जो आधार दस नहीं है, उसमें दो संख्याएँ कैसे जोड़ी जाती हैं?

दाईं ओर से स्तंभ-दर-स्तंभ जोड़िए, ठीक वैसे ही जैसे दशमलव में, पर कैरी तब बनाइए जब कोई स्तंभ दस तक नहीं बल्कि आधार तक पहुँच जाए। आधार 2 में कैरी की एक ही दहलीज़ है, 2: 1 + 1 का मतलब 0 कैरी 1। इसलिए 1011 + 110 = 10001, क्योंकि दो के स्तंभ और चार के स्तंभ दोनों उबल पड़े और हर एक ने एक 1 अगले स्थान में धकेल दिया। अगर कैरी का हिसाब रखना न चाहें तो दोनों ऑपरेंड दशमलव में बदल लीजिए, गणित वहाँ कीजिए, और वापस बदल दीजिए — इस पेज की दशमलव पंक्ति ठीक यही दिखा रही है, और जवाब हर बार वही आता है।

आधार 2 में रखकर 1012 लिखने पर वह क्यों ठुकरा दिया गया?

क्योंकि 2 आधार 2 का अंक नहीं है — अंक सिर्फ़ 0 और 1 हैं, और कुछ नहीं। नियम यह है कि अंक आधार से छोटा होना चाहिए, इसलिए आधार 2 में 0 और 1 चलते हैं, आधार 8 में 0 से 7 तक, आधार 10 में 0 से 9 तक, और आधार 16 में 0 से 9 तक तथा A से F तक। आपको यह उस अंक का नाम लेने वाली बात के बजाय एक सामान्य गणना-त्रुटि के रूप में दिखेगा, और यह जाना-पहचाना खुरदुरा किनारा है: इनपुट बॉक्स की जाँच सिर्फ़ आपकी टाइप की हुई शृंखला देख सकती है, आपका चुना हुआ आधार नहीं, इसलिए वह ऐसी कोई भी अंक-शृंखला मान लेती है जो किसी न किसी आधार में वैध हो सकती हो और आधार-विशेष की जाँच गणना पर छोड़ देती है। जवाब कभी ग़लत नहीं होता, बस समझाने वाली पंक्ति उतनी पतली रह जाती है जितनी होनी चाहिए थी।

कौन-कौन से आधार इस्तेमाल कर सकता हूँ, और यह 36 पर क्यों रुक जाता है?

2 से 36 तक कोई भी पूर्ण संख्या। छत गणित की नहीं, कीबोर्ड की है: नौ से बड़े अंकों के लिए चिह्न चाहिए, परंपरागत चिह्न A से Z अक्षर हैं, और वे छब्बीस हैं — दस और छब्बीस मिलकर छत्तीस। आधार 1 अलग वजह से असंभव है: एक ही अंक के साथ आप शून्य से ऊपर कोई मान लिख ही नहीं सकते, क्योंकि हर स्थान की क़ीमत 1 होती और 2 तक पहुँचने का कोई रास्ता नहीं बचता।

आधार 16 का 100 भी सौ ही है क्या?

नहीं, और पेज का दूसरा उदाहरण इसी भूल को रोकने के लिए रखा गया है। आधार 16 में 100 का मतलब 1×256 + 0×16 + 0 है, यानी 256। अंक वही चिह्न हैं, पर हर क़दम पर हर स्थान की क़ीमत दस गुनी के बजाय सोलह गुनी हो जाती है, इसलिए वही तीन चिह्न अलग मान बताते हैं। पेज की दशमलव पंक्ति ठीक इसीलिए है कि आपको कभी अंदाज़ा न लगाना पड़े कि कौन-सी पढ़त का मतलब है।

शेषफल हमेशा क्यों दिखता है, जोड़ में भी?

क्योंकि पूर्ण संख्याओं के लिए कुछ बचा न रहना और शेषफल शून्य रहना एक ही बात है, और ऐसी पंक्ति जो आती-जाती रहती है, उस पंक्ति से पढ़ने में कठिन होती है जो हमेशा वहीं रहती है। जोड़, घटाव और गुणा में वह पंक्ति 0 पढ़ती है। गैर-शून्य शेषफल सिर्फ़ भाग में बन सकता है, और वहाँ वह उस हिस्से को लिए चलता है जो बराबर नहीं बँटा — आधार 2 में 1011 ÷ 10 में 1 बचता है, यानी 11 ÷ 2 का वह आधा जिसे भागफल ने छोड़ दिया।

क्या इस पेज पर आधार 10 में भी गणना कर सकता हूँ?

हाँ, और यह जाँचने का काम का तरीक़ा है कि पेज आम कैलकुलेटर से सहमत है: आधार 10 रखिए और सब कुछ ठीक वैसे ही चलेगा जैसी आप अपेक्षा करते हैं, क्योंकि अंक, कैरी और जवाब का ढाँचा कुछ नहीं बदलता। जो मिलता है वह शेषफल की पंक्ति और आधार का साफ़-साफ़ लिखा होना है, और जो खोता है वह कुछ नहीं। पड़ोसी पेज उलटी दिशा में जाते हैं — बाइनरी कैलकुलेटर और हेक्स कैलकुलेटर यही गणित हैं जिनमें आधार पहले से 2 और 16 भरा हुआ है, और कन्वर्टर बिना कोई क्रिया लगाए एक आधार के मान को दूसरे में ले जाते हैं।

आधार कैलकुलेटर

नतीजा

10001

परिणाम

दशमलव: 17
शेषफल: 0

हर संख्या-आधार एक नियम है जो अंकों की एक शृंखला को मान में बदल देता है: हर अंक को आधार की उसकी स्थिति वाली घात से गुणा कीजिए और सब जोड़ दीजिए — स्थिति दाईं ओर से शून्य से गिनी जाती है, और यही स्थानीय मान का नियम है। आधार 2 में सिर्फ़ 0 और 1 चलते हैं और बाईं ओर हर क़दम पर मान दुगना हो जाता है: 1011 का मतलब 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1, यानी 11। आधार 16 में अंक 0 से 9 तक चलते हैं और उसके बाद A से F तक, और बाईं ओर हर क़दम पर मान 16 गुना होता है: FF का मतलब 15×16 + 15, यानी 255। यह कैलकुलेटर 2 से 36 तक कोई भी आधार चुनने देता है, और फिर उसी आधार में जोड़, घटाव, गुणा या भाग करता है। आधार कोई दूसरी तरह की संख्या नहीं है — वह उन्हीं संख्याओं को लिखने का दूसरा तरीक़ा है, और इसीलिए यह पेज जवाब की दोनों पढ़तें साथ-साथ छापता है। आधार 2 में 1011 और 110 का जोड़ 10001 बनता है — और वही 11 और 6 का जोड़ है, यानी 17, और 17 आधार 2 में 10001 ही है। दोनों पंक्तियाँ एक ही बात कह रही हैं; दशमलव वाली पंक्ति उन पाठकों के लिए है जो दिन-रात किसी और आधार में नहीं बैठते। शुरू करने से पहले तीन बातें जान लेना काम आता है। नौ से बड़े अंकों के लिए कोई चिह्न चाहिए, और लंबे समय से चली आ रही परंपरा के मुताबिक़ दस से पैंतीस तक के लिए A से Z अक्षर इस्तेमाल होते हैं — इसी वजह से आधार 36 सबसे बड़ा आधार है जिसे किसी कीबोर्ड के अक्षरों में लिखा जा सकता है। कोई अंक तभी वैध है जब वह आधार से छोटा हो, इसलिए आधार 2 में 2 कोई अंक नहीं है, और 1012 दिखने में संख्या जैसा लगने के बावजूद बाइनरी संख्या नहीं है। और आधार ख़ुद जवाब का हिस्सा नहीं है: 10001 का मतलब सत्रह तभी है जब आपने कहा हो कि आधार दो है, इसलिए यह पेज अंक छापता है और आधार आपके चुने हुए फ़ील्ड पर छोड़ देता है। गणित साधारण गणित ही है — बदलती सिर्फ़ लिखावट है। जोड़ में कैरी तब बनती है जब कोई स्तंभ दस तक नहीं, बल्कि आधार तक पहुँच जाता है, इसीलिए FF में 1 जोड़ने पर FG पर रुकने के बजाय 100 बन जाता है; G नाम का कोई अंक नहीं है, क्योंकि सोलह एक अंक नहीं है। यही एक तथ्य बाइनरी अंकगणित का पूरा जोड़ है, और घटाव, गुणा तथा भाग उसी से उसी तरह निकलते हैं जैसे आप अपेक्षा करेंगे। भाग वह जगह है जहाँ आधार की गिनती असली काम आती है: एक संख्या को दूसरी से भाग देने पर भागफल और शेषफल मिलते हैं, और दोनों आपके चुने हुए आधार में छपते हैं। शेषफल की पंक्ति हमेशा दिखती है। जोड़, घटाव और गुणा में वह 0 रहती है, क्योंकि पूर्ण संख्याओं के लिए कुछ बचा न रहना और शेषफल शून्य होना एक ही बात है। घटाव शून्य से नीचे भी जा सकता है, और तब जवाब के आगे साधारण तरीक़े से ऋण चिह्न लग जाता है — वह चिह्न अंकों के समूह का हिस्सा नहीं है।

संख्या 255 चार आधारों में, स्थानीय मान खोलकर लिखे हुए

आधार	उस आधार में लिखा रूप	स्थानीय मान
2	11111111	128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
8	377	3×64 + 7×8 + 7
10	255	2×100 + 5×10 + 5
16	FF	15×16 + 15

बीच का स्तंभ ऊपर से नीचे पढ़िए और वही एक मान चार रूपों में दिखता है: 11111111, 377, 255 और FF। पंक्तियों के बीच संख्या में कुछ नहीं बदला — बदले सिर्फ़ चिह्न और क़दमों के आकार। तीसरा स्तंभ वह गणित है जो हर लिखावट को वापस 255 बनाता है: आधार 2 में आठ एक हैं, इसलिए 128 से 1 तक की सारी घातें आती हैं; आधार 16 में सिर्फ़ दो अंक हैं, पर पहला 2 से नहीं, 16 से गुणा होता है। यह भी देखिए कि जैसे-जैसे आधार बढ़ता है, चौड़ाई घटती जाती है। 255 लिखने के लिए आधार 2 को आठ अंक चाहिए, आधार 8 को तीन, आधार 10 को तीन, और आधार 16 को दो — बड़ा आधार वही मान कम स्थानों में कह देता है, क्योंकि हर स्थान की क़ीमत ज़्यादा है। यही पूरा सौदा है जिसकी वजह से आधार होते हैं: आधार 16 बाइट के लिए इसलिए इस्तेमाल होता है कि गणित में वह ख़ास है, ऐसा नहीं — बल्कि इसलिए कि उसके दो अंक ठीक एक बाइट ढक लेते हैं; और उससे नीचे के स्तर पर आधार 2 इसलिए चलता है कि जिस तार की हालत सिर्फ़ चालू या बंद होती है, उसके पास ठीक दो अवस्थाएँ हैं। तालिका आपकी टाइप की हुई संख्याओं का पीछा नहीं करती — ऊपर का पैनल उनका जवाब देता है, यह एक ही मान के चार रूप दिखाती है।

फ़ॉर्मूला

आधार 2 में 1011 + 110 = 10001, और आधार 10 में 11 + 6 = 17 ⇒ आधार 2 का 10001 वही 17 है — एक मान, दो तरह लिखा हुआ

b: आधार, यानी 2 से 36 के बीच कोई पूर्ण संख्या। यह एक सादा संख्या-बॉक्स है, पैंतीस विकल्पों की सूची नहीं, इसलिए सीमाएँ बॉक्स पर ही लागू होती हैं: 1 और 37 गणना शुरू होने से पहले ही रोक दिए जाते हैं। आधार 1 असंभव है क्योंकि एक अकेला चिह्न शून्य से आगे गिन ही नहीं सकता, और आधार 37 के लिए सैंतीसवाँ चिह्न चाहिए जो किसी कीबोर्ड पर नहीं है
1011: ग्यारह, आधार 2 में लिखा हुआ: 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1। इसे दाईं ओर से पढ़िए, क्योंकि घातें उसी दिशा में चलती हैं। वही ग्यारह आधार 10 में 11 है, आधार 8 में 13, और आधार 16 में B
10001: 1011 + 110 का जवाब, अब भी आधार 2 में: 1×16 + 0×8 + 0×4 + 0×2 + 1×1, यानी 17। रास्ते में दो कैरी बनीं — इकाई का स्तंभ 2 तक पहुँचा और चौके का स्तंभ 2 तक — और हर कैरी एक स्थान बाईं ओर खिसकी, ठीक वैसे ही जैसे दशमलव में कोई स्तंभ दस तक पहुँचने पर कैरी खिसकती है
FF: पंद्रह गुणा सोलह जमा पंद्रह, यानी 255। आधार 16 ठीक एक बाइट में बैठता है: दो हेक्साडेसिमल अंक 0 से 255 तक का हर मान ढक लेते हैं, इसीलिए यह आधार हर उस जगह दिखता है जहाँ बाइट दिखती है। A से F तक के छह अंक नौ के बाद आते हैं
17 ÷ 5 = 3 शेष 2: भाग खुला हुआ लिखा हुआ। आधार 2 में वही भाग 10001 ÷ 101 = 11 शेष 10 है, और पेज भागफल को मुख्य परिणाम की तरह तथा शेषफल को उसकी अपनी पंक्ति पर छापता है। शेषफल हमेशा भाजक से छोटा रहता है — यही उसे भिन्न बनने से रोकता है
A से Z: वे छब्बीस अतिरिक्त अंक जो आधार 10 को खींचकर आधार 36 तक ले जाते हैं। A दस है, B ग्यारह, और Z पैंतीस। बड़े और छोटे दोनों अक्षर चलते हैं, और पेज बड़े अक्षरों में छापता है

किसी ऐसे सिस्टम से मान पढ़ना रोज़ का काम है जो किसी और आधार में बोलता है। मेमोरी-डंप बाइट को हेक्साडेसिमल अंकों के जोड़ों में छापता है, फ़ाइल की अनुमति 755 दिखती है क्योंकि उसके तीन अंकों में से हर एक तीन बिट समेटता है, सबनेट मास्क आठ-आठ बिट के चार समूह होता है, और IPv6 पता शुरू से आख़िर तक हेक्साडेसिमल है। इन सबमें दशमलव मान वह नहीं है जो आप चाहते हैं — आप वह आधार देखना चाहते हैं जो मशीन देखती है। उन्हीं सिस्टमों में लिखना इसका दूसरा पहलू है: किसी रजिस्टर का बिट-पैटर्न सेट करना, लाल, हरे और नीले बाइट से रंग बनाना, या यह समझना कि खिसकाया हुआ मान ऋणात्मक क्यों निकला — इन सबका मतलब है दस के अलावा किसी आधार में गणना करना। पढ़ाई में आधार-गणित इसलिए पढ़ाया जाता है कि वह दिखाता है कि स्थानीय मान कोई क़ुदरती तथ्य नहीं, एक चुनाव है, और अभ्यास ठीक वही होते हैं जो यह पेज करता है — आधार 2 में कैरी, आधार 8 में उधार, और यह देखना कि एक ही क्रिया हर आधार में वही जवाब देती है, बस दोनों तरफ़ एक ही आधार में पढ़ा जाए। चौथा इस्तेमाल अपना काम जाँचना है: अगर आधार 2 में 1011 और 110 का जोड़ दशमलव में 17 के अलावा कुछ और निकले, तो दोनों पढ़तों में से एक ग़लत है — और दोनों का एक ही पेज पर होना इसी जाँच को मुमकिन बनाता है। जब आधार ठीक 2 या 16 हो, तो समर्पित पेज और गहरे जाते हैं — बाइनरी कैलकुलेटर और हेक्स कैलकुलेटर यही गणित हैं जिनमें आधार पहले से भरा हुआ है, और दो कन्वर्टर पेज बिना कोई क्रिया लगाए एक आधार से दूसरे में जाना सँभालते हैं।

हल किए हुए उदाहरण

आधार 2 में जोड़: 1011 + 110
1. जोड़ने से पहले दोनों ऑपरेंड दशमलव में पढ़ लीजिए, ताकि पता रहे कि जोड़ किसका हो रहा है: 1011 ग्यारह है और 110 छह
2. 11 + 6 = 17
3. 17 को आधार 2 में लिखिए: 17 = 16 + 1, इसलिए अंक बने 1 0 0 0 1
4. आधार 2 का जवाब 10001 है, और दशमलव पंक्ति गवाही देती है कि वह 17 ही है
यही डिफ़ॉल्ट इनपुट है, और नीचे की तालिका इसी संख्या को दूसरे आधार में खोलकर दिखाती है। दोनों शृंखलाओं को स्तंभ-दर-स्तंभ जोड़ने पर भी वही जवाब आता है: 1 + 0 = 1, फिर 1 + 1 = 0 कैरी 1, फिर 0 + 1 और वह कैरी मिलकर 0 कैरी 1, और आख़िरी कैरी बाईं ओर एक नए स्तंभ में उतरती है। कोई स्तंभ 2 तक पहुँचे तो कैरी बनाना — पूरा आधार-2 जोड़ इतना ही है; यही कैरी वजह है कि ऑपरेंड चार और तीन अंकों के थे और जवाब 10001 पाँच अंकों का निकला।
आख़िरी अंक से आगे कैरी: आधार 16 में FF + 1
1. FF का मतलब 15×16 + 15 = 240 + 15 = 255
2. 1 जोड़ने पर 256
3. 256 को आधार 16 में लिखिए: 256 = 1×256 + 0×16 + 0, इसलिए अंक बने 1 0 0
4. जवाब आधार 16 में 100 है — यानी 256, सौ नहीं
यह उदाहरण इसी जाल के लिए रखा गया है: 100 दशमलव में छोटी संख्या है और आधार 16 में उससे कहीं बड़ी। स्तंभ-दर-स्तंभ पढ़ने पर दिखता है कि वह इतनी चौड़ी क्यों निकलती है — F और 1 मिलकर सोलह होते हैं, जो आधार 16 का अंक नहीं है, इसलिए वह कैरी बनाकर 0 पीछे छोड़ता है, और कैरी वाला 1 एक पूरे F पर उतरता है, जो फिर कैरी बनाता है। एक ही जोड़ ने जवाब को दो स्थान ऊपर पहुँचा दिया। यह वही घटना है जो दशमलव में 99 + 1 को 100 बनाती है, और यही वजह है कि 255 से 256 पर पलटती बाइट को दूसरी बाइट चाहिए।
शेषफल वाला भाग: आधार 2 में 1011 ÷ 10
1. 1011 ग्यारह है और 10 दो
2. 11 ÷ 2 = 5 शेष 1
3. 5 को आधार 2 में लिखिए: 5 = 4 + 1, इसलिए अंक बने 1 0 1
4. भागफल 101 है और शेषफल की पंक्ति 1 पढ़ती है — और 101 पाँच है, जिसकी गवाही दशमलव पंक्ति देती है
चार क्रियाओं में यह अकेली है जिसका शेषफल शून्य नहीं है, और इसी वजह से शेषफल की पंक्ति इस पेज पर मौजूद है। ध्यान दीजिए कि भागफल सिर्फ़ पूरा हिस्सा है: 11 को 2 से भाग देने पर 5.5 आता है, और पेज 101 तथा शेषफल 1 छापता है — 10.1 या 101.1 नहीं, क्योंकि शेषफल जवाब को पूर्ण संख्याओं में रखता है; वह आधा उसी 1 में बैठा है। जाँच है 5 × 2 + 1 = 11, और वह हर आधार में सही बैठती है।

सीमाएँ

आधार 2 से 36 के बीच कोई पूर्ण संख्या होना चाहिए। एक असंभव है क्योंकि एक अकेला अंक शून्य के अलावा कोई मान जता ही नहीं सकता, और सैंतीस के लिए सैंतीसवाँ चिह्न चाहिए; फ़ील्ड गणना शुरू होने से पहले दोनों को ठुकरा देता है। दशमलव और भिन्न गोल करने के बजाय ठुकरा दिए जाते हैं, और किसी ऑपरेंड के आगे का ऋण चिह्न भी: पेज अंक पढ़ता है, और चिह्न या बिंदु अंक नहीं है। आपके चुने हुए आधार के लिए बहुत बड़ा अंक अलग मामला है, और यह साफ़ कह देना ठीक है कि उसका क्या होता है। आधार 2 रखकर 1012 लिखिए और आपको उस अंक का नाम लेकर समझाने वाली बात के बजाय एक सामान्य गणना-त्रुटि मिलेगी। यह चूक नहीं, जान-बूझकर किया गया सौदा है: इनपुट बॉक्स की जाँच को केवल वही शृंखला सौंपी जाती है, वह अपने बग़ल में पड़ा आधार-फ़ील्ड पढ़ ही नहीं सकती, और ईमानदार रास्ते दो ही थे — ऐसी कोई भी अंक-शृंखला मान लेना जो किसी न किसी आधार में वैध हो सकती है, या कुछ भी मान लेना। पेज ने पहला रास्ता चुना। व्यवहार में इसका मतलब यह है कि बॉक्स साफ़ रहता है और त्रुटि परिणाम पैनल में दिखती है — जवाब कभी ग़लत नहीं होता, बस उसकी व्याख्या उतनी अच्छी नहीं होती। दोनों ऑपरेंड साठ अक्षरों और उस सबसे बड़ी पूर्ण संख्या तक सीमित हैं जिसे दोहरी परिशुद्धता ठीक-ठीक रख सकती है, यानी 9007199254740991 — जो दशमलव में सोलह अंकों की और आधार 2 में क़रीब पचास अंकों की होती है। जवाब पर भी वही छत लगती है: वह ठीक-ठीक निकाला जाता है और फिर जाँचा जाता है, इसलिए जिस क्रिया का नतीजा उससे आगे निकले, वह गोल किए हुए मान के रूप में छपने के बजाय ठुकरा दी जाती है। अक्षर बड़े या छोटे किसी भी रूप में टाइप किए जा सकते हैं और बड़े अक्षरों में छपते हैं, इसलिए ff और FF एक ही इनपुट हैं। आगे के शून्य स्वीकार किए जाते हैं और अनदेखे किए जाते हैं, यानी 00001011 और 1011 एक ही संख्या हैं और दोनों 1011 के रूप में छपती हैं। नीचे की संदर्भ तालिका 255 पर स्थिर है — आधार 2, 8, 10 और 16 में — और आपने जो टाइप किया उसका पीछा नहीं करती; पैनल आपकी संख्याओं का जवाब देता है, तालिका एक ही मान के चार रूप साथ-साथ दिखाती है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

जो आधार दस नहीं है, उसमें दो संख्याएँ कैसे जोड़ी जाती हैं?: दाईं ओर से स्तंभ-दर-स्तंभ जोड़िए, ठीक वैसे ही जैसे दशमलव में, पर कैरी तब बनाइए जब कोई स्तंभ दस तक नहीं बल्कि आधार तक पहुँच जाए। आधार 2 में कैरी की एक ही दहलीज़ है, 2: 1 + 1 का मतलब 0 कैरी 1। इसलिए 1011 + 110 = 10001, क्योंकि दो के स्तंभ और चार के स्तंभ दोनों उबल पड़े और हर एक ने एक 1 अगले स्थान में धकेल दिया। अगर कैरी का हिसाब रखना न चाहें तो दोनों ऑपरेंड दशमलव में बदल लीजिए, गणित वहाँ कीजिए, और वापस बदल दीजिए — इस पेज की दशमलव पंक्ति ठीक यही दिखा रही है, और जवाब हर बार वही आता है।
आधार 2 में रखकर 1012 लिखने पर वह क्यों ठुकरा दिया गया?: क्योंकि 2 आधार 2 का अंक नहीं है — अंक सिर्फ़ 0 और 1 हैं, और कुछ नहीं। नियम यह है कि अंक आधार से छोटा होना चाहिए, इसलिए आधार 2 में 0 और 1 चलते हैं, आधार 8 में 0 से 7 तक, आधार 10 में 0 से 9 तक, और आधार 16 में 0 से 9 तक तथा A से F तक। आपको यह उस अंक का नाम लेने वाली बात के बजाय एक सामान्य गणना-त्रुटि के रूप में दिखेगा, और यह जाना-पहचाना खुरदुरा किनारा है: इनपुट बॉक्स की जाँच सिर्फ़ आपकी टाइप की हुई शृंखला देख सकती है, आपका चुना हुआ आधार नहीं, इसलिए वह ऐसी कोई भी अंक-शृंखला मान लेती है जो किसी न किसी आधार में वैध हो सकती हो और आधार-विशेष की जाँच गणना पर छोड़ देती है। जवाब कभी ग़लत नहीं होता, बस समझाने वाली पंक्ति उतनी पतली रह जाती है जितनी होनी चाहिए थी।
कौन-कौन से आधार इस्तेमाल कर सकता हूँ, और यह 36 पर क्यों रुक जाता है?: 2 से 36 तक कोई भी पूर्ण संख्या। छत गणित की नहीं, कीबोर्ड की है: नौ से बड़े अंकों के लिए चिह्न चाहिए, परंपरागत चिह्न A से Z अक्षर हैं, और वे छब्बीस हैं — दस और छब्बीस मिलकर छत्तीस। आधार 1 अलग वजह से असंभव है: एक ही अंक के साथ आप शून्य से ऊपर कोई मान लिख ही नहीं सकते, क्योंकि हर स्थान की क़ीमत 1 होती और 2 तक पहुँचने का कोई रास्ता नहीं बचता।
आधार 16 का 100 भी सौ ही है क्या?: नहीं, और पेज का दूसरा उदाहरण इसी भूल को रोकने के लिए रखा गया है। आधार 16 में 100 का मतलब 1×256 + 0×16 + 0 है, यानी 256। अंक वही चिह्न हैं, पर हर क़दम पर हर स्थान की क़ीमत दस गुनी के बजाय सोलह गुनी हो जाती है, इसलिए वही तीन चिह्न अलग मान बताते हैं। पेज की दशमलव पंक्ति ठीक इसीलिए है कि आपको कभी अंदाज़ा न लगाना पड़े कि कौन-सी पढ़त का मतलब है।
शेषफल हमेशा क्यों दिखता है, जोड़ में भी?: क्योंकि पूर्ण संख्याओं के लिए कुछ बचा न रहना और शेषफल शून्य रहना एक ही बात है, और ऐसी पंक्ति जो आती-जाती रहती है, उस पंक्ति से पढ़ने में कठिन होती है जो हमेशा वहीं रहती है। जोड़, घटाव और गुणा में वह पंक्ति 0 पढ़ती है। गैर-शून्य शेषफल सिर्फ़ भाग में बन सकता है, और वहाँ वह उस हिस्से को लिए चलता है जो बराबर नहीं बँटा — आधार 2 में 1011 ÷ 10 में 1 बचता है, यानी 11 ÷ 2 का वह आधा जिसे भागफल ने छोड़ दिया।
क्या इस पेज पर आधार 10 में भी गणना कर सकता हूँ?: हाँ, और यह जाँचने का काम का तरीक़ा है कि पेज आम कैलकुलेटर से सहमत है: आधार 10 रखिए और सब कुछ ठीक वैसे ही चलेगा जैसी आप अपेक्षा करते हैं, क्योंकि अंक, कैरी और जवाब का ढाँचा कुछ नहीं बदलता। जो मिलता है वह शेषफल की पंक्ति और आधार का साफ़-साफ़ लिखा होना है, और जो खोता है वह कुछ नहीं। पड़ोसी पेज उलटी दिशा में जाते हैं — बाइनरी कैलकुलेटर और हेक्स कैलकुलेटर यही गणित हैं जिनमें आधार पहले से 2 और 16 भरा हुआ है, और कन्वर्टर बिना कोई क्रिया लगाए एक आधार के मान को दूसरे में ले जाते हैं।

संदर्भ

Base — what a positional number system is, how the digits of a base b expansion are read, and why the base must be a whole number greater than 1 — Wolfram MathWorld (United States)
Hexadecimal — the base-16 system, the six letters past nine, and the convention that makes two hex digits equal one byte — Wolfram MathWorld (United States)
Binary — the base-2 system and the place values 1, 2, 4, 8 that its digits stand for — Wolfram MathWorld (United States)

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