ल.स.प. कैलकुलेटर

12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5 ⇒ lcm(12, 18, 30) = 2² × 3² × 5 = 180, और पहले चार सामान्य गुणज हैं 180, 360, 540, 720

12, 18, 30

वे संख्याएँ जिन पर काम करना है, दो से दस, हर एक 1 से 1000000 तक की पूर्ण संख्या। स्पेस, अल्पविराम और अर्धविराम, तीनों अलग करते हैं, इसलिए 12 18 30 और 12, 18, 30 एक ही इनपुट हैं। 0, ऋणात्मक संख्याएँ और दशमलव ठुकरा दिए जाते हैं: गुणज होना एक गिनती का कथन है, और सूची की हर संख्या को उसमें आना ही है

2² × 3² × 5

वे अभाज्य जो चाहिए, हर एक पूरी सूची में अपनी सबसे ऊँची घात पर: 12 से 2², 18 से 3², और 30 से 5। सबसे छोटी के बजाय सबसे ऊँची घात लेना ही इस पेज को महत्तम समापवर्तक से अलग करता है, और इसीलिए यह संख्या हमेशा सूची की सबसे बड़ी संख्या से कम से कम उतनी ही होती है, उससे छोटी कभी नहीं

180

जवाब, और पहला सामान्य गुणज। यह सूची की हर संख्या का गुणज है, और इससे छोटी कोई नहीं — और «लघुत्तम» शब्द का पूरा मतलब यही है

180, 360, 540, 720

पहले चार सामान्य गुणज, इसलिए छापे जाते हैं कि जवाब जाँचा जा सके: ये जवाब के 1, 2, 3 और 4 गुने हैं, और इनके बीच का अंतर ख़ुद जवाब है। अगर कोई छोटा सामान्य गुणज होता तो उसे 180 से नीचे आना पड़ता, और यह सूची दिखाती है कि क़तार वहीं से शुरू होती है

lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)

दो से ज़्यादा संख्याओं को कैसे सँभाला जाता है: दो-दो करके, चलता हुआ जवाब अगली संख्या में पिरोते जाते हुए। यह वही पिरोना है जो महत्तम समापवर्तक का पेज इस्तेमाल करता है, और यही वजह है कि ऊपर वाला गुणा-और-भाग वाला छोटा रास्ता यहाँ नहीं लगाया जाता — वह ठीक दो संख्याओं के लिए ही सही है

1000000000000

छत इनपुट पर नहीं, जवाब पर है। दस छह-अंकीय संख्याओं की सूची का जवाब उससे बहुत आगे निकल सकता है जितना कोई मशीन ठीक-ठीक रख सकती है, और यहाँ एक अनिश्चित जवाब बिलकुल सामान्य दिखता। इसके पार पेज लगभग सही कुछ छापने के बजाय मना कर देता है

भिन्न जोड़ना या तुलना करना वह जगह है जहाँ इस गुणज की क़ीमत चुकती है। 1/12 और 1/18 जैसे हैं वैसे जुड़ नहीं सकते; दोनों को 36 के ऊपर लिखा जाता है, और 36 उनका लघुत्तम समापवर्त्य है — कोई भी सामान्य गुणज काम चला देता, पर सबसे छोटा वाला संख्याएँ छोटी रखता है, इसीलिए पहले वही पढ़ाया जाता है। किसी योग का हर ठीक यही राशि होती है, और यहाँ का सामान्य हर वाला पेज भी यही गणना है, भिन्नों के एक समूह पर लगी हुई। काम-काज में इसका रोज़मर्रा वाला रूप समय-सारणी है: हर 12 दिन और हर 18 दिन पर दोहराने वाली दो घटनाएँ 36 दिन बाद फिर एक साथ पड़ती हैं, तीन दोहराती बत्तियाँ तीनों के गुणज बाद एक साथ होती हैं, और «अगली बार कब मिलेंगी» का सवाल हमेशा यही गुणज होता है। गियर के दाँत भी इसी तरह चलते हैं, जहाँ मिलने का ढाँचा उतने फेरों के बाद दोहराता है जितने दोनों गियर पूरे कर लें। कोर्सवर्क में यह गुणज सीधे पूछा जाता है और नीचे की तालिका वही अपेक्षित हल है: वह हर संख्या के गुणज तब तक गिनती है जब तक कोई संख्या हर कॉलम में न आ जाए। जिन दो संख्याओं में कोई अभाज्य साझा न हो, वे आसान मामला हैं — उनका गुणज सीधे उनका गुणनफल है — और यह पहचान लेने से कोई अंकगणित करना ही नहीं पड़ता।

1. 12, 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य

   1. 12 के गुणज: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, … 180
   2. 18 के गुणज: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180
   3. 30 के गुणज: 30, 60, 90, 120, 150, 180
   4. तीनों सूचियों में सबसे पहले आने वाली संख्या 180 है
   5. अभाज्य गुणनखंडन से: 12 से 2², 18 से 3² और 30 से 5, इसलिए 4 × 9 × 5 = 180

   यही डिफ़ॉल्ट है। ध्यान दीजिए कि 36, 12 और 18 दोनों का गुणज है पर 30 का नहीं, और 60, 12 और 30 दोनों का गुणज है पर 18 का नहीं — जवाब को सूची की हर संख्या को पूरा करना है, ज़्यादातर को नहीं। दोनों रास्ते सहमत हैं, और जब सूचियाँ लंबी चलने लगें तब गुणनखंडन वाला रास्ता इस्तेमाल कीजिए।

2. दो संख्याएँ: 4 और 6

   1. 4 के गुणज: 4, 8, 12, 16, 20, 24
   2. 6 के गुणज: 6, 12, 18, 24
   3. पहली साझा संख्या 12 है
   4. गुणनफल वाले नियम से जाँचिए: 4 × 6 = 24, और 4 तथा 6 का महत्तम समापवर्तक 2 है, इसलिए 24 ÷ 2 = 12

   दो-संख्या वाला मामला ही अकेला है जहाँ गुणनफल वाला नियम टिकता है, और ऊपर की जाँच एक बार हाथ से कर लेना काम का है क्योंकि वह दिखाती है कि नियम दो से आगे क्यों टूट जाता है: 4, 6 और 9 के लिए गुणनफल 216 होता है जबकि जवाब 36 है, और सिर्फ़ 4 तथा 6 के भाजक से भाग देने पर तीसरी संख्या का हिसाब नहीं बैठता। पेज दो-दो करके पिरोता है और इस जाल में कभी नहीं फँसता।

3. सहअभाज्य संख्याएँ: 7, 11 और 13

   1. 7, 11 और 13 तीनों अभाज्य हैं, इसलिए इनमें से कोई भी दो कोई गुणनखंड साझा नहीं करतीं
   2. गुणनफल में कुछ कटता नहीं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य 7 × 11 × 13 है
   3. 7 × 11 = 77, और 77 × 13 = 1001
   4. पहले चार सामान्य गुणज हर बार 1001 के क़दम से बढ़ते हैं

   जब कोई अभाज्य साझा न हो, जवाब सीधे गुणनफल होता है, और यही अकेला मामला है जहाँ जवाब इतना बड़ा होता है। 1001 एक बिलकुल अलग वजह से जाना-पहचाना नंबर है — यह 7 × 11 × 13 में टूटता है, और ठीक इसीलिए तीन अंकों का दोहराव पहचानने की तरकीब काम करती है। पेज इसे भी वैसे ही सँभालता है जैसे बाक़ी सबको।

4. ऐसी सूची जहाँ एक संख्या बाक़ी सबको बाँट देती है: 6, 8 और 12

   1. 12, 6 का गुणज है, इसलिए 6 ऐसा कुछ नहीं जोड़ता जो 12 पहले से न माँगता हो
   2. 8 के गुणज: 8, 16, 24
   3. 12 के गुणज: 12, 24
   4. पहली साझा संख्या 24 है, और जवाब सूची की सबसे बड़ी संख्या का गुणज नहीं है

   जवाब का उन संख्याओं में से एक होना ज़रूरी नहीं जो आपने टाइप कीं, और यह महत्तम समापवर्तक का उल्टा है, जहाँ जवाब हमेशा सबसे छोटी संख्या का भाजक होता है। यहाँ जवाब 24 सूची की हर संख्या से बड़ा है, क्योंकि सामान्य गुणज को वह होना है जिसे वे सब बाँट दें। 6 हटा देने से कुछ नहीं बदलता: 12 में वे सारे अभाज्य पहले से हैं जो 6 माँगता है, इसलिए पिरोने पर जवाब वैसा ही रहता है।

हर संख्या 1 से 1000000 तक की पूर्ण संख्या होनी चाहिए, और उनकी गिनती दो से दस के बीच। इनपुट वहीं तक सीमित हैं, पर जो छत असल में मायने रखती है वह जवाब पर है: लघुत्तम समापवर्त्य को 1000000000000 पर या उससे नीचे रहना है, और दस बड़ी संख्याओं की सूची इनपुट का दायरा ख़त्म होने से बहुत पहले उसे पार कर जाएगी। छत के पार पेज जवाब छापने के बजाय मना कर देता है, क्योंकि इतनी बड़ी संख्या ठीक-ठीक रखी नहीं जा सकती और वह एक आम नतीजे जैसी दिखकर लौटेगी। शून्य और ऋणात्मक संख्याएँ ठुकरा दी जाती हैं: «हर पूर्ण संख्या 0 का गुणज है» कोई काम का कथन नहीं है, और लघुत्तम समापवर्त्य धनात्मक संख्याओं पर परिभाषित होता है। दशमलव और भिन्न गोल करने के बजाय ठुकरा दिए जाते हैं, उसी वजह से जो भाजक वाले पेज पर है। विभाजक स्पेस, अल्पविराम या अर्धविराम हो सकते हैं और मिले-जुले भी। दोहराई गई प्रविष्टियाँ स्वीकार की जाती हैं और कुछ नहीं बदलतीं, और सूची में जो संख्या किसी दूसरी को बाँट देती है वह बस फ़ालतू है। नीचे की संदर्भ तालिका 4, 6 और 8 पर स्थिर है और आपके इनपुट का पीछा नहीं करती — पैनल आपकी संख्याओं का जवाब देता है, तालिका दिखाती है कि जवाब पढ़ा कैसे जाता है। जवाब ख़ुद हमेशा ठीक-ठीक होता है, कभी गोल नहीं।

लघुत्तम समापवर्त्य हाथ से कैसे निकालूँ?

हर संख्या के गुणज लिखते जाइए जब तक कोई एक मान हर सूची में न आ जाए। 12, 18 और 30 के लिए वह 180 है: यह 12 का पंद्रहवाँ गुणज है, 18 का दसवाँ और 30 का छठा। तेज़ रास्ता अभाज्य गुणनखंडन है — सूची में कहीं भी दिखने वाला हर अभाज्य अपनी सबसे ऊँची घात पर रखिए, इसलिए उन तीन संख्याओं के लिए 2², 3² और 5, जिनसे 180 बनता है। दोनों रास्ते ऊपर के उदाहरणों में दिखाए गए हैं।

ल.स.प. और म.स.प. में क्या फ़र्क़ है?

महत्तम समापवर्तक वह सबसे बड़ी संख्या है जो सारे इनपुट को बाँट दे; लघुत्तम समापवर्त्य वह सबसे छोटी संख्या है जिसे सारे इनपुट बाँट दें। भाजक सबसे छोटी संख्या से कभी बड़ा नहीं होता, गुणज सबसे बड़ी संख्या से कभी छोटा नहीं होता। अभाज्य गुणनखंडन से देखिए तो फ़र्क़ एक शब्द का है: भाजक साझा अभाज्यों की सबसे छोटी घात रखता है, गुणज मौजूद हर अभाज्य की सबसे ऊँची घात।

क्या मैं संख्याओं को आपस में गुणा करके काम चला सकता हूँ?

उससे एक सामान्य गुणज मिलता है, पर सबसे छोटा वाला कम ही मिलता है, और दो संख्याओं के लिए ठीक नियम यह है कि गुणनफल = लघुत्तम समापवर्त्य × महत्तम समापवर्तक। 4 और 6 का गुणनफल 24 है और भाजक 2, इसलिए जवाब 12 है। दो से आगे यह नियम नहीं टिकता, और इसीलिए पेज संख्याओं को दो-दो करके पिरोता है, सबको एक साथ गुणा करने के बजाय।

पेज बहुत बड़े जवाब क्यों ठुकरा देता है?

क्योंकि एक निश्चित आकार के बाद मशीन पूर्ण संख्याएँ ठीक-ठीक रखना बंद कर देती है, और इतना बड़ा जवाब गोल होकर भी बिलकुल सामान्य दिखता। इनपुट हर एक 1000000 पर सीमित हैं, पर जवाब उससे बहुत आगे बढ़ सकता है — दस छह-अंकीय संख्याओं का गुणनफल बहुत बड़ा हो जाता है — इसलिए पेज जवाब को भी एक छत से जाँचता है और लगभग सही कुछ छापने के बजाय मना कर देता है।

दो सहअभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य क्या होता है?

उनका गुणनफल, क्योंकि कुछ कटता ही नहीं: 7 और 11 सहअभाज्य हैं, इसलिए उनका लघुत्तम समापवर्त्य 77 है। सहअभाज्य का मतलब है कि दोनों संख्याओं में कोई अभाज्य साझा ही नहीं, इसलिए सूची में हर अभाज्य की सबसे ऊँची घात वह अभाज्य ख़ुद है। लगातार पूर्ण संख्याएँ हमेशा सहअभाज्य होती हैं, और कोई भी अभाज्य ऐसी किसी चीज़ के साथ भी जो उसका गुणज न हो।

लघुत्तम समापवर्त्य का इस्तेमाल कहाँ होता है?

भिन्न जोड़ने या तुलना करने के लिए सामान्य हर चाहिए, और सबसे छोटा वाला ही यह राशि है — 1/12 और 1/18, दोनों को 36 के ऊपर लिखा जाता है। अंकगणित से बाहर, जो भी चीज़ दो चक्रों पर दोहराती है वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य के बाद फिर एक साथ पड़ती है: हर 12 दिन और हर 18 दिन पर होने वाली घटनाएँ 36 दिन बाद मिलती हैं, और गियर के दाँत ऐसे ढाँचे में मिलते हैं जो दाँतों की गिनती के गुणज बाद दोहराता है।

• Least common multiple — the definition, the highest-power rule for prime factorizations, and the relation to the greatest common divisor — Wolfram MathWorld (United States)
• Multiple — what it means for one number to be a multiple of another, and the smallest number that is a multiple of two given ones — Wolfram MathWorld (United States)
• Least common multiple of 1 through n — the sequence 1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, … that shows how fast the answer grows as a list gets longer, catalogued as OEIS A003418 — OEIS Foundation Inc. (United States)