निकटतम सेंट तक पूर्णांकन

2.675 -> 2.68; 1.005 -> 1.01; 0.005 -> 0.01; -0.005 -> -0.01; cents = rounded * 100

मान

वह रक़म जिसे पूर्णांकित करना है, ऋणात्मक अरब से धनात्मक अरब तक। दो से ज़्यादा दशमलव जान-बूझकर स्वीकार किए जाते हैं: 1.005 और 2.675 ठीक वही हैं जिनके लिए यह पेज बना है, और ऐसा इनपुट जो उन्हें ठुकरा दे वह उन्हीं मामलों को लौटा देगा जिन्हें सँभालने के लिए यह मौजूद है। यह फ़ील्ड दो दशमलव थोपता नहीं, और थोपना नहीं चाहिए — विषय पूर्णांकन का नियम है, इनपुट का ढाँचा नहीं

पूर्णांकित मान

दो दशमलव तक पूर्णांकित करने के बाद की रक़म, और नतीजे की पहली पंक्ति। यह पाठ का टुकड़ा नहीं बल्कि एक संख्या है, और इसीलिए यह आपकी भाषा के दशमलव चिह्न तथा हज़ारों के समूहन के साथ लिखी जाती है। साधारण पूर्णांकन वाले पेज से यही फ़र्क़ जान-बूझकर रखा गया है, और एक ही इनपुट पर दोनों पेजों में यही एक फ़र्क़ है

सेंट

वही रक़म पूरे सेंट की संख्या के रूप में, जो पहली संख्या को लिखने का दूसरा तरीक़ा नहीं बल्कि अलग नतीजा है। 268 एक पूर्णांक है जिसे जोड़ा, बाँटा और गिना जा सकता है; 2.68 एक दशमलव है जो किसी भी चीज़ से गुणा करते ही फिर से फ़्लोटिंग पॉइंट बन जाता है। यह पूर्णांकित मान से निकाला जाता है, मूल इनपुट से नहीं, इसलिए दोनों पंक्तियाँ कभी अलग नहीं पड़ सकतीं — 1.005 के लिए 1.01 के बग़ल में 101 आता है, कभी 100 नहीं

आधे को शून्य से दूर

ठीक आधा सेंट पर बैठी रक़म का नियम: 0.005 से 0.01 बनता है और −0.005 से −0.01। धनात्मक रक़मों पर ऊपर की ओर पूर्णांकन और शून्य से दूर पूर्णांकन एक ही बात कहते हैं और ऋणात्मक रक़मों पर अलग होते हैं, और यही वह जगह है जहाँ यह अंतर अपनी क़ीमत वसूल करता है — सीधा पूर्णांक तरीक़ा यहाँ ऋणात्मक शून्य लौटाता है, और बकाया रक़म के तौर पर −0.00 किसी को दिखाया जाने लायक़ नहीं है

1.005 * 100 = 100.49999999999999

वह नाकामी जिसके इर्द-गिर्द यह पेज बना है। एक शतांश को द्विआधारी में ठीक-ठीक रखा ही नहीं जा सकता, इसलिए सौ से गुणा करने पर मान आधे बिंदु के ज़रा-सा नीचे उतर जाता है और पूर्णांकन ग़लत दिशा में चला जाता है। हर वह तरीक़ा जो पहले गुणा करता है — चाहे फिर संख्या को पूर्णांकित करे या दो दशमलव तक छापे — वही त्रुटि विरासत में लेता है और 1.00 कहता है। पाठ में दशमलव बिंदु खिसकाने से मान ठीक रहता है और उत्तर 1.01 निकलता है

-0.005 -> -0.01

ऋणात्मक आधा सेंट, और वह मामला जहाँ दोनों पूर्णांकन नियम अलग हो जाते हैं। रक़म शून्य से ठीक आधा सेंट नीचे है, और नियम उसे ऊपर की ओर नहीं बल्कि शून्य से और दूर भेजता है, इसलिए वह −0.00 के बजाय −0.01 बनती है। ऋणात्मक आधे को धनात्मक अनंत की ओर पूर्णांकित करने पर ऋणात्मक शून्य मिलता है, जो −0.00 के रूप में छपता है और पूर्णांकन की त्रुटि जैसा पढ़ा जाता है, चाहे अंकगणित अपने हिसाब से सुसंगत रहा हो

हर वह गणना जो पैसे पर ख़त्म होती है, यहीं आकर रुकती है। कई लोगों में बाँटा गया बिल लगभग कभी पूरे सेंट में नहीं बँटता, और बचा हुआ सेंट किसी एक को देना पड़ता है या पूर्णांकित करके हटाना पड़ता है; किसी उप-योग पर लगाया गया कर या टिप की दर ऐसी रक़म बनाती है जिसमें पैसे से ज़्यादा दशमलव हों; और एक इकाई का दाम गुणा मात्रा भी वही करता है। आख़िर में पूर्णांकित करना साफ़ क़दम है, पर उससे ज़्यादा अहम बीच में पूर्णांकित करना है। किसी क़िस्त या ऋण की अनुसूची हर अवधि के ब्याज को बकाया पर निकालती है और हर अवधि के ब्याज को वापस जोड़ने से पहले सेंट तक पूर्णांकित करती है, क्योंकि सिर्फ़ आख़िर में पूर्णांकित करने से दशमलव के टुकड़े जमा होते जाते हैं — तीन सौ साठ अवधियों में वह बहाव पूरे-पूरे हज़ार बन जाता है और आख़िरी बकाया ऋण देने वाले के आँकड़ों से मेल खाना बंद कर देता है। यही तर्क हर उस जगह लगता है जहाँ कोई कुल पूर्णांकित हिस्सों से जुड़ता है: पहले हिस्सों को पूर्णांकित किया जाता है और फिर उन्हें जोड़ा जाता है, उलटा नहीं। उस तरह के काम के लिए पूरे सेंट की संख्या ही रखने लायक़ रूप है, क्योंकि वह पूर्णांक है और शुरू से आख़िर तक ठीक बनी रहती है। जहाँ सवाल पैसे का नहीं बल्कि सामान्य रूप से दशमलव स्थानों का हो — किसी माप को तीन दशमलव तक, किसी आँकड़े को दो सार्थक अंकों तक — वहाँ पूर्णांकन वाला पेज एक ही जगह तेरह अलग-अलग लक्ष्य सँभालता है; यह पेज वह एक लक्ष्य सँभालता है जो पैसा इस्तेमाल करता है, और वह भी ऐसे नियम से जिसे अंकगणित ग़लत नहीं कर सकता।

1. डिफ़ॉल्ट रक़म: 2.675

   1. रक़म 2.67 और 2.68 के बीच है, और ठीक उनके बीच के बिंदु पर बैठी है
   2. आधा शून्य से दूर जाता है, इसलिए उत्तर 2.67 नहीं बल्कि 2.68 है
   3. पूर्णांकित रक़म को 100 से गुणा कीजिए: 2.68 × 100 = 268
   4. उत्तर 2.68 की रक़म है, यानी 268 सेंट

   वह उदाहरण जो हर कोई उठाता है, और इसीलिए यहाँ यही डिफ़ॉल्ट है। यह वह एक मामला भी है जहाँ सीधा तरीक़ा संयोग से सही उत्तर दे देता है, क्योंकि द्विआधारी में 2.675 गुणा 100 ठीक 267.5 पर उतरता है जबकि 1.005 नहीं उतरता — इसलिए अगर पेज पर बस यही नमूना होता, तो अपने कोड से मिलान करने वाला पाठक पाता कि दोनों सहमत हैं और नतीजा निकाल लेता कि सुधारने को कुछ है ही नहीं। अगला उदाहरण वह है जो फ़र्क़ दिखाता है, इसीलिए स्क्रीन पर यह रक़म पहले आती है और वह दूसरी नीचे।

2. वह रक़म जो सबको फँसाती है: 1.005

   1. रक़म 1.00 और 1.01 के ठीक बीच के बिंदु पर बैठी है
   2. आधा शून्य से दूर जाता है, इसलिए उत्तर 1.01 है
   3. सौ से गुणा करने पर 100.5 के बजाय 100.49999999999999 आता है, क्योंकि शतांश का कोई ठीक द्विआधारी रूप नहीं होता
   4. इसलिए जो तरीक़ा पहले गुणा करता है वह नीचे की ओर पूर्णांकित होकर 1.00 कहता है और एक सेंट खो देता है
   5. पाठ में दशमलव बिंदु खिसकाने से मान ठीक रहता है, इसलिए नतीजा 1.01 निकलता है

   वह उदाहरण जिसके लिए यह पेज मौजूद है। इसे सौ से गुणा कीजिए और 100.49999999999999 मिलेगा — यह संयोग से आधे बिंदु से ज़रा-सा नीचे नहीं है, बल्कि इसलिए है कि 1.005 द्विआधारी में ठीक-ठीक रखा ही नहीं जा सकता और रखा गया मान ज़रा-सा नीचे बैठता है। दोनों सीधे तरीक़े यही त्रुटि विरासत में लेते हैं: गुणा किए हुए मान को पूर्णांकित करने पर 1.00 आता है, और मान को दो दशमलव तक छापने पर भी 1.00, क्योंकि दोनों उसी ज़रा-सी छोटी संख्या को देख रहे हैं। नतीजे में कुछ भी ग़लत नहीं दिखता। एक सेंट बस ग़ायब है, और उसे पकड़ने का एक ही तरीक़ा है — यह जानना कि उत्तर क्या होना चाहिए था। इस तरह की आधा सेंट वाली रक़में ठीक वहीं बनती हैं जहाँ पैसे की गणनाएँ उतरती हैं, क्योंकि किसी अजीब दाम पर लगाई गई कोई दर ऐसी रक़में लगातार बनाती रहती है।

3. बहुत ज़्यादा दशमलव वाली एक आम रक़म: 1234.5678

   1. पहले दो दशमलव 56 हैं, और उसके बाद 78 आता है — आधे सेंट से ज़्यादा
   2. इसलिए दूसरा दशमलव ऊपर चला जाता है: 1234.57
   3. 100 से गुणा कीजिए: 1234.57 × 100 = 123457
   4. लिखे जाने पर रक़म 1234 और 57 सेंट है

   साधारण मामला, और एक उदाहरण इस लायक़ है कि पूरा पेज सिर्फ़ जाल ही न रहे। यहाँ कुछ भी पेचीदा नहीं है: तीसरा दशमलव 7 है, इसलिए रक़म साधारण ढंग से ऊपर की ओर पूर्णांकित होती है और दोनों तरीक़े एक-दूसरे से सहमत रहते हैं। यह मामला जो दिखाता है वह है लिखने का ढंग, और पाठक सबसे पहले यही फ़र्क़ नोटिस करता है: हिन्दी में हज़ारों के बीच अल्पविराम लगता है और सेंट से पहले बिंदु, इसलिए रक़म 1,234.57 लौटती है; जर्मन में दोनों की जगहें बदल जाती हैं और 1.234,57 मिलता है; फ़्रेंच में अल्पविराम की जगह ख़ाली स्थान आता है। अंक वही रहते हैं और पेज उन्हें छूता नहीं — बदलती है तो बस यह कि आपकी भाषा पैसा कैसे लिखती है, और यह पेज उसका पीछा करता है जबकि साधारण पूर्णांकन वाला पेज जान-बूझकर नहीं करता।

4. शून्य से आधा सेंट नीचे: -0.005

   1. रक़म शून्य और ऋणात्मक एक सेंट के ठीक बीच में बैठी है
   2. आधा शून्य से दूर जाता है, और यहाँ दूर का मतलब है नीचे की ओर: −0.01
   3. 100 से गुणा करने पर ठीक −0.5 आता है, इसलिए यह रक़म साफ़-साफ़ गुणा हो जाती है
   4. −0.5 को सीधे तरीक़े से पूर्ण संख्या तक पूर्णांकित करने पर ऋणात्मक शून्य मिलता है, जो −0.00 के रूप में छपता है
   5. पाठ में दशमलव बिंदु खिसकाने पर ऋणात्मक 1 सेंट मिलता है, और रक़म के तौर पर −0.01

   वह मामला जो दोनों पूर्णांकन नियमों को अलग करता है। धनात्मक रक़मों पर ऊपर की ओर पूर्णांकन और शून्य से दूर पूर्णांकन एक ही बात कहते हैं, इसलिए यह अंतर बाल की खाल निकालना लगता है। यहाँ वे अलग हो जाते हैं: −0.5 को ऊपर की ओर पूर्णांकित करने पर शून्य मिलता है जिसके साथ ऋणात्मक चिह्न लगा रहता है, और ऋणात्मक शून्य सेंट की रक़म किसी को नहीं दिखाई जानी चाहिए। यह रक़म साफ़-साफ़ गुणा भी हो जाती है, क्योंकि −0.005 गुणा 100 ठीक −0.5 है — द्विआधारी नाकामी चिह्न के साथ सममित नहीं है, और इसीलिए जाँचने वाली रक़मों की सूची में धनात्मक के साथ ऋणात्मक भी चाहिए। कोई वापसी, कोई जमा या रक़म से बड़ी कोई छूट — सब यहीं आकर उतरती हैं।

रक़म ऋणात्मक अरब से धनात्मक अरब तक कोई संख्या होनी चाहिए, और पूर्णांकित नतीजा उस दायरे से एक क़दम बाहर बैठ सकता है: 999999999.999 ऊपर की ओर पूर्णांकित होकर ठीक अरब बन जाता है, और वहाँ सेंट की गिनती 1,00,00,00,00,000 तक पहुँच जाती है। उस आकार पर भी नतीजे ठीक रहते हैं क्योंकि इतने बड़े पूरे सेंट अब भी उस दायरे के भीतर हैं जहाँ हर पूर्ण संख्या बिना किसी नुक़सान के रखी जाती है। पूर्णांकन का नियम है आधे को शून्य से दूर भेजना, और उसे बदलने की कोई सेटिंग नहीं है — नियम बदलने वाले पेज को यह भी समझाना पड़ता कि आपके देश की अदालतें कौन-सा नियम मानती हैं, और यह पेज वह नहीं करता। ऋणात्मक रक़में शून्य से दूर पूर्णांकित होती हैं, ऊपर की ओर नहीं, और दोनों में फ़र्क़ ठीक आधे सेंट वाले मामलों पर पड़ता है। पेज कोई मुद्रा नहीं ढोता: उसे यह पता है कि कोई रक़म कितने सेंट बनती है, पर यह नहीं कि उन सेंटों को क्या कहा जाता है, इसलिए नतीजा एक संख्या है और कोई भी चिह्न जोड़ना आपका काम है। यह एक बार में एक ही रक़म पूर्णांकित करता है और किसी कुल को लोगों में नहीं बाँटता, बचे हुए सेंट नहीं सौंपता और किसी अनुसूची को नहीं मिलाता। नीचे की संदर्भ तालिका चार तय रक़में दिखाती है, आपके इनपुट का पीछा नहीं करती, और उसमें संख्याएँ बिना स्थानीयकरण के छपी हैं, इसलिए वे हर भाषा में 2.675 और −0.005 पढ़ी जाती हैं, चाहे ऊपर का नतीजा वाला पैनल स्थानीयकरण करता हो।

1.005 को 1.00 के बजाय 1.01 क्यों पूर्णांकित किया जाता है?

क्योंकि वह 1.00 और 1.01 के ठीक बीच में है, और आधे वाला नियम रक़म को शून्य से दूर भेजता है। यह उत्तर चौंकाने वाला सिर्फ़ इसलिए लगता है क्योंकि सीधे तरीक़े इसके बदले 1.00 लौटाते हैं। 1.005 को सौ से गुणा कीजिए और 100.5 नहीं बल्कि 100.49999999999999 मिलेगा — शतांश को द्विआधारी में ठीक-ठीक रखा ही नहीं जा सकता, और जो मान रखा जाता है वह असली से ज़रा-सा नीचे है। इसलिए जो तरीक़ा पहले गुणा करता है, चाहे फिर संख्या को पूर्णांकित करे या दो दशमलव तक छापे, वह आधे बिंदु से ज़रा-सा नीचे की संख्या देख रहा होता है और नीचे की ओर पूर्णांकित कर देता है। सेंट शोर मचाकर ग़ायब नहीं होता; नतीजा एक साधारण दिखने वाली रक़म होती है। यही एक इनपुट वह वजह है कि यहाँ एक-पंक्ति के सूत्र के बजाय एक पूरा पेज है।

यह आधे को ऊपर भेजता है या सम संख्या की ओर?

आधे को शून्य से दूर — धनात्मक रक़मों पर ऊपर की ओर, ऋणात्मक रक़मों पर नीचे की ओर। लगभग हर नक़दी प्रणाली यही करती है और किसी दाम को पूर्णांकित करने से लोगों का यही मतलब होता है, इसलिए 2.5 सेंट से 3 बनता है और −2.5 सेंट से −3। आधे को सम संख्या की ओर भेजना दूसरा चलन है, और वह इसलिए बना कि जोड़ते समय संख्याओं के लंबे स्तंभ ऊपर की ओर बहक न जाएँ; वह सांख्यिकी और कुछ लेखा-कार्य में काम आता है, और यह पेज वह नहीं करता। दोनों नियम ठीक आधे वाले मामलों के अलावा हर रक़म पर सहमत रहते हैं, इसीलिए यह फ़र्क़ तब तक पकड़ में नहीं आता जब तक कोई भुगतान ठीक आधे पर न उतरे। कोई स्विच नहीं है, क्योंकि स्विच के साथ यह भी समझाना पड़ता कि किस न्यायक्षेत्र में कौन-सा नियम लागू है।

रक़म के साथ सेंट की संख्या भी क्यों बताई जाती है?

क्योंकि दोनों अलग-अलग कामों के लिए हैं, और ठीक बनी रहने वाली पूरी संख्या ही है। 268 एक पूर्णांक है: आप उसे दूसरे पूरे सेंटों में जोड़ सकते हैं, लोगों में बाँट सकते हैं, किसी मात्रा से गुणा कर सकते हैं और आगे बढ़ सकते हैं और उसका कुछ नहीं बिगड़ता। 2.68 एक दशमलव है, और जैसे ही आप उसे किसी चीज़ से गुणा करते हैं वह फिर से फ़्लोटिंग पॉइंट बन जाता है, उसी रखने की समस्या के साथ जिससे बचने के लिए आप यहाँ आए थे। इसीलिए सेंट मूल इनपुट से नहीं बल्कि पहले से पूर्णांकित रक़म से निकाले जाते हैं — अगर उन्हें अलग से निकाला जाता, तो 1.005 जैसा इनपुट एक पंक्ति में 1.01 और अगली में 100 छाप सकता था, और एक ही पैनल की दो संख्याओं का अलग-अलग होना किसी एक के ज़रा-सा ग़लत होने से भी बुरा है।

नतीजा कुछ भाषाओं में अल्पविराम क्यों इस्तेमाल करता है?

क्योंकि पैसा वैसे ही लिखा जाता है जैसे पाठक की भाषा लिखती है, और वह हर जगह एक जैसा नहीं है। अंग्रेज़ी सेंट से पहले बिंदु लगाती है और हज़ारों के बीच अल्पविराम, इसलिए रक़म 1,234.57 बनती है। जर्मन और यूरोप का ज़्यादातर हिस्सा उलटा करता है: 1.234,57। हिन्दी में हज़ारों के बीच अल्पविराम और सेंट से पहले बिंदु आता है, इसलिए 1,234.57 — और बड़ी रक़मों पर समूहन अंग्रेज़ी से अलग हो जाता है, क्योंकि हिन्दी आख़िरी तीन अंकों के बाद दो-दो अंकों के समूह बनाती है। पेज रक़म को पाठ के टुकड़े के बजाय एक संख्या के रूप में बताता है, इसलिए लिखने का ढंग उस भाषा का पीछा करता है जिसमें आप पढ़ रहे हैं। इस साइट का साधारण पूर्णांकन वाला पेज जान-बूझकर ऐसा नहीं करता — उसका नतीजा पाठ है जिसमें बिंदु तय है और कोई समूहन नहीं — और एक ही इनपुट पर दोनों पेजों में असली फ़र्क़ यही है।

सेंट तक पूर्णांकन असल में कहाँ मायने रखता है?

हर वह जगह जहाँ कोई कुल हिस्सों से जुड़ता है। क़िस्तों या ऋण की अनुसूची सबसे साफ़ मामला है: हर अवधि का ब्याज बचे हुए मूल पर निकाला जाता है, सेंट तक पूर्णांकित किया जाता है और वापस जोड़ा जाता है, और सिर्फ़ आख़िर में एक बार पूर्णांकित करने से बचे हुए दशमलव जमा होते जाते हैं — तीन सौ साठ अवधियों में वह बहाव पूरे-पूरे हज़ार बन जाता है और आख़िरी बकाया ऋण देने वाले के आँकड़ों से मेल खाना बंद कर देता है। बिल बाँटने का ढाँचा भी वही है, क्योंकि कई लोगों में बाँटा गया कुल शायद ही कभी पूरे सेंटों पर उतरे और बचा हुआ सेंट कहीं तो जाना ही है। और रक़म पर लगाई गई हर दर — कर, टिप, छूट — पैसे में जितने दशमलव होते हैं उससे ज़्यादा बना देती है। साथ ले जाने लायक़ नियम यह है कि पहले हिस्सों को पूर्णांकित किया जाता है और फिर पूर्णांकित हिस्सों को जोड़ा जाता है, उलटा नहीं।

यह पेज सबसे बड़ी कौन-सी रक़म स्वीकार करता है?

अरब, दोनों दिशाओं में, और पूर्णांकित उत्तर उससे एक क़दम बाहर बैठ सकता है — 999999999.999 ऊपर की ओर पूर्णांकित होकर ठीक अरब बन जाता है, और वहाँ सेंट का नतीजा 1,00,00,00,00,000 होता है। उस आकार पर भी नतीजे ठीक रहते हैं क्योंकि इतने बड़े पूरे सेंट अब भी उस दायरे के भीतर हैं जहाँ हर पूर्ण संख्या बिना किसी नुक़सान के रखी जाती है; यह छत उस बिंदु से कहीं नीचे है जहाँ पूर्ण संख्याएँ अनुमानित होने लगती हैं। सीमा से आगे के इनपुट काटे नहीं जाते बल्कि अस्वीकार किए जाते हैं, क्योंकि जो रक़म आपने टाइप नहीं की उसे चुपचाप पूर्णांकित कर देना 'नहीं' कहने से बुरा उत्तर होता।

• Rounding — the half-away-from-zero rule, and how it differs from rounding half upward on negative values — Wolfram MathWorld (United States)
• What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic — why 1.005 stored as a double is a hair below the half-way point — Oracle (originally ACM Computing Surveys)
• Number.prototype.toFixed — the round-half-to-even behaviour, and why formatting a value to two decimals is not the same as rounding it — MDN Web Docs (Mozilla)