तुल्य भिन्न कैलकुलेटर

तुल्य भिन्न = (अंश × k) ÷ (हर × k), जहाँ k = 2, 3, 4, … और आख़िरी k गिनती से एक ज़्यादा सरलतम रूप = अंश और हर, दोनों को उनके सबसे बड़े साझा गुणनखंड से बाँटा हुआ दशमलव मान = अंश ÷ हर

भिन्न

अंश और हर जो आप भरते हैं। हर शून्य नहीं हो सकता, और भिन्न ऋणात्मक हो तो ऋण चिह्न अंश पर रहता है। अंश शून्य भी चलता है, और उसका हर तुल्य भिन्न भी शून्य ही होता है।

गुणक k

वह पूर्ण संख्या जिससे दोनों हिस्सों को गुणा किया जाता है। यह 2 से शुरू होकर माँगी गई गिनती से एक ज़्यादा तक चलती है, इसलिए पाँच माँगने पर गुणक 2, 3, 4, 5 और 6 आते हैं। यह कभी 1 नहीं होती, क्योंकि 1 वही भिन्न है जो आपने भरी — और गुणा करना ही यहाँ असली काम है।

तुल्य भिन्न

कतार का एक सदस्य: अंश और हर, दोनों को उसी k से गुणा किया हुआ। मान नहीं बदलता, सिर्फ़ टुकड़ों का आकार बदलता है, और कतार के सदस्य जैसे बनते हैं वैसे ही छापे जाते हैं, छोटा किए बिना — इसलिए 2/6 वहाँ 2/6 ही दिखता है।

सरलतम रूप

वही मान, सबसे छोटे अंश और हर के साथ, जो दोनों हिस्सों को उनके सबसे बड़े साझा गुणनखंड से बाँटने पर मिलता है। जो भिन्न पहले से सरलतम रूप में है, वह ख़ुद अपना जवाब है, और जिस भिन्न के हिस्से पूरे-पूरे बँट जाते हैं वह पूर्ण संख्या के रूप में छपती है: 5/5 से 1।

दशमलव मान

अंश को हर से बाँटकर, छह दशमलव जगह तक राउंड किया हुआ। यह उसी संख्या को लिखने का तीसरा रूप है, और कतार के उलट यह देखकर यह नहीं बताया जा सकता कि दो भिन्न बराबर हैं: 1/3 और 2/6, दोनों 0.333333 ही देते हैं।

पहला इस्तेमाल भिन्नों की पढ़ाई में होता है, जहाँ बात यह है कि एक मान के कई नाम हो सकते हैं: 2/6 भरकर 4/12, 6/18 और 8/24 देख लेने पर साफ़ हो जाता है कि सरलतम रूप में लाने से लिखावट बदलती है, संख्या नहीं। दूसरा इस्तेमाल तुलना है, क्योंकि दो भिन्न एक ही हर पर आ जाएँ तो मिलाना आसान हो जाता है: 2/3 और 3/5 को एक नज़र में तौलना मुश्किल है, और 10/15 तथा 9/15 को नहीं — यही बदलाव भिन्नों को जोड़ने में भी चाहिए होता है। तीसरा, किसी और के किए हुए छोटा करने की जाँच: अगर कहा जाए कि कोई भिन्न सरल होकर 3/4 बनती है, तो 3/4 से बनने वाली कतार में मूल भिन्न आनी चाहिए; न आए तो दोनों असल में एक संख्या नहीं हैं। चौथा, जब किसी भिन्न को किसी ख़ास हर में लिखना हो — इंच के सोलहवें हिस्से, घंटे के बारहवें हिस्से — और आप देखना चाहें कि उस काम की नाप में मान कितना बनता है। जो भिन्न पहले से सरलतम रूप में हो, उसके लिए पैनल उसे दोहरा देता है, और यही इस सवाल का जवाब है कि उसे और छोटा किया जा सकता है या नहीं।

1. 1/3, पाँच तुल्य भिन्न

   1. 1/3 के दोनों हिस्सों को 2 से गुणा: 2/6
   2. 3 से: 3/9, और 4 से: 4/12
   3. 5 से: 5/15, और 6 से: 6/18 — पाँच भिन्न, क्योंकि गिनती पाँच थी
   4. सरलतम रूप: 1 और 3 में कोई साझा गुणनखंड नहीं, इसलिए जवाब फिर 1/3 ही
   5. दशमलव मान: 1 ÷ 3 = 0.333333

   यह डिफ़ॉल्ट हालत है, और यही दिखाती है कि गुणक 2 से क्यों शुरू होता है: 1 से गुणा करने पर कतार का पहला सदस्य 1/3 ख़ुद बन जाता, जो कोई दूसरी भिन्न है ही नहीं। सरलतम रूप का भरे हुए भिन्न से मिल जाना बताता है कि यह पहले से जितनी सादी लिखी जा सकती थी, उतनी सादी थी, और दशमलव दोहराता है क्योंकि तिहाई का कोई ख़त्म होने वाला दशमलव रूप नहीं होता।

2. 2/6, तीन तुल्य भिन्न

   1. 2/6 के दोनों हिस्सों को 2 से गुणा: 4/12
   2. 3 से: 6/18, और 4 से: 8/24
   3. सरलतम रूप: 2 दोनों हिस्सों को बाँटता है, इसलिए 2/6 यानी 1/3
   4. दशमलव मान: 2 ÷ 6 = 0.333333, वही जो 1 ÷ 3 देता है

   यही वह हालत है जो पैनल के दूसरे आँकड़े को समझाती है। 2/6 और 1/3 एक ही संख्या हैं, इसलिए उनका सरलतम रूप भी एक और दशमलव मान भी एक — और फिर भी उनकी कतारें अलग हैं: यहाँ पहला सदस्य 4/12 है, और 1/3 की कतार 2/6 से शुरू होती है। पेज कतार उसी भिन्न से बनाता है जो भरी गई है, इसलिए आपको जो सूची मिलती है वह इस पर निर्भर है कि उस मान को लिखने के दो तरीक़ों में से आपने कौन-सा भरा।

3. 5/5, जो पूरी संख्या है

   1. 5/5 के दोनों हिस्सों को 2 से गुणा: 10/10
   2. 3 से: 15/15 — दो भिन्न, क्योंकि गिनती दो थी
   3. सरलतम रूप: 5 दोनों हिस्सों को बाँटता है, इसलिए 1
   4. दशमलव मान: 5 ÷ 5 = 1

   जिस भिन्न का हर उसके अंश को पूरा बाँट दे, वह पूर्ण संख्या है, और पैनल उसे 5/5 या 5/5 को घटाकर 1/1 के बजाय 1 लिखता है। बग़ल की कतार फिर भी अपने हर बनाए रखती है, क्योंकि कतार का विषय लिखावट ही है: 10/10 और 15/15 बताते हैं कि वही मान छोटे टुकड़ों के साथ कैसा दिखता है।

4. 6/4, एक से बड़ी भिन्न

   1. 6/4 के दोनों हिस्सों को 2 से गुणा: 12/8
   2. 3 से: 18/12, 4 से: 24/16 और 5 से: 30/20 — चार भिन्न
   3. सरलतम रूप: 2 दोनों हिस्सों को बाँटता है, इसलिए 6/4 यानी 3/2
   4. दशमलव मान: 6 ÷ 4 = 1.5

   यहाँ मान एक से बड़ा है, और जवाब 3/2 के रूप में आता है, मिश्रित संख्या के रूप में नहीं, ताकि पैनल का हर आँकड़ा एक ही तरह से लिखा जाए। तुल्य भिन्न भी सब विषम हैं, जो 3/2 के दोनों हिस्सों को एक ही संख्या से गुणा करने से अपने आप निकलता है: किसी भी गुणा से एक से बड़ी भिन्न एक से छोटी नहीं बन सकती।

दोनों इनपुट पूर्णांक होने चाहिए, इसलिए 0.75 से यह पेज काम नहीं करेगा: पहले उसे 3/4 में बदलिए, और वजह यह है कि पूरा हिसाब सटीक पूर्णांक गणित में होता है, जो दशमलव आते ही सटीक नहीं रहता। हर की एक ऊपरी सीमा है और वह शून्य नहीं हो सकता, और अंश की भी एक सीमा है, क्योंकि कतार का हर सदस्य एक गुणनफल है। गिनती पर भी ढक्कन है, जो सुनने में जितना बड़ा लगता है उतना है नहीं: भिन्न जल्दी बड़े हो जाते हैं, और 7/21 जैसी भिन्न के 20 सदस्य सैकड़ों तक पहुँच जाते हैं। कतार उसी भिन्न से बनती है जो भरी गई, उसके सरलतम रूप से नहीं, इसलिए एक ही मान को दो तरह से लिखने पर दो अलग कतारें मिलती हैं — यह चुनाव है, चूक नहीं, पर इसका यह मतलब है कि नतीजा इनपुट की लिखावट पर निर्भर करता है। कतार में कुछ भी छोटा नहीं किया जाता, इसलिए 6/18 जैसा सदस्य उसी पैनल में 1/3 के बग़ल में बैठता है; अगर सबसे छोटा हर चाहिए तो पैनल का दूसरा आँकड़ा पढ़िए। नतीजा भिन्न के रूप में लिखा जाता है, मिश्रित संख्या के रूप में कभी नहीं, और ऋणात्मक भिन्न अपना ऋण चिह्न अंश पर रखती है। यह पेज किसी भिन्न के बराबर भिन्नों की सूची देता है, और किसी भिन्न को सिर्फ़ छोटा करने का काम नहीं करता: उसका पेज भाजक और पूरा हल दिखाता है, जबकि यहाँ सिर्फ़ जवाब छपता है। दो काम यह पेज बिलकुल नहीं करता — भिन्नों के बीच की गणना, और दशमलव से भिन्न बनाना; उनके अलग पेज हैं।

अपनी भिन्न के तुल्य भिन्न कैसे निकालें?

अंश और हर, दोनों को एक ही पूर्ण संख्या से गुणा कीजिए। 1/3 से शुरू करके दोनों हिस्सों को 2, 3 और 4 से गुणा करने पर 2/6, 3/9 और 4/12 मिलते हैं, और इनमें से हर एक 1/3 के बराबर है। पूरा सूत्र यही है, और यह उलटी दिशा में भी चलता है: दोनों हिस्सों को किसी साझा गुणनखंड से बाँटने पर भी उसी मान की एक और भिन्न मिलती है।

सूची 1/3 से नहीं, 2/6 से क्यों शुरू होती है?

क्योंकि 1 से गुणा करने पर वही भिन्न मिलती जो आपने भरी, और वह मिलाने लायक़ कोई दूसरी भिन्न नहीं है। कतार गुणज 2, 3, 4 … से बनती है, और आपकी तय की हुई गिनती बताती है कि उनमें से कितने दिखेंगे।

दिखाई गई भिन्नें छोटी क्यों नहीं की जातीं?

उन्हें छोटा करने से वही संख्या बार-बार छपती, जो मक़सद के ठीक उलट है। 2/6, 3/9 और 4/12 सब 1/3 हैं, और उन्हें अलग-अलग लिखा देखकर ही साफ़ होता है कि मान नहीं बदला। आपकी भरी हुई भिन्न का सरलतम रूप पैनल पर अलग से दिखता है।

सरलतम रूप क्या होता है?

वही मान, सबसे छोटे अंश और हर के साथ, जो दोनों हिस्सों को उनके सबसे बड़े साझा गुणनखंड से बाँटने पर मिलता है। अगर दोनों हिस्सों में कोई साझा गुणनखंड न बचे, तो भिन्न पहले से सरलतम रूप में है और पैनल उसे बस दोहरा देता है, जैसे 1/3 के साथ करता है।

क्या दशमलव मान इन सबका एक ही होता है?

होता है, और बराबरी का मतलब यहाँ यही है: 1/3, 2/6, 3/9 और 4/12, सब 0.333333 देते हैं। यह जाँचने का सबसे तेज़ तरीक़ा दशमलव ही है कि कोई कतार सचमुच तुल्य है, पर यही वह रूप भी है जो फ़र्क़ छिपा देता है, क्योंकि जहाँ भिन्न चार दिखाती हैं वहाँ यह एक ही संख्या दिखाता है।

क्या एक से बड़ी या ऋणात्मक भिन्न भर सकते हैं?

दोनों चलती हैं, और दोनों अपना स्वभाव कतार में बनाए रखती हैं। 6/4 जैसी भिन्न का सरलतम रूप 3/2 होता है, और 12/8, 18/12 वग़ैरह भी सब एक से बड़े ही रहते हैं। ऋणात्मक भिन्न का ऋण चिह्न अंश पर लिखा जाता है, इसलिए -1/2 की कतार में -2/4 और -3/6 आते हैं।

भिन्न की जगह दशमलव भर सकते हैं?

नहीं। दोनों हिस्से पूर्णांक होने चाहिए, इसलिए 0.75 नामंज़ूर होता है; पहले उसे 3/4 बनाइए। कतार बनाने वाला गुणा सटीक पूर्णांक गणित में होता है, और दशमलव उस सटीकता को उसी क्षण तोड़ देता जब मान को दस की घात पर बैठी भिन्न के रूप में न लिखा जा सके।

• Fraction — two fractions are equal when one is obtained from the other by multiplying numerator and denominator by the same number, which is the operation this page performs and repeats — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — a fraction whose numerator and denominator have no common factor, which is the second figure on the panel and the form the run deliberately does not take — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest integer dividing both parts, which is what the lowest terms are obtained by dividing out — Wolfram MathWorld (United States)
• Denominator — the number below the line in a fraction, which is the part two fractions have to agree on before they can be rewritten over one another — Wolfram MathWorld (United States)