट 1 से 1000000 तक कोई पूर्ण संख्या है। दशमलव भी गोल करने के बजाय ठुकरा दिए जाते हैं, क्योंकि गोल करना चुपचाप किसी दूसरी संख्या का सवाल हल कर देता।

गुणनखंड दो कॉलमों में क्यों बाँटे गए हैं?

क्योंकि वे दो अलग सवालों के जवाब हैं। सपाट सूची तब देखी जाती है जब आप जानना चाहते हैं कि कोई संख्या आपकी संख्या को बाँटती है या नहीं। जोड़े तब चाहिए जब संख्या दो ऐसी चीज़ों का गुणनफल हो जिन्हें आप चुन रहे हैं — उस क्षेत्रफल का आयत, बराबर पंक्तियों और कॉलमों का जाल, कोई समूह जिसमें कोई बचे नहीं। साठ वर्ग मीटर की क्यारी 1 बटा 60, 2 बटा 30, 3 बटा 20, 4 बटा 15, 5 बटा 12 या 6 बटा 10 हो सकती है, और वे छह शक्लें ठीक जोड़ों वाला कॉलम हैं। दोनों कॉलमों में वही संख्याएँ हैं; फ़र्क़ सिर्फ़ लगाने का है।

• Divisor — what it means for one whole number to divide another exactly, and the convention that every number divides itself — Wolfram MathWorld (United States)
• Prime Number — numbers with exactly two factors, and why that definition is the one the factor list makes visible — Wolfram MathWorld (United States)
• Perfect Square — numbers whose square root is a whole number, and the reason their factor count is always odd — Wolfram MathWorld (United States)