ल.स. हर कैलकुलेटर

3/4, 5/6, 7/10 ⇒ lcd = lcm(4, 6, 10) = 60 ⇒ 45/60, 50/60, 42/60

3/4, 5/6, 7/10

वे भिन्न जिन पर काम करना है, दो से दस, हर एक अंश/हर के रूप में लिखा हुआ जिसके दोनों हिस्से 1 से 1000000 तक की पूर्ण संख्याएँ हैं, और जिन्हें स्पेस, अल्पविराम या अर्धविराम अलग करते हैं। 2 जैसी पूर्ण संख्याएँ भी चलती हैं और 2/1 पढ़ी जाती हैं। हर भिन्न को उसका हर इस्तेमाल करने से पहले न्यूनतम रूप में लाया जाता है, और यही वह क़दम है जो जवाब को ज़रूरत से बड़ा होने से रोकता है

4, 6, 10

छोटे किए हुए हर। पहले छोटा करना ही इन्हें 4, 6 और 10 बनाता है, किसी बड़ी संख्या के बजाय — 6/8, अगर 3/4 तक न लाया जाए, तो 8 जोड़ देता। इसके बाद सारा काम सिर्फ़ इन्हीं संख्याओं पर होता है; अंश जवाब को ज़रा भी नहीं बदलते

lcd = lcm(4, 6, 10)

पूरी गणना एक पंक्ति में: लघुत्तम समापवर्त्य हर, इन छोटे किए हुए हरों का लघुत्तम समापवर्त्य है। 4 = 2², 6 = 2 × 3 और 10 = 2 × 5, इसलिए ज़रूरी अभाज्य 2², 3 और 5 हैं, जिनसे 4 × 3 × 5 = 60 बनता है। दो से ज़्यादा भिन्नों पर यह दो-दो करके पिरोया जाता है: 4 और 6 से 12, और फिर 12 तथा 10 से 60

60

जवाब। हर छोटा किया हुआ हर इसे बराबर बाँट देता है, और इससे छोटी कोई नहीं — यही इसे सिर्फ़ कोई साझा हर नहीं, सबसे छोटा हर बनाता है

n × (60 ÷ d)

हर भिन्न को कैसे दोबारा लिखा जाता है: अंश को जवाब भागे उस भिन्न के अपने हर से, उससे गुणा कीजिए। 3/4 के लिए यह 3 × 15 = 45 है, इसलिए 3/4, 45/60 बन जाता है। भिन्न का मान नहीं बदलता — अंश और हर, दोनों को एक ही संख्या से गुणा किया जाता है, और तुल्य भिन्न का मतलब यही है

45/60, 50/60, 42/60

दोबारा लिखे हुए भिन्न, सब एक ही साझा हर पर। इनपुट में पड़ी पूर्ण संख्या यहाँ वापस छोटा करके नहीं, हर लगाकर दिखती है: जवाब 2 होने पर 2 यहाँ 4/2 बनकर आता है, क्योंकि इस कॉलम में नंगी पूर्ण संख्या के रूप में छपी कोई पंक्ति ऐसी पढ़ी जाती जिसे छोड़ दिया गया हो

अलग-अलग हरों वाली भिन्नों को जोड़ना यहीं से शुरू होता है: 3/4 और 5/6 तब तक नहीं जुड़ सकते जब तक दोनों 12 के ऊपर न आ जाएँ, और साझा हर हल की पहली पंक्ति है। भिन्नों की तुलना भी यही क़दम है — देखकर यह नहीं बताया जा सकता कि 5/6, 7/10 से बड़ा है या नहीं, पर 50/60 सामने 42/60 रखने पर वह तुरंत तय हो जाता है, और हर एक जैसे होने का मतलब है कि अब सिर्फ़ अंश पढ़ने हैं। घटाने की शर्त भी वही है। अंकगणित की कक्षा से बाहर, जब भी राशियाँ अलग-अलग भिन्नात्मक इकाइयों में दर्ज हों, यही साझा हर उन्हें जोड़ पाने देता है। नीचे की तालिका हाथ से करने का तरीक़ा है: हर छोटे किए हुए हर के गुणज, और वह पहली संख्या जो हर कॉलम में दिखे। दो छोटे रास्ते ज़्यादातर काम बचा देते हैं, और दोनों अक्सर आते हैं: जो हर किसी दूसरे हर का गुणज हो उसे छोड़ा जा सकता है, और जिन हरों में कोई अभाज्य साझा ही न हो — जैसे 6 और 5 — उनका गुणनफल सीधे जवाब दे देता है। जब भिन्न न्यूनतम रूप में न हो तो छोटा करना वैकल्पिक नहीं है, और उसे आख़िर में नहीं, सबसे पहले कर लेना बेहतर है, क्योंकि यही अकेला क़दम है जिसके छूटने पर ऐसा जवाब बनता है जो पूरी तरह मानने लायक दिखता है।

1. तीन भिन्न: 3/4, 5/6 और 7/10

   1. तीनों पहले से न्यूनतम रूप में हैं, इसलिए जोड़ने वाले हर 4, 6 और 10 हैं
   2. 4 के गुणज: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60
   3. 6 के गुणज: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
   4. 10 के गुणज: 10, 20, 30, 40, 50, 60
   5. तीनों सूचियों में सबसे पहले आने वाली संख्या 60 है, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य हर 60 है
   6. 3/4, 45/60 बनता है क्योंकि 60 ÷ 4 = 15 और 3 × 15 = 45
   7. 5/6, 50/60 बनता है क्योंकि 60 ÷ 6 = 10 और 5 × 10 = 50
   8. 7/10, 42/60 बनता है क्योंकि 60 ÷ 10 = 6 और 7 × 6 = 42

   यही डिफ़ॉल्ट है। पिरोने वाला रास्ता इन सूचियों से छोटा है: 4 और 6 से 12, और 12 तथा 10 से 60। दोबारा लिखा हुआ कॉलम काम की जाँच है, क्योंकि तीनों नए भिन्नों को उसी के बराबर होना है जिसकी उन्होंने जगह ली — 45/60 वही 3/4 है, 50/60 वही 5/6 और 42/60 वही 7/10, और अगर इनमें से कोई भी न होता, तो गुणक भिन्न के सिर्फ़ एक हिस्से पर लगाया गया था।

2. भिन्न पहले छोटे क्यों किए जाते हैं: 6/8 और 10/12

   1. 6/8 और 10/12 न्यूनतम रूप में नहीं हैं
   2. 6/8 के दोनों हिस्सों को 2 से भाग दीजिए: वह 3/4 बनता है, हर 4
   3. 10/12 के दोनों हिस्सों को 2 से भाग दीजिए: वह 5/6 बनता है, हर 6
   4. 4 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य 12 है, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य हर 12 है
   5. 3/4, 9/12 बनता है और 5/6, 10/12 बनता है
   6. बिना छोटा किए हर पढ़ने पर 8 और 12 मिलते, और उनका लघुत्तम समापवर्त्य 24 होता

   यही वह जवाब है जिसे ठीक निकालने के लिए यह पेज बना है। 24 कोई ग़लत साझा हर नहीं है — 6/8 और 10/12 सचमुच 24 के ऊपर लिखे जा सकते हैं — वह बस सबसे छोटा नहीं है, और 24 दिखाने वाला पैनल बिलकुल सामान्य लगता। पहले छोटा करना ही इन दोनों को अलग करता है, और इसीलिए यह फ़ील्ड हर भिन्न का हर पढ़ने से पहले उसे न्यूनतम रूप में ले आता है।

3. भिन्नों के बीच एक पूर्ण संख्या: 1/2, 2 और 3

   1. 2 और 3, 2/1 और 3/1 पढ़े जाते हैं, हर 1 के साथ
   2. जोड़ने वाले हर 2, 1 और 1 हैं
   3. हर पूर्ण संख्या 1 का गुणज है, इसलिए 1 जवाब में कुछ नहीं जोड़ता
   4. 2, 1 और 1 का लघुत्तम समापवर्त्य 2 है
   5. 1/2 जैसा है वैसा रहता है, जबकि 2, 4/2 बनता है और 3, 6/2

   ये 4/2 और 6/2 जान-बूझकर हैं, छोटा करने में नाकामी नहीं। पेज का नाम ही «साझा हर के साथ भिन्न» है और उसकी हर पंक्ति को वह हर लेकर चलना है, वरना नंगा 2 छपा हुआ कोई ख़ाना ऐसा पढ़ा जाता जिसे छेड़ा ही नहीं गया। मान दोनों तरह से वही रहता है — 4/2 यानी 2 — और यह इस पेज की अकेली जगह है जहाँ कोई नतीजा जान-बूझकर बिना छोटा किए दिखता है।

4. छत के क़रीब: 1/1000 और 2/999983

   1. 1000 = 2³ × 5³ है और 999983 अभाज्य है, इसलिए दोनों हरों में कुछ भी साझा नहीं है
   2. कुछ साझा न होने पर लघुत्तम समापवर्त्य गुणनफल होता है: 1000 × 999983 = 999983000
   3. 1/1000, 999983/999983000 बनता है क्योंकि 999983000 ÷ 1000 = 999983
   4. 2/999983, 2000/999983000 बनता है क्योंकि 999983000 ÷ 999983 = 1000 और 2 × 1000 = 2000

   जिन दो हरों में कोई अभाज्य साझा न हो, वही वह मामला है जहाँ किसी जोड़ी के लिए जवाब जितना बड़ा हो सकता है उतना बड़ा हो जाता है, और यह उदाहरण ठीक उस छत के नीचे बैठा है जहाँ पेज रुक जाता है। यहाँ अंश ठीक-ठीक रहते हैं — 999983 छह अंकों का मान है और फिर भी उस दायरे के भीतर बैठता है जिसे मशीन ठीक-ठीक रखती है — पर इससे बड़े अंश वाला कोई भी भिन्न गुणनफल को उससे आगे धकेल देगा, और इसीलिए एक निश्चित हर के बाद यह पेज गोल किया हुआ दोबारा-लेखन छापने के बजाय मना कर देता है।

हर भिन्न अंश/हर के रूप में लिखा जाता है जिसके दोनों हिस्से 1 से 1000000 तक की पूर्ण संख्याएँ हैं, और उनकी गिनती दो से दस के बीच होनी चाहिए। दशमलव बदलने के बजाय ठुकरा दिए जाते हैं: 0.75 कोई भिन्न के रूप में लिखा हुआ भिन्न नहीं है, और उसे 3/4 बनाना यह अनुमान लगाना होगा कि लिखने वाले का मतलब क्या था। ऋण चिह्न सिर्फ़ अंश के आगे स्वीकार किया जाता है — 3/-4 ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि भिन्न का चिह्न एक ही जगह रहता है और यह पेज आपके लिए वह जगह नहीं चुनेगा। शून्य हर भी ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि शून्य हिस्सों में कुछ बाँटा नहीं जा सकता। यहाँ एक छत है और वह इनपुट पर नहीं, जवाब पर है: लघुत्तम समापवर्त्य हर को 1000000000 पर या उससे नीचे रहना है, और उसके पार पेज दोबारा लिखे भिन्न छापने के बजाय मना कर देता है। वजह यह है कि हर दोबारा लिखा हुआ अंश, मूल अंश को जवाब भागे उसका अपना हर, उससे गुणा करके बनता है — इसलिए बड़ा साझा हर गुणा बड़े अंश से ठीक-ठीक रहना बंद हो जाता है, और एक अनिश्चित दोबारा-लेखन किसी भी और पंक्ति जैसा दिखेगा। दो भिन्न कम से कम चाहिए, क्योंकि अकेले भिन्न के पास साझा करने को हर ही नहीं होता। सूची में दोहराया गया भिन्न कुछ नहीं बदलता, और जो हर किसी दूसरे का गुणज है वह बस फ़ालतू है। नीचे की संदर्भ तालिका 1/2, 2/3 और 3/4 पर स्थिर है और आपके इनपुट का पीछा नहीं करती; ऊपर का पैनल आपके भिन्नों का जवाब देता है, तालिका तरीक़ा और वे तीन दोबारा लिखी पंक्तियाँ दिखाती है। जवाब ठीक-ठीक होता है, कभी गोल नहीं।

सामान्य हर और लघुत्तम समापवर्त्य हर में क्या फ़र्क़ है?

जो भी संख्या हर हर में बँट जाए वह सामान्य हर है; उनमें सबसे छोटी वाली लघुत्तम है। 4, 6 और 10 के लिए 60 और 120 दोनों सामान्य हर हैं, और 60 सबसे छोटा है। हाथ से सिर्फ़ सबसे छोटा वाला निकालना काम का है, क्योंकि बड़ा हर हर दोबारा लिखे भिन्न में बड़ी संख्याएँ लाता है, और बड़ी संख्याओं में ही अंकगणित की ग़लतियाँ होती हैं। पेज हमेशा सबसे छोटा वाला ही लौटाता है।

हर पढ़ने से पहले भिन्न छोटे क्यों किए जाते हैं?

क्योंकि एक ही संख्या वाले दो भिन्नों के हर अलग-अलग हो सकते हैं। 6/8 और 3/4 बराबर हैं, पर 8 से साझा हर बनाने पर 24 मिलता है जबकि सही जवाब 12 है। ग़लत जवाब साफ़ ग़लत नहीं दिखता — 24 उन भिन्नों का असली साझा हर है — इसलिए पेज पहले हर भिन्न को न्यूनतम रूप में ले आता है, और ऊपर का उदाहरण इसी मामले को पकड़ता है।

लघुत्तम समापवर्त्य हर का लघुत्तम समापवर्त्य से क्या रिश्ता है?

दोनों एक ही गणना हैं, बस इनपुट अलग। छोटे किए हुए भिन्नों के हर लीजिए और उनका लघुत्तम समापवर्त्य निकालिए; वही लघुत्तम समापवर्त्य हर है। इसीलिए यहाँ के दोनों पेज सहमत होते हैं: 4, 6 और 10 का लघुत्तम समापवर्त्य 60 है, और उन हरों वाले भिन्न-समूह का लघुत्तम समापवर्त्य हर भी 60 है। अंशों का जवाब में कोई दख़ल नहीं है।

पूर्ण संख्या वापस हर लगाकर क्यों आती है?

क्योंकि इनपुट में पड़ी पूर्ण संख्या 1 के ऊपर की भिन्न पढ़ी जाती है, और इस पेज का नतीजा वाला कॉलम «सामान्य हर के साथ भिन्न» है — उसकी हर पंक्ति को वह हर लेकर चलना है। जवाब 2 होने पर 2, 4/2 बन जाता है, जो वही मान है, साझा हर के ऊपर लिखा हुआ, छोटा करने की कोई ग़लती नहीं। यह इस पेज की अकेली जगह है जहाँ कोई नतीजा जान-बूझकर बिना छोटा किए दिखता है।

सबसे छोटा मुमकिन जवाब क्या हो सकता है?

सबसे बड़ा छोटा किया हुआ हर, और वह तब जब बाक़ी सारे हर उसमें बँट जाएँ। 1/2, 1/4 और 3/4 के लिए जवाब 4 है, क्योंकि 2, 4 को बाँट देता है और 4 ख़ुद 4 है। यह सबसे बड़े हर से छोटा नहीं हो सकता, क्योंकि जवाब को उन सबका गुणज होना है, और किसी संख्या का गुणज उस संख्या से कभी छोटा नहीं होता।

क्या अंश जवाब बदल सकते हैं?

नहीं। लघुत्तम समापवर्त्य हर सिर्फ़ हरों से निकाला जाता है, और 1/4 तथा 3/4 का हर एक ही है। अंश दोबारा लिखे भिन्नों में ज़रूर दिखते हैं, जहाँ हर एक को जवाब भागे उसका अपना हर, उससे गुणा किया जाता है — इसलिए वे यह बदलते हैं कि पंक्तियाँ क्या कहती हैं, पर यह कभी नहीं कि हर पूरा कितने हिस्सों में कटा है।

• Least common denominator — the definition, and the rule that it is the least common multiple of the denominators — Wolfram MathWorld (United States)
• Denominator — the number below the line in a fraction, which is the part a common denominator has to agree on — Wolfram MathWorld (United States)
• Fraction — numerator and denominator, and the rule that multiplying both parts by the same number leaves the value unchanged, which is what makes the rewrite valid — Wolfram MathWorld (United States)