भिन्न सरल कैलकुलेटर

d = gcd(n, D) n/D = (n ÷ d) / (D ÷ d) दशमलव = n ÷ D, छह जगह तक राउंड किया हुआ

अंश

अंश भिन्न के ऊपर की संख्या है: 24/36 में 24। यह ऋणात्मक या शून्य भी हो सकता है। ऋणात्मक अंश का ऋण चिह्न भाग देने पर भी बना रहता है — -18/24 से -3/4 बनता है — क्योंकि भिन्न अपना चिह्न ऊपर रखती है, नीचे कभी नहीं।

हर

हर भिन्न के नीचे की संख्या है: 24/36 में 36। यह धनात्मक होना चाहिए और शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि तब भिन्न का कोई अस्तित्व ही नहीं रहता। इसकी ऊपरी सीमा 1,00,000 है — यह दोनों संख्याओं के आकार पर लगी बंदिश है, भिन्न के बारे में कोई नियम नहीं।

महत्तम समापवर्तक (d)

दोनों संख्याओं का महत्तम समापवर्तक: 24 और 36 के लिए 12, 18 और 24 के लिए 6, और उस भिन्न के लिए 1 जिसे ज़रा भी छोटा नहीं किया जा सकता। यही वह पंक्ति है जो इस पेज को बाक़ी हर भिन्न वाले औज़ार से अलग करती है, और यह एक साथ दो सवालों का जवाब देती है — कितना कटा, और कटने लायक़ कुछ था भी या नहीं। जब अंश शून्य हो, तब यह संख्या हर के बराबर आती है, क्योंकि 0/50 को 0 बनाने में असल में 50 से ही भाग दिया गया।

सरलतम रूप में भिन्न

दोनों संख्याओं को महत्तम समापवर्तक से बाँटने का नतीजा: 24/36 के लिए 2/3। यह बनावट से ही सरलतम रूप में होता है, और यह विषम भिन्न भी हो सकता है — 100/75 घटकर 4/3 ही रहता है, मिश्रित संख्या नहीं बनता, क्योंकि वह दूसरा रूप है जिसका अपना पेज है।

दशमलव

वही संख्या दशमलव में: 2/3 के लिए 0.666667। यह छह जगह तक राउंड किया हुआ है, इसलिए जहाँ भाग पूरा नहीं बैठता वहाँ यह अनुमान है; 2/3 सही मान से क़रीब 3.3 × 10⁻⁷ अलग पड़ता है। छह जगह इसलिए दिखती हैं क्योंकि दशमलव उसी राशि को पढ़ने का एक काम का दूसरा तरीका है, इसलिए नहीं कि पेज सटीकता का दावा कर रहा है — जिस भिन्न का दशमलव कभी ख़त्म नहीं होता, उसे भिन्न-से-दशमलव वाला पेज समझाता है।

पहला इस्तेमाल अभ्यास का है: गुणनखंड सीखते ही सरल करना भी सिखाया जाता है, और जाँच में अंक ठीक उस चरण पर मिलते हैं जहाँ भाजक लिखना होता है — इसीलिए यह पेज उसे छिपाने के बजाय दिखाता है। दूसरा, हाथ से किए गए सरल करने की जाँच: अगर आपका भाजक पैनल वाले से न मिले, तो दोनों भिन्नों में से एक दूसरे के बराबर नहीं है। तीसरा, वह भिन्न जो पहले से सरलतम रूप में है — वहाँ पैनल 1 लिखकर ख़ुद बता देता है, और आपको जवाब को इनपुट से मिलाने की ज़रूरत नहीं पड़ती। चौथा, वह भिन्न जिसका सरल रूप विषम भिन्न बनता है, जैसे 100/75 — वहाँ जवाब 4/3 ही रहता है, और 1 से ऊपर का दशमलव साफ़ बता देता है कि कुछ खोया नहीं। पाँचवाँ, वह दशमलव जो आपके पास पहले से है — तीसरी पंक्ति पढ़कर पता चल जाता है कि भिन्न कितने का है, बिना लंबा भाग किए। और छठा, तुलना: दो भिन्नों को मिलाने से पहले दोनों को सरलतम रूप में लाना सबसे छोटा रास्ता है, क्योंकि तब एक ही नज़र में दिख जाता है कि कौन बड़ा है।

1. 24/36

   1. 24 और 36 का महत्तम समापवर्तक निकालिए: दोनों 2, 3, 4, 6 और 12 से पूरे बँटते हैं, और सबसे बड़ा 12 है
   2. अंश को बाँटिए: 24 ÷ 12 = 2
   3. हर को बाँटिए: 36 ÷ 12 = 3
   4. सरल किया हुआ भिन्न 2/3 है, और 2 तथा 3 में 1 के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं बचा
   5. दशमलव में: 2 ÷ 3 = 0.666666…, जो छह जगह तक 0.666667 होता है

   यह डिफ़ॉल्ट हालत है: भिन्न काफ़ी दूर तक छोटा होता है और सचमुच सादी जोड़ी पर पहुँचता है। यहाँ भाजक 12 है, और ध्यान देने वाली बात यह है कि 6 से भी आधा रास्ता तय हो जाता — 24/36 से 4/6 — पर काम अधूरा रह जाता; इसीलिए पैनल कोई भी साझा भाजक नहीं, महत्तम समापवर्तक बताता है। दशमलव राउंड किया हुआ है: 2/3 असल में 0.666666… है और कभी ख़त्म नहीं होता, इसलिए दिखाई गई छह जगह सातवीं जगह पर सही मान से अलग बैठती हैं। यह दिखाने का फ़ैसला है, और यह बताने वाला पेज कोई और है।

2. 100/75

   1. 100 और 75 का महत्तम समापवर्तक निकालिए: दोनों 25 से बँटते हैं
   2. अंश को बाँटिए: 100 ÷ 25 = 4
   3. हर को बाँटिए: 75 ÷ 25 = 3
   4. सरल किया हुआ भिन्न 4/3 है, जो 1 से बड़ा है

   यह विषम भिन्न है, और पेज उसे वैसा ही छापता है: 4/3, न कि 1 1/3। छोटा करने से यह नहीं बदलता कि भिन्न विषम है या नहीं, और उसे पूर्ण भाग के साथ मिश्रित संख्या बनाना मिश्रित संख्या वाले पेज का काम है — यहाँ करने का मतलब होता एक ही पैनल पर दो अलग रूप रख देना। ध्यान दीजिए कि जवाब का आकार देखने का सबसे तेज़ रास्ता दशमलव है: 1.333333 कहता है कि राशि एक से एक तिहाई ऊपर है, जो 4/3 भी कहता है, बस उतनी फ़ौरन नहीं।

3. 7/4

   1. 7 और 4 का महत्तम समापवर्तक निकालिए: 7 अभाज्य है और 4 का गुणनखंड नहीं है, इसलिए एकमात्र साझा भाजक 1 है
   2. 1 से भाग देने पर दोनों संख्याएँ जैसी थीं वैसी ही रहती हैं
   3. सरल किया हुआ भिन्न 7/4 है, यानी लिखे गए भिन्न के बिलकुल बराबर
   4. दशमलव में: 7 ÷ 4 = 1.75, ठीक-ठीक

   यह भिन्न पहले से सरलतम रूप में है, और यही हालत बताती है कि महत्तम समापवर्तक की पंक्ति पैनल पर होनी ही चाहिए। मुख्य परिणाम वही है जो भरा गया था — 7/4 से 7/4 — तो अकेला जवाब यह नहीं बता सकता कि पेज ने कुछ किया या नहीं। भाजक वाली पंक्ति 1 कहती है, यानी पेज यह बता रहा है कि उसने देखा और उसे कुछ करने लायक़ नहीं मिला। यहाँ 1 जानकारी है, कोई कमी नहीं; 0 होता तो वह गड़बड़ होती, क्योंकि शून्य से भाग देना छोटा करना नहीं है।

4. 0/50

   1. 0 और 50 का महत्तम समापवर्तक निकालिए: हर संख्या 0 को बाँटती है, इसलिए महत्तम समापवर्तक दूसरी संख्या 50 है
   2. दोनों को बाँटिए: 0 ÷ 50 = 0 और 50 ÷ 50 = 1
   3. सरल किया हुआ भिन्न 0/1 है, जिसे सिर्फ़ 0 लिखा जाता है क्योंकि हर 1 कभी नहीं लिखा जाता
   4. दशमलव में: 0

   शून्य अंश पूरा कटकर कुछ नहीं बचाता, और यहाँ भाजक 1 नहीं बल्कि 50 है — क्योंकि असल में दोनों संख्याओं को 50 से ही बाँटा गया था। यह वही परिभाषा है जो पेज पर हर जगह लगी है: भाजक वह है जो कटा, न कि वह जो कट सकता था। मुख्य परिणाम सिर्फ़ 0 के रूप में छपता है, बिना हर — भिन्न का रूप जिस पूर्ण संख्या के लिए यही रिवाज़ अपनाता है।

5. -18/24

   1. 18 और 24 का महत्तम समापवर्तक निकालिए: दोनों 6 से बँटते हैं
   2. दोनों संख्याओं को 6 से बाँटिए: 18 ÷ 6 = 3 और 24 ÷ 6 = 4, इसलिए भिन्न -3/4 है
   3. ऋण चिह्न अंश पर ही रहता है और हर धनात्मक बना रहता है
   4. दशमलव में: -3 ÷ 4 = -0.75

   यह वह हालत है जो तय करती है कि चिह्न कहाँ रहता है। भाजक 6 है, -6 नहीं: महत्तम समापवर्तक दोनों के निरपेक्ष मानों के बीच निकाला जाता है, इसलिए वह हमेशा धनात्मक होता है और ऋण चिह्न उसका हिस्सा नहीं है। सरल किया हुआ भिन्न चिह्न सिर्फ़ अंश पर रखता है, इसलिए -18/24 से -3/4 बनता है, कभी 3/-4 नहीं। दशमलव भी चिह्न बनाए रखता है, और यह जाँचने का सस्ता तरीका है कि छोटा करने में चिह्न गिरा नहीं।

हर धनात्मक होना चाहिए और शून्य नहीं हो सकता — शून्य हर वाली भिन्न का कोई वजूद नहीं है, और पेज कुछ लौटाने के बजाय उसे साफ़ मना कर देता है। अंश ऋणात्मक हो सकता है और शून्य भी: 0/50 सरल होकर सिर्फ़ 0 रह जाता है। दोनों संख्याएँ पूर्णांक होनी चाहिए, और हर की ऊपरी सीमा 1,00,000 है; अंश पर कोई सीमा नहीं, सिवाय उस बिंदु के जहाँ गणित सटीक रहना बंद कर देता है, और दशमलव अंश पेज नहीं स्वीकार करता। पेज जो संख्या बताता है वह महत्तम समापवर्तक है, यानी वह भाजक जो काम पूरा कर देता है — कोई भी पहला साझा भाजक नहीं: 24/36 के लिए वह 12 है, और 6 से 4/6 बचता है जिसे फिर छोटा करना पड़ेगा। दशमलव की छह जगह दिखाने की चौड़ाई है, कोई वादा नहीं: जिस भिन्न का दशमलव दोहराता रहता है, उसमें वे जगह राउंड की हुई हैं, और यह पेज न तो बताता है कि राउंड हुई हैं और न यह कि दोहरने वाला हिस्सा कितना लंबा है। अगर यह मायने रखता है, तो भिन्न-से-दशमलव वाला पेज उसका जवाब देता है। यह पेज एक भिन्न को सरल करता है और बस: यह भिन्नों को जोड़ता, घटाता, गुणा या भाग नहीं करता, दशमलव को भिन्न में नहीं बदलता, और 6 : 4 जैसे अनुपात को भी नहीं छोटा करता। वह आख़िरी काम देखने में वही लगता है और है नहीं: भाजक वही लगता है, पर जवाब अनुपात के रूप में लिखा जाता है, और अनुपात के साथ इकाई चल सकती है जबकि भिन्न के साथ नहीं। सरल किया हुआ भिन्न मिश्रित संख्या में भी नहीं बदला जाता, इसलिए एक से बड़ा जवाब विषम भिन्न ही रहता है।

भिन्न को सरलतम रूप में कैसे बदलें?

अंश और हर, दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक से बाँट दीजिए। 24/36 के लिए वह संख्या 12 है, और दोनों को बाँटने पर 2/3 मिलता है। किसी छोटे साझा भाजक से बाँटने पर, जैसे 6 से, 4/6 मिलता है — यानी सही दिशा में एक क़दम, पर उसे फिर छोटा करना पड़ेगा।

पता कैसे चले कि भिन्न सरलतम रूप में है?

जब दोनों हिस्सों को बाँटने वाली एकमात्र संख्या 1 हो। पैनल यह सीधे बताता है: भाजक 1 का मतलब है कि कुछ भी काटने को नहीं था, इसलिए सरल किया हुआ भिन्न ठीक वैसा ही छपता है जैसा भरा गया था। 7/4 और 1/2 दोनों इसी किस्म के हैं, और इसीलिए पैनल पर सिर्फ़ जवाब की पंक्ति नहीं, भाजक की पंक्ति भी है।

क्या जवाब विषम भिन्न हो सकता है?

हाँ। 100/75 सरल होकर 4/3 बनता है, जो 1 से बड़ा है, और पेज उसे मिश्रित संख्या के बजाय 4/3 ही छापता है। छोटा करने से भिन्न उचित या विषम नहीं हो जाती, और 4/3 को पूर्ण भाग के साथ लिखना दूसरा रूप है जिसे मिश्रित संख्या वाला पेज सँभालता है।

दशमलव वाली पंक्ति से क्या फ़ायदा?

यह वही संख्या उस रूप में देती है जो ज़्यादातर औज़ार और स्प्रेडशीट माँगते हैं। यह छह जगह तक दिखती है, इसलिए 2/3 जैसे भिन्न में, जिसका दशमलव कभी ख़त्म नहीं होता, वे जगह राउंड की हुई हैं — सही दोहराते मान के बजाय 0.666667। भिन्न का दशमलव ख़त्म होता है या नहीं, यह भिन्न-से-दशमलव वाला पेज बताता है।

क्या यहाँ 6 : 4 जैसे अनुपात को सरल कर सकते हैं?

नहीं। अनुपात भी उसी भाजक से छोटा होता है, पर वह दूसरा रूप है और उसका जवाब दूसरी शक्ल में आता है — 3 : 2, न कि 3/2 — और अनुपात के साथ इकाई चल सकती है जबकि भिन्न के साथ नहीं। उसे अनुपात वाले पेज पर भरिए; यह पेज एक भिन्न लेता है।

ऋणात्मक या शून्य अंश पर क्या होता है?

ऋणात्मक अंश अपना चिह्न बनाए रखता है: -18/24 सरल होकर -3/4 बनता है, और भाजक 6 बताया जाता है, -6 नहीं, क्योंकि महत्तम समापवर्तक दोनों के निरपेक्ष मानों के बीच निकाला जाता है। शून्य अंश सरल होकर सिर्फ़ 0 रह जाता है, और तब भाजक हर के बराबर होता है — 0/50 के लिए 50, क्योंकि दोनों हिस्सों को 50 से ही बाँटा गया था।

• Reduced Fraction — the lowest terms of a fraction, which is the form this page returns and the form it checks the input against — Wolfram MathWorld (United States)
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• Fraction — the quotient of two integers written with a numerator and a denominator, and the reading of the same number as a decimal — Wolfram MathWorld (United States)
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