सार्थक अंक कैलकुलेटर

123 → 3 significant figures; 1002 → 4; 0.005 → 1; 0.004560 → 4; 1200 → 2 but 1200. → 4; round 0.004560 to 2 figures = 0.0046 = 4.6 × 10⁻³; round 9.99 to 2 figures = 10 = 1.0 × 10¹

0.004560

जिस संख्या को गिनना है, साधारण दशमलव में या E संकेतन में। वह किसी भी आकार की नाप हो सकती है, धनात्मक या ऋणात्मक; चिह्न का न गिनती में कोई हिस्सा है न पूर्णांकन में, इसलिए पढ़े सिर्फ़ अंक जाते हैं

0.005 → 1

अग्रणी शून्य क्यों नहीं गिने जाते। 5 से आगे के तीन शून्य कुछ नहीं करते सिवाय दशमलव बिंदु को उसकी जगह पर रखने के; सूचना ढोने वाला अकेला अंक 5 है, इसलिए 0.005 की तरह दर्ज की गई रीडिंग में एक सार्थक अंक है, और उसे 5 × 10⁻³ लिखने से उसमें कुछ नहीं बदलता

1002 → 4

बीच के शून्य क्यों गिने जाते हैं। 1002 के दोनों शून्य 1 और 2 के बीच बैठे हैं और सैकड़े तथा दहाई के स्थान सँभाले हुए हैं, जो अपने आप में सूचना है: उनके बिना संख्या 12 या 102 बनती। इसलिए 1002 का हर अंक सार्थक है

1200 → 2, 1200. → 4

वह नियम जो मान पर नहीं, लिखे हुए रूप पर टिकता है। बिना दशमलव बिंदु लिखी पूर्ण संख्या में आख़िरी शून्य शायद सिर्फ़ जगह भरने वाले हों, इसलिए वे नहीं गिने जाते: 1200 में दो सार्थक अंक हैं। बिंदु लगा देने का मतलब है कि वे जान-बूझकर लिखे गए, और 1200. में चार हैं

0.004560 → 4

दशमलव बिंदु के बाद के आख़िरी शून्य क्यों गिने जाते हैं। 0.004560 के आख़िर का शून्य बिंदु के बाद बैठा है, इसलिए वह जान-बूझकर लिखा गया और यह बताता है कि नाप दस-लाखवें हिस्से तक गई। वह चौथा सार्थक अंक है, और इसीलिए 0.004560 तथा 0.00456 एक ही मान होते हुए भी एक ही दावा नहीं हैं

0.004560 → 0.0046 = 4.6 × 10⁻³

चुने हुए अंकों तक पूर्णांकन। half-up का मतलब है कि पीछे आने वाला 5 शून्य से दूर की ओर पूर्णांकित करता है, और शून्य न भरने का मतलब है कि संख्या में जितने अंक हैं उससे ज़्यादा माँगने पर वह ज्यों की त्यों लौटती है। वैज्ञानिक रूप एक साथ वे अंक भी दिखाता है जो बचे और वह आकार भी जो नहीं बदला

सार्थक अंक वह तरीक़ा है जिससे कोई नापी हुई संख्या अपनी परिशुद्धता ख़ुद बताती है, और इनका ज़्यादातर इस्तेमाल नतीजे लिखने में होता है। जो तराज़ू चार दशमलव स्थानों तक पढ़ता है, जो पैमाना मिलीमीटर में अंकित है, और जो समयमापी सौवें हिस्से तक बताता है — ये सब ऐसी संख्याएँ देते हैं जिनका आख़िरी अंक वही आख़िरी चीज़ है जो यंत्र असल में देख पाया; 0.00456 के बजाय 0.004560 दर्ज करना यही बचाता है, और सार्थक अंकों की गिनती उसका छोटा रूप है। जब नापी हुई राशियाँ मिलाई जाती हैं तो जवाब सबसे कमज़ोर इनपुट से ज़्यादा परिशुद्ध नहीं हो सकता, इसलिए भौतिकी, रसायन और इंजीनियरिंग में आम चलन यह है कि पहले निकाला जाए कि नतीजे के कितने सार्थक अंक बनते हैं और फिर उतने तक पूर्णांकित किया जाए। काम का आम नियम यह है कि गुणनफल या भागफल में उतने ही सार्थक अंक रहते हैं जितने सबसे कम परिशुद्ध गुणक में थे, और जोड़ या घटाव में उतने ही दशमलव स्थान जितने सबसे कम परिशुद्ध पद में — और इसीलिए सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करना और दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करना दो अलग काम हैं, जिनमें से यह पेज सिर्फ़ पहला देता है। रसायन और भौतिकी में यह गिनती एक जाँच की आदत की तरह भी चलती है: जिस जवाब में उसके इनपुट से ज़्यादा सार्थक अंक हों, वह इस बात का संकेत है कि कुछ नापा नहीं गया बल्कि निकाला गया, और बिना सोचे किसी डिस्प्ले से उतारा हुआ नतीजा पकड़ने का यह सबसे तेज़ तरीक़ा है। कक्षा में यह अपने आप में परीक्षा-योग्य कौशल है, क्योंकि 1200 और 1200. के अंकों की गिनती एक मानक सवाल है और उसका जवाब मान पर नहीं, लिखे हुए रूप पर टिकता है। दशमलव स्थानों की संख्या तक पूर्णांकित करना पूर्णांकन वाले कैलकुलेटर का काम है, और किसी मान को गुणांक तथा दस की घात की तरह लिखना, परिशुद्धता पर कोई फ़ैसला किए बिना, मानक रूप वाले पेज का।

1. 0.004560 में अंक गिनना

   1. अग्रणी शून्य, यानी 0.00, सिर्फ़ दशमलव बिंदु को उसकी जगह पर रखते हैं और नहीं गिने जाते
   2. अंक 4, 5 और 6 तीनों गिने जाते हैं, और उनके बाद वाला शून्य भी, क्योंकि वह दशमलव बिंदु के बाद बैठा है और जान-बूझकर लिखा गया है
   3. इस तरह कुल चार सार्थक अंक हुए
   4. चार अंकों तक पूर्णांकन उतने ही अंक माँगता है जितने संख्या में पहले से हैं, इसलिए मान ज्यों का त्यों लौटता है
   5. वैज्ञानिक संकेतन में गुणांक वही चार अंक दिखाता है और घातांक आकार ढोता है: 4.560 × 10⁻³

   यही डिफ़ॉल्ट है, और वह मामला है जो किसी संख्या के मान तथा उसके दावे का फ़र्क़ दिखाता है। 0.00456 और 0.004560 मान की तरह बराबर हैं और नाप की तरह अलग, और पूरा फ़र्क़ उसी आख़िरी शून्य का है। जवाब का वैज्ञानिक रूप वही बात ऐसी जगह लिखता है जहाँ शून्यों को सजावट समझ लेना मुमकिन नहीं: 4.560 का गुणांक चार अंक रखता है और यह कह भी देता है।

2. 0.004560 को एक अंक तक पूर्णांकित करना

   1. संख्या में चार सार्थक अंक हैं, और माँगा एक जा रहा है
   2. पहला अंक रखिए, यानी हज़ारवें हिस्से वाला 4, और उसके बाद वाला अंक देखिए
   3. वह अंक 6 है, इसलिए 4 ऊपर की ओर पूर्णांकित होकर 5 बनता है
   4. दाईं ओर का सब कुछ हटा दिया जाता है, और अग्रणी शून्य अपनी जगह पर ही रहते हैं: 0.005
   5. वैज्ञानिक संकेतन में यह 5 × 10⁻³ है, जिसका गुणांक एक अंक का है

   एक अंक तक पूर्णांकन सबसे मोटा मामला है और वही है जिसमें आकार खो जाना सबसे आसान है, क्योंकि जवाब 0.005 में बचा हुआ अंक एक अकेले 5 के सिवा कहीं दिखता ही नहीं। वैज्ञानिक रूप सौदा खोलकर रख देता है: जवाब का एक अंक बचा और घातांक उस आकार का हिसाब रखता है जिस पर वह लागू है।

3. वह हासिल जो घातांक बदल देती है: 9.99 दो अंकों तक

   1. संख्या में तीन सार्थक अंक हैं, और तीनों ग़ैर-शून्य
   2. पहले दो रखिए, जिससे 9.9 बनता है, और अगला अंक देखिए
   3. वह अंक 9 है, इसलिए 9.9 ऊपर की ओर पूर्णांकित होता है — और हासिल पूरे रास्ते चलती है, जिससे 9.9 के बजाय 10 बन जाता है
   4. पूर्णांकित मान अब दस गुना बड़ा हो गया, इसलिए अंकों की गिनती नहीं, घातांक ऊपर उठता है
   5. वैज्ञानिक संकेतन में वह 1.0 × 10¹ है, जो दो अंक दिखाता है जहाँ सादे 10 को एक अंक पढ़ा जा सकता था

   वैज्ञानिक पंक्ति क्यों काम की है। संख्या के आख़िर से बाहर निकल जाने वाली हासिल उसका आकार बदल देती है, और सादा रूप यह नहीं कह पाता कि हुआ क्या: 10 यानी दस हो सकता है, या वह दो अंकों का नतीजा हो सकता है जिसके अंक 1 और 0 हैं। वैज्ञानिक रूप यह तय कर देता है — 1.0 का गुणांक दो अंक रखता है और घातांक 1 आकार का हिसाब रखता है। यही बात एक क़दम ऊपर 999 को दो अंकों तक पूर्णांकित करने पर होती है, जो 1000 बनता है।

4. संख्या में जितने अंक हैं उससे ज़्यादा माँगना: 123 से पाँच

   1. संख्या में तीन सार्थक अंक हैं, और उनमें से एक भी हटाया नहीं जा सकता
   2. पाँच अंक माँगे गए हैं, जो संख्या में मौजूद अंकों से ज़्यादा हैं
   3. पूर्णांकन शून्य कभी नहीं भरता, इसलिए मान जैसा आया वैसा ही लौटता है
   4. गिनती वाली पंक्ति फिर भी तीन बताती है, क्योंकि माँगने भर से संख्या में दो अंक बढ़ नहीं गए

   यह वह मामला है जहाँ कैलकुलेटर मदद करने से इनकार कर देता है। 123 को 123.00 कर देने से तीन नापे हुए अंक पाँच बन जाते, और वे दोनों अतिरिक्त शून्य हर उस पाठक को परिशुद्धता की तरह पढ़े जाते जो नतीजे को सीधे मान ले — और यही वह ग़लती है जिसे रोकने के लिए यह पूरा विषय मौजूद है। पूर्णांकित वैज्ञानिक पंक्ति दिखा देती है कि यह माँग पूरी क्यों नहीं हो सकती: 1.23 × 10² में तीन अंक हैं और दो और अंकों के आने की कोई जगह ही नहीं।

गिनती स्कूल के नियमों पर चलती है और उनमें से एक इस पर टिकता है कि संख्या कैसे लिखी गई है। 1200 में दो सार्थक अंक हैं और 1200. में चार; तीसरा कोई जवाब नहीं है, क्योंकि कैलकुलेटर के पास लिखा हुआ रूप ही है और वह नहीं जानता कि शून्य नापे गए थे या नहीं। इसलिए ऐसी पूर्ण संख्या, जिसके आख़िरी शून्य सार्थक हैं पर दशमलव बिंदु छूट गया, कम गिनी जाएगी — शून्य सार्थक हों तो 1200. लिखिए। पूर्णांकन half-up है और शून्य से दूर की ओर जाता है, इसलिए पीछे आने वाला 5 हमेशा ऊपर की ओर पूर्णांकित होता है; बैंक वाला round-half-even यहाँ उपलब्ध नहीं है। पूर्णांकन शून्य कभी नहीं भरता, इसलिए संख्या में जितने अंक हैं उससे ज़्यादा माँगने पर वह ज्यों की त्यों लौटती है, और गिनती वाली पंक्ति वही बताती है जो संख्या असल में रखती है। अग्रणी शून्य किसी भी इनपुट में नहीं बचाए जाते, इसलिए 007 को 7 पढ़ा जाता है। सादा पूर्णांकित नतीजा वे आख़िरी शून्य नहीं दिखा सकता जो सार्थक हैं, और इसीलिए दूसरी पंक्ति वही मान वैज्ञानिक संकेतन में देती है; 1002.0 को दो अंकों तक पूर्णांकित करने पर सादी पंक्ति 1000 पढ़ती है और सिर्फ़ वैज्ञानिक पंक्ति, 1.0 × 10³, बताती है कि अंकों की गिनती दो है। इनपुट पंद्रह सार्थक अंकों तक और घातांक ±99 के भीतर सीमित हैं, और अंकों की गिनती 1 से 15 तक का पूर्णांक होनी चाहिए। 4.5 × 10⁴ जैसे लिखे हुए रूप और हज़ार के विभाजक ठुकरा दिए जाते हैं, जैसे इस पूरी साइट पर होता है। शून्य का एक सार्थक अंक होता है। और आख़िर में, यह पेज सिर्फ़ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करता है। दशमलव स्थानों की संख्या तक पूर्णांकित करना पूर्णांकन वाले कैलकुलेटर का काम है, और दोनों आम तौर पर एक जवाब नहीं देते — 0.004560 दो दशमलव स्थानों तक 0.00 है और दो सार्थक अंकों तक 0.0046।

सार्थक अंक कैसे गिनें?

हर ग़ैर-शून्य अंक गिना जाता है, और दो ग़ैर-शून्य अंकों के बीच का शून्य भी, जैसे 1002 में, जिसमें चार हैं। अग्रणी शून्य कभी नहीं गिने जाते, क्योंकि वे सिर्फ़ दशमलव बिंदु को जगह पर रखते हैं, इसलिए 0.005 में एक है। दशमलव बिंदु के बाद वाला शून्य गिना जाता है, इसलिए 0.004560 में चार हैं। और बिना दशमलव बिंदु लिखी पूर्ण संख्या के आख़िर का शून्य नहीं गिना जाता, इसलिए 1200 में दो हैं जबकि 1200. में चार।

1200 में सिर्फ़ दो सार्थक अंक क्यों हैं?

क्योंकि बिना दशमलव बिंदु लिखी पूर्ण संख्या के आख़िरी शून्य शायद सिर्फ़ जगह भरने वाले हों — वे यह बता रहे हों कि संख्या हज़ारों में है, यह नहीं कि किसी ने इकाई तक नापा। लिखा हुआ रूप इन दोनों में फ़र्क़ नहीं कर सकता, इसलिए सतर्क पढ़त ली जाती है और सिर्फ़ 1 तथा 2 गिने जाते हैं। शून्य सार्थक हों तो 1200. लिखिए।

सार्थक अंकों और दशमलव स्थानों में क्या फ़र्क़ है?

दशमलव स्थान दशमलव बिंदु से बाहर की ओर गिने जाते हैं; सार्थक अंक पहले ग़ैर-शून्य अंक से गिने जाते हैं। 1 के आसपास की संख्याओं में दोनों क़रीब-क़रीब एक जैसे बैठते हैं, और 1 से दूर की संख्याओं में नहीं: 0.004560 दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 0.00 है, जबकि दो सार्थक अंकों तक 0.0046। दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करना पूर्णांकन वाले कैलकुलेटर का काम है; यह पेज सार्थक अंक गिनता और पूर्णांकित करता है।

संख्या में जितने अंक हैं उससे ज़्यादा माँगने पर शून्य क्यों नहीं जुड़ते?

क्योंकि उन्हें जोड़ना परिशुद्धता गढ़ना होता। 123 में तीन सार्थक अंक हैं; उसे 123.00 छापने पर पाँच दिखते, और पाठक आख़िरी दो को नापा हुआ मान लेता जबकि उन्हें किसी ने नापा ही नहीं। कैलकुलेटर संख्या ज्यों की त्यों लौटा देता है और गिनती वाली पंक्ति फिर भी तीन बताती है, जो उसका यह कहने का तरीक़ा है कि माँग पूरी नहीं हो सकी।

पूर्णांकित मान वैज्ञानिक संकेतन में भी क्यों दिया जाता है?

क्योंकि सादा रूप सार्थक आख़िरी शून्य नहीं दिखा सकता। 1002.0 को दो अंकों तक पूर्णांकित कीजिए तो जवाब 1000 है, जिसमें आकार सँभालने वाले शून्य उन शून्यों से बिल्कुल एक जैसे दिखते हैं जो नापे गए थे। वैज्ञानिक पंक्ति उसे 1.0 × 10³ लिखती है, जहाँ गुणांक दो अंक रखता है और घातांक आकार, और अस्पष्टता ख़त्म हो जाती है।

शून्य में कितने सार्थक अंक होते हैं?

एक। शून्य एक लिखा हुआ अंक है, और 0.005 के अग्रणी शून्यों के उलट वह दशमलव बिंदु को जगह पर रखने वाला निशान नहीं बल्कि राशि के बारे में जो कुछ मालूम है वही है। उसे कितने भी अंकों तक पूर्णांकित कीजिए, वह 0 ही रहता है, क्योंकि पहले अंक के आगे रखने या हटाने के लिए कुछ है ही नहीं।

• Significant digits — the definition, the rules for counting them and the conventions for rounding a result to a given number of them — Wolfram MathWorld (United States)
• NIST Guide to the SI, Chapter 7 — rules and style conventions for expressing values, including how many digits a measured value may carry and when trailing zeros are significant — National Institute of Standards and Technology (United States)