भिन्न घटाव कैलकुलेटर

a/b − c/d = (a × (L ÷ b) − c × (L ÷ d)) ÷ L जहाँ L = lcm(b, d), यानी दोनों हरों का लघुत्तम समापवर्त्य और फिर अंतर को छोटा कीजिए

पहली भिन्न का अंश

जिस भिन्न में से घटाया जा रहा है उसका ऊपरी हिस्सा: 3/4 में 3। इसे उतनी बार गुणा किया जाता है जितनी बार उसका अपना हर सामान्य हर में समाता है — डिफ़ॉल्ट हालत में 3 बार, जिससे 3/4 से 9/12 बनता है। यह ऋणात्मक भी हो सकता है, और ऋण चिह्न इसके साथ चलता है।

पहली भिन्न का हर

पहली भिन्न का निचला हिस्सा: 3/4 में 4। यह धनात्मक होना चाहिए, और यही उन दो संख्याओं में से एक है जिनका लघुत्तम समापवर्त्य सामान्य हर बनता है। पैनल पर यह वैसा ही रहता है जैसा भरा गया था, ताकि दोबारा लिखा हुआ रूप इससे मिलाया जा सके।

दूसरी भिन्न का अंश

जिस भिन्न को घटाया जा रहा है उसका ऊपरी हिस्सा: 1/6 में 1। इसका गुणक पहले वाले से अलग है — डिफ़ॉल्ट हालत में 2, जिससे 2/12 बनता है — और यही असमानता दोनों बदले हुए आँकड़े दिखाते हैं।

दूसरी भिन्न का हर

दूसरी भिन्न का निचला हिस्सा: 1/6 में 6। पहले हर के साथ मिलकर यह सामान्य हर को 12 पर तय करता है। यह भी उसी वजह से धनात्मक होना चाहिए जिस वजह से पहला होना चाहिए था।

सामान्य हर (L)

दोनों हरों का लघुत्तम समापवर्त्य: 4 और 6 के लिए 12, और सह-अभाज्य जोड़ी 7 और 11 के लिए 77, जहाँ वह सीधे गुणनफल ही निकलता है। इसे एक हर को दोनों के महत्तम समापवर्तक से बाँटकर दूसरे से गुणा करके निकाला जाता है, जो वही संख्या है पर उस रास्ते से जहाँ संख्या बहुत बड़ी नहीं होती। इसे अपनी अलग पंक्ति पर इसलिए छापा जाता है क्योंकि पूरा तरीक़ा इसी संख्या पर टिका है, और ज़रूरत से बड़ा सामान्य हर इस क्रिया में सबसे आम चूक है।

बदली हुई भिन्नें

दोनों भिन्नें, सामान्य हर पर दोबारा लिखी हुई: डिफ़ॉल्ट हालत में 9/12 और 2/12। इन्हें छोटा करने के बजाय बदले हुए रूप में छापा जाता है, क्योंकि छोटा करने से वह गुणक छिप जाता जिसने काम किया था। घटाव इन्हीं दो अंशों के बीच होता है।

अंतर

दोनों बदले हुए अंशों को घटाने के बाद जो बचता है: 9 − 2 = 7, हर के ऊपर 12। यह सरलतम रूप में छपता है, इसलिए यह उससे अलग हो सकता है जो बदले हुए अंशों की घटाई से मिला था — 5/6 में से 1/3 से 3/6 बचता है, जो 1/2 छपता है — और जब दोनों भिन्नें बराबर हों तो यह सिर्फ़ 0 रह जाता है।

पहला इस्तेमाल यह अभ्यास ख़ुद है, जो हर अलग होते ही सिखाया जाता है, और पैनल किताब वाले तरीक़े के इर्द-गिर्द सजा है: सामान्य हर निकालिए, बदलिए, घटाइए, छोटा कीजिए। दूसरा, हाथ से किए हुए हिसाब की जाँच, जहाँ बदले हुए दो आँकड़े काम के हैं — अगर आपके आँकड़े ये नहीं हैं, तो उनके बाद का सब कुछ भी अलग होगा। तीसरा, वह हरों की जोड़ी जिनमें कोई साझा गुणनखंड हो, जैसे 4 और 6, जहाँ सामान्य हर गुणनफल से छोटा रहता है और पैनल वह बचत दिखा देता है। चौथा, 7 और 11 जैसी सह-अभाज्य हरों की जोड़ी, यानी दूसरा सिरा: यहाँ कुछ भी साझा नहीं है, सामान्य हर गुणनफल ही है, और जवाब अक्सर पहले से सरलतम रूप में आ जाता है। पाँचवाँ, दो बराबर भिन्नें, जहाँ अंतर शून्य है और पैनल उसे सिर्फ़ 0 लिखता है — इस पेज का वह इकलौता आँकड़ा जो भिन्न नहीं है। यह न जोड़ता है, न गुणा करता है, न भाग देता है, और मिश्रित संख्याएँ नहीं लेता; वे तीन और पेज हैं।

1. 3/4 − 1/6

   1. सामान्य हर निकालिए: 4 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य 24 नहीं, 12 है, क्योंकि दोनों 12 को बाँटते हैं और 4 × 6 ने उनका साझा गुणनखंड 2 दो बार गिन लिया है
   2. पहली भिन्न बदलिए: 12 ÷ 4 = 3, इसलिए 3/4 से (3 × 3)/(4 × 3) = 9/12 बनता है
   3. दूसरी भिन्न बदलिए: 12 ÷ 6 = 2, इसलिए 1/6 से (1 × 2)/(6 × 2) = 2/12 बनता है
   4. सामान्य हर के ऊपर अंश घटाइए: 9 − 2 = 7, यानी 7/12
   5. 7 और 12 में कुछ भी साझा नहीं है, इसलिए 7/12 पहले से सरलतम रूप में है

   यह डिफ़ॉल्ट हालत है, और यही दिखाती है कि सामान्य हर सिर्फ़ गुणनफल क्यों नहीं होता: 4 और 6, दोनों 12 को बाँटते हैं, और 12 वह सबसे छोटी संख्या है जिसे दोनों बाँटते हैं, इसलिए बारहवें हिस्से काफ़ी हैं और चौबीसवें लेने का मतलब होता दुगना काम। बदले हुए दो आँकड़े इसके सबूत हैं — 9/12 और 2/12 के हर एक जैसे हैं, और यही चीज़ घटाव को जायज़ बनाती है। ध्यान दीजिए कि बदली हुई संख्याएँ जैसी बदली गईं वैसी ही छपती हैं, छोटी करके नहीं: 2/12 को 1/6 भी लिखा जा सकता था, पर तब वह गुणक ग़ायब हो जाता जिसने इसे बनाया, और गुणक ही वह चरण है जो दिखाया जा रहा है।

2. 5/6 − 1/3

   1. सामान्य हर निकालिए: 3, 6 को बाँट देता है, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य 6 है
   2. पहली भिन्न को बदलने की ज़रूरत नहीं: 6 ÷ 6 = 1, इसलिए वह 5/6 ही रहती है
   3. दूसरी बदलिए: 6 ÷ 3 = 2, इसलिए 1/3 से 2/6 बनता है
   4. घटाइए: 6 के ऊपर 5 − 2 = 3, यानी 3/6
   5. छोटा कीजिए: 3 और 6 का महत्तम समापवर्तक 3 है, इसलिए 3/6 = 1/2

   यह वह हालत है जो दिखाती है कि सामान्य हर मिलने से काम ख़त्म नहीं होता। बदले हुए अंशों का अंतर 3/6 है, और 3/6 जवाब नहीं है — जवाब 1/2 है, क्योंकि 3 और 6 में अब भी साझा गुणनखंड है। जो तरीक़ा सामान्य हर पर रुक जाता है वह यहाँ 3/6 छापता है और ऐसी ग़लती करता है जो पेज को दिखती नहीं, इसीलिए यह पंक्ति न सिर्फ़ हल किए उदाहरणों में है बल्कि तालिका में भी है। यह भी देखिए कि बदले हुए दो आँकड़ों में से एक जैसा था वैसा ही रहा: जब एक हर दूसरे को बाँट देता है, तब सिर्फ़ एक भिन्न दोबारा लिखनी पड़ती है, और जो आँकड़ा जैसा आया था वैसा ही लौटता है, वही इसका ईमानदार रिकॉर्ड है।

3. 1/7 − 1/11

   1. सामान्य हर निकालिए: 7 और 11 में कोई साझा गुणनखंड नहीं है, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य उनका गुणनफल 77 है
   2. पहली भिन्न बदलिए: 77 ÷ 7 = 11, इसलिए 1/7 से 11/77 बनता है
   3. दूसरी बदलिए: 77 ÷ 11 = 7, इसलिए 1/11 से 7/77 बनता है
   4. घटाइए: 77 के ऊपर 11 − 7 = 4, यानी 4/77
   5. 4, 7 और 11 में कोई साझा गुणनखंड नहीं है, इसलिए 4/77 पहले से सरलतम रूप में है

   सामान्य हर का दूसरा सिरा: दो हर जिनमें कुछ भी साझा नहीं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य सचमुच गुणनफल ही है और दोनों भिन्नें दोबारा लिखनी पड़ती हैं। यही वह हालत है जिसमें जो लोग लघुत्तम समापवर्त्य छोड़कर हमेशा हरों को गुणा करते हैं, उन्हें भी वही जवाब मिल जाता है — और इसे फिर भी दिखाने लायक़ बात यह है कि पिछला उदाहरण, 4 और 6, वही है जिसमें वे चूकते हैं। ध्यान दीजिए कि जवाब 4/77 है, कोई और छोटा किया हुआ रूप नहीं: सह-अभाज्य हर छोटा किए हुए जवाब की गारंटी नहीं देते, सिर्फ़ उसकी संभावना बढ़ाते हैं, और छोटा करना हर हाल में नतीजे पर ही होता है।

4. 5/8 − 3/4

   1. सामान्य हर निकालिए: 4, 8 को बाँट देता है, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य 8 है
   2. पहली भिन्न जैसी है वैसी रहती है: 8 ÷ 8 = 1, यानी 5/8
   3. दूसरी बदलिए: 8 ÷ 4 = 2, इसलिए 3/4 से 6/8 बनता है
   4. घटाइए: 8 के ऊपर 5 − 6 = -1, यानी -1/8

   दोनों भिन्नें धनात्मक हैं और जवाब नहीं है: छोटी भिन्न में से बड़ी घटाने पर नतीजा शून्य से नीचे चला जाता है, और पैनल इनकार करने के बजाय ऋण चिह्न लगाकर यह बता देता है। सामान्य हर 8 है और बदले हुए दो आँकड़े 5/8 और 6/8 हैं, और घटाव करने से पहले ही इनसे नतीजा साफ़ हो जाता है — दूसरा अंश बड़ा है। चिह्न अंश पर रहता है और कहीं नहीं: जवाब -1/8 है, 1/-8 नहीं, और पैनल की हर पंक्ति पर हर धनात्मक बना रहता है।

5. 1/2 − 1/2

   1. हर बराबर हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य वही हर 2 है
   2. किसी भी भिन्न को बदलने की ज़रूरत नहीं: दोनों पहले से 2 के ऊपर लिखी हैं
   3. घटाइए: 2 के ऊपर 1 − 1 = 0, यानी 0/2
   4. छोटा कीजिए: 0 और 2 का महत्तम समापवर्तक 2 है, इसलिए 0/2 से 0/1 बनता है, जिसे सिर्फ़ 0 लिखा जाता है

   यह वह हालत है जहाँ जवाब भिन्न है ही नहीं। बराबर भिन्नों का अंतर शून्य होता है, और शून्य घटकर 0/1 बनता है, जिसे भिन्न का रूप बिना हर के लिखता है — इसलिए मुख्य आँकड़ा सिर्फ़ 0 है, जबकि सामान्य हर की पंक्ति अब भी 2 कहती है और दोनों बदले हुए आँकड़े अब भी 1/2 कहते हैं। बात यही है: दोनों इनपुट सचमुच भिन्न थे और तरीक़ा सचमुच चला, सिर्फ़ नतीजा सिकुड़ गया। यह वही इकलौती जगह है जहाँ पैनल जोड़ने वाले पेज पर किए उसी घटाव से अलग दिखता है, जहाँ जोड़ सिर्फ़ पूरी संख्या पर पहुँचकर ही सिकुड़ता है।

दोनों हर धनात्मक होने चाहिए, क्योंकि भिन्न अपना चिह्न अंश पर रखती है — और बदले हुए आँकड़े इसी पर टिके हैं, क्योंकि हर अंश को पूरी संख्या जितनी बार गुणा किया जाता है और चिह्न को एक ही जगह रहना होता है। अंश ऋणात्मक हो सकते हैं, और दोनों इनपुट धनात्मक होने पर भी अंतर ऋणात्मक निकल सकता है: 5/8 − 3/4 यानी -1/8, जो सही जवाब है, कोई ग़लती नहीं। संख्याओं के आकार पर बंदिश है। हर की ऊपरी सीमा 1,00,000 है, और अंश की क़रीब 4.5 × 10¹⁰, यानी वह सबसे बड़ा मान जिस तक दोनों बदले हुए अंश ऐसे पूर्णांक बनते हैं जिन्हें ठीक-ठीक लिखा जा सके। उससे आगे घटाव चुपचाप अनुमानित हो जाता, इसलिए पेज सही दिखने वाला आँकड़ा छापने के बजाय एंट्री मना कर देता है। चारों खानों में सिर्फ़ पूर्ण संख्याएँ चलती हैं — दशमलव अंश नामंज़ूर होता है, और पेज आपको दशमलव-से-भिन्न वाले पेज की तरफ़ भेज देता है। अंश में शून्य चलता है: वह बाक़ी सब की तरह सामान्य हर के ऊपर 0 बन जाता है। यह पेज दो भिन्नें घटाता है और बस: न जोड़ता है, न गुणा करता है, न भाग देता है, और मिश्रित संख्या को पूर्ण भाग के साथ लिखी भिन्न के रूप में नहीं लेता — उसे पहले विषम भिन्न में बदलना पड़ता है, और वही मिश्रित संख्या वाले पेज का काम है। यहाँ के बीच के आँकड़े भिन्न कैलकुलेटर और मिश्रित संख्या वाले पेज से जान-बूझकर अलग हैं: वे दोनों हरों को सीधे आमने-सामने गुणा करके गुणनफल छापते हैं और फिर छोटा करते हैं, जबकि यह पेज लघुत्तम समापवर्त्य निकालकर दोनों बदली हुई भिन्नें छापता है। इसलिए वही घटाव यहाँ 9/12 और 2/12 दिखाता है और वहाँ कोई दूसरी बीच की जोड़ी, और दोनों जगह जवाब एक ही आता है। आख़िर में, जवाब हमेशा छोटा किया जाता है पर बदले हुए आँकड़े नहीं — कोई बदली हुई भिन्न 6/8 जैसी छप सकती है, और वह छूटा हुआ छोटा करना नहीं, बल्कि बदलाव का रिकॉर्ड है।

अलग हर वाली भिन्नें कैसे घटाएँ?

दोनों भिन्नों को एक सामान्य हर पर दोबारा लिखिए, फिर अंश घटाइए और वही हर बनाए रखिए — घटाने का पूरा सूत्र यही है। 3/4 में से 1/6 घटाने पर 9/12 में से 2/12 बनता है, यानी 7/12। दोनों हरों को गुणा करने पर भी हमेशा एक चलने लायक़ सामान्य हर मिलता है, और लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर उससे छोटा मिलता है।

3/4 और 1/6 का सामान्य हर 24 नहीं, 12 क्यों है?

क्योंकि 12 वह सबसे छोटी संख्या है जिसे 4 और 6, दोनों बाँटते हैं। 4 को 6 से गुणा करने पर वह 2 का गुणनखंड, जो दोनों हरों में साझा है, दो बार गिन लिया जाता है, और इससे हिसाब की हर संख्या दुगनी हो जाती है। चौबीसवें हिस्से भी उसी जवाब तक पहुँचते, पर दुगने हिसाब से — पैनल छोटा वाला दिखाता है ताकि गुणक छोटे रहें।

सामान्य हर निकालने के बाद भी छोटा करना पड़ता है?

हाँ। सामान्य हर घटाव को मुमकिन बनाता है, नतीजे को सरल नहीं कर देता। 5/6 में से 1/3 यानी 5/6 में से 2/6, जो 3/6 है, और 3/6 यानी 1/2। पेज अंतर को छोटा कर देता है और बदले हुए दोनों आँकड़ों को जैसे बदले गए थे वैसे ही छोड़ देता है, ताकि दोनों बातें दिखती रहें।

क्या जवाब ऋणात्मक हो सकता है?

हाँ। 5/8 में से 3/4 यानी 5/8 में से 6/8, जो -1/8 है: छोटी भिन्न में से बड़ी घटाने पर नतीजा शून्य से नीचे चला जाता है, और वह सही जवाब है, कोई ग़लती नहीं। चिह्न अंश पर बैठता है, इसलिए जवाब -1/8 लिखा जाता है और ऋणात्मक हर वाली भिन्न के रूप में कभी नहीं।

जब दोनों भिन्नें बराबर हों तो क्या होता है?

अंतर शून्य हो जाता है। 1/2 में से 1/2 पहले 1/2 में से 1/2 ही बनता है, अंश घटकर 0 रह जाते हैं, और 2 के ऊपर 0 घटकर 1 के ऊपर 0 बनता है — जिसे बिना हर के सिर्फ़ 0 लिखा जाता है। सामान्य हर की पंक्ति अब भी 2 पढ़ती है, क्योंकि तरीक़ा सचमुच चला था।

क्या यहाँ मिश्रित संख्याएँ घटा सकते हैं?

नहीं। यह पेज चार पूर्ण संख्याएँ लेता है जिनसे दो भिन्नें बनती हैं, इसलिए 4 1/2 जैसी मिश्रित संख्या को भरने से पहले विषम भिन्न — 9/2 — में बदलना पड़ता है, और वह बदलाव मिश्रित संख्या से विषम भिन्न वाला पेज करता है। जोड़ना, गुणा करना और भाग देना भी तीन और पेज हैं।

• Fraction — the quotient of two integers written with a numerator and a denominator, and the arithmetic of subtracting two of them — Wolfram MathWorld (United States)
• Least Common Multiple — the smallest positive integer divisible by two given integers, which is the common denominator this page converts both fractions to — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest integer dividing two given integers, used here both to find the least common multiple and to reduce the difference — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — the lowest terms of a fraction, which is the form the difference is printed in and not the form the converted readings are printed in — Wolfram MathWorld (United States)
• Relatively Prime — two integers with no common factor greater than one, the case in which the common denominator is the plain product of the two denominators — Wolfram MathWorld (United States)