मिश्रित संख्या कैलकुलेटर

विषम भिन्न का अंश = |पूर्ण भाग| × हर + अंश और फिर: a/b + c/d = (a×d + c×b) / (b×d) b/d × c/f = (b×c) / (d×f)

मिश्रित संख्या का पूर्ण भाग

भिन्न के आगे की पूर्ण संख्या, दोनों मिश्रित संख्याओं में से किसी में भी: 2 1/4 में 2, या 1 1/2 में 1। यह ऋणात्मक हो सकता है, और जब होता है तो ऋण चिह्न पूरी मिश्रित संख्या का होता है — -1 1/2 यानी माइनस सवा एक, न कि माइनस आधा। चिह्न इसी हिस्से पर रहता है।

अंश

भिन्न का ऊपरी हिस्सा, दोनों मिश्रित संख्याओं में से किसी में भी: 2 1/4 में 1। यह शून्य या उससे ज़्यादा होना चाहिए: यहाँ ऋण चिह्न मिश्रित संख्या को दोअर्थी बना देगा, इसलिए पेज आपके लिए कोई एक पढ़त चुनने के बजाय उसे मना कर देता है।

हर

भिन्न का निचला हिस्सा, दोनों मिश्रित संख्याओं में से किसी में भी: 2 1/4 में 4। यह धनात्मक होना चाहिए, उसी वजह से जिस वजह से भिन्न का हर हमेशा धनात्मक होता है — चिह्न अंश पर रहता है, और उसके रहने की जगह एक ही है।

क्रिया

जोड़, घटाव, गुणा या भाग। चारों एक ही अंश-हर बदलाव से गुज़रती हैं, इसलिए यह चुनाव सिर्फ़ यह तय करता है कि आख़िर में अंश और हर का कौन-सा जोड़ा बनता है।

मिश्रित संख्या

मुख्य पढ़त: नतीजा एक पूर्ण संख्या और एक भिन्न के रूप में लिखा हुआ। 15/4 को 3 3/4 छापा जाता है। जब नतीजा पूर्ण संख्या हो तो भिन्न पूरी तरह ग़ायब हो जाती है, और जब वह एक से कम हो तो पूर्ण भाग ग़ायब हो जाता है — 3/4 के आगे कोई 0 नहीं लगता।

विषम भिन्न

वही नतीजा सरलतम रूप में एक अकेली भिन्न के रूप में, 15/4। यह ठीक-ठीक है, और यही वह शक्ल है जिसमें मिश्रित संख्या को बदलना पड़ता है ताकि उसे किसी और चीज़ में जोड़ा, उससे घटाया, गुणा या भाग दिया जा सके।

छोटा करने से पहले

कुछ भी काटने से पहले का हिसाब का नतीजा: डिफ़ॉल्ट हालत में 30/8। यह इसलिए रखा गया है कि काम दिख जाए — 30/8 और 15/4 एक ही संख्या हैं, और दूसरी पंक्ति वही संख्या है जब वह सरलतम रूप में हो।

पहला इस्तेमाल होमवर्क है, और दूसरी पंक्ति इसी वजह से है: मिश्रित संख्याओं पर कोई क्रिया करने से पहले उन्हें बदलना पड़ता है, इसलिए जो सवाल मिश्रित रूप में पूछा गया हो उसका जवाब विषम रूप से होकर आता है, और दोनों छपते हैं। दूसरा, पहले से किए हुए काम की जाँच — दोनों मिश्रित संख्याएँ भरिए और तीसरी पंक्ति की तुलना अपने लिखे से कीजिए, और पता चल जाएगा कि काटने से पहले का हिसाब सही था या नहीं। तीसरा, शून्य के पार घटाना: 1 1/2 में से 4 घटाने पर -2 1/2 मिलता है, और चिह्न का नियम ठीक ऐसी ही हालतों में सबसे ज़्यादा मायने रखता है। चौथा, ऐसा भाग जो पूरा-पूरा निकले — 2 1/2 बटा 1 1/4 यानी 2, और जवाब में भिन्न रहती ही नहीं, जिसे एक बार देख लेना काम का है। पाँचवाँ, कोई भी पकाने की विधि या नाप जो मिश्रित रूप में आए और जिसे दुगुना, आधा या किसी और अनुपात में करना हो: 2 1/4 को दुगुना करना यानी 2 0/1 से गुणा करना, और चौथा खाना उसे ले लेता है।

1. 2 1/4 + 1 1/2

   1. विषम रूप में: 2 1/4 यानी 2 × 4 + 1 = 9, तो 9/4; और 1 1/2 यानी 1 × 2 + 1 = 3, तो 3/2
   2. आमने-सामने जोड़िए: (9 × 2 + 3 × 4) ÷ (4 × 2) = (18 + 12) ÷ 8 = 30/8
   3. छोटा कीजिए: 30/8 दो से बँटता है, 15/4 मिलता है
   4. वापस मिश्रित रूप में: 15 ÷ 4 यानी 3 शेष 3, तो 3 3/4

   यह डिफ़ॉल्ट हालत है, और यही दिखाती है कि एक के बजाय तीन पढ़तें क्यों छपती हैं: 30/8, 15/4 और 3 3/4 एक ही संख्या हैं, तीन अलग चरणों पर। पहला क़दम वही बदलाव है जिस पर यह पूरा पेज खड़ा है — पूर्ण संख्या को हर से गुणा कीजिए और अंश जोड़ दीजिए — और आख़िरी क़दम उसे उलट देता है, इसीलिए जवाब उसी रूप में लौटता है जिसमें सवाल पूछा गया था। चारों क़दम पढ़ते जाना ही जाँच भी है: अगर छोटा की हुई भिन्न और मिश्रित संख्या आपस में न मिलें, तो इनमें से एक ग़लत छपी है।

2. 3 1/2 − 1 3/4

   1. विषम रूप में: 3 1/2 यानी 3 × 2 + 1 = 7, तो 7/2; और 1 3/4 यानी 1 × 4 + 3 = 7, तो 7/4
   2. आमने-सामने घटाइए: (7 × 4 − 7 × 2) ÷ (2 × 4) = (28 − 14) ÷ 8 = 14/8
   3. छोटा कीजिए: 14/8 दो से बँटता है, 7/4 मिलता है
   4. वापस मिश्रित रूप में: 7 ÷ 4 यानी 1 शेष 3, तो 1 3/4

   घटाव, जिसमें पूर्ण संख्याएँ भी अलग-अलग घटाने के बजाय उसी बदलाव से होकर घटती हैं: 3 में से 1 घटाने पर 2 मिलता, और जवाब 1 3/4 है, क्योंकि भिन्न एक पूरा वापस ले लेती हैं। पहले पूर्ण संख्याओं पर घटाव कर देना वही ग़लती है जिसे पकड़ने के लिए यह आँकड़ा बना है, और छोटा किए हुए आँकड़े पर एक नज़र इसे दिखा देती है — 7/4 दो से कम है, इसलिए जवाब दो-से-कुछ नहीं हो सकता। ध्यान दीजिए कि यहाँ अंश धनात्मक निकलता है; जब वह ऋणात्मक निकले तो चिह्न पूरी मिश्रित संख्या के आगे लगता है।

3. 1 2/3 × 2 1/4

   1. विषम रूप में: 1 2/3 यानी 1 × 3 + 2 = 5, तो 5/3; और 2 1/4 यानी 2 × 4 + 1 = 9, तो 9/4
   2. आमने-सामने गुणा कीजिए: (5 × 9) ÷ (3 × 4) = 45/12
   3. छोटा कीजिए: 45/12 तीन से बँटता है, 15/4 मिलता है
   4. वापस मिश्रित रूप में: 15 ÷ 4 यानी 3 शेष 3, तो 3 3/4

   गुणा, यानी वह अकेली क्रिया जिसमें दोनों मिश्रित संख्याओं को किसी तरह कतार में लाने की ज़रूरत नहीं पड़ती: 45/12 और उसका छोटा किया हुआ रूप 15/4 एक ही संख्या हैं, और दोनों अंशों तथा हरों को सीधे आमने-सामने गुणा करके मिलते हैं। ध्यान दीजिए कि वही जवाब, 3 3/4, डिफ़ॉल्ट जोड़ वाली हालत से भी निकला था — अलग सवाल, वही नतीजा, जो इन दो उदाहरणों का संयोग है और इस बात की याद दिलाता है कि खानों को पढ़िए, जवाब को नहीं। यह भी देखिए कि तीसरी पंक्ति, 45/12, इस पेज की सबसे बड़ी संख्या है: दो भिन्नों का कच्चा गुणनफल अपने छोटे किए हुए रूप से हमेशा बड़ा होता है।

4. 2 1/2 ÷ 1 1/4

   1. विषम रूप में: 2 1/2 यानी 5/2, और 1 1/4 यानी 5/4
   2. दूसरी को उलटकर भाग दीजिए: (5 × 4) ÷ (2 × 5) = 20/10
   3. छोटा कीजिए: 20/10 यानी 2
   4. 2 का मिश्रित रूप सिर्फ़ 2 है — लिखने को कोई भिन्न बची ही नहीं

   ऐसा भाग जो पूरा-पूरा निकलता है, और यही वह हालत है जिसमें मिश्रित संख्या की लिखावट हार मान लेती है: 2 को 2 छापा जाता है, 2 0/1 नहीं, क्योंकि शून्य अंश की रेखा के ऊपर लिखने को कुछ होता ही नहीं। हिसाब ख़ुद बाक़ी हर जगह वाला ही बदलाव है, दूसरी भिन्न उलटी हुई — 20/10 घटकर 2 बनता है, और कच्ची पंक्ति इसीलिए है कि 20 और 10 कटने से पहले दिख जाएँ। यह भी वही शक्ल है जहाँ मिश्रित संख्या सचमुच ग़लत औज़ार है: जवाब कभी मिश्रित संख्या था ही नहीं।

5. -1 1/2 + 2 1/4

   1. विषम रूप में: -1 1/2 यानी −(1 × 2 + 1) = −3, तो −3/2; और 2 1/4 यानी 9/4
   2. आमने-सामने जोड़िए: (−3 × 4 + 9 × 2) ÷ (2 × 4) = (−12 + 18) ÷ 8 = 6/8
   3. छोटा कीजिए: 6/8 दो से बँटता है, 3/4 मिलता है
   4. नतीजा एक से कम है, इसलिए मिश्रित रूप सिर्फ़ भिन्न ही है

   चिह्न का नियम काम करता हुआ: ऋण चिह्न पूरी मिश्रित संख्या का है, इसलिए -1 1/2 बदलकर −3/2 बनता है, −1/2 नहीं। पहला क़दम यही दिखाता है, और हर से गुणा इसे ठोस बना देता है — पूर्ण भाग −1 × 2 देता है, न कि +1 × 2 और कहीं और पड़ा हुआ एक अकेला ऋण चिह्न। जवाब शून्य और एक के बीच है, इसलिए मिश्रित रूप सिकुड़कर सादी भिन्न रह जाता है और पहली दो पंक्तियाँ बिल्कुल मिलती हैं; तीसरी ही वह पंक्ति है जिसमें अब भी न कटा हुआ 6/8 बचा है।

किसी भी मिश्रित संख्या का अंश शून्य या उससे ज़्यादा होना चाहिए। वहाँ ऋण चिह्न दोअर्थी हो जाता — 1 -1/2 का मतलब एक घटा आधा भी हो सकता है और एक जमा ऋणात्मक आधा भी, और -1 -1/2 की कोई पढ़त ही नहीं बनती — इसलिए पेज उसे मना कर देता है और आपसे चिह्न पूर्ण संख्या पर रखने को कहता है, जहाँ उसका एक ही मतलब है। पूर्ण भाग ऋणात्मक हो सकता है, और ऋणात्मक मिश्रित संख्या इसी तरह लिखी जाती है। हर धनात्मक होने चाहिए, क्योंकि चिह्न अंश पर रहता है। दोनों मिश्रित संख्याओं के आकार पर बंदिश है: पूर्ण भाग और अंश, दोनों की ऊपरी सीमा 1,00,000 है, और जिस विषम अंश में मिश्रित संख्या बदलती है उसकी हद इस तरह तय है कि दोनों को आपस में गुणा किया जा सके और पूर्णांक गणित ठीक-ठीक बना रहे — करीब नौ करोड़ चालीस लाख से ऊपर का गुणनफल चुपचाप अनुमानित हो जाता, इसलिए पेज वह एंट्री मना कर देता है। शून्य से भाग देना मना है, और यहाँ शून्य का मतलब है कि दूसरी पूरी मिश्रित संख्या शून्य है, जिसमें 0 0/4 जैसी शक्लें भी शामिल हैं जो पहली नज़र में शून्य लगती ही नहीं। नतीजा किसी तय दशमलव स्थान तक नहीं दिखाया जाता, क्योंकि यहाँ दशमलव हैं ही नहीं: इस पेज की हर पढ़त ठीक-ठीक है, और भिन्नों की मेहनत इसी वजह से बनती है। यह पेज यह तय नहीं करता कि आपके जवाब को मिश्रित संख्या में लिखना सही है या नहीं — गणित वाले कहेंगे कि आम तौर पर नहीं, और वह आपत्ति असली है, हालाँकि वह हिसाब नहीं है। दशमलव में एक पढ़त भी यहाँ नहीं मिलेगी: भिन्न से दशमलव निकालना दूसरे पेज का काम है, और जो चाहिए वह सरलतम रूप वाली पंक्ति से ख़ुद भाग देकर निकाला जा सकता है।

मिश्रित संख्याओं को जोड़ना कैसे है?

दोनों को विषम भिन्न में बदलिए, हिसाब कीजिए, और फिर वापस बदल लीजिए। 2 1/4 यानी 2 × 4 + 1 = 9, तो 9/4; और 1 1/2 यानी 3/2। जोड़ने पर (9 × 2 + 3 × 4) ÷ (4 × 2) = 30/8 मिलता है, जो छोटा होकर 15/4 बनता है, यानी 3 3/4। पेज चारों क़दम चलाता है और उनमें से आख़िरी तीन छापता है।

जवाब तीन बार क्यों छपता है?

क्योंकि वे तीन अलग चीज़ें हैं जिनकी आपको ज़रूरत पड़ सकती है। मिश्रित संख्या वह जवाब है जिस रूप में सवाल पूछा गया था। विषम भिन्न वह रूप है जिससे होकर काम को गुज़रना पड़ता है, और जिस रूप में भिन्न आगे इस्तेमाल हो सकती है। तीसरी पंक्ति काटने से पहले का नतीजा है, और हाथ से अपना काम जाँचते समय आपकी तुलना इसी से होती है।

क्या ऋणात्मक मिश्रित संख्या भर सकते हैं?

हाँ, ऋण चिह्न पूर्ण भाग वाले खाने में रखकर: -1 1/2 यानी माइनस सवा एक। अंश वाला खाना ऋण चिह्न लेता ही नहीं, और यह जान-बूझकर है — 1 -1/2 का मतलब एक घटा आधा भी पढ़ा जा सकता है और एक जमा ऋणात्मक आधा भी, और -1 -1/2 तो और भी बुरा है। एक चिह्न, उस एक ही जगह पर जहाँ उसका एक ही मतलब है।

क्या यह पेज सामान्य हर इस्तेमाल करता है?

नहीं, और वह छापता भी नहीं। जोड़ और घटाव दोनों हरों को आपस में गुणा करते हैं और अंशों को आमने-सामने, जो वही जवाब देता है जो सबसे छोटा साझा हर ढूँढ़ने से मिलता — डिफ़ॉल्ट हालत में 15/4 के बजाय 30/8, वही संख्या। सामान्य हर की मेहनत तभी बनती है जब पैनल उसे दिखा रहा हो, और वह भिन्न जोड़ वाला पेज करता है।

क्या 2 1/4 सवा दो लिखने का सही तरीक़ा है?

यह वही तरीक़ा है जो आम तौर पर पकाने की विधि में या स्कूल में लिखा जाता है, और यह दोअर्थी है। गणित वाले बग़ल-बग़ल लिखे दो चिह्नों को गुणा पढ़ते हैं, इसलिए 2 1/4 का मतलब उनके लिए दो गुणा चौथाई है, यानी आधा। इस विषय की MathWorld की प्रविष्टि ख़ुद बताती है कि उसके लेखक को ऐसे लिखने पर कैलकुलस की परीक्षा में अंक कटे थे। यह पेज इसे इसलिए छापता है क्योंकि यही वह लिखावट है जिसके बारे में आपने पूछा, और 9/4 नीचे की पंक्ति में रख देता है।

अगर जवाब पूर्ण संख्या हो तो क्या होता है?

भिन्न ग़ायब हो जाती है। 2 1/2 को 1 1/4 से भाग देने पर 20/10 मिलता है, जो छोटा होकर 2 बनता है, और 2 को 2 छापा जाता है, 2 0/1 नहीं — शून्य अंश की रेखा के ऊपर रखने को कुछ होता ही नहीं। यही नियम दूसरी तरफ़ भी चलता है: एक से कम जवाब सादी भिन्न के रूप में छपता है, आगे कोई शून्य लगाए बिना।

0 0/4 से भाग क्यों नहीं देता?

क्योंकि 0 0/4 यानी शून्य। भाजक दूसरी पूरी मिश्रित संख्या है, और मिश्रित संख्या तब शून्य होती है जब उसका पूर्ण भाग और उसकी भिन्न दोनों शून्य हों — और यह ऐसी शक्ल है जो बदलने से पहले शून्य लगती ही नहीं। शून्य का कोई व्युत्क्रम नहीं होता, इसलिए इस भाग का कोई जवाब नहीं है, और पेज कुछ छापने के बजाय यही बताता है।

• Mixed Fraction — the definition of a mixed fraction as an improper fraction written as a whole number beside a fraction, the ambiguity of that notation in algebra, and the author's own account of losing marks on a calculus exam for using it — Wolfram MathWorld (United States)
• Improper Fraction — a fraction whose numerator is at least its denominator, which is the form both mixed numbers are converted into before the arithmetic runs — Wolfram MathWorld (United States)
• Proper Fraction — a fraction whose numerator is smaller than its denominator, which is what is left over beside the whole number when a result is written as a mixed number — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — the lowest terms of a fraction, which is the step between the raw result on the third line and the two readings above it — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest integer dividing two given integers, used to cancel the raw result down to lowest terms — Wolfram MathWorld (United States)