दोनों भिन्न वाले आँकड़े अलग क्यों होते हैं?

क्योंकि एक जवाब है और दूसरा काम। छोटा न किया हुआ आँकड़ा नियम से सीधे निकलता है — हर आपस में गुणा, अंश दूसरी तरफ़ के हर से गुणा — और सरलतम रूप वाला वही मान है जिसमें से महत्तम समापवर्तक दोनों हिस्सों से काट दिया गया हो। एक चौथाई जमा एक छठा काटने से पहले 10/24 है और बाद में 5/12; दशमलव दोनों के मिलते हैं, और यही सबूत है कि सिर्फ़ लिखावट बदली है।

बारह से काम चल जाता, तो हर 24 क्यों बना?

क्योंकि पेज सामान्य हर दोनों हरों को गुणा करके निकालता है, यह ढूँढ़कर नहीं कि वह सबसे छोटी संख्या कौन-सी है जो दोनों में बँट जाए। चौबीस वही चार गुणा छह है, और यह मान्य सामान्य हर है, भले बारह उससे छोटा है। यह सौदा जान-बूझकर किया गया है: गुणा करना हमेशा चलता है और हरों की कोई छानबीन नहीं माँगता, और बाद में छोटा करने का चरण जवाब को वैसे भी सरलतम रूप में लौटा देता है। अगर सबसे छोटा साझा हर चाहिए, तो सरलतम रूप वाला आँकड़ा पढ़िए।

भिन्नों में भाग कैसे देते हैं?

व्युत्क्रम से गुणा कीजिए: दूसरी भिन्न को उलट दीजिए और आमने-सामने गुणा कर दीजिए। आधा बटा तीन चौथाई यानी आधा गुणा चार तिहाई, यानी चार बटा छह, जो छोटा होकर दो तिहाई बनता है। यह नियम इसलिए बना है क्योंकि किसी संख्या से भाग देना उसके व्युत्क्रम से गुणा करना है, और इसीलिए दूसरी भिन्न का अंश जवाब के हर में पहुँच जाता है — 0.5 के मुक़ाबले 0.666667 पक्का करता है कि जवाब बड़ा हुआ, जैसा एक से छोटी संख्या से भाग देने पर होना ही है।

क्या जवाब मिश्रित संख्या में आ सकता है?

नहीं — नतीजे विषम भिन्न होते हैं, इसलिए नौ चौथाई ढाई के बजाय 9/4 लौटता है। विषम भिन्न वह शक्ल है जो आगे भी चलती रहती है: मिश्रित संख्या को जोड़ने या गुणा करने का मतलब है उसे पहले विषम भिन्न में बदलना, इसलिए उसे छापना सिर्फ़ अगले क़दम पर दोबारा बदलवाना होता। 9/4 को ढाई बनाना एक भाग है, और जल्दी जाँच के लिए दशमलव वाला आँकड़ा पढ़ लेना वही काम कर देता है।

अगर हर शून्य हो तो क्या होता है?

पेज ग़लती बताता है, और देने को कोई जवाब बचता ही नहीं: जिस भिन्न का हर शून्य हो उसका कोई मान नहीं होता, क्योंकि हर वह संख्या है जितने हिस्सों में पूरे को बाँटा गया है, और शून्य से भाग देना परिभाषित ही नहीं है। जिस भिन्न का अंश शून्य हो उससे भाग देना भी इसी वजह से मना है — शून्य का व्युत्क्रम कोई संख्या नहीं — जबकि पहली भिन्न का अंश शून्य होना बिल्कुल ठीक है और किसी भी गुणा या भाग में शून्य देता है।

जवाब सही है या नहीं, यह कैसे जाँचें?

दोनों पदों को मन में दशमलव में बदलिए और उन मोटे आँकड़ों पर क्रिया कीजिए। आधा जमा एक तिहाई का नतीजा 0.8 और 0.9 के बीच आना चाहिए, और पाँच बटा छह 0.833333 है। दोनों एक से छोटी भिन्नों का गुणा दोनों में से किसी से भी छोटा नतीजा देना चाहिए, और एक से छोटी संख्या से भाग देना बड़ा नतीजा देना चाहिए। जब मोटा जवाब और भिन्न आपस में न मिलें, तो ग़लती छोटा करने में नहीं बल्कि गुणा-भाग में है, क्योंकि छोटा करना सिर्फ़ यह बदल सकता है कि संख्या कैसे लिखी गई है।

भिन्न कैलकुलेटर

नतीजा

5/6

सरलतम रूप में भिन्न

छोटा करने से पहले: 5/6
दशमलव में: 0.833333

भिन्न कैलकुलेटर एक साथ दो भिन्नों पर चारों क्रियाएँ करता है: पहली भिन्न का अंश और हर भरिए, जोड़, घटाव, गुणा या भाग चुनिए, दूसरी भिन्न भरिए — और जवाब सरलतम रूप में लौट आता है। आधा जमा एक तिहाई यानी पाँच बटा छह, और पेज यही छापता है, वह सोलह बटा छत्तीस नहीं जो दोनों हरों को गुणा करने पर मिलता। यही वह वाक्य है जिसकी वजह से यहाँ कैलकुलेटर इस्तेमाल करना बनता है। भिन्न जोड़ना वह क्रिया है जिसमें लोग ग़लती करते हैं, क्योंकि चारों में यही अकेली है जिसमें कुछ करने से पहले हरों का मेल होना ज़रूरी है: आमने-सामने गुणा कीजिए और काम ख़त्म, पर जोड़ना या घटाना करने के लिए आधे और तिहाई को किसी ऐसी शक्ल में लाना पड़ता है जो दोनों में साझा हो। वहाँ तक दो रास्ते पहुँचते हैं। सुरक्षित रास्ता, जिसे यह पेज पूरा दिखाता है, हर अंश को दूसरी भिन्न के हर से गुणा करता है और उन्हीं के गुणनफल को सामान्य हर बनाता है: आधे और तिहाई पर यह छह के ऊपर पाँच बटा छह देता है, यानी वह रूप जिसे अभी छोटा नहीं किया गया। ज़्यादा साफ़-सुथरा रास्ता वह छोटी-से-छोटी संख्या ढूँढ़ता है जो दोनों हरों में बँट जाए — यहाँ वह छह है — और वह उसी जवाब को सीधे सरलतम रूप में दे देता है। दोनों आँकड़े इसीलिए साथ छपते हैं कि आप दोनों देख सकें, और यह जान लेना काम का है कि वे दो जवाब नहीं हैं — एक ही संख्या है, छोटा करने से पहले और बाद में। भाग वह दूसरी क्रिया है जिसका अपना नियम है: किसी भिन्न से भाग देना उस भिन्न को उलटकर गुणा करने जैसा है, इसलिए आधा बटा तीन चौथाई यानी आधा गुणा चार तिहाई, यानी चार बटा छह, और फिर दो बटा तीन। गुणा और घटाव में ऐसा कोई झटका नहीं है, हालाँकि ऋणात्मक अंश घटाव में ही सामने आता है: आधा घटा एक तिहाई यानी एक बटा छह, और एक तिहाई घटा आधा यानी माइनस एक बटा छह — ऋण चिह्न पूरी भिन्न पर नहीं, अंश पर ही रहता है, क्योंकि गणित ने उसे वहीं रखा है। पेज पर भरोसा करने से पहले चार बातें जान लेनी चाहिए। यह विषम भिन्नों के साथ चलता है, मिश्रित संख्याओं के साथ नहीं: नौ बटा चार यानी 9/4, यानी वही शक्ल जो अगली गणना माँगती है, न कि ढाई। शून्य हर सीधा मना कर दिया जाता है, जवाब मानकर नहीं लिया जाता, क्योंकि ऐसी भिन्न का कोई मान होता ही नहीं। जिस भिन्न का अंश शून्य हो उससे भाग देना भी मना है, क्योंकि शून्य का व्युत्क्रम कोई संख्या नहीं है। और इतना बड़ा अंश भी मना है जिस पर आमने-सामने का गुणा उस दायरे से बाहर चला जाए जहाँ पूर्णांक गणित ठीक-ठीक रहता है — वहाँ पेज अनुमानित भिन्न छापने के बजाय ग़लती बताता है, और यही वह इकलौती बंदिश है जो यह पेज एक लाख के हर की सीमा के ऊपर लगाता है।

चारों क्रियाएँ, और छोटा करना कहाँ होता है

पहली भिन्न	क्रिया	दूसरी भिन्न	छोटा करने से पहले	सरलतम रूप	दशमलव
1/2	+	1/3	5/6	5/6	0.833333
1/4	+	1/6	10/24	5/12	0.416667
3/4	−	1/3	5/12	5/12	0.416667
2/3	×	3/5	6/15	2/5	0.4
1/2	÷	3/4	4/6	2/3	0.666667
5/6	×	3/10	15/60	1/4	0.25

छह पंक्तियाँ, चारों क्रियाएँ, और जिन दो खानों पर सब कुछ टिका है वे चौथा और पाँचवाँ हैं — छोटा करने से पहले और बाद में वही संख्या। दूसरी पंक्ति पहले पढ़िए, क्योंकि वह काम सबसे साफ़ दिखाती है: एक चौथाई जमा एक छठा 10/24 से होकर जाता है, जो 5/12 बनता है क्योंकि दस और चौबीस में दो का साझा गुणनखंड है। फिर पहली और तीसरी पंक्ति देखिए, जहाँ दोनों खानों में एक ही भिन्न है और छोटा करने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी; सिर्फ़ एक खाना दिखाने वाला पेज इन दोनों बातों को छिपा देता। गुणा और भाग की पंक्तियाँ अपने नियम दिखाती हैं: आमने-सामने गुणा 6/15 देता है और फिर 2/5, और भाग व्युत्क्रम से गुणा करता है, इसलिए आधा बटा तीन चौथाई 4/6 देता है और फिर 2/3। हर पंक्ति का दशमलव सरलतम रूप वाली भिन्न है, छह स्थानों तक, जिससे आख़िरी खाना अपने पहले वाले दोनों खानों की जाँच बन जाता है — दूसरी और तीसरी पंक्ति, अलग क्रियाओं और अलग बीच वाली भिन्नों से जवाब तक पहुँचकर भी, दोनों 0.416667 पर ख़त्म होती हैं। क्रिया वाले खाने में सिर्फ़ चिह्न भरा है — +, −, ×, ÷ — क्योंकि चिह्न हर भाषा में एक ही है, जबकि 'जोड़' जैसा शब्द नहीं; और इसीलिए पहली भिन्न, क्रिया और दूसरी भिन्न तीन अलग खानों में हैं, एक ही खाने में '1/4 + 1/6' लिखने के बजाय।

फ़ॉर्मूला

जोड़ या घटाव: a/b ± c/d = (a·d ± c·b) / (b·d) गुणा: a/b × c/d = (a·c) / (b·d) भाग: a/b ÷ c/d = (a·d) / (b·c) और फिर दोनों हिस्सों को उनके महत्तम समापवर्तक से बाँट दीजिए

पहली भिन्न: एक अंश और एक हर, दोनों पूर्ण संख्याएँ। अंश ऋणात्मक या शून्य हो सकता है; हर शून्य नहीं हो सकता और एक लाख से ऊपर नहीं जा सकता
क्रिया: चार में से कोई एक क्रिया, सूची से चुनी हुई क्योंकि चार ही हैं — पहली भिन्न में दूसरी को जोड़ना, उसमें से घटाना, उससे गुणा या उससे भाग देना। भाग वही है जो दूसरी भिन्न को उलटकर किया जाता है, इसीलिए वही यह भी है जहाँ दूसरी भिन्न का अंश शून्य होने पर मना कर दिया जाता है
दूसरी भिन्न: दूसरा पद, उन्हीं नियमों के साथ: कोई भी पूर्ण अंश, शून्य के अलावा कोई हर, जो एक लाख तक जा सकता है। भाग की हालत में इसका अंश ही व्युत्क्रम का हर बन जाता है
छोटा करने से पहले: वह भिन्न जो नियम से सीधे निकलती है, बिना कुछ काटे: आधे जमा एक तिहाई पर छह के ऊपर पाँच बटा छह। इसका हर दोनों हरों का गुणनफल होता है, और इसीलिए इस शक्ल को कभी-कभी आमने-सामने का गुणा कहा जाता है — और इसीलिए यह सबसे छोटे साझा हर से बड़ी हो सकती है
सरलतम रूप: वही मान, जिसमें से महत्तम समापवर्तक दोनों हिस्सों से बाँट दिया गया हो: छह के ऊपर पाँच बटा छह कटकर पाँच बटा छह रह जाता है। यही जवाब है, और इन दोनों आँकड़ों के बीच का चरण ही पूरा भिन्न-सरलीकरण है
दशमलव: जवाब दशमलव में, छह स्थानों तक: पाँच बटा छह यानी 0.833333। जो मान पूरा-पूरा नहीं बँटता उसे काटा नहीं, गोल किया जाता है, और ये छह अंक एक प्रदर्शन का चुनाव हैं, इस भिन्न की परिशुद्धता के बारे में कोई बयान नहीं

चार क्रियाएँ, चार मौक़े, और एक आदत जो रखने लायक़ है। जोड़ना तब काम आता है जब मात्राएँ किसी पूरे के अलग-अलग हिस्सों में दी हों — एक तिहाई कप जमा एक चौथाई कप, और पेज बताता है कि यह सात बटा बारह है। घटाना वही है बस चिह्न उलटा, और यही वह क्रिया है जहाँ दोनों भिन्नों का क्रम मायने रखता है: आधा घटा एक तिहाई यानी एक बटा छह, जबकि एक तिहाई घटा आधा यानी माइनस एक बटा छह — इसलिए जो भिन्न पहले भरते हैं, उसी में से घटाया जाता है। गुणा चारों में सबसे आसान है और सबसे ज़्यादा सोच-विचार में उलझाया जाने वाला — ऊपर का ऊपर से और नीचे का नीचे से, और कोई सामान्य हर ढूँढ़ने की ज़रूरत ही नहीं; दो तिहाई का आधा यानी एक तिहाई। भाग करना व्युत्क्रम से गुणा करना है, और यही वह क्रिया है जिसके लिए लोग कैलकुलेटर उठाते हैं: तीन चौथाई बटा आधा यानी तीन चौथाई गुणा दो, यानी छह चौथाई, यानी डेढ़। इन चारों के नीचे एक आदत बैठी है: जवाब को मोटे दशमलव से मिलाकर देखिए। छह के ऊपर पाँच बटा छह आठ दशमलव से कुछ ज़्यादा है, और पाँच बटा छह भी, इसलिए छोटा करने से मान नहीं बदला — और छोटा करना सिर्फ़ यही एक चीज़ बदल सकता है। अगर दोनों दशमलव आपस में न मिलें, तो ग़लती काटने में नहीं, गुणा-भाग में है, और सरलतम रूप वाला आँकड़ा दोबारा पढ़ने से वह कभी नहीं मिलेगी।

हल किए हुए उदाहरण

आधा जमा एक तिहाई
1. आमने-सामने गुणा से सामान्य हर: 2 × 3 = 6
2. पहला अंश: 1 × 3 = 3
3. दूसरा अंश: 1 × 2 = 2
4. अंशों को सामान्य हर के ऊपर जोड़िए: (3 + 2) / 6 = 5/6
5. कुछ कटता नहीं — 5 और 6 में कोई साझा गुणनखंड नहीं — इसलिए छोटा करने से पहले वाला रूप और जवाब एक ही हैं, और दशमलव 0.833333 है
यह डिफ़ॉल्ट हालत है, और ऐसी हालत जिसमें दोनों भिन्न-आँकड़े एक ही निकलते हैं। ऐसा तब होता है जब आमने-सामने गुणा करके बना रूप पहले से सरलतम हो, और दो इकाई-भिन्नों के जोड़ में इसका मतलब है कि हर सह-अभाज्य थे। जहाँ वे अलग होते हैं उन हालतों से पहले इसे एक बार देख लेना काम का है, ताकि एक ही भिन्न को दो बार दिखाने वाला पेज ग़लती न लगे।
एक चौथाई जमा एक छठा, दोनों रूपों में
1. आमने-सामने गुणा से सामान्य हर: 4 × 6 = 24
2. पहला अंश: 1 × 6 = 6; दूसरा अंश: 1 × 4 = 4
3. इन्हें सामान्य हर के ऊपर जोड़िए: (6 + 4) / 24 = 10/24
4. 10 और 24 का महत्तम समापवर्तक निकालिए: 2
5. दोनों हिस्सों को 2 से बाँटिए: जवाब 5/12 है, और दशमलव में 0.416667
यही वह उदाहरण है जो दोनों आँकड़ों को समझाता है। चौबीस वह सबसे छोटी संख्या नहीं है जो चार और छह दोनों में बँट जाए — बारह है — इसलिए छोटा न किया हुआ रूप ज़रूरत से बड़ा है, और काटने का चरण सचमुच काम करता है। गुणनफल से होकर जाना, सबसे छोटे साझा गुणज की तलाश करने के बजाय, आलस नहीं है: यह ऐसा नियम है जो हर जोड़ी हरों पर बिना उनके गुणनखंडों के बारे में सोचे चल जाता है, और उसके बाद छोटा करना जवाब को साफ़-सुथरी शक्ल में लौटा देता है। दस बटा चौबीस और पाँच बटा बारह एक ही संख्या हैं, जिसे अंत के मिलते हुए दशमलव पक्का कर देते हैं।
दो तिहाई गुणा तीन चौथाई
1. आमने-सामने गुणा कीजिए: 2 × 3 = 6, बटा 3 × 4 = 12
2. यहाँ सामान्य हर की ज़रूरत नहीं — वह चरण सिर्फ़ जोड़ने और घटाने का है
3. छह को काटिए: 6 ÷ 6 = 1 और 12 ÷ 6 = 2
4. जवाब 1/2 है, यानी 0.5
गुणा, जहाँ हर सीधे गुणा हो जाते हैं और पहले कुछ मिलाना नहीं पड़ता। यहाँ छोटा करना ध्यान देने लायक़ है: दो तिहाई गुणा तीन चौथाई यानी आधा, जो दोनों पदों से छोटा है क्योंकि दोनों एक से कम हैं — यह नतीजा उन्हें चौंकाता है जो सोचते हैं कि गुणा चीज़ों को बड़ा करता है, और 0.5 से मिलाकर देख लेना इसे एक ही क़दम में पक्का कर देता है।
आधा बटा तीन चौथाई
1. दूसरी भिन्न को उलट दीजिए: 3/4 बनता है 4/3
2. अब गुणा कीजिए: (1 × 4) / (2 × 3) = 4/6
3. दोनों को काटिए: 4 ÷ 2 = 2 और 6 ÷ 2 = 3
4. जवाब 2/3 है, यानी 0.666667
भाग, जो व्युत्क्रम से गुणा करना है — यही वह नियम है जिससे दूसरी भिन्न का अंश जवाब के हर में पहुँच जाता है। दिशा देखिए: आधा बटा तीन चौथाई यानी दो तिहाई, जो शुरू के आधे से बड़ा है, क्योंकि भाजक एक से कम है। एक से छोटी संख्या से भाग देना नतीजे को हमेशा बढ़ाता है, और यही यहाँ सबसे तेज़ जाँच है।
एक तिहाई घटा एक तिहाई
1. सामान्य हर: 3 × 3 = 9
2. पहला अंश 1 × 3 = 3, दूसरा अंश 1 × 3 = 3
3. घटाइए: (3 − 3) / 9 = 0/9
4. छोटा कीजिए: शून्य बटा कुछ भी शून्य होता है, और जवाब 0/9 के बजाय 0 छपता है
शून्य, जो एक जायज़ जवाब है, खाली नतीजा नहीं — दोनों भिन्नें बराबर थीं, और बराबर संख्याएँ घटकर कुछ नहीं बचातीं। छोटा न किया हुआ आँकड़ा उस काम की शक्ल बनाए रखता है जिसने उसे बनाया, हर में नौ, जबकि जवाब सिकुड़कर एक अंक का रह जाता है। यही सिकुड़न दूसरे सिरे पर भी होती है: नौ चौथाई बटा नौ चौथाई पूर्ण संख्या 1 देता है, जिसका छोटा न किया हुआ रूप 36 बटा 36 है — यानी जिस भिन्न का अंश और हर बराबर हों, वह अपने ऊपर लिखी भिन्न के बजाय पूर्ण संख्या के रूप में छपती है।

सीमाएँ

छोटा न किया हुआ आँकड़ा आमने-सामने का गुणा है, सबसे छोटा साझा हर नहीं। एक चौथाई और एक छठा जोड़ना बारह के बजाय चौबीस से होकर जाता है, इसलिए बीच वाली भिन्न साफ़-सुथरी वाली से बड़ी है और उसे देखकर ग़लत लगती है जो सबसे छोटे साझा गुणज की उम्मीद कर रहा हो। दोनों भिन्नें एक ही संख्या हैं और जवाब सही है — दोनों आँकड़ों में फ़र्क़ सिर्फ़ इतना है कि कितना छोटा किया गया है — पर अगर आपको सबसे छोटा साझा हर चाहिए था, तो सरलतम रूप वाला आँकड़ा पढ़िए। नतीजे विषम भिन्न होते हैं, कभी मिश्रित संख्या नहीं: नौ चौथाई ढाई बनने के बजाय नौ चौथाई ही रहता है, और पूरा नतीजा पूर्ण संख्या के रूप में छपता है, इसलिए आधा बटा आधा 1 है, 1/1 नहीं। दशमलव वाला आँकड़ा छह स्थानों तक गोल किया हुआ है, जो उसे जवाब बताने का तरीक़ा नहीं बल्कि जवाब जाँचने का ज़रिया बनाता है: एक तिहाई 0.333333 है और एक तिहाई जमा दो तिहाई 1 के बजाय 0.999999 दिखता है, जबकि उसी गणना से भिन्न वाले आँकड़े ठीक-ठीक 1 देते हैं। हरों की ऊपरी सीमा एक लाख है, और यह इस बात की जान-बूझकर रखी गई हद है कि पेज एक बार में कितना छोटा करेगा। तीन तरह की एंट्री जवाब देने के बजाय मना कर दी जाती हैं: शून्य हर, क्योंकि ऐसी भिन्न का कोई मान नहीं होता; वह भाग जिसमें दूसरी भिन्न का अंश शून्य हो, क्योंकि शून्य का व्युत्क्रम कोई संख्या नहीं; और इतना बड़ा अंश जिस पर आमने-सामने का गुणा उस दायरे से बाहर चला जाए जहाँ पूर्णांक गणित ठीक-ठीक रहता है, जिसे पेज अनुमानित भिन्न छापने के बजाय ग़लती बताकर बताता है। पूर्ण संख्या से कम अंश भी मना हैं, इसलिए अंश के खाने में डेढ़ जैसा मान भरने के लिए उसे पहले हाथ से विषम भिन्न में बदलना पड़ेगा। और छह दशमलव अंकों के पीछे कुछ और है या नहीं, यह पेज नहीं बताता: जिस भिन्न के हर में 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड हो, उसका दशमलव कभी ख़त्म नहीं होता, और यहाँ दिखने वाले छह अंक गोल किए हुए हैं। किसी भिन्न का दशमलव पूरा ख़त्म होता है या नहीं और दोहराने वाले अंक कितने लंबे हैं, यह भिन्न से दशमलव कन्वर्टर बताता है — इस पेज का दशमलव जाँचने के लिए है, वहाँ देखने के लिए नहीं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

दोनों भिन्न वाले आँकड़े अलग क्यों होते हैं?: क्योंकि एक जवाब है और दूसरा काम। छोटा न किया हुआ आँकड़ा नियम से सीधे निकलता है — हर आपस में गुणा, अंश दूसरी तरफ़ के हर से गुणा — और सरलतम रूप वाला वही मान है जिसमें से महत्तम समापवर्तक दोनों हिस्सों से काट दिया गया हो। एक चौथाई जमा एक छठा काटने से पहले 10/24 है और बाद में 5/12; दशमलव दोनों के मिलते हैं, और यही सबूत है कि सिर्फ़ लिखावट बदली है।
बारह से काम चल जाता, तो हर 24 क्यों बना?: क्योंकि पेज सामान्य हर दोनों हरों को गुणा करके निकालता है, यह ढूँढ़कर नहीं कि वह सबसे छोटी संख्या कौन-सी है जो दोनों में बँट जाए। चौबीस वही चार गुणा छह है, और यह मान्य सामान्य हर है, भले बारह उससे छोटा है। यह सौदा जान-बूझकर किया गया है: गुणा करना हमेशा चलता है और हरों की कोई छानबीन नहीं माँगता, और बाद में छोटा करने का चरण जवाब को वैसे भी सरलतम रूप में लौटा देता है। अगर सबसे छोटा साझा हर चाहिए, तो सरलतम रूप वाला आँकड़ा पढ़िए।
भिन्नों में भाग कैसे देते हैं?: व्युत्क्रम से गुणा कीजिए: दूसरी भिन्न को उलट दीजिए और आमने-सामने गुणा कर दीजिए। आधा बटा तीन चौथाई यानी आधा गुणा चार तिहाई, यानी चार बटा छह, जो छोटा होकर दो तिहाई बनता है। यह नियम इसलिए बना है क्योंकि किसी संख्या से भाग देना उसके व्युत्क्रम से गुणा करना है, और इसीलिए दूसरी भिन्न का अंश जवाब के हर में पहुँच जाता है — 0.5 के मुक़ाबले 0.666667 पक्का करता है कि जवाब बड़ा हुआ, जैसा एक से छोटी संख्या से भाग देने पर होना ही है।
क्या जवाब मिश्रित संख्या में आ सकता है?: नहीं — नतीजे विषम भिन्न होते हैं, इसलिए नौ चौथाई ढाई के बजाय 9/4 लौटता है। विषम भिन्न वह शक्ल है जो आगे भी चलती रहती है: मिश्रित संख्या को जोड़ने या गुणा करने का मतलब है उसे पहले विषम भिन्न में बदलना, इसलिए उसे छापना सिर्फ़ अगले क़दम पर दोबारा बदलवाना होता। 9/4 को ढाई बनाना एक भाग है, और जल्दी जाँच के लिए दशमलव वाला आँकड़ा पढ़ लेना वही काम कर देता है।
अगर हर शून्य हो तो क्या होता है?: पेज ग़लती बताता है, और देने को कोई जवाब बचता ही नहीं: जिस भिन्न का हर शून्य हो उसका कोई मान नहीं होता, क्योंकि हर वह संख्या है जितने हिस्सों में पूरे को बाँटा गया है, और शून्य से भाग देना परिभाषित ही नहीं है। जिस भिन्न का अंश शून्य हो उससे भाग देना भी इसी वजह से मना है — शून्य का व्युत्क्रम कोई संख्या नहीं — जबकि पहली भिन्न का अंश शून्य होना बिल्कुल ठीक है और किसी भी गुणा या भाग में शून्य देता है।
जवाब सही है या नहीं, यह कैसे जाँचें?: दोनों पदों को मन में दशमलव में बदलिए और उन मोटे आँकड़ों पर क्रिया कीजिए। आधा जमा एक तिहाई का नतीजा 0.8 और 0.9 के बीच आना चाहिए, और पाँच बटा छह 0.833333 है। दोनों एक से छोटी भिन्नों का गुणा दोनों में से किसी से भी छोटा नतीजा देना चाहिए, और एक से छोटी संख्या से भाग देना बड़ा नतीजा देना चाहिए। जब मोटा जवाब और भिन्न आपस में न मिलें, तो ग़लती छोटा करने में नहीं बल्कि गुणा-भाग में है, क्योंकि छोटा करना सिर्फ़ यह बदल सकता है कि संख्या कैसे लिखी गई है।

संदर्भ

Fraction — numerator, denominator, the solidus and the rules for adding, multiplying and reducing fractions, including the common denominator that addition and subtraction require — Wolfram MathWorld (United States)
Reduced Fraction — a fraction in lowest terms, obtained by dividing the numerator and denominator by their greatest common divisor, which is the step between the two fraction outputs on this page — Wolfram MathWorld (United States)
Decimal fraction — an arithmetical fraction with an integral power of ten as its denominator, which is why a fraction like five twelfths has no exact decimal form and the decimal output has to be rounded — Encyclopedia of Mathematics, European Mathematical Society (international)

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चारों क्रियाएँ, और छोटा करना कहाँ होता है

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हल किए हुए उदाहरण

आधा जमा एक तिहाई

एक चौथाई जमा एक छठा, दोनों रूपों में

दो तिहाई गुणा तीन चौथाई

आधा बटा तीन चौथाई

एक तिहाई घटा एक तिहाई

सीमाएँ

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

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