दशमलव से भिन्न कन्वर्टर

दशमलव स्थान n → अंश = अंक, हर = 10ⁿ फिर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक से बाँट दीजिए

दशमलव

जिस संख्या को बदलना है, बारह दशमलव स्थानों तक पढ़ी जाती है। पीछे के शून्य उसे नहीं बदलते, और 0.0000000000001 जैसा तेरह-स्थानीय मान बदलना शुरू होने से पहले ही शून्य में समा जाता है

दशमलव स्थान

बिंदु के दाईं तरफ़ कितने अंक बैठे हैं: 0.375 में तीन, 0.0625 में चार, 2 में एक भी नहीं। यही गिनती हर तय करती है, एक के बाद उतने शून्य लगाकर

छोटा करने से पहले का अंश

दशमलव के अंक, बिंदु हटाकर, एक पूर्ण संख्या की तरह: 0.375 पर 375 और 0.0625 पर 625। यह उस भिन्न का ऊपरी भाग है जो अब भी बताता है कि संख्या कहाँ से आई

छोटा करने से पहले का हर

दस की घात — तीन स्थानों पर 1000, चार पर 10000। यही हर इस भिन्न को अनुमान के बजाय ठीक दशमलव भिन्न बनाता है

महत्तम समापवर्तक

सबसे बड़ी संख्या जो दोनों भागों में बँटती है, और छोटा किए बिना वाली भिन्न तथा जवाब के बीच सिर्फ़ यही एक चीज़ खड़ी है: 375 और 1000 में 125 बँटता है, इसलिए दोनों को उससे बाँटने पर 3 और 8 मिलते हैं

चार तरह के लोग यहाँ आते हैं, और उनके भरोसे की मात्रा थोड़ी-थोड़ी अलग है। किसी रेसिपी, फ़ीता या ड्रिल के नाप के लिए दशमलव को वापस भिन्न की तरह पढ़ना — जहाँ काम के दशमलव वही हैं जो ख़त्म हो जाते हैं, 0.375 यानी तीन बटे आठ और 0.0625 यानी एक बटे सोलह, और ये बदलाव ठीक-ठीक हैं। अपनी बनाई भिन्न को उलटा चलकर जाँचना, और यहीं छोटा किए बिना वाला नतीजा अपनी जगह बनाता है: 0.75 डालकर 75/100 देखना इस बात की तस्दीक़ है कि दोनों भागों से 25 निकलने पर दशमलव तीन चौथाई ही है। दिखाने के लिए दशमलव को अनुपात में बदलना, जहाँ छोटा किया हुआ रूप पेज पर जाता है और प्रतिशत मुफ़्त में मिल जाता है। और वह मामला जहाँ यह पेज ग़लत औज़ार है, जिसे समय गँवाने से पहले पहचान लेना ठीक है: दोहराने वाले दशमलव को बदलना। अगर आपके पास 1/3 के बजाय 0.3333 है, तो जवाब 3333/10000 है — सामने पड़े अंकों के बारे में एक सच्चा बयान, और आपके मन की संख्या का घटिया विकल्प। दोहराने वाले दशमलव से उसकी सटीक भिन्न तक पहुँचना अलग सवाल है जिसका तरीक़ा भी अलग है, और बारह स्थानों पर रुक चुके दशमलव ने वह सबूत पहले ही फेंक दिया होता है जिससे वह हल होता।

1. 0.375 को भिन्न के रूप में

   1. दशमलव स्थान गिनिए: 0.375 में तीन हैं
   2. हर: तीन स्थान यानी 1000, इसलिए संख्या 375/1000 बनी
   3. 375 और 1000 का महत्तम समापवर्तक निकालिए: 125
   4. दोनों भागों को 125 से बाँटिए: 375 ÷ 125 = 3 और 1000 ÷ 125 = 8
   5. सरलतम रूप में भिन्न 3/8 है, और वही दशमलव 37.5 प्रतिशत

   शुरुआती मामला, और वह जिसमें दोनों नतीजे अपना-अपना अलग काम करते दिखते हैं। 375/1000 बताता है कि संख्या कहाँ से आई और साफ़-साफ़ कहता है कि तीन दशमलव स्थान यानी तीन शून्य; 3/8 जवाब है, और यही वह रूप है जो आगे भी काम आता है — एक कप का तीन बटे आठ, फ़ीते पर तीन बटे आठ इंच। ध्यान दीजिए कि 3/8 ठीक-ठीक है: 0.375 तीन स्थानों के बाद रुक जाता है, और यही उस दशमलव की पहचान है जिसके पीछे कोई सटीक भिन्न है।

2. 1/16 — दशमलव में और वापस भिन्न में

   1. दशमलव स्थान गिनिए: 0.0625 में चार हैं
   2. हर: चार स्थान यानी 10000, इसलिए संख्या 625/10000 बनी
   3. दोनों भागों को 625 से बाँटिए: 10000 ÷ 625 = 16
   4. सरलतम रूप में भिन्न 1/16 है, और दशमलव 6.25 प्रतिशत

   एक बटे सोलह, और यहीं छोटा किए बिना वाला नतीजा दिलचस्प हो जाता है: 625/10000 पूरा सिकुड़कर 1/16 बन जाता है क्योंकि 10000 यानी 16 × 625। हर रुकने वाले दशमलव की बनावट यही है — सरल भिन्न का हर दस की किसी घात को बाँटता है, जो उसी बात का दूसरा रूप है कि हर में दो और पाँच के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है। इसीलिए 1/16 और 3/8 ठीक-ठीक बदलते हैं और 1/3 तथा 1/7 कभी नहीं बदलेंगे।

3. 2.5 को विषम भिन्न के रूप में

   1. बिंदु हटाकर अंक पढ़िए: 25
   2. स्थान गिनिए: एक, इसलिए हर 10 है
   3. दोनों भागों को 5 से बाँटिए: 25 ÷ 5 = 5 और 10 ÷ 5 = 2
   4. सरलतम रूप में भिन्न 5/2 है, यानी 2.5, और 250 प्रतिशत

   एक से बड़ा मान, जिसे मिश्रित भिन्न के बजाय विषम भिन्न की तरह बताया जाता है: 5/2, न कि 2 1/2। दोनों रूप एक ही संख्या हैं और आगे के हिसाब के लिए विषम वाला बेहतर इनपुट है — भिन्नों को गुणा करते समय उनके बग़ल बैठी पूर्ण संख्या काम नहीं आती। इसे वापस पढ़ना यानी 5 ÷ 2 = 2.5, और यही हिसाब इस समूह का अगला पेज करता है।

4. 0.333333333333333 का क्या बनता है

   1. स्थान गिनिए: पंद्रह अंक टाइप हुए, बारह पढ़े जाते हैं
   2. हर: बारह स्थान यानी 1000000000000
   3. अंश: बचे हुए बारह अंक, 333333333333
   4. कुछ नहीं कटता — दस की घात से कोई गुणनखंड साझा नहीं है — इसलिए दोनों रूप एक ही भिन्न हैं
   5. प्रतिशत में यह 33.3333 है

   यही वह मामला है जो इस पेज को उस उम्मीद से अलग करता है जिसके साथ लोग अकसर आते हैं। पंद्रह तीन यानी 1/3, पंद्रह स्थानों तक गोल किया हुआ, और पेज उन अंकों को बदलता है जो उसे दिए गए, उस संख्या को नहीं जिसका वे निकट मान हैं — इसलिए जवाब 333333333333/1000000000000 है, 1/3 नहीं। वह भिन्न ईमानदार है, वह ठीक वही दशमलव है जो टाइप हुआ था, और जो कोई दोहराने वाला दशमलव बदलना चाहता है उसे वह नहीं चाहिए। यहाँ छोटा करने से पहले वाला रूप सरल रूप के बराबर है क्योंकि कटाई मुमकिन ही नहीं: दस की घात वाला हर और तीनों से बने अंश में कोई गुणनखंड साझा नहीं है।

यह उस दशमलव को बदलता है जो आपने टाइप किया, उस भिन्न को नहीं जो आपके मन में थी। जो भी दशमलव आप लिख सकते हैं उसकी एक सटीक भिन्न होती है, और यह पेज वह निकाल लेता है — जिसका मतलब है कि किसी दोहराने वाले दशमलव का काटा हुआ निकट मान दस की घात वाली भिन्न में बदलता है, उस सादी भिन्न में नहीं जिससे वह आया था: 0.3333 बनता है 3333/10000, और 1/3 वापस पाने के लिए पहले से जानना पड़ेगा कि वह 1/3 था। पेज ज़्यादा से ज़्यादा बारह दशमलव स्थान पढ़ता है: 0.0000000000001 जैसा तेरह-स्थानीय मान बदलना शुरू होने से पहले शून्य में समा जाता है और 0 लौटाता है, उसका प्रतिशत रूप भी उसी हिसाब से बहुत छोटा हो जाता है, इसलिए इतनी छोटी संख्या अपनी भिन्न पूरी तरह खो देती है, निकट मान में नहीं बदलती। दशमलव बिंदु से पहले बहुत अंक वाले इनपुट साधारण फ़्लोटिंग-पॉइंट हिसाब की सटीकता से बँधे हैं — लगभग पंद्रह सार्थक अंकों के बाद अंश ठीक रहना बंद कर देता है, और लौटाई गई भिन्न उतनी ही सटीक होती है जितना डाला गया मान था, उससे ज़्यादा नहीं; यह चुपचाप सटीकता बढ़ा-चढ़ाकर नहीं बताती, लेकिन जो अंक कभी थे ही नहीं उन्हें वापस भी नहीं ला सकती। भिन्न मिश्रित संख्या के बजाय विषम भिन्न की तरह बताई जाती है, इसलिए 2.5 से 5/2 मिलता है, 2 1/2 नहीं, और किसी पूर्ण संख्या से एक बटे एक वाली भिन्न मिलती है जिसे छोड़कर वह पूर्णांक ही रह जाता है — 1 जवाब में 1 ही आता है। ऋणात्मक इनपुट अपना चिह्न अंश पर टिकाए रखते हैं: माइनस 0.375 यानी माइनस 3/8। पेज बदलने के अलावा कोई हिसाब नहीं करता — न आपकी मौजूदा भिन्न जोड़ता है, न तुलना करता है, न छोटा करता है, और यह भी नहीं देखता कि जो भिन्न उसने बनाई वह उस रूप में है या नहीं जिस रूप में आपको चाहिए। और यह गोल करने का औज़ार नहीं है: यहाँ कुछ भी तय नहीं करता कि आपकी संख्या में कितने दशमलव स्थान होने चाहिए थे।

दशमलव को भिन्न में कैसे बदला जाता है?

दशमलव स्थान गिनिए, बिंदु हटाइए, और अंकों को एक के ऊपर उतने शून्य लगाकर रखिए: 0.375 में तीन स्थान हैं, इसलिए वह 375/1000 है। फिर दोनों भागों को उनके महत्तम समापवर्तक से बाँटिए — यहाँ 125 — और 3/8 मिल जाता है। पूरा तरीक़ा यही गिनती है; उसके बाद सब काटना है, जो कोई पेज इंसान से तेज़ कर देता है।

0.3333 से 1/3 के बजाय 3333/10000 क्यों मिलता है?

क्योंकि 0.3333 कोई 1/3 नहीं है — वह चार स्थानों के बाद काटा हुआ 1/3 है, और 3333/10000 ठीक वही है जो ये चार अंक कहते हैं। पेज सामने पड़ी संख्या बदलता है और उसे यह जानने का कोई रास्ता नहीं कि दोहराने वाला दशमलव चाहिए था; दोनों का अंतर 0.0000333 है, छोटा पर असली। दोहराने वाले दशमलव से 1/3 पाने के लिए दोहराने वाला हिस्सा चाहिए, और वह अलग हिसाब है जिसका तरीक़ा भी अलग है।

छोटा करने से पहले वाली भिन्न मुझे क्या बताती है?

यह कि भिन्न कहाँ से आई। 375/1000 कहता है कि संख्या में तीन दशमलव स्थान थे और अंक 375 थे, जिससे बदलाव आँख से जाँचा जा सकता है; 3/8 कहता है कि जवाब क्या है। दोनों को साथ देखने पर काटने का क़दम भी साफ़ दिख जाता है, इसलिए यही पेज कन्वर्टर होने के साथ-साथ भिन्न छोटा करने का हल किया हुआ उदाहरण भी है। जब कटाई मुमकिन ही न हो — जैसे तीनों से बने अंश के साथ — तब दोनों रूप एक ही होते हैं और पेज वही भिन्न दो बार छापता है।

कौन-से दशमलव ठीक-ठीक भिन्न में बदलते हैं?

वे जो रुक जाते हैं। जिस दशमलव में सीमित स्थान हों वह दस की घात पर बनी भिन्न है, इसलिए बदलाव बनावट से ही सटीक होता है, और सरल किए हुए हर में सिर्फ़ दो और पाँच ही बन सकते हैं — 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25 वग़ैरह। इसके अलावा जो भी हो, जैसे एक बटे तीन या एक बटे सात, उसका दशमलव विस्तार कभी ख़त्म नहीं होता और कोई भी सीमित अंक उसे ठीक-ठीक नहीं लिख सकते। यह पेज तब भी आपके दिए अंक बदल देगा, और लौटाई गई भिन्न दस की घात वाली भिन्न होगी, उसके पीछे बैठी सादी भिन्न नहीं।

बहुत छोटे दशमलव का क्या होता है?

तेरह दशमलव स्थानों वाला मान शून्य में समा जाता है। पेज ज़्यादा से ज़्यादा बारह स्थान पढ़ता है, इसलिए 0.0000000000001 — तेरह स्थान — 0 बन जाता है और तेरह अंकों के हर वाली भिन्न के बजाय भिन्न 0 लौटाता है। बारह स्थान जान-बूझकर रखी गई सीमा है: यह रोज़मर्रा के काम में लिखे जाने वाले हर दशमलव को समेट लेती है, और अंश तथा हर को उस दायरे में रखती है जहाँ पूर्ण संख्याएँ ठीक रहती हैं।

2.5 को 2 1/2 के बजाय 5/2 क्यों दिखाया जाता है?

क्योंकि आगे काम विषम भिन्न ही आता है। मान दोनों तरह वही रहता है, और अगर अगला क़दम किसी दूसरी भिन्न से गुणा या भाग देना है तो आपको 5/2 ही चाहिए, क्योंकि मिश्रित संख्या को इस्तेमाल से पहले वापस विषम भिन्न में बदलना पड़ता है। इसे वापस पढ़ना एक भाग है — 5 ÷ 2 = 2.5 — और वह भाग देने वाला पेज इस समूह का अगला पेज है।

• Decimal fraction — an arithmetical fraction with an integral power of ten as its denominator, which is the definition this page converts from — Encyclopedia of Mathematics, European Mathematical Society (international)
• Reduced Fraction — a fraction written in lowest terms, obtained by dividing numerator and denominator through by their greatest common divisor, with 2/3 given as the reduced fraction of 8/12 — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular Number — also called a finite decimal: a number with a finite decimal expansion, which is exactly the class of decimals whose reduced fraction has a denominator built only from twos and fives — Wolfram MathWorld (United States)