मानक रूप कैलकुलेटर

45000 = 4.5 × 10⁴; 0.00045 = 4.5 × 10⁻⁴; 1200 = 1.2 × 10³ but 1200. = 1.200 × 10³; 6.02e23 = 6.02 × 10²³ = 602000000000000000000000

45000

जिस संख्या को बदलना है, साधारण दशमलव की तरह दी हुई या E संकेतन में। वह पूर्ण संख्या हो सकती है या दशमलव बिंदु रखती हो, और ऋणात्मक भी हो सकती है; चिह्न गुणांक तक जाता है और घातांक तक कभी नहीं

4.5

गुणांक, जिसे 1 और 10 के बीच बैठना होता है। यह मूल अंक ही हैं जिनका दशमलव बिंदु खिसका है, इसलिए अंक ख़ुद कभी नहीं बदलते: 45000 और 4.5 × 10⁴ में 4 तथा 5 वही अंक हैं, फ़र्क़ सिर्फ़ बिंदु की जगह का है

10⁴

घातांक, जो गिनता है कि दशमलव बिंदु कितने स्थान चला और उस चाल का चिह्न ढोता है। चार स्थान बाईं ओर से 4 मिलता है और बड़ी संख्या; चार स्थान दाईं ओर से −4 और छोटी संख्या, इसीलिए 0.00045, 4.5 × 10⁴ नहीं बल्कि 4.5 × 10⁻⁴ बनता है

1200 और 1200.

आख़िरी शून्य कहाँ से आते हैं। पूर्ण संख्या की तरह लिखे जाने पर दोनों शून्य सिर्फ़ आकार बताते हैं, इसलिए गुणांक 1.2 है। उनके बाद दशमलव बिंदु लगा हो तो वे जान-बूझकर लिखे गए थे, इसलिए वे बचाए जाते हैं और गुणांक 1.200 बनता है। अंकों की गिनती वही, परिशुद्धता के बारे में दो अलग दावे

0

अकेला ऐसा मान जिसके साथ कोई घातांक नहीं लगता। शून्य दोनों रूपों में 0 छपता है, क्योंकि उसके बग़ल लिखी कोई भी घात ऐसा आकार बताती जो शून्य में है ही नहीं

602000000000000000000000

6.02 × 10²³ का साधारण रूप, जो चौबीस अक्षर लंबा है और बिना गिनती किए पढ़ा ही नहीं जाता। जो E संकेतन 6.02e23 इसे बनाता है वही टाइप किया जाता है; यह संकेतन इसीलिए है कि यह पंक्ति कभी खोलकर लिखनी ही न पड़े

इस दिशा में बदलना तब करते हैं जब कोई संख्या किसी और के लिए लिखनी हो। प्रयोगशाला या किसी डेटाशीट में ली गई नाप 0.00045 की तरह निकलती है और रिपोर्ट में उसे 4.5 × 10⁻⁴ बनकर आना पड़ता है, क्योंकि दूसरा रूप गुणांक की परिशुद्धता ख़ुद बता देता है और पहला उसे गिनने के लिए छोड़ देता है। उलटी दिशा में बदलना उतनी ही बार होता है, बस दूसरी वजह से: कोई मान 6.02 × 10²³ की तरह आता है और उसे ऐसी जगह डालना होता है जो सिर्फ़ अंक लेती है, इसलिए उसे खोलकर लिखा जाता है, या बेहतर यह कि E संकेतन की तरह चिपका दिया जाता है। कक्षा में यह बदलाव ख़ुद अभ्यास है। दशमलव बिंदु खिसकाना और स्थान गिनना इस विषय का अकेला यंत्रवत कौशल है, और आख़िरी शून्य वाला नियम उसका वह हिस्सा है जो संकेतन के बारे में नहीं, नाप के बारे में है — 1200 और 1200. एक ही राशि हैं और एक ही दावा नहीं, और जो गुणांक उन शून्यों को रखता है वह यह कह रहा है कि किसी ने इकाई के स्थान तक नापा। परीक्षाएँ यह रूप इसलिए इस्तेमाल करती हैं कि यह जाँचने लायक़ है: 1 से 10 के बाहर बैठा गुणांक एक नज़र में ग़लत पकड़ में आ जाता है, और लंबे दशमलव में ग़लत जगह पर बैठा कोई शून्य नहीं आता। दो पड़ोसी पेज जान लेने लायक़ हैं। अगर संख्या सिर्फ़ दोबारा लिखी नहीं, किसी दूसरी संख्या के साथ मिलाई जा रही है, तो वह हिसाब वैज्ञानिक संकेतन वाला पेज करता है। और अगर सवाल यह है कि गुणांक में कितने अंक रखने चाहिए, तो जवाब सार्थक अंकों वाले पेज से आता है, और वह संख्या के मूल से आता है, संकेतन से नहीं।

1. एक पूर्ण संख्या: 45000

   1. पहला ग़ैर-शून्य अंक खोजिए, जो 4 है
   2. उसके बाद दशमलव बिंदु रखिए: 4.5
   3. गिनिए कि बिंदु अपनी पुरानी जगह, यानी संख्या के आख़िर से कितने स्थान चला: चार
   4. संख्या 10 से बड़ी है, इसलिए घातांक धनात्मक है: 10⁴
   5. नतीजा 4.5 × 10⁴ है, और उसके बग़ल छपा साधारण रूप वही 45000 है जो अंदर गया था

   यही डिफ़ॉल्ट है, और बदलाव की सबसे सीधी शक्ल: अंक पहले से 4 और 5 हैं, इसलिए सिर्फ़ बिंदु खिसकता है। घातांक उतने स्थानों की गिनती है जितने वह चला, और जब संख्या ऐसी पूर्ण संख्या हो जिसके आख़िरी शून्यों पर बहस न हो, तो यह पहले अंक के बाद के अंकों की गिनती के बराबर ही होता है।

2. एक से छोटा मान: 0.00045

   1. 0.00045 में पहला ग़ैर-शून्य अंक खोजिए, जो चौथे दशमलव स्थान पर बैठा 4 है
   2. उसके बाद बिंदु रखिए: 4.5
   3. वहाँ तक पहुँचने के लिए बिंदु आगे के शून्य से कितने स्थान चला, गिनिए: चार
   4. संख्या एक से छोटी है, इसलिए घातांक ऋणात्मक है: 10⁻⁴
   5. गुणांक में अग्रणी शून्य नहीं आते, इसलिए वह 4.5 है, 0.00045 नहीं

   यही वह दिशा है जिसमें गिनती बिगड़ती है। गुणांक 4.5 है और घातांक −4, इसलिए जवाब 4.5 × 10⁻⁴ है; 4.5 × 10⁻⁵ लिख देना आम ग़लती है, और वह अग्रणी शून्य को भी एक स्थान गिन लेने से आती है। जाँच उलटी गिनती से होती है: 4.5 × 10⁻⁴ बिंदु को चार स्थान दाईं ओर ले जाता है, जो 0.00045 पर पहुँचता है।

3. 1200 लिखने के दो तरीक़े

   1. आख़िर में लगा दशमलव बिंदु कोई टाइपो नहीं है: वह कहता है कि 2 के बाद के दोनों शून्य जान-बूझकर लिखे गए थे
   2. पहले अंक के बाद बिंदु रखिए: 1.200
   3. स्थान गिनिए: तीन, इसलिए घातांक 3 है
   4. गुणांक अपने शून्य रखता है, क्योंकि वे लिखे गए थे: 1.200 × 10³
   5. अब बिना बिंदु के 1200 टाइप कीजिए और वही कैलकुलेटर 1.2 × 10³ जवाब देता है — मान वही, दावा दूसरा

   यही वह नियम है जो मानक रूप को सिर्फ़ सुघड़ नहीं, काम का बनाता है, और इस पेज पर वह अकेली जगह है जहाँ इनपुट की शक्ल नतीजा बदल देती है। दोनों जवाब मान 1200 का ही वर्णन करते हैं; फ़र्क़ यह है कि कितने अंकों का दावा किया जा रहा है। 1.200 का गुणांक कहता है कि इकाई का स्थान नापा गया या कम से कम लिखा गया; 1.2 यह नहीं कहता। यह भी देखिए कि कैलकुलेटर कर नहीं रहा है: वह अंदाज़ा नहीं लगा रहा कि आपका मतलब कौन-सा था, और वह आपके लिए सार्थक अंक नहीं गिन रहा — वह वही पढ़ रहा है जो आपने टाइप किया, और ईमानदारी से वही कर सकता है।

4. पहले से E संकेतन में लिखा मान: 6.02e23

   1. इनपुट पहले से स्वीकार्य रूप में है: 6.02e23 का मतलब 6.02 × 10²³
   2. गुणांक 6.02, 1 और 10 के बीच है, इसलिए कोई सुधार ज़रूरी नहीं
   3. घातांक 23 धनात्मक है, इसलिए साधारण रूप एक बड़ी पूर्ण संख्या है
   4. खोलकर लिखने पर 602 के बाद 21 शून्य आते हैं — कुल चौबीस अक्षर

   एवोगैड्रो की संख्या, और इस संकेतन की मानक दलील। साधारण रूप ग़लत नहीं है, वह पढ़ा नहीं जा सकता: 602000000000000000000000 को मानने के लिए गिनना पड़ता है, और जो पाठक गिनती भूल जाए वह दस के गुणक से बाहर हो जाता है और उसे पता भी नहीं चलता। अंदर जाने वाला E संकेतन और बाहर आने वाला गुणांक-घातांक रूप, दोनों आकार को दो छोटे टुकड़ों में ढोते हैं। यह वह मामला भी है जो दिखाता है कि बदलाव एक ही पेज पर दोनों दिशाओं में चलता है: इनपुट E संकेतन में था, उसका साधारण रूप कभी टाइप ही नहीं हुआ, और कैलकुलेटर फिर भी उसे छाप देता है।

लिखा हुआ रूप इनपुट नहीं है। 4.5 × 10⁴ और 4.5×10^4 दोनों ठुकरा दिए जाते हैं; 4.5e4 या 45000 इस्तेमाल कीजिए। हज़ार के विभाजक भी ठुकराए जाते हैं, इसलिए 45,000 ग़लती है और 45000 सही — इस साइट की कई भाषाओं में अल्पविराम दशमलव का चिह्न है, और उसे विभाजक पढ़ लेना चुपचाप मान बदल देगा। शून्य दोनों रूपों में 0 छपता है, बिना कोई घात जोड़े और बिना चिह्न के। संख्याएँ पंद्रह सार्थक अंकों तक सीमित हैं, और ±99 से आगे का घातांक ठुकरा दिया जाता है। आख़िरी शून्य वाला नियम इनपुट के मान पर नहीं, उसकी शक्ल पर टिकता है: 1200 से 1.2 × 10³ मिलता है और 1200. से 1.200 × 10³, और तीसरा कोई जवाब नहीं है, क्योंकि कैलकुलेटर के पास और कुछ है ही नहीं जिस पर चले। इसका यह भी मतलब है कि यह पेज सार्थक अंक नहीं निकालता। वह आख़िरी शून्य इस आधार पर बचाता या हटाता है कि संख्या कैसे लिखी गई थी; और यह तय करना कि बचे हुए अंकों में से कितने असल में नापे गए थे, इस सवाल पर टिकता है कि संख्या कहाँ से आई, और वह सार्थक अंकों वाले पेज का काम है। साधारण रूप किसी भी लंबाई पर बिना विभाजकों के छपता है, इसलिए 6.02e23 का साधारण रूप 24 अक्षरों की कतार है और 1e99 का साधारण रूप सौ अक्षरों की होगी; यह जान-बूझकर है, क्योंकि बिना समूह वाली श्रृंखला कहीं भी पढ़ी या चिपकाई जा सकती है, और विभाजक लगाकर लिखी संख्या नहीं — ऊपर से विभाजकों का चलन भी हर जगह एक जैसा नहीं है। और आख़िर में, कोई पूर्णांकन नहीं होता। जो अंक अंदर जाते हैं वही बाहर आते हैं, सिर्फ़ जगह बदलकर और कुछ नहीं, इसलिए गुणांक को कभी उस संख्या से ज़्यादा सुघड़ दिखाने के लिए छाँटा नहीं जाता जिससे वह आया।

मानक रूप क्या है?

किसी संख्या को 1 और 10 के बीच के गुणांक गुणा दस की किसी घात की तरह लिखना: 45000 यानी 4.5 × 10⁴ और 0.00045 यानी 4.5 × 10⁻⁴। ब्रिटिश स्कूलों और परीक्षा बोर्डों में यही नाम चलता है उस चीज़ के लिए जिसे अमेरिकी चलन वैज्ञानिक संकेतन कहता है। दोनों नामों में रूप का कुछ भी अलग नहीं है; फ़र्क़ सिर्फ़ घातांक लिखने के रिवाज़ में है, और यहाँ दोनों छपते हैं।

किसी संख्या को मानक रूप में कैसे बदलें?

दशमलव बिंदु को खिसकाकर पहले ग़ैर-शून्य अंक के ठीक बाद बैठाइए, फिर गिनिए कि वह कितने स्थान चला। वही गिनती घातांक है, और वह 10 या उससे बड़ी संख्या में धनात्मक तथा 1 से छोटी संख्या में ऋणात्मक होती है। 45000 से 4.5 × 10⁴ मिलता है, क्योंकि बिंदु चार स्थान बाईं ओर चला; 0.00045 से 4.5 × 10⁻⁴, क्योंकि वह चार स्थान दाईं ओर चला। अंक ख़ुद कभी नहीं बदलते।

1200 से 1.2 × 10³ क्यों मिलता है पर 1200. से 1.200 × 10³?

क्योंकि लिखी हुई संख्या में आख़िरी शून्य के दो मतलबों में से एक होता है, और मानक रूप यह फ़र्क़ बनाए रखता है। पूर्ण संख्या 1200 में दोनों शून्य सिर्फ़ यह कहते हैं कि संख्या हज़ारों में है, इसलिए गुणांक 1.2 है। उनके बाद बिंदु लगा देने का मतलब है कि वे जान-बूझकर लिखे गए, इसलिए वे बचाए जाते हैं और गुणांक 1.200 बनता है। मान वही है; यह दावा वही नहीं कि उसका कितना हिस्सा मालूम है।

मैं इनपुट में 4.5 × 10⁴ क्यों नहीं टाइप कर सकता?

क्योंकि उस रूप की कई वर्तनियाँ हैं — गुणा का चिह्न, x, तारा, कैरेट, ऊपर लिखा घातांक — और हर एक को ठीक-ठीक पहचानना पड़ता, क्योंकि ग़लत पढ़ने का मतलब है ग़लत संख्या बदलना। इसकी जगह 4.5e4 या 45000 टाइप कीजिए। दोनों एक ही मान हैं और कैलकुलेटर आपकी दी हुई किसी भी संख्या का E संकेतन रूप छापता है, इसलिए जवाब हमेशा वापस इनपुट में चिपकाया जा सकता है।

क्या यह कैलकुलेटर बताता है कि गुणांक में कितने सार्थक अंक हैं?

नहीं, और बताता तो वह अंदाज़ा लगा रहा होता। वह आख़िरी शून्य इस आधार पर बचाता या हटाता है कि संख्या कैसे लिखी गई थी, और वहीं रुक जाता है। किसी संख्या के कितने अंक असल में नापे गए थे, यह सवाल उसके मूल के बारे में है — क्या 1200 गिना गया था या अंदाज़ा लगाया गया था — और वह सार्थक अंकों वाले पेज का विषय है।

इस पेज और वैज्ञानिक संकेतन वाले कैलकुलेटर में क्या फ़र्क़ है?

यह पेज बदलता है। संख्या अंदर जाती है और वही संख्या दूसरे रूप में लिखी हुई बाहर आती है, बिना कोई हिसाब और बिना कोई पूर्णांकन। वैज्ञानिक संकेतन वाला कैलकुलेटर दो संख्याएँ और एक क्रिया लेता है, इसी रूप में हिसाब करता है, और जवाब तीन तरह छापता है। अगर आप किसी मान को दोबारा लिख रहे हैं तो आप सही पेज पर हैं; अगर दो मानों को मिला रहे हैं तो वह दूसरा पेज है।

• Standard form — the coefficient-and-exponent form as taught in the UK, with the conversion method and the two directions of the exponent — Math is Fun (United Kingdom)
• Standard form — a short definition of the same form, given under its American name scientific notation — Math is Fun (United Kingdom)
• Scientific notation — the form, its rules and the notation's history, under the name used in the United States — Wolfram MathWorld (United States)