भिन्न गुणा कैलकुलेटर

a/b × c/d = (a × c) / (b × d) काटकर छोटी करना: गुणा से पहले a और d को gcd(a, d) से, तथा c और b को gcd(c, b) से बाँटिए और फिर गुणनफल को छोटा कीजिए

पहली भिन्न का अंश

पहली भिन्न का ऊपरी हिस्सा: 2/3 में 2। यह दूसरी भिन्न के हर के साथ कटता है, अपने ही हर के साथ नहीं, और दूसरे अंश के साथ भी नहीं। यह ऋणात्मक भी हो सकता है, और ऋण चिह्न काटने से गुज़रकर जवाब तक साथ चलता है।

पहली भिन्न का हर

पहली भिन्न का निचला हिस्सा: 2/3 में 3। यह धनात्मक होना चाहिए — भिन्न अपना चिह्न अंश पर रखती है, और यही रिवाज़ काटने को बिना उलझन के करने देता है। यह दूसरी भिन्न के अंश के साथ कटता है।

दूसरी भिन्न का अंश

दूसरी भिन्न का ऊपरी हिस्सा: 3/4 में 3। यह पहले हर के साथ कटता है, जो डिफ़ॉल्ट हालत में वही 3 है, इसलिए दोनों एक साथ ग़ायब हो जाते हैं और दोनों कटे हुए आँकड़े और सादे निकल आते हैं।

दूसरी भिन्न का हर

दूसरी भिन्न का निचला हिस्सा: 3/4 में 4। यह पहले अंश के साथ कटता है — डिफ़ॉल्ट हालत में 2, 4 के साथ — और इसका धनात्मक होना उसी वजह से ज़रूरी है जिस वजह से पहले हर का था।

काटकर छोटी करना

गुणा करने से पहले एक भिन्न के अंश और दूसरी के हर को उनके महत्तम समापवर्तक से बाँट देना। दोनों तिरछी जोड़ियाँ काटी जाती हैं, और पहले काटने का मक़सद यह है कि गुणनफल पहले से सरलतम रूप में आ जाता है, इसलिए आख़िर में लंबा भाग देना नहीं पड़ता। यह इसलिए काम करता है क्योंकि एक गुणक को बाँटना और उसी संख्या से गुणा करना, दोनों एक-दूसरे को काट देते हैं।

काटकर छोटी की हुई भिन्नें

वे दोनों भिन्नें जैसी वे तिरछी जोड़ियाँ काटने के बाद दिखती हैं: डिफ़ॉल्ट हालत में 1/1 और 1/2। इनका गुणनफल जवाब के बराबर होता है, और यही इस छोटे रास्ते की जाँच है — अगर दोनों आँकड़ों का गुणनफल नतीजे से न मिले, तो कुछ ग़लत साथी के साथ काटा गया है। इन्हें जैसा है वैसा छापा जाता है, इसलिए पूरा कट चुका गुणक सिर्फ़ 1 दिखता है।

छोटा करने से पहले का गुणनफल

सीधे आमने-सामने गुणा करने पर जो मिलता है, बिना कुछ काटे: डिफ़ॉल्ट हालत में 6/12। यह जवाब के बराबर ही संख्या है, बस बहुत बड़े पूर्णांकों में, और इसे इसलिए छापा जाता है कि दोनों रास्तों का फ़र्क़ दावा करने के बजाय दिख जाए।

पहला इस्तेमाल यह अभ्यास है: भिन्नों का गुणा भाग देने से पहले सिखाया जाता है, और यही वह क्रिया है जहाँ तिरछा काटना शुरू होता है, इसीलिए पैनल सिर्फ़ जवाब के बजाय कटे हुए दोनों गुणक भी छापता है। दूसरा, हाथ से किए हिसाब की जाँच — दोनों भिन्नें भरिए, कटे हुए गुणक अपने वालों से मिलाइए, और अगर आपके अलग हैं तो गुणनफल भी अलग होगा। तीसरा, वह गुणनफल जो काफ़ी दूर तक छोटा होता है, जैसे 99/100 गुणा 100/99, जहाँ सीधे गुणा करने पर 9900/9900 मिलता है और काटकर छोटी करने पर बिना कोई गणित किए 1। चौथा, ऋणात्मक भिन्न, जहाँ चिह्न को काटने के बाद भी बचा रहना होता है: -2/3 गुणा 3/4 यानी -1/2, और चिह्न उसी अंश का है जो उसे उठाए हुए है। पाँचवाँ, किसी भिन्न का किसी पूर्ण संख्या से गुणा, जो दूसरी भिन्न को हर 1 के साथ लिख देने भर की बात है — 1/2 गुणा 2 यानी 1/2 गुणा 2/1 — और पेज इसे बिना किसी ख़ास नियम के ले लेता है।

1. 2/3 × 3/4

   1. तिरछी जोड़ियाँ काटिए: 2 और 4 में 2 का साझा गुणनखंड है, इसलिए 1 और 2 बचते हैं; 3 और 3 में 3 साझा है, इसलिए 1 और 1
   2. अब दोनों गुणक 1/1 और 1/2 हैं
   3. आमने-सामने गुणा कीजिए: (1 × 1) ÷ (1 × 2) = 1/2
   4. बिना काटे यह (2 × 3) ÷ (3 × 4) = 6/12 होता, जो वही संख्या है

   यह डिफ़ॉल्ट हालत है, और यही दिखाती है कि काटकर छोटी करने से क्या मिलता है: दोनों रास्ते 1/2 और 6/12 देते हैं, एक ही मान, और इनमें से सिर्फ़ एक पहले से सरलतम रूप में है। ध्यान दीजिए कि पहला कटा हुआ गुणक 1/1 के बजाय सिर्फ़ 1 छपता है — उसकी हर संख्या कट गई थी, और हर 1 कभी लिखा नहीं जाता। जाँच आख़िरी दो आँकड़ों में है: उन्हें गुणा कीजिए और जवाब मिल जाता है, 1 × 1/2 = 1/2।

2. 7/8 × 4/5

   1. तिरछी जोड़ियाँ काटिए: 7 और 5 में कुछ भी साझा नहीं, इसलिए दोनों वैसे ही रहते हैं; 4 और 8 में 4 साझा है, इसलिए 1 और 2
   2. अब दोनों गुणक 7/2 और 1/5 हैं
   3. आमने-सामने गुणा कीजिए: (7 × 1) ÷ (2 × 5) = 7/10
   4. बिना काटे: (7 × 4) ÷ (8 × 5) = 28/40, वही संख्या बड़े पूर्णांकों में

   यह वह हालत है जहाँ दोनों तिरछी जोड़ियों में से सिर्फ़ एक कटती है: 7 और 5 सह-अभाज्य हैं, इसलिए वह जोड़ी बिना छुए पार निकल जाती है और पहला गुणक अपना हर 2 बनाए रखता है, जबकि दूसरी जोड़ी पूरी कट जाती है और दूसरा गुणक घटकर 1/5 रह जाता है। काटकर छोटी करने का आधा काम यह पहचानना है कि कुछ करने को नहीं है, इसीलिए जो आँकड़ा जैसा आया था वैसा ही लौटता है, वह कमी नहीं बल्कि जानकारी है। जवाब 7/10 पहले से सरलतम रूप में है, और बिना छोटा किया हुआ 28/40 दिखाता है कि लंबा रास्ता क्या सौंपता।

3. 99/100 × 100/99

   1. तिरछी जोड़ियाँ काटिए: 99 और 99 में 99 साझा है, इसलिए 1 और 1; 100 और 100 में 100 साझा है, इसलिए 1 और 1
   2. अब दोनों गुणक 1/1 हैं
   3. आमने-सामने गुणा कीजिए: 1 × 1 = 1
   4. बिना काटे: (99 × 100) ÷ (100 × 99) = 9900/9900, जो 1 ही है

   किसी भिन्न का उसके ही व्युत्क्रम से गुणा, यानी वह हालत जो दिखाती है कि यह छोटा रास्ता कितना बचाता है: लंबा रास्ता 9900 बटा 9900 बनाता है और फिर उसे घटाकर 1 करता है, जबकि काटकर छोटी करने में इनमें से कोई संख्या लिखी ही नहीं जाती। दोनों आँकड़े सिर्फ़ 1 के रूप में लौटते हैं क्योंकि दोनों गुणक पूरे कट गए, और इस लिखावट में व्युत्क्रम की शक्ल यही है। यह इस बात का भी सबसे साफ़ उदाहरण है कि काटना क्यों काम करता है — 99 और 100, दोनों को उतनी ही मात्रा में गुणा और भाग दिया जा रहा है।

4. -2/3 × 3/4

   1. तिरछी जोड़ियाँ काटिए: -2 और 4 में 2 का साझा गुणनखंड है, इसलिए -1 और 2; 3 और 3 में 3 साझा है, इसलिए 1 और 1
   2. अब दोनों गुणक -1/1 और 1/2 हैं
   3. आमने-सामने गुणा कीजिए: (-1 × 1) ÷ (1 × 2) = -1/2
   4. ऋण चिह्न पूरे समय अंश का ही रहता है

   ऋणात्मक भिन्न, जहाँ चिह्न काटने के दौरान अंश के साथ-साथ चलता है: -2 और 4 में 2 का गुणनखंड साझा है, और जो बचता है वह -1 और 2 है, इसलिए ऋण चिह्न कटने के बाद भी वहीं है, उसके साथ कटा नहीं। ध्यान दीजिए कि हर हर पंक्ति पर धनात्मक बना रहता है — भिन्न अपना चिह्न ऊपर रखती है, और यही वह रिवाज़ है जो इसे बिना उलझन के रखता है। एक ऋणात्मक गुणक ऋणात्मक गुणनफल बनाता है; दो होते तो धनात्मक बनता।

5. 1/2 × 2

   1. पूर्ण संख्या को भिन्न की तरह लिखिए: 2 यानी 2/1
   2. तिरछी जोड़ियाँ काटिए: 1 और 1 में कुछ साझा नहीं; 2 और 2 में 2 साझा है, इसलिए 1 और 1
   3. आमने-सामने गुणा कीजिए: 1 × 1 = 1
   4. यानी दो का आधा एक हुआ

   एक पूर्ण संख्या, जिसके लिए कोई ख़ास नियम नहीं चाहिए: 2 यानी 2/1, इसलिए पेज उसे बाक़ी किसी भी भिन्न की तरह लेता है और तिरछा काटना 2 को 2 के सामने पा लेता है। यह क़दम न उठाने पर गुणनफल 2/2 बनता और उसे फिर भी छोटा करना पड़ता, और इतने छोटे उदाहरण पर भी यही फ़र्क़ यह छोटा रास्ता बनाता है। जवाब 1/1 के बजाय सिर्फ़ 1 आना पेज के बाक़ी हिस्सों जैसा ही रिवाज़ है: हर एक कभी लिखा नहीं जाता।

दोनों हर धनात्मक होने चाहिए, क्योंकि भिन्न अपना चिह्न अंश पर रखती है — और यह रिवाज़ यहाँ सचमुच काम कर रहा है, क्योंकि काटना संख्याओं को तिरछा मिलाता है और अगर कोई हर ऋणात्मक हो सकता तो यह मिलान उलझ जाता। अंश ऋणात्मक हो सकते हैं, और चिह्न जवाब तक पहुँचता है। चारों संख्याओं के आकार पर बंदिश है: अंश और हर, दोनों की ऊपरी सीमा 9,49,06,265 है, यानी वह सबसे बड़ा मान जिस तक दोनों अंशों को गुणा करने पर ऐसा पूर्णांक बनता है जिसे ठीक-ठीक लिखा जा सके। उससे बड़ा गुणनफल चुपचाप अनुमानित हो जाता, इसलिए पेज सही दिखने वाला आँकड़ा छापने के बजाय एंट्री मना कर देता है। अंश में शून्य चलता है — तब गुणनफल शून्य होता है, और दोनों कटे हुए गुणक कुछ बटा कुछ के रूप में शून्य लौटाते हैं — पर हर में शून्य नहीं, क्योंकि तब भिन्न का वजूद ही नहीं रहता। यह पेज दो भिन्नें गुणा करता है और बस: न जोड़ता है, न घटाता है, न भाग देता है, और मिश्रित संख्या को पूर्ण भाग के साथ लिखी भिन्न के रूप में नहीं लेता — उसे पहले विषम भिन्न में बदलना पड़ता है। आख़िर में, जवाब सरलतम रूप में होता है जबकि कटे हुए गुणकों का होना ज़रूरी नहीं: कोई कटा हुआ गुणक अब भी 2/2 जैसा छप सकता है अगर उसकी अपनी संख्याओं में साझा गुणनखंड बचा हो, और वह जवाब के ग़लत होने के बजाय इस बात का ईमानदार रिकॉर्ड है कि काटने ने क्या किया।

दो भिन्नों का गुणा कैसे करें — भिन्न गुणा करने का सूत्र क्या है?

अंशों को आपस में और हरों को आपस में गुणा कीजिए। 2/3 गुणा 3/4 यानी (2 × 3) बटा (3 × 4), जो 6/12 है, और 6/12 घटकर 1/2 बनता है। जोड़ने की तरह यहाँ सामान्य हर की ज़रूरत नहीं पड़ती — भिन्नों के गुणा की यही एक बात है जो उसे जोड़ने से आसान बनाती है।

काटकर छोटी करना क्या है?

गुणा करने से पहले किसी अंश और उसके आमने-सामने वाले हर को उनके महत्तम समापवर्तक से बाँट देना। 2/3 गुणा 3/4 में 2, 4 के साथ कटता है और 3 दूसरे 3 के साथ, जिससे 1/1 गुणा 1/2 बचता है — और वही जवाब है। यह इसलिए काम करता है क्योंकि एक गुणक को बाँटना और उसी संख्या से गुणा करना एक-दूसरे को काट देते हैं।

कौन-सी संख्याएँ कटती हैं — आमने-सामने वाली या ऊपर-नीचे वाली?

हमेशा आमने-सामने, तिरछी: हर अंश अपनी दूसरी भिन्न के हर के साथ। दोनों अंश आपस में गुणा होते हैं, एक-दूसरे के साथ कटते नहीं, और वही बात दोनों हरों की है। ग़लत जोड़ी काटने पर जवाब ग़लत आता है, जवाब आना बंद नहीं होता, इसीलिए पैनल पर कटे हुए दोनों गुणक छपते हैं।

क्या काटकर छोटी करना ज़रूरी है?

नहीं, और पेज दोनों रास्ते दिखाता है: 6/12 और 1/2 एक ही संख्या हैं। काटकर छोटी करने से यह मिलता है कि गुणनफल सरलतम रूप में आ जाता है, इसलिए आख़िर में छोटा करने का चरण नहीं पड़ता — 99/100 गुणा 100/99 पर यह छोटा रास्ता 1 देता है जबकि लंबा रास्ता पहले 9900 बटा 9900 लिखता है।

क्या भिन्न को पूर्ण संख्या से गुणा कर सकते हैं?

हाँ। पूर्ण संख्या को 1 के ऊपर लिखिए — 2 यानी 2/1 — और फिर यह कोई आम गुणा ही है। 1/2 गुणा 2 यानी 1/2 गुणा 2/1, दोनों 2 तिरछे कट जाते हैं, और जवाब 1 आता है। पूर्ण संख्याओं के लिए कोई अलग नियम नहीं है।

ऋणात्मक भिन्नों का क्या?

चिह्न अंश का होता है और उसके साथ चलता है। -2/3 गुणा 3/4 यानी -1/2: -2, 4 के साथ कटकर -1 और 2 छोड़ता है, इसलिए ऋण चिह्न काटने के बाद भी बचा रहता है। हर हर पंक्ति पर धनात्मक रहते हैं, और यही वह रिवाज़ है जो तिरछा मिलान बिना उलझन के करने देता है।

कटे हुए गुणकों में से एक सिर्फ़ 1 क्यों छपता है?

क्योंकि उसमें सब कुछ कट गया। जब किसी अंश और आमने-सामने वाले हर में सारे गुणनखंड साझा हों, तो 1 बटा 1 बचता है, और हर 1 बिना हर के लिखा जाता है — वही रिवाज़ जो पेज के बाक़ी हिस्सों में है। सिर्फ़ 1 का मतलब है कि वह गुणक घटकर लुप्त हो गया, कोई आँकड़ा छूटा नहीं।

• Fraction — the quotient of two integers written with a numerator and a denominator, and the arithmetic of multiplying two of them — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — the lowest terms of a fraction, which is the form the answer on this page is printed in and the form the unreduced line has to be reduced to — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest integer dividing two given integers, which is the number each diagonal pair is divided by before the multiplication — Wolfram MathWorld (United States)
• Relatively Prime — two integers with no common factor greater than one, the case in which a diagonal pair has nothing to cancel and passes through unchanged — Wolfram MathWorld (United States)
• Improper Fraction — a fraction whose numerator is at least its denominator, which is what a whole number written as a fraction over 1 always is — Wolfram MathWorld (United States)