स्थानीय मान कैलकुलेटर

205.04 = 2 × 100 + 0 × 10 + 5 × 1 + 0 × 0.1 + 4 × 0.01; place values run 10ⁿ with n = 2, 1, 0, −1, −2; 4.5e4 lists 4 × 10000 and 5 × 1000, largest place 10000, smallest place 1000

205.04

जिस संख्या को पढ़ना है, साधारण दशमलव में या E संकेतन में दी हुई। उसके हर अंक को उसी क्रम में गिना जाता है जिसमें वह लिखा है, इसलिए जवाब में हर पद की जगह इनपुट में उस अंक की जगह से मिलती है

0 × 10

शून्य अंक का पद, जिसे हटाया नहीं, रखा जाता है। 205.04 में दहाई के स्थान पर शून्य है और वही शून्य इस संख्या को 25 के बजाय 205 बनाता है, इसलिए उसका स्थानीय मान बाक़ी सबके साथ गिना जाता है, भले ही वह अंक कुल में कुछ नहीं जोड़ता

10ⁿ

किसी भी स्थान का स्थानीय मान, जहाँ घातांक इकाई के स्थान से क़दम गिनता है: दहाई, सैकड़े और हज़ार के लिए धनात्मक, इकाई के स्थान पर ख़ुद शून्य, और दसवें, सौवें तथा हज़ारवें हिस्से के लिए ऋणात्मक। घातांक ही उस स्थान का पता है

× 10

हर पद में गुणा का चिह्न। पंक्ति पूरी चौड़ाई में अंक गुणा स्थानीय मान पढ़ी जाती है, और यही साफ़ करता है कि 205.04 का 5 पाँच का है, पाँच सौ का नहीं — भले ही जवाब में दोनों एक-दूसरे के बग़ल लिखे हों

10000 और 1000

संख्या जो सबसे बड़ा और सबसे छोटा स्थान इस्तेमाल करती है, उनके मानों की तरह। 4.5e4 में वे 10000 और 1000 हैं, 10000 और 1 नहीं, क्योंकि E संकेतन सिर्फ़ गुणांक के अंकों के नाम लेता है और खुलकर लिखी संख्या के आख़िरी शून्य उनमें नहीं आते

0.1 और 0.01

दशमलव बिंदु के दाईं ओर के दो स्थानीय मान, घात-रूप में नहीं बल्कि दशमलव में लिखे हुए, क्योंकि बोलते समय वही रूप आता है। 0.1 दसवें हिस्से का स्थान है और 0.01 सौवें का, और हर एक अपने बाईं ओर वाले स्थान का दसवाँ हिस्सा है

स्थानीय मान अंकगणित का पहला विचार है और उसके बाद आने वाला हर विचार उसी पर टिका है। यही वह चीज़ है जो बच्चा गिनतियों के साथ चार्ट पर सीखता है, और यही वह चीज़ है जिसका सहारा सालों बाद स्तंभ-जोड़, स्तंभ-घटाव, दीर्घ गुणा और दीर्घ भाग की हर पंक्ति में लिया जाता है: वे तरीक़े सिर्फ़ इसलिए चलते हैं कि एक ही कॉलम में बैठे अंकों का मान एक ही होता है, और जो इसे नहीं मानता उसके हाथ से वे सब फिसल जाते हैं। यही विचार दशमलव पद्धति की पूरी सघनता भी है — किसी भी आकार की संख्या लिखने के लिए दस अंक काफ़ी हैं, क्योंकि बाक़ी सूचना जगह ढोती है — और जब कोई और आधार आता है तो यही पहली चीज़ है जिसे बढ़ाना नहीं, दोबारा सीखना पड़ता है: बाइनरी संख्या ठीक इसी तरह चलती है, बस 1, 10, 100, 1000 की जगह उसके स्थानीय मान 1, 2, 4, 8 होते हैं, और इसीलिए बाइनरी बदलने वाले पेज और यह पेज एक ही तंत्र का वर्णन करते हैं। नाप-जोख और पैसे में यह चार्ट रोज़ का औज़ार है। दसवें और सौवें हिस्से के स्थान ही यह बताते हैं कि किसी रीडिंग को दो दशमलव स्थानों तक पढ़ना क्या मतलब रखता है, और यह जानना कि दशमलव बिंदु के बाद के अंक क्रमशः कम मूल्य के होते जाते हैं, 0.04 को चार सौवाँ हिस्सा पढ़ने और चार पढ़ने का फ़र्क़ है। सूची के नीचे की दो पंक्तियाँ, यानी सबसे बड़ा और सबसे छोटा स्थान, इस सवाल का फ़ौरी जवाब हैं कि कोई संख्या कितनी बड़ी है और कितनी बारीक़: हज़ारवें स्थान तक दर्ज की गई कोई रीडिंग अलग परिशुद्धता का दावा करती है उससे जो इकाई के स्थान तक दर्ज की गई हो, और वह दावा यह तय करता है कि उसका आख़िरी अंक कहाँ बैठा है। जब अंकों को जोड़ना हो, सूची बनाने की जगह, तो विस्तारित रूप वाला पेज वह करता है। और जब उन्हें एक गुणांक तथा एक घातांक में समेटना हो, तो वह मानक रूप वाला पेज है।

1. बिंदु के दोनों ओर एक-एक अंक वाली संख्या: 205.04

   1. अंक बाएँ से दाएँ पढ़िए: 2, 0, 5, 0, 4
   2. 2 इकाई के स्थान से तीन स्थान बाईं ओर है: 2 × 100
   3. दहाई के स्थान का 0 अपना पद रखता है: 0 × 10
   4. 5 इकाई के स्थान पर है, जिसका मान 1 है, इसलिए उसका पद 5 × 1 है
   5. दसवें हिस्से के स्थान का 0 अपना पद रखता है: 0 × 0.1
   6. 4 इकाई के स्थान से दो स्थान दाईं ओर, सौवें हिस्से में है: 4 × 0.01
   7. सबसे बड़ा इस्तेमाल हुआ स्थान 100 है और सबसे छोटा 0.01, यानी संख्या सैकड़े से सौवें हिस्से तक चलती है

   यही डिफ़ॉल्ट है, और यही वह उदाहरण है जिसमें दशमलव बिंदु के दोनों ओर एक-एक शून्य है, इसलिए आइने की दोनों दिशाएँ एक साथ दिखती हैं। इसकी तुलना विस्तारित रूप वाले पेज पर इसी इनपुट से कीजिए, जो 200 + 5 + 0.04 का जवाब देता है: पाँच पद बनाम तीन। जो दो पद हटते हैं वे ठीक वही दो शून्य हैं, और वजह यह है कि एक पेज स्थान गिनता है जबकि दूसरा रक़में जोड़ता है।

2. आख़िर में शून्य वाली पूर्ण संख्या: 1200

   1. अंक हैं 1, 2, 0, 0 और स्थान चलते हैं हज़ार, सैकड़ा, दहाई, इकाई
   2. 1 का मान 1000 है और 2 का 200
   3. दोनों शून्य पदों की तरह रखे जाते हैं, क्योंकि जो स्थान वे घेरते हैं वे फिर भी मौजूद हैं: 0 × 10 और 0 × 1
   4. सबसे बड़ा इस्तेमाल हुआ स्थान हज़ार है और सबसे छोटा इकाई का स्थान, जिसका मान 1 है

   यहाँ मुद्दा ही शून्य हैं। उन्हें हटा देने पर 1 × 1000 और 2 × 100 बचता, जो विस्तारित रूप वाला पेज करता है और वहाँ वह बिल्कुल ठीक जवाब है, क्योंकि जोड़ को शून्य मान वाले पदों की ज़रूरत नहीं होती। यहाँ उन्हें इसलिए रखा जाता है कि संख्या 1200 में दहाई और इकाई के स्थान असल में मौजूद हैं, और स्तंभ-घटाव जाँचने वाले पाठक को यह जानना है कि वे भरे हुए हैं। यह भी देखिए कि सबसे छोटा स्थान 0.01 नहीं, 1 है: संख्या में दशमलव बिंदु ही नहीं है, इसलिए उसका आख़िरी अंक इकाई के स्थान पर है और यही सबसे बारीक़ बात है।

3. E संकेतन में लिखा एक मान: 4.5e4

   1. 4.5e4, 45000 लिखने का एक रूप है, पर यह सिर्फ़ 4 और 5 अंकों के नाम लेता है
   2. 4 गुणांक का पहला अंक है, इसलिए वह दस-हज़ार के स्थान पर पड़ता है: 4 × 10000
   3. 5 दूसरा अंक है, इसलिए वह हज़ार के स्थान पर पड़ता है: 5 × 1000
   4. 45000 के बाक़ी तीन शून्य इनपुट में लिखे ही नहीं हैं, इसलिए सूची में आते ही नहीं
   5. सबसे बड़ा स्थान 10000 है और सबसे छोटा 1000 — 1 नहीं

   यह वह मामला है जो ग़लती जैसा दिखता है और ग़लती नहीं है। 45000 टाइप कीजिए तो सूची इकाई के स्थान तक नीचे चलती है; 4.5e4 टाइप कीजिए तो वह हज़ार पर रुक जाती है, क्योंकि E संकेतन अपना आकार घातांक में ढोता है, लिखे हुए शून्यों में नहीं, और यह पेज वही अंक पढ़ता है जो उसे दिए गए। दोनों इनपुट एक ही संख्या बताते हैं, और दूसरा बस उसके कम अंकों के नाम लेता है। संकेतन के अंदर का घातांक भी स्थानीय पदों में नहीं खोला जाता, क्योंकि 0 × 100 जैसा पद इस पेज का ऐसे इनपुट के लिए अंक गढ़ना होता जिसने उन्हें कभी लिखा ही नहीं।

सूची उतनी लंबी होती है जितने अंक लिखे गए हैं, संख्या की पूरी चौड़ाई जितनी नहीं। 4.5e4 दो पद बनाता है, पाँच नहीं, और उसका सबसे छोटा स्थान 1 नहीं, 1000 है, क्योंकि इनपुट दो अंकों के नाम लेता है। हर स्थान देखने हों तो संख्या को 45000 लिखकर टाइप कीजिए। स्थानों के नाम नहीं छपते। जवाब कहता है कि 205.04 का पहला अंक 200 का है, यह कभी नहीं कहता कि वह सैकड़े के स्थान पर है, क्योंकि स्थानों के नामों की सूची को कहीं रुकना पड़ता: एक जगह के बाद उसे दस-हज़ारवाँ और सौ-हज़ारवाँ हिस्सा चाहिए होता, और जो तालिका बीच में ही शब्द खो दे वह उससे बदतर है जो घातें इस्तेमाल करती है और कभी नहीं रुकती। लिखे हुए रूप अस्वीकार होते हैं, इसलिए 2 × 10² इनपुट नहीं है; 200 या 2e2 लिखिए। हज़ार के विभाजक भी अस्वीकार होते हैं, इसलिए 1,200 ग़लती है, 1200 सही। इनपुट पंद्रह सार्थक अंकों तक और घातें ±99 के भीतर सीमित हैं, और किसी लिखे हुए पूर्णांक का आगे का शून्य नहीं सँभाला जाता — 007 को 7 पढ़ा जाता है, जिसका अकेला स्थान इकाई है। ऋण चिह्न सूची में नहीं आता, क्योंकि वह संख्या का गुण है, किसी अंक का नहीं: −205.04 से वही पाँच पद निकलते हैं जो 205.04 से। कुछ भी जोड़ा नहीं जाता और कुछ भी पूर्णांकित नहीं होता, इसलिए जवाब कभी नहीं बताता कि अंक जुड़कर कितना बनाते हैं; वह विस्तारित रूप वाला पेज है। और नीचे का चार्ट दस की घातों का एक तय समूह है, ऊपर के इनपुट का वर्णन नहीं।

स्थानीय मान क्या है?

वह नियम कि किसी अंक का मान इस पर टिकता है कि वह कहाँ लिखा है, इस पर नहीं कि वह कैसा दिखता है। अंक 5, 5 में, 25 में और 205.04 में क्रमशः 5, 50 और 0.05 का है, क्योंकि हर बार वह अलग जगह बैठता है। हर स्थान अपने दाईं ओर वाले से दस गुना का होता है, और यही वजह है कि किसी भी आकार की संख्या लिखने के लिए दस अंक काफ़ी पड़ जाते हैं।

यहाँ सूची में शून्य क्यों रखे जाते हैं?

क्योंकि स्थानीय मान किसी स्थान का होता है, और जिस स्थान पर शून्य बैठा हो वह उस स्थान को फिर भी भरा हुआ रखता है — 205 का शून्य ही उसे 25 के बजाय 205 बनाता है। यह पेज अंक और उनके स्थान गिनता है, इसलिए उन्हें रखता है। विस्तारित रूप वाला पेज वही संख्या जोड़ बनाता है और उन्हें छोड़ देता है, क्योंकि शून्य मान वाला पद कुछ नहीं जोड़ता; दोनों जवाब अलग हैं और दोनों सही हैं।

4.5e4 में हज़ार से नीचे का कोई स्थान क्यों नहीं गिना जाता?

क्योंकि E संकेतन संख्या का आकार अपने घातांक में ढोता है, लिखे हुए शून्यों में नहीं, और यह पेज वही अंक पढ़ता है जो उसे दिए गए। 4.5e4 दो अंकों के नाम लेता है, इसलिए सूची में दो पद हैं, 4 × 10000 और 5 × 1000, और सबसे छोटा स्थान 1000 है। इसकी जगह 45000 टाइप कीजिए तो वही संख्या इकाई के स्थान तक हर स्थान गिन देती है। दोनों तरह राशि एक ही है; बदला बस यह है कि कितने अंक लिखे गए।

दसवाँ, सौवाँ और हज़ारवाँ हिस्सा क्या हैं?

दशमलव बिंदु के ठीक दाईं ओर के तीन स्थान, जिनके मान 0.1, 0.01 और 0.001 हैं। हर एक अपने बाईं ओर वाले स्थान का दसवाँ हिस्सा है, और उनके नाम वही कहते हैं जो उनके मान कहते हैं: दसवें हिस्से का स्थान वह है जहाँ किसी अंक का मान दसवाँ हिस्सा होता है, सौवें का वह जहाँ सौवाँ। इसलिए 0.04 चार सौवाँ हिस्सा है, चार दसवाँ नहीं, और वह 4 इकाई से दो स्थान दाईं ओर बैठता है।

जवाब में 2 सौ के बजाय 2 × 100 क्यों छपता है?

क्योंकि स्थानों के नामों की सूची को कहीं रुकना पड़ता है। दस-हज़ारवें और हज़ारवें हिस्से के आगे चार्ट को ऐसे नाम चाहिए होते जो ज़्यादातर पाठकों ने कभी इस्तेमाल नहीं किए, और जो चार्ट आधे रास्ते में शब्द खो दे वह उससे बदतर है जो हर स्थान का मान दस की घात की तरह देता है और कभी नहीं रुकता। मान दोनों तरह एक ही बात है: 2 × 100 और दो सौ एक ही स्थान हैं, दो तरीक़ों से बताए हुए।

क्या स्थानीय मान वाला पेज मुझे अंकों का जोड़ बताता है?

नहीं। यह हर अंक को उसके स्थान के मान के साथ गिनता है और वहीं रुक जाता है; पद जुड़कर इनपुट बनाते हैं, पर पेज वह जोड़ कभी नहीं करता। अगर आपको संख्या उसके स्थानीय मानों के जोड़ की तरह चाहिए, तो वह विस्तारित रूप वाला कैलकुलेटर है, जो वही स्थान पदों की तरह इस्तेमाल करता है और शून्य मान वाले छोड़ देता है।

• Place value — how a digit's position determines what it is worth, with the chart on both sides of the decimal point — Math is Fun (United Kingdom)
• Place value — the definition of the chart and of the tenths, hundredths and thousandths places to the right of the decimal point — SplashLearn (United States)
• Expanded form — the same number written as a sum of its place values, with the zero terms left out — SplashLearn (United States)