विस्तारित रूप कैलकुलेटर

3456 = 3000 + 400 + 50 + 6 = 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰; 205.04 = 200 + 5 + 0.04 = 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻²; −550 = −(500 + 50)

3456

जिस संख्या को खोलना है, साधारण दशमलव में या E संकेतन में दी हुई। उसके अंक नहीं बदलते और कुछ भी पूर्णांकित नहीं होता; संख्या बस दोबारा लिखी जाती है, इसलिए ऐसा विस्तार जो जोड़कर इनपुट तक वापस न पहुँचे वह पूर्णांकन का फ़ैसला नहीं, ग़लती है

3000 + 400 + 50 + 6

विस्तारित रूप — हर शून्येतर अंक के लिए एक पद, और हर पद वह अंक गुणा उसके स्थान का मान। अंक अपने मूल क्रम में बाएँ से दाएँ आते हैं, इसलिए पंक्ति उसी तरह पढ़ी जाती है जैसे संख्या पढ़ी जाती है

3 × 10³

वही पद, जिसमें उसका स्थानीय मान दस की घात की तरह लिखा है। घात बताती है कि अंक इकाई के स्थान से कितनी दूर है, बाईं ओर धनात्मक और दाईं ओर ऋणात्मक — इसीलिए इकाई का स्थान ख़ुद 10¹ नहीं, 10⁰ है

200 + 5 + 0.04

शून्य कहाँ जाते हैं। 205.04 में दहाई के स्थान पर एक शून्य है और दसवें हिस्से के स्थान पर भी, और दोनों पद हटा दिए जाते हैं, क्योंकि जोड़ में शून्य जोड़ने से कुछ नहीं बदलता। स्थानीय मान वाला पेज उन्हें रखता है; यह पेज नहीं रखता, और यही फ़र्क़ दोनों पेजों के होने की वजह है

4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴

दशमलव बिंदु के नीचे वाला हिस्सा, जहाँ घातें ऋणात्मक होती हैं। 0.004560 से 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵ मिलता है — इनपुट का आख़िरी शून्य कोई पद नहीं बनाता, क्योंकि यह पेज किसी लिखावट को सँभालता नहीं, किसी मान को पढ़ता है

−(500 + 50)

ऋणात्मक संख्या कैसे लिखी जाती है। चिह्न पूरे जोड़ पर लगता है और कोष्ठक के बाहर बैठता है, हर पद पर बाँटकर −500 + −50 नहीं लिखा जाता, क्योंकि वह दो ऋणात्मक संख्याओं का जोड़ पढ़ा जाता है

विस्तारित रूप वही है जिसमें स्थानीय मान पढ़ाया जाता है, और यह गिनने तथा स्तंभ-गणित के बीच का क़दम है। जो बच्चा 3456 को 3000 + 400 + 50 + 6 लिख सकता है वह देख सकता है कि 3 और 4 को सीधे जोड़ा क्यों नहीं जा सकता, और स्तंभ-जोड़ पूरा इसी बात पर टिका है; यही विस्तार घटाव के नीचे रखे जाने पर उधार लेने की बात समझाता है, और गुणा के नीचे रखे जाने पर यह बताता है कि 3000 × 4, 3 × 4 से अलग क्यों है। स्कूल के बहुत बाद भी यह किसी संख्या के ढाँचे का पढ़ने लायक़ रूप बनकर आता है। जो इंजीनियर एक ही राशि की दो रीडिंग मिलाता है, उसे विस्तार में यह देखना सबसे तेज़ लगता है कि फ़र्क़ किस स्थान पर है, और जो स्प्रेडशीट का नतीजा जाँचता है वह कुल को खोलकर हर अंक को उसके इनपुट से मिला सकता है, पूरे आँकड़े पर एक साथ भरोसा करने के बजाय। घातों वाला रूप वैज्ञानिक संकेतन और कंप्यूटिंग की तरफ़ पुल है: 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰ यानी 3.456 × 10³ से बस एक क़दम, और दस की जगह दो की घातों वाली वही अभिव्यक्ति ठीक वैसे ही एक बाइनरी संख्या खोलती है, जिसमें हर बिट अपने स्थान के मान से गुणा होता है। उलटी दिशा में काम करना — किसी संख्या को वापस एक गुणांक और दस की एक घात में समेटना, जो अलग-अलग अंकों को गिनाने के बजाय खो देता है — मानक रूप वाला पेज करता है। और जब सवाल एक ख़ास अंक के बारे में हो, सब के बारे में एक साथ नहीं, तो स्थानीय मान वाला पेज हर अंक को उसकी जगह रखता है, शून्य समेत, बजाय उन पदों को छोड़ने के जिनका कोई मान नहीं।

1. चार अंकों की संख्या: 3456

   1. अंक बाईं ओर से पढ़िए: 3, 4, 5, 6
   2. हर अंक के स्थान का नाम लीजिए: हज़ार, सैकड़ा, दहाई, इकाई
   3. हर अंक को उसके स्थानीय मान से गुणा कीजिए: 3 × 1000, 4 × 100, 5 × 10, 6 × 1
   4. पद जोड़िए: 3000 + 400 + 50 + 6
   5. वही चार पद स्थानीय मानों को दस की घातों की तरह लिखकर: 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰

   यही डिफ़ॉल्ट है, और जान-बूझकर आसान रखा गया है: न शून्य, न दशमलव बिंदु, न चिह्न, ताकि कोई नियम लगाने से पहले जवाब की शक्ल दिख जाए। पद वापस जोड़ने पर 3456 ही आता है, और यही जाँच किसी भी विस्तार पर कर लेनी चाहिए — पदों का जोड़ उसी संख्या तक पहुँचना चाहिए जिससे वे बने, और हर अंक ठीक एक बार आना चाहिए।

2. शून्य और दशमलव बिंदु वाली संख्या: 205.04

   1. अंक हैं 2, 0, 5, 0, 4, और उनके स्थान सैकड़े से नीचे सौवें हिस्से तक चलते हैं
   2. 2 का मान 200 है और 5 का 5; दहाई और दसवें हिस्से के स्थानों के शून्यों का कोई मान नहीं, इसलिए वे कोई पद नहीं बनाते
   3. 4 दशमलव बिंदु से दो स्थान दाईं ओर बैठता है, इसलिए उसका स्थानीय मान 0.01 है और उसका पद 0.04
   4. विस्तार है 200 + 5 + 0.04, जो जुड़कर 205.04 बनता है
   5. दस की घातों के साथ वही पद हैं 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻², और घातें 2, 0 तथा −2 इकाई के स्थान से दूरियाँ हैं

   यह पेज का केंद्रीय उदाहरण है: दो शून्य, दशमलव बिंदु के दोनों ओर एक-एक, और दोनों में से कोई पद नहीं बनाता। इसकी तुलना स्थानीय मान वाले पेज से कीजिए, जो इसी इनपुट के लिए 2 × 100, 0 × 10, 5 × 1, 0 × 0.1, 4 × 0.01 देता है — पाँच पद बनाम तीन, और दोनों अलग-अलग सवालों के सही जवाब हैं। 5 × 10⁰ में शून्य घात भी देखने लायक़ है: इकाई का स्थान भी बाक़ी स्थानों जैसा ही एक स्थान है, और उसकी घात शून्य इसलिए है कि वह अंक ख़ुद से शून्य स्थान दूर है।

3. ऋणात्मक संख्या: −550

   1. पहले अंक लीजिए और चिह्न छोड़ दीजिए: 5 और 5, सैकड़े तथा दहाई के स्थानों पर
   2. उनके पद हैं 500 और 50, और इकाई के स्थान का शून्य कुछ नहीं जोड़ता
   3. इन पदों का जोड़ 550 है, और मूल संख्या उसी जोड़ को ऋणात्मक बनाए हुए है
   4. चिह्न एक बार लिखिए, पूरे जोड़ के कोष्ठक के बाहर: -(500 + 50)

   चिह्न संख्या का गुण है, किसी एक अंक का नहीं, और कोष्ठक लिखने में यही बात कही जाती है। उसे बाँटने पर -500 + -50 मिलता, जो गणित की दृष्टि से बिलकुल वही है और पढ़ने में बदतर: जिस पेज का आउटपुट एक जोड़ है वहाँ दो ऋण चिह्न दो संख्याओं का जोड़ पढ़े जाते हैं, और पंक्ति जाँचने वाले को यह निकालना पड़ता है कि पद ऋणात्मक अंक थे या कोई ऋणात्मक कुल।

4. एक से छोटा मान, आख़िर में शून्य: 0.004560

   1. सार्थक अंक निकालिए, जो 4, 5 और 6 हैं; आगे के शून्य सिर्फ़ दशमलव बिंदु की जगह तय करते हैं
   2. 4 हज़ारवें हिस्से के स्थान पर बैठता है, इसलिए उसका पद 0.004 है
   3. 5 दस-हज़ारवें हिस्से के स्थान पर है, जो 0.0005 देता है, और 6 सौ-हज़ारवें हिस्से पर, जो 0.00006 देता है
   4. इनपुट का आख़िरी अंक दस लाखवें हिस्से के स्थान पर एक शून्य है; वह कुछ नहीं जोड़ता और कोई पद नहीं बनाता
   5. पदों का जोड़ 0.00456 है, जो इनपुट का मान है

   आख़िरी शून्य ही दिलचस्प हिस्सा है, और यहीं यह पेज और सार्थक अंक वाला पेज अलग रास्ते लेते हैं। यहाँ वह शून्य बस कोई पद नहीं है, क्योंकि जोड़ को उसकी ज़रूरत नहीं। वहाँ वह एक नापा हुआ अंक है और उन चार सार्थक अंकों में गिना जाता है जो 0.004560 रखता है। दोनों पढ़तें एक ही इनपुट से आती हैं और कोई भी ग़लती नहीं है — एक संख्या के मान के बारे में है, दूसरी नाप की परिशुद्धता के बारे में।

शून्य कोई पद नहीं बनाते। 205.04 का विस्तार 200 + 5 + 0.04 है, 200 + 0 + 5 + 0 + 0.04 नहीं, इसलिए यह विस्तार इनपुट की अंक-दर-अंक नक़ल नहीं है; यह इनपुट का जोड़ की तरह लिखा हुआ रूप है, और जिन पदों का कोई मान नहीं वे हटा दिए जाते हैं। अगर शून्य बनाए रखने हों तो स्थानीय मान वाला पेज उन्हें रखता है। लिखा हुआ रूप इनपुट नहीं है: 4.5 × 10⁴ अस्वीकार होता है, और हज़ार के विभाजक भी, इसलिए 3,456 ग़लती है, 3456 सही। इनपुट पंद्रह सार्थक अंकों तक और घातें ±99 के भीतर सीमित हैं। किसी लिखे हुए पूर्णांक का आगे का शून्य, जैसे 007 में, वह भी नहीं सँभाला जाता — उसका कोई स्थानीय मान ही नहीं है, और उस इनपुट का विस्तार 7 है। शून्य दोनों सिरों पर ख़ास है: इनपुट 0 का विस्तार बिना किसी पद के 0 है, और किसी भी संख्या का विस्तार उसके आख़िरी शून्येतर अंक पर रुकता है, लिखी हुई शक्ल के आख़िर पर नहीं। कुछ भी पूर्णांकित नहीं होता और कुछ भी बदला नहीं जाता, इसलिए 9.99 का विस्तार 9 + 0.9 + 0.09 है, कभी 10 नहीं। और यह पेज अंक गिनाता है; यह उन्हें आपके लिए जोड़ता नहीं, यह तय नहीं करता कि उनमें से कितने सार्थक हैं, और संख्या को एक गुणांक तथा दस की घात की तरह नहीं लिखता। ये तीन अलग-अलग काम हैं, और वे क्रमशः स्थानीय मान, सार्थक अंक तथा मानक रूप वाले पेजों के हैं।

विस्तारित रूप क्या है?

किसी संख्या को उसके अंकों के जोड़ की तरह लिखना, जिसमें हर अंक अपने स्थान के मान से गुणा किया हुआ हो: 3456 यानी 3000 + 400 + 50 + 6। यह कोई अलग संख्या नहीं और लिखने का कोई छोटा तरीक़ा नहीं; यह वही संख्या है जिसमें उसके स्थानों का ढाँचा दिखाई दे रहा है, और इसीलिए स्थानीय मान पहले इसी रूप में पढ़ाया जाता है तथा यही रूप समझाता है कि स्तंभ-गणित क्यों चलता है।

विस्तार से शून्य क्यों हटा दिए जाते हैं?

क्योंकि शून्य मान वाला पद बिना कुछ बदले जोड़ से हटाया जा सकता है, और उसे रखने से पंक्ति पढ़ना मुश्किल ही होता है: 205.04 यानी 200 + 5 + 0.04, न कि 200 + 0 + 5 + 0 + 0.04। स्थानीय मान वाला पेज उलटा रुख़ लेता है और हर अंक रखता है, क्योंकि उसका विषय जोड़ नहीं, अंक हैं। दोनों पेज एक ही संख्या के बारे में सही हैं।

विस्तारित रूप और घातों वाले विस्तारित रूप में क्या फ़र्क़ है?

दूसरा स्थानीय मानों को दस की घातों की तरह लिखता है: 3000 + 400 + 50 + 6 के बजाय 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰। यह पेज दोनों छापता है, एक के नीचे एक, क्योंकि पहला वह है जो स्थानीय मान का चार्ट देता है और दूसरा वही चार्ट तब देता है जब उसके कॉलमों पर घातें लिख दी जाएँ।

दशमलव का विस्तार कैसे होता है?

उसी तरह, बस दशमलव बिंदु के दाईं ओर के स्थान ऋणात्मक घातें लेते हैं: 205.04 यानी 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻², क्योंकि 4 इकाई के स्थान से दो स्थान दाईं ओर बैठता है। 0.004560 का विस्तार 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵ है, और उसका आख़िरी शून्य कोई पद नहीं बनाता।

-550 को -(500 + 50) क्यों लिखा जाता है?

क्योंकि चिह्न पूरी संख्या का है, किसी एक अंक का नहीं। उसे बाँटने पर -500 + -50 मिलता, जो वही मान है पर दो ऋणात्मक संख्याओं के जोड़ की तरह पढ़ा जाता है — और जिस पेज का आउटपुट एक जोड़ हो वहाँ यह उलझाने वाला है। उसे एक बार, कोष्ठक के बाहर लिखना यह कहता है कि एक संख्या ऋणात्मक है और उस संख्या के टुकड़े कौन-से हैं।

क्या विस्तारित रूप बताता है कि किसी संख्या में कितने सार्थक अंक हैं?

नहीं। यह पेज अंक और उनके स्थानीय मान गिनाता है और वहीं रुक जाता है; 0.004560 का आख़िरी शून्य बस कोई पद नहीं है। वह शून्य नापा गया था या नहीं, यह अलग सवाल है, और उसका जवाब सार्थक अंक वाला पेज देता है — वहाँ वह गिना जाता है, और संख्या में चार सार्थक अंक होते हैं।

• Expanded form — what the form is, how a number is written as the sum of its place values, and the exponential version of the same expansion — SplashLearn (United States)
• Expanded notation — the same expansion written with powers of ten, under the name used in the United States — Wolfram MathWorld (United States)
• Place value — the chart the expansion is read off, with each digit's value determined by its position — SplashLearn (United States)