वैज्ञानिक संकेतन कैलकुलेटर

(a × 10ᵐ) × (b × 10ⁿ) = (a × b) × 10ᵐ⁺ⁿ; (a × 10ᵐ) ÷ (b × 10ⁿ) = (a ÷ b) × 10ᵐ⁻ⁿ; addition and subtraction align first: 1.5 × 10³ + 2.5 × 10² = 1500 + 250 = 1.75 × 10³; 3.2e5 × 4e-3 = 1.28 × 10³ = 1.28e3 = 1280

3.2e5 और 4e-3

जो दो संख्याएँ मिलाई जा रही हैं, हर एक चाहे E संकेतन में लिखी हो (3.2e5) चाहे साधारण दशमलव की तरह (320000), और हर एक में पंद्रह सार्थक अंकों तक। पेज इन्हीं को पढ़ता है; जवाब इनसे निकली एक नई संख्या है

× ÷ + −

क्रिया, चार विकल्पों में से चुनी हुई। गुणा सबसे पहले है क्योंकि वैज्ञानिक संकेतन असल में उसी के लिए है: घातांक जुड़ जाते हैं, इसलिए जवाब का आकार किसी गुणांक के गुणा होने से पहले ही तय हो जाता है

10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ

गुणा और भाग के नीचे बैठा घातांक नियम। गुणनफल में घातांक जोड़े जाते हैं और भागफल में घटाए जाते हैं, इसीलिए 10⁵ × 10⁻³ से 10² निकलता है और शून्य गिनने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती

1.5 × 10³ + 2.5 × 10²

जोड़ और घटाव अलग क्यों हैं। यहाँ घातांक मेल नहीं खाते, इसलिए जोड़ने से पहले दोनों संख्याएँ एक ही घातांक पर लिखनी पड़ती हैं — 1500 + 250 — और नतीजा 1.75 × 10³ बनता है। यही क़दम छोड़ना सबसे आम ग़लती है

0.1 + 0.2 = 3 × 10⁻¹

जवाब पंद्रह सार्थक अंकों तक क्यों छपता है। 0.1 और 0.2 दोनों double परिशुद्धता में ठीक-ठीक नहीं रह सकते, और उनका जोड़ 0.30000000000000004 बनता है; पंद्रह अंकों तक पूर्णांकित करके और बचे आख़िरी शून्य हटाकर 3 × 10⁻¹ और 0.3 छपता है। पंद्रह परिशुद्धता का दावा नहीं, प्रदर्शन की चौड़ाई है

1.28 × 10³, 1.28e3, 1280

एक ही जवाब के तीन रूप। पहला वह है जो किताब छापती है, दूसरा वह जो कोई प्रोग्राम या स्प्रेडशीट इनपुट में चिपकाने पर स्वीकार करेगा, और तीसरा वह संख्या खोलकर लिखी हुई। ये कभी तीन अलग जवाब नहीं होते

वैज्ञानिक संकेतन वहाँ काम आता है जहाँ संख्याएँ 1 से बहुत दूर हों। भौतिकी में परमाणु, मीटर या प्रकाश-वर्ष में नापी गई किसी भी चीज़ के लिए यही चलन है — इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान, किसी तारे की दूरी, किसी रंग की तरंग-दैर्घ्य — और वजह हर पैमाने पर एक ही है: आकार घातांक ढोता है, इसलिए दो राशियों की तुलना दो घातांकों की तुलना बन जाती है। रसायन में यह संकेतन गिनती के साथ चलता है: 6.022 × 10²³ कणों की गिनती है, और उसे किसी नापी हुई मात्रा से गुणा करना इसी रूप का हिसाब है। इंजीनियरिंग में यह किसी ड्रॉइंग के दोनों सिरों की सह्यताओं के लिए इस्तेमाल होता है, और कंप्यूटिंग में उसी वजह से जिस वजह से E संकेतन है ही: फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याएँ गुणांक और घातांक की तरह रखी जाती हैं, और यह पेज जो E संकेतन छापता है वह उसे लिखने का सबसे छोटा ईमानदार तरीक़ा है। किताबें और परीक्षा-पत्र इसका इस्तेमाल एक जाँचने लायक़ रूप की तरह करते हैं। वैज्ञानिक संकेतन में हल करके जवाब 4.5 × 10⁴ लिख देने पर जवाब का आकार आँख के सामने आ जाता है, जो शून्यों की कतार में नहीं आता, और इसीलिए इस रूप में ग़लत जगह पर बैठा घातांक आँख से पकड़ में आ जाता है और दूसरे रूप में छूट जाता है। उस काम में इस पेज का हिस्सा हिसाब वाला है: यह घातांकों का हिसाब रखता है और जवाब उन तीन रूपों में छापता है जिनमें से अगले क़दम को जो चाहिए वह मिल जाता है, और यह सबसे ज़्यादा तब काम आता है जब संख्याएँ मिलाई जा रही हों और जवाब अंदाज़े के बजाय लिखना हो। इसके दोनों ओर एक-एक जुड़ा हुआ काम बैठा है। वही संख्या दूसरे रूप में लिखना, बिना कोई हिसाब किए, मानक रूप वाले पेज का काम है। और यह तय करना कि जवाब के कितने अंक असल में नापे गए थे — यही सार्थक अंकों का सवाल है — सार्थक अंकों वाले पेज का काम है, और यह वह सवाल है जिसका जवाब यह पेज जान-बूझकर नहीं देता।

1. गुणा: 3.2 × 10⁵ को 4 × 10⁻³ से

   1. गुणांकों का गुणा कीजिए: 3.2 × 4 = 12.8
   2. घातांक जोड़िए: 10⁵ × 10⁻³ = 10²
   3. गुणनफल 12.8 × 10² है, जो अभी वैज्ञानिक संकेतन नहीं है, क्योंकि गुणांक 10 से छोटा होना चाहिए
   4. गुणांक से दस का एक गुणक घातांक में भेज दीजिए: 12.8 × 10² = 1.28 × 10³
   5. खोलकर लिखने पर वह 1280 है — और E संकेतन 1.28e3 दोनों में से किसी भी इनपुट में चिपकाया जा सकता है

   यही डिफ़ॉल्ट है, और वह मामला है जो दिखाता है कि यह संकेतन क्यों काम का है। दोनों संख्याएँ छोटी हैं, और हिसाब दो गुणा और एक जोड़ है; संकेतन के बिना वही काम 320000 × 0.004 बनता, जिसमें सारा बोझ शून्यों का होता और जवाब दस के गुणक से इधर-उधर हो जाना आसान होता। ठीक करने वाला क़दम वह है जिस पर नज़र रखनी है, और वही क़दम पैनल चुपचाप कर देता है: 12.8 × 10² और 1.28 × 10³ एक ही संख्या हैं, और वैज्ञानिक संकेतन में सिर्फ़ दूसरी है।

2. भाग: 9.6 × 10⁷ को 3.2 × 10³ से

   1. गुणांकों का भाग दीजिए: 9.6 ÷ 3.2 = 3
   2. घातांक घटाइए: 10⁷ ÷ 10³ = 10⁴
   3. गुणांक पहले से 1 और 10 के बीच है, इसलिए कोई सुधार ज़रूरी नहीं
   4. जवाब 3 × 10⁴ है, यानी 3e4 और 30000

   ऐसा भाग जिसमें गुणांक साफ़-सुथरा निकलता है, इसलिए घातांक का नियम छिपता नहीं। ध्यान दीजिए कि गुणांक के आगे शून्य नहीं हैं: नतीजा 3 है, 3.00 नहीं, क्योंकि पेज पंद्रह सार्थक अंक छापकर वे शून्य हटा देता है जिनमें कोई सूचना नहीं। जवाब को 3 लिखना चाहिए या 3.00000, यह सार्थक अंकों का सवाल है और यहाँ के इनपुट उसे तय नहीं करते।

3. 0.1 और 0.2 जोड़ना

   1. दोनों इनपुट में घातांक है ही नहीं, इसलिए दोनों संख्याएँ जैसी हैं वैसी लिखी जाती हैं: 0.1 और 0.2
   2. double परिशुद्धता में रखे हुए मान ठीक एक दसवाँ और दो दसवाँ नहीं होते, और उनका जोड़ 0.30000000000000004 बनता है
   3. नतीजा पंद्रह सार्थक अंकों तक पूर्णांकित होता है, जिससे 0.300000000000000 बचता है
   4. आख़िरी शून्य हटा दिए जाते हैं, क्योंकि वे पंद्रह अंक एक प्रदर्शन-चौड़ाई हैं, कोई नाप नहीं
   5. जो बचता है वह 3 × 10⁻¹ है, या 3e-1, या 0.3

   यह वह उदाहरण है जो प्रदर्शन-चौड़ाई को जायज़ ठहराता है। सात सार्थक अंक छापना भी फ़्लोटिंग-पॉइंट की पूँछ छिपा देता, पर वह दूसरा मामला तोड़ देता: 123456789012345 + 0 तब 123456800000000 छपता, जो सिर्फ़ ग़लत संख्या है। पंद्रह अंक सबसे चौड़ी ऐसी सेटिंग है जो इनपुट के हर स्वीकार्य मान के लिए ठीक रहती है, इसलिए यह पूँछ भी छिपा देती है और संख्या भी बचा लेती है। अगर आपने यह जोड़ किसी प्रोग्रामिंग पहेली की तरह देखा है, तो पहेली असली है — बस इस चौड़ाई पर दिखती नहीं।

हर इनपुट पंद्रह सार्थक अंकों तक और घातांक −99 से 99 तक लेता है। जवाब इन हदों में नहीं बँधा: 1e99 × 1e99 यानी 1 × 10¹⁹⁸, और उसका साधारण रूप 199 अक्षरों की एक पंक्ति है। लिखे हुए रूप अस्वीकार होते हैं। 4.5 × 10⁴ और 4.5×10^4 पढ़े नहीं जाते, और हज़ार के विभाजक भी नहीं, इसलिए 1,500 को 1500 पढ़ने के बजाय ठुकरा दिया जाता है — इस साइट की कई भाषाओं में अल्पविराम दशमलव का चिह्न है, और यह अनुमान लगाना कि कौन-सी भाषा चल रही है, हिसाब में ग़लत संख्या डाल देगा। 4.5e4 लिखिए, या अंक खोलकर टाइप कीजिए। शून्य से भाग देने पर त्रुटि उठती है, अनंत नहीं लौटता, क्योंकि अनंत ऐसा नतीजा नहीं जिसे लिखा जा सके। शून्य तीनों रूपों में 0 छपता है: 0 × 10⁰ किसी ऐसी संख्या पर लगाया हुआ आकार होता जिसका कोई आकार नहीं। नतीजे पंद्रह सार्थक अंकों तक पूर्णांकित होते हैं और उनके आख़िरी शून्य हटा दिए जाते हैं, इसलिए जवाब में परिशुद्धता की कोई सूचना नहीं रहती और पेज उस पर कोई दावा नहीं करता; वह सवाल सार्थक अंकों वाले पेज का है। और चूँकि गुणा, भाग, जोड़ तथा घटाव double परिशुद्धता में होते हैं, नतीजा सिर्फ़ पंद्रह सार्थक अंकों तक ठीक होता है — इस पेज के स्वीकार्य इनपुट के लिए काफ़ी, और लंबे मानों पर ठीक-ठीक पूर्णांक गणित मान लेने के लिए नाकाफ़ी, इसीलिए वे मान ठुकरा दिए जाते हैं। आख़िर में, नीचे की तालिका दस की घातों की एक तय सूची है और आपके इनपुट के साथ नहीं चलती; वह जवाब के बग़ल पढ़े जाने के लिए है, उससे निकाली जाने के लिए नहीं।

वैज्ञानिक संकेतन क्या है?

किसी संख्या को 1 और 10 के बीच के गुणांक गुणा दस की किसी घात की तरह लिखने का तरीक़ा: 45000 यानी 4.5 × 10⁴ और 0.00045 यानी 4.5 × 10⁻⁴। संख्या का आकार घातांक में चला जाता है, और इसीलिए इस रूप में गुणा-भाग लंबी शून्य-कतारों के बजाय छोटे पूर्णांकों का काम बन जाता है। ब्रिटिश चलन में इसी को आम तौर पर मानक रूप कहा जाता है।

E संकेतन क्या है, और पेज उसे क्यों छापता है?

E संकेतन वही संख्या सादे अक्षरों में है: 4.5e4 का मतलब 4.5 × 10⁴ और 4.5e-4 का मतलब 4.5 × 10⁻⁴। कोई प्रोग्राम, स्प्रेडशीट या सर्च बॉक्स इसे स्वीकार करता है, इसलिए पेज उसे तीन रूपों में से एक की तरह छापता है — जवाब का वह रूप जो सीधे वापस इनपुट में चिपकाया जा सकता है।

यहाँ 0.1 + 0.2 ठीक 0.3 क्यों देता है?

क्योंकि नतीजा छपने से पहले पंद्रह सार्थक अंकों तक पूर्णांकित होता है, और रखा हुआ जोड़ 0.30000000000000004 है — फ़र्क़ सोलहवें और सत्रहवें अंक पर है। पंद्रह कोई दिखावटी गोल संख्या नहीं है: यह सबसे चौड़ी ऐसी प्रदर्शन-चौड़ाई है जिस पर इनपुट का हर स्वीकार्य मान ठीक-ठीक छपता है, इसलिए 123456789012345 + 0 अब भी 123456789012345 ही लौटता है, किसी छोटी संख्या में बदलकर नहीं आता।

क्या मैं इनपुट में 4.5 × 10⁴ टाइप कर सकता हूँ?

नहीं, और पेज यह बता भी देगा। उस रूप को पहचानने का मतलब है उसकी कई वर्तनियाँ मान लेना — गुणा का चिह्न, x, तारा, ऊपर लिखा घातांक, कैरेट — और उनमें से एक को ग़लत पढ़ने का मतलब है ग़लत संख्या से हिसाब। इसकी जगह 4.5e4 या 45000 टाइप कीजिए; दोनों एक ही मान हैं, और हर जवाब की E संकेतन पंक्ति वापस चिपकाए जाने के लिए ही लिखी जाती है।

वैज्ञानिक संकेतन में गुणा और भाग कैसे करें?

गुणनफल के लिए गुणांकों का गुणा कीजिए और घातांक जोड़ दीजिए; भागफल के लिए गुणांकों का भाग दीजिए और घातांक घटा दीजिए। फिर देखिए कि गुणांक 1 और 10 के बीच है या नहीं, और न हो तो दस का एक गुणक घातांक में भेज दीजिए: 3.2 × 10⁵ गुणा 4 × 10⁻³ यानी 12.8 × 10², जिसे 1.28 × 10³ लिखा जाता है। जोड़ और घटाव में पहले घातांक एक सीध में लाने पड़ते हैं, और यही वह क़दम है जो संकेतन छोड़ देना आसान बना देता है।

क्या जवाब बताता है कि उसमें कितने सार्थक अंक हैं?

नहीं। जवाब एक निकाली हुई संख्या है, और कोई प्रदर्शन-चौड़ाई यह नहीं बता सकती कि उसके कितने अंक नापे गए थे — वह इस पर टिकता है कि अंदर गई संख्याएँ कितनी परिशुद्ध थीं, और क्या वे नाप थीं भी या नहीं। आख़िरी शून्य इसी वजह से हटाए जाते हैं: उन्हें रखना ऐसी परिशुद्धता का इशारा करता जो इस हिसाब में है ही नहीं। किसी जवाब के कितने सार्थक अंक बनते हैं, वह सार्थक अंकों वाले पेज का विषय है।

• Scientific notation — the coefficient-and-exponent form, the rules for multiplying and dividing in it, and the notation's history — Wolfram MathWorld (United States)
• Scientific notation — a worked introduction to the form and to the exponent rules for multiplication and division — Math is Fun (United Kingdom)
• Scientific notation — definition, with the same form given under the British name standard form — Math is Fun (United Kingdom)