भिन्न से दशमलव कन्वर्टर

दशमलव = अंश ÷ हर सरलतम रूप में भिन्न = अंश और हर, दोनों को महत्तम समापवर्तक से बाँटने के बाद दोहराव की लंबाई = दोहराने वाले अंकों के ब्लॉक की लंबाई (दशमलव रुकता हो तो 0)

अंश

भिन्न का ऊपरी भाग, एक पूर्ण संख्या। यह ऋणात्मक या शून्य भी हो सकती है; शून्य अंश देने पर दशमलव शून्य आता है, और हर से बड़ा अंश देने पर दशमलव एक से ऊपर चला जाता है

हर

भिन्न का निचला भाग, एक पूर्ण संख्या, एक लाख तक और शून्य नहीं। यही वह ख़ाना है जो तय करता है कि दशमलव रुकेगा या दोहराएगा, और अगर दोहराएगा तो कितने अंकों पर — यह सिर्फ़ हर की बात है

दशमलव

अंश को हर से भाग देने का नतीजा, छह स्थानों तक। दशमलव रुकने वाला हो तो ये छह स्थान पीछे शून्य लगाकर पूरा जवाब देते हैं; दोहराने वाला हो तो ये छह अंक छठे स्थान पर गोल किया हुआ रूप हैं, विस्तार का काटा हुआ या सटीक रूप नहीं

सरलतम रूप

भिन्न का सबसे छोटा रूप, और दोहराव परखने के लिए यही रूप चाहिए: 2/4 को 1/2 लिखा जाता है, और दशमलव के रुकने का फ़ैसला उस 1/2 के हर में बैठा 2 करता है, आपका लिखा हुआ 4 नहीं। महत्तम समापवर्तक निकालकर अंश और हर, दोनों को उससे बाँटने पर यह रूप मिलता है

दोहराव की लंबाई

दोहराने वाले ब्लॉक में कितने अंक हैं, या शून्य अगर दशमलव रुक जाता है। एक बटे तीन पर 1, एक बटे सात पर 6, एक बटे सत्तानवे पर 96 — और यह संख्या सिर्फ़ सरल हुए हर पर निर्भर है, इसलिए नीचे सत्तानवे वाले हर भिन्न का दोहराव अंश चाहे जो हो, छियानवे अंकों का ही होगा

तीन काम, और तीसरा नतीजा जितना आगे जाकर काम आता है उतना ही यह क्रम ऊपर चढ़ता है। नापने के लिए या किसी स्प्रेडशीट के लिए भिन्न को दशमलव में बदलना सबसे सीधा काम है: तीन बटे आठ यानी 0.375, एक बटे दो यानी 0.5, और छोटे हर वाले चार भिन्न ज़बानी याद रखने लायक़ हैं। दूसरा काम यह परखना है कि भिन्न ठीक-ठीक बदलेगा या नहीं, और यह सवाल तब मायने रखता है जब जवाब को तय संख्या में दशमलव स्थानों में डालना हो — सिर्फ़ दो और पाँच से बना हर साफ़-सुथरा बदलता है, और जिसमें सात या तीन बैठा हो वह कभी नहीं, चाहे कितने ही स्थान दे दीजिए। तीसरा काम यह अंदाज़ा लगाना है कि आप कितनी सटीकता छोड़ रहे हैं: जिस भिन्न का दोहराव एक-दो अंकों का हो वह छह दशमलव स्थानों में अच्छी तरह बैठ जाता है, और जिसका दोहराव छियानवे अंकों का हो वह नहीं — एक बटे सत्तानवे पैनल पर 0.010309 दिखता है, और सच्चे विस्तार के अगले छह अंक बिलकुल दूसरे अंक हैं, जो उस संख्या को किसी हिसाब में डालने से पहले जान लेना चाहिए। दो मामले इस पेज के बाहर हैं। दोहराते दशमलव को वापस उसके सटीक भिन्न में बदलना उलटी दिशा है और अलग सवाल, और छह स्थानों तक छपा दशमलव उस दोहराव की बनावट को पहले ही फेंक चुका होता है जिससे वह हल होता। और मिश्रित भिन्न इनपुट में नहीं लिए जाते: दो और एक चौथाई को 9/4 लिखकर डालना पड़ता है, क्योंकि भाग के लिए एक ही अंश और एक ही हर चाहिए।

1. तीन बटे आठ — रुक जाने वाला दशमलव

   1. अंश को हर से भाग दीजिए: 3 ÷ 8 = 0.375
   2. भाग पूरा-पूरा निकल आया, इसलिए दोहराव की लंबाई 0 है
   3. भिन्न पहले से सरलतम रूप में है, इसलिए वह 3/8 ही छपता है

   यह शुरुआती और आसान मामला है: आठ सिर्फ़ दो से बना है, इसलिए दशमलव रुक जाता है और पैनल के छह स्थान पीछे शून्य लगाकर पूरा जवाब दे देते हैं। लंबाई वाली ख़ाना में छपा शून्य यही बताता है — यहाँ शून्य का मतलब है कि कुछ गोल नहीं हुआ और कुछ फेंका नहीं गया, इसलिए जब दशमलव की सटीकता मायने रखती हो तो सबसे पहले यही ख़ाना देखिए।

2. एक बटे तीन — जो दशमलव कभी नहीं रुकता

   1. भाग दीजिए: 1 ÷ 3 = 0.333333…
   2. तीन दो और पाँच से नहीं बना, इसलिए विस्तार कभी ख़त्म नहीं होता
   3. दोहराने वाला ब्लॉक अकेला अंक 3 है, इसलिए लंबाई 1 है
   4. पैनल पहले छह स्थान दिखाता है, 0.333333

   यही वह मामला है जिसके लिए दोहराव की लंबाई छपती है, और यही वह जगह जहाँ दशमलव सबसे कम भरोसेमंद है। 0.333333 एक बटे तीन नहीं है — वह छठे स्थान पर गोल किया हुआ एक बटे तीन है, और उसे तीन से गुणा करने पर 1 नहीं बल्कि 0.999999 आता है। लंबाई 1 बताती है कि पैनल किसी अनंत विस्तार की एक झलक दिखा रहा है, पूरा जवाब नहीं; उसी पेज पर लंबाई शून्य होती तो उलटी बात कहती। एक बटे तीन और दो बटे तीन जोड़ना इसका क्लासिक प्रदर्शन है: दशमलव 0.999999 देते हैं जबकि भिन्न ठीक 1 देते हैं।

3. बाईस बटे सात — लंबा दोहराव और विषम भिन्न

   1. भाग दीजिए: 22 ÷ 7 = 3.142857142857…
   2. सात में दो और पाँच के अलावा एक और अभाज्य गुणनखंड है, इसलिए दशमलव दोहराता है
   3. दोहराने वाला ब्लॉक 142857 है, छह अंकों का
   4. पैनल 3.142857 दिखाता है, और भिन्न पहले से सरलतम रूप में है

   यह भिन्न एक से बड़ा है, इसलिए दशमलव में पूर्ण भाग भी है, और हर सात है, जिसका दोहराव छह अंकों का है — एक अंक वाले हर से बनने वाला सबसे लंबा दोहराव। बाईस बटे सात पाई का पुराना निकट मान है, दो दशमलव स्थानों तक सही, और दोहराने वाला ब्लॉक 142857 ख़ुद भी एक बटे सात के दोहराव के नाम से मशहूर है। यहाँ लंबाई वाली ख़ाना असली काम कर रही है: वह बताती है कि दिख रहे छह अंक पूरा दोहराने वाला ब्लॉक हैं, किसी लंबे ब्लॉक का गोल किया हुआ टुकड़ा नहीं।

4. दो बटे चार को एक बटे दो लिखा जाता है

   1. पहले छोटा कीजिए: 2 और 4 दोनों में 2 बँटता है, इसलिए भिन्न 1/2 हो गया
   2. छोटे रूप को भाग दीजिए: 1 ÷ 2 = 0.5
   3. दो सिर्फ़ दो से बना है, इसलिए लंबाई 0 है

   यह पेज भाग देने से पहले भिन्न को छोटा करता है, और उसका नतीजा यह दिखता है: भिन्न वाली ख़ाना में 1/2 छपता है, आपका लिखा हुआ 2/4 नहीं। मान दोनों तरह एक ही है, लेकिन दोहराव सिर्फ़ छोटे रूप से पढ़ा जा सकता है — दशमलव के रुकने का फ़ैसला छोटा किया हुआ हर करता है। इसे एक बार देख लेने पर यह भी समझ आ जाता है कि आपकी अपेक्षा से अलग रूप में लिखा भिन्न जवाब में दूसरे रूप में क्यों लौटता है।

5. एक बटे सत्तानवे — पैनल से लंबा दोहराव

   1. भाग दीजिए: 1 ÷ 97 = 0.010309278350515…
   2. सत्तानवे अभाज्य है और दो या पाँच नहीं है, इसलिए दशमलव दोहराता है
   3. दोहराव छियानवे अंकों का है
   4. पैनल पहले छह स्थान दिखाता है, 0.010309

   यह चरम मामला है, और यही वजह है कि लंबाई बड़ी होने पर भी छापने लायक़ है। छियानवे अंक पैनल के छह से बहुत ज़्यादा हैं, इसलिए जो दिख रहा है वह पहले दोहराव का सोलहवाँ हिस्सा भर है — ऐसी संख्या जिसका पैटर्न दिखने के लिए बहुत दूर तक ले जाना पड़ेगा। छह स्थानों वाले दशमलव के बग़ल छपी 96 एक चेतावनी है: इसका मतलब यह नहीं कि दशमलव ग़लत है, मतलब यह है कि दशमलव एक तस्वीर भर है। इसकी तुलना एक बटे तीन से कीजिए, जहाँ लंबाई 1 होने के कारण वही छह स्थान उस संख्या का कहीं बेहतर प्रतिनिधित्व करते हैं।

दशमलव छह स्थानों तक दिखाया जाता है, इसलिए वह सटीक तभी है जब दोहराव की लंबाई शून्य हो। लंबाई शून्य से बड़ी हो तो उस संख्या का कोई सीमित दशमलव रूप ही नहीं है और वे छह अंक छठे स्थान पर गोल किया हुआ विस्तार हैं — एक बटे तीन 0.333333 दिखता है, जो एक बटे तीन नहीं है, और एक बटे तीन में दो बटे तीन जोड़ने पर 1 के बजाय 0.999999 दिखता है। छह से बड़ी लंबाई का मतलब है कि पैनल एक ही दोहराव का कुछ हिस्सा भर दिखा रहा है। पेज भाग देने से पहले भिन्न को छोटा करता है, इसलिए सरलतम रूप के अलावा किसी और रूप में डाला भिन्न छोटा होकर लौटता है: 2/4 को 1/2 लिखा जाता है और 100/8 को 25/2, और दोहराव चूँकि छोटे हुए हर का गुण है, वह उसी छोटे रूप से गिना जाता है। पूर्ण नतीजे एक बटे एक वाले भिन्न के बजाय पूर्णांक की तरह छपते हैं, इसलिए 5/1 जवाब में 5 आता है और शून्य अंश जवाब में 0। मिश्रित भिन्न इनपुट में नहीं लिए जाते: दो और एक चौथाई को 9/4 लिखकर डालना पड़ता है, क्योंकि भाग एक ही अंश और एक ही हर पर चलता है, और किसी भी ख़ाने में ग़ैर-पूर्ण मान बदला नहीं जाता, ठुकरा दिया जाता है। हर एक लाख तक सीमित हैं, और इससे दोहराव की लंबाई भी सीमित हो जाती है — किसी भी मान्य हर से बनने वाला सबसे लंबा दोहराव एक लाख अंकों से कुछ ही कम हो सकता है। और लंबाई अंकों की गिनती है, अंक ख़ुद नहीं: पेज यह बताता है कि एक बटे सत्तानवे का विस्तार हर छियानवे स्थान पर दोहराता है, पर वे छियानवे अंक कौन-से हैं यह नहीं दिखाता।

भिन्न से दशमलव में कैसे बदला जाता है?

अंश को हर से भाग दीजिए: तीन बटे आठ यानी 3 ÷ 8 = 0.375, और एक बटे दो यानी 1 ÷ 2 = 0.5। पूरा तरीक़ा यही भाग है — पहले सिर्फ़ इतना करना काम का है कि भिन्न को सरलतम रूप में ले आइए, क्योंकि दशमलव रुकेगा या अनंत चलेगा यह छोटा किया हुआ हर तय करता है।

कैसे पता चलेगा कि दशमलव रुक जाएगा?

सरल किए हुए हर के अभाज्य गुणनखंड देखिए। अगर वह सिर्फ़ दो और पाँच से बना है तो दशमलव रुक जाता है: 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25 और 100 — सब रुकने वाले दशमलव देते हैं। अगर उसमें कोई और अभाज्य बैठा है — तीन, सात, ग्यारह — तो दशमलव हमेशा दोहराता रहेगा और किसी भी सीमित स्थानों में ठीक-ठीक नहीं लिखा जा सकता। दोहराव की लंबाई वाली ख़ाना बता देती है कि कौन-सी स्थिति है: शून्य यानी दशमलव रुकता है, और शून्य के अलावा जो भी हो वह दोहराने वाले ब्लॉक की लंबाई है।

1/3 को 0.333333 क्यों दिखाया जाता है?

क्योंकि पैनल छह दशमलव स्थान उठाता है और एक बटे तीन का कोई सीमित दशमलव रूप नहीं है, इसलिए छठा स्थान ही वह जगह है जहाँ विस्तार गोल किया जाता है। 0.333333 ठीक एक बटे तीन नहीं है — उसे तीन से गुणा कीजिए तो 1 के बजाय 0.999999 आता है, और यही अंतर देखने का हिसाबी तरीक़ा है। लंबाई 1 पेज का यह कहना है: दशमलव चलता रहता है, और जो दिख रहा है वह उसकी एक झलक है, जवाब नहीं।

दो बटे चार को एक बटे दो क्यों दिखाया जाता है?

क्योंकि पेज भाग देने से पहले भिन्न को छोटा करता है, और बाक़ी हर नतीजे के लिए वही छोटा रूप मायने रखता है। मान दोनों तरह एक ही है — 0.5 — लेकिन दोहराव की लंबाई छोटे हुए हर का गुण है, इसलिए छोटा करना पहले ज़रूरी है: दशमलव रुकता है यह 1/2 के हर में बैठा 2 कहता है, आपका लिखा हुआ 4 नहीं। ज़रूरत से बड़े रूप में डाला भिन्न हमेशा छोटा होकर लौटता है।

दोहराव की लंबाई 96 का क्या मतलब है?

इसका मतलब है कि उस भिन्न का दशमलव विस्तार हर छियानवे अंकों पर दोहराता है — एक बटे सत्तानवे के लिए छियानवे अंकों का ब्लॉक अनंत तक चलता रहता है। यह इस बात का पैमाना नहीं है कि दिखाया गया दशमलव कितना सही है: छह स्थान जहाँ तक जाते हैं वहाँ तक सही हैं, वे बस एक ही दोहराव का छोटा-सा हिस्सा हैं। हाँ, यह ज़रूर बताता है कि छह दशमलव स्थान उस संख्या को अच्छी तरह नहीं दिखा सकते, क्योंकि आगे के अंक दिख रहे पैटर्न का आगे बढ़ना नहीं, बल्कि कहीं लंबे पैटर्न की शुरुआत हैं।

क्या जवाब एक से बड़ा या ऋणात्मक हो सकता है?

दोनों आम हैं। हर से बड़ा अंश एक से ऊपर का दशमलव देता है — बाईस बटे सात यानी 3.142857 — और भिन्न वाली ख़ाना में वह विषम भिन्न ही रहता है, मिश्रित भिन्न नहीं बनता। ऋणात्मक अंश ऋणात्मक दशमलव देता है, और चिह्न भिन्न के अंश पर ही टिका रहता है: माइनस तीन चौथाई यानी माइनस 0.75, जो −3/4 छपता है। दोहराव की लंबाई पर इनमें से किसी का असर नहीं पड़ता, क्योंकि वह सिर्फ़ हर पर निर्भर है।

• Repeating Decimal — a decimal expansion in which a digit or block of digits repeats forever, the property the period output measures, together with the rule that a terminating decimal is one whose reduced denominator has no prime factor other than 2 or 5 — Wolfram MathWorld (United States)
• Decimal fraction — an arithmetical fraction with an integral power of ten as its denominator, which is exactly the class of fractions whose decimal expansion terminates — Encyclopedia of Mathematics, European Mathematical Society (international)
• Fraction — numerator, denominator and the reduction of a fraction to lowest terms, which is the step that must happen before the denominator's prime factors can be read — Wolfram MathWorld (United States)