Calculadora de triángulo rectángulo
Resultado
Hipotenusa
- Cateto a
- 3,00 cm
- Cateto b
- 4,00 cm
- Ángulo A
- 36,87 °
- Ángulo B
- 53,13 °
- Superficie
- 6,00 cm²
- Perímetro
- 12,00 cm
Una calculadora de triángulo rectángulo toma dos de las cinco medidas de un triángulo rectángulo y devuelve todas. Las cinco son los tres lados y los dos ángulos agudos, y dos cualesquiera de ellas bastan para fijar el triángulo por completo, con una excepción que se explica más abajo y conviene conocer antes de usar la página. Con los dos catetos, la hipotenusa sale del teorema de Pitágoras; con un cateto y la hipotenusa, el otro cateto sale del mismo teorema leído al revés; con un lado y un ángulo agudo, los lados que faltan salen del seno, el coseno y la tangente de ese ángulo. El ángulo que la página informa es el que tiene enfrente el lado que escribiste: el ángulo A se enfrenta al cateto a y el ángulo B al cateto b, y los dos suman siempre noventa grados, porque el ángulo recto ya se ha quedado con el tercer cuarto de vuelta. Todo lo que la página imprime se deriva de dos números, así que las salidas concuerdan entre sí por construcción y no por casualidad: los tres lados cumplen el teorema de Pitágoras exactamente, los dos ángulos agudos son complementarios hasta el último decimal, y el área y el perímetro se calculan a partir de los mismos lados sin redondear que muestra el resto del panel. El área es la fila que el panel rotula Superficie; es la misma cantidad, y el nombre largo es el que aparece en la casilla. Dos de las siete filas suelen ser ecos de lo que escribiste, y eso es deliberado: la promesa de la página es el triángulo entero, y un panel que cambiara de forma según qué casillas rellenaras sería más difícil de leer que uno que enseña siempre las mismas siete líneas. La unidad de la salida es siempre el centímetro y el centímetro cuadrado, sea cual sea la unidad con la que entraste, porque la página convierte tu entrada a una unidad común antes de resolver nada. La tabla de abajo recorre siete triángulos, y la primera columna de cada fila dice de qué dos medidas partió esa fila: sin ella no se podría saber cuál de los números impresos era el dato y cuál la respuesta, porque un triángulo resuelto imprime todas sus medidas de todos modos.
Siete triángulos rectángulos resueltos a partir de dos medidas cada uno
| Dado | Cateto a (cm) | Cateto b (cm) | Hipotenusa (cm) | Ángulo A (°) | Ángulo B (°) | Área (cm²) | Perímetro (cm) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a, b | 3 | 4 | 5 | 36.87 | 53.13 | 6 | 12 |
| a, b | 5 | 12 | 13 | 22.62 | 67.38 | 30 | 30 |
| a, c | 6 | 8 | 10 | 36.87 | 53.13 | 24 | 24 |
| b, c | 5 | 12 | 13 | 22.62 | 67.38 | 30 | 30 |
| a, b | 8 | 15 | 17 | 28.07 | 61.93 | 60 | 40 |
| a, A | 3 | 5.2 | 6 | 30 | 60 | 7.79 | 14.2 |
| c, A | 5 | 8.66 | 10 | 30 | 60 | 21.65 | 23.66 |
Ocho columnas, y la primera es la que hay que leer antes que ninguna otra: nombra las dos medidas de las que partió esa fila —a, b para los dos catetos, a, c o b, c para un cateto y la hipotenusa, a, A o c, A para un lado y un ángulo—. Sin ella no se podría saber cuál de los siete números impresos era un dato y cuál estaba calculado, porque un triángulo resuelto imprime todas sus medidas en cualquier caso. Dos parejas de filas son comprobaciones deliberadas de la propia página. La segunda fila y la cuarta son el mismo triángulo de 5, 12 y 13 alcanzado por dos caminos distintos, uno desde sus catetos y otro desde la hipotenusa y un cateto, y los seis números coinciden. Las dos últimas filas son la misma forma de 30, 60 y 90 en dos tamaños, alcanzada una vez desde un cateto y un ángulo y otra desde la hipotenusa y un ángulo, y los lados guardan la proporción uno a raíz de tres a dos en las dos. Fíjate además en que los ángulos de toda la tabla vienen en parejas complementarias que suman exactamente noventa, y en que solo la primera, la segunda y la quinta fila son los triángulos de lados enteros que todo el mundo reconoce.
Fórmula
a² + b² = c² A + B = 90° sen A = a ÷ c tan A = a ÷ b área = a × b ÷ 2 perímetro = a + b + c
- a, b
- Los dos catetos, los lados que se juntan en el ángulo recto. La página reduce toda entrada a estos dos antes de calcular nada más, así que un caso que partió de una hipotenusa y un ángulo se convierte antes en dos catetos
- c
- La hipotenusa, el lado que se enfrenta al ángulo recto y siempre el más largo. Es el resultado principal de la página, y se recalcula siempre en lugar de copiarse: incluso cuando fuiste tú quien la escribió
- A, B
- Los dos ángulos agudos. A es el que se enfrenta al cateto a y B el que se enfrenta al cateto b; cada uno está entre cero y noventa grados, y entre los dos completan lo que queda de los ciento ochenta del triángulo
Usa esta página cuando conozcas dos medidas de un triángulo rectángulo y quieras el resto: los dos catetos, un cateto y la hipotenusa, o un lado cualquiera junto con uno de los dos ángulos agudos. Es el solucionador general del triángulo rectángulo, y se distingue de la página del teorema de Pitágoras en por dónde empieza: aquella responde a la pregunta más estrecha del lado que falta, mientras que esta resuelve el triángulo entero y pone la hipotenusa arriba sea cual sea el par de casillas que hayas rellenado. También se distingue de la página del triángulo, que es la misma idea sin el ángulo recto: aquella necesita dos lados más el ángulo entre ellos, y esta saca mucho más de los mismos dos números porque el ángulo recto es un tercer dato gratis. Un triángulo rectángulo con los dos catetos iguales es el caso isósceles, y esa página imprime la misma figura descrita en sus propios términos. Y si lo único que quieres es el área, recuerda que es media base por altura, que en un triángulo rectángulo son los dos catetos: los mismos dos números que ya tienes en la mano.
Ejemplos resueltos
Los dos catetos, 3 y 4
- Se dan los dos catetos, así que el teorema de Pitágoras da la hipotenusa: 9 más 16 son 25, y la raíz cuadrada de 25 es 5
- El ángulo A se enfrenta al lado de longitud 3, así que su tangente es 3 partido por 4, lo que da 36,87 grados
- El ángulo B es lo que queda de los noventa grados, así que es 53,13
- El área es la mitad de tres por cuatro, y el perímetro es la suma de los tres lados
El triángulo con el que se carga la página y el más pequeño de los triángulos rectángulos de lados enteros: el mismo alrededor del cual está construida la página del teorema de Pitágoras, así que las dos coinciden hasta el último decimal en la hipotenusa, el área y el perímetro. Fíjate en que los dos catetos aparecen en la salida además de estar escritos en la entrada: el panel imprime siempre las siete cantidades, y la promesa de resolver el triángulo entero es la razón. Los dos ángulos están entre cero y noventa, y suman exactamente noventa en lugar de 89,99, porque el segundo se calcula como el resto.
Un cateto y la hipotenusa, 6 y 10
- Se dan la hipotenusa y un cateto, así que el otro cateto es la raíz cuadrada de diez al cuadrado menos seis al cuadrado
- Cien menos treinta y seis son sesenta y cuatro, cuya raíz cuadrada es 8
- Los ángulos se siguen de los catetos: la tangente de A es 6 partido por 8
- Ya se conocen los tres lados, así que el área y el perímetro son aritmética
El otro cateto sale del mismo teorema leído al revés: cien menos treinta y seis son sesenta y cuatro, y la raíz cuadrada de sesenta y cuatro es ocho. Este es el caso en el que el teorema de Pitágoras resta en lugar de sumar, y es también el que falla cuando las dos casillas se rellenan en el orden equivocado: una hipotenusa más corta que un cateto no tiene solución, y la página lo dice en lugar de devolver un número. Los ángulos coinciden exactamente con los de la fila de tres, cuatro y cinco, porque seis, ocho y diez es ese triángulo multiplicado por dos.
Un cateto y el ángulo que tiene enfrente, 3 y 30 grados
- El ángulo A se enfrenta al cateto a, así que el seno de treinta grados relaciona el cateto con la hipotenusa: el cateto es la hipotenusa multiplicada por un medio
- Por tanto la hipotenusa es el doble del cateto, es decir 6
- El otro cateto es el cateto partido por la tangente de treinta grados, unos 5,2
- El ángulo B es lo que queda de noventa, así que es 60
Este es el triángulo de 30, 60 y 90 grados, el de lados en la proporción uno a raíz de tres a dos, y es la fila que enseña qué ángulo es cuál: A se enfrenta al lado que diste, así que el lado de longitud 3 es el que mira al ángulo de treinta grados y es el corto. Escribe el mismo cateto con el ángulo B igual a sesenta y todos los números salen idénticos: los dos ángulos describen la misma forma, y esa pareja es la comprobación que la propia página se hace sobre el reparto de letras. El cateto, el área y el perímetro van redondeados a dos decimales, así que 5,196 aparece como 5,2.
La hipotenusa y un ángulo, 10 y 30 grados
- Con la hipotenusa conocida, el cateto que mira a treinta grados es la hipotenusa por el seno de treinta, es decir 10 por un medio
- El otro cateto es la hipotenusa por el coseno de treinta, unos 8,66
- Los ángulos ya se conocen: treinta y su complementario sesenta
- El área es la mitad de cinco por 8,66, y el perímetro es la suma de los tres lados
La misma forma que la fila de arriba al doble de tamaño: los lados son 5, 8,66 y 10 frente a 3, 5,2 y 6, y la razón entre ellos es la misma en todas partes, que es lo que significa que dos triángulos tengan los mismos ángulos. Ten en cuenta que la hipotenusa se imprime aunque la hayas escrito tú: se recalcula a partir de los catetos en lugar de copiarse, así que los tres lados del panel cumplen el teorema de Pitágoras exactamente y no pueden contradecirse nunca. El redondeo a dos decimales es lo que hace que sea 8,66 y no 8,6602.
Limitaciones
Cuatro cosas que conviene saber. Primero, hay que rellenar exactamente dos de las cinco casillas, y las dos no pueden ser ángulos. Una casilla no es información suficiente, tres es más que suficiente, y la página distingue esos dos casos en su mensaje; dos ángulos completan la cuenta y aun así no se pueden resolver, porque dos ángulos fijan la forma y no dicen nada del tamaño. El panel no marca por sí mismo qué casillas está esperando, así que la cuenta corre de tu parte. Segundo, se admiten los dos ángulos agudos pero ninguno puede ser cero ni noventa, porque los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo están estrictamente entre esos valores; un lado de longitud cero se rechaza por el mismo motivo, ya que un triángulo degenerado no tiene área ni perímetro que valga la pena imprimir. Tercero, la página informa en centímetros y centímetros cuadrados sea cual sea la unidad que escribiste: un cateto introducido en pies se convierte antes de resolver el triángulo, y las respuestas vuelven en centímetros. Los ángulos son siempre grados por la misma razón: puedes escribirlos en radianes o en grados centesimales, pero el panel informa en grados. Cuarto, dos de las siete filas de salida suelen ser ecos de tu propia entrada, así que escribir un cateto y ver ese mismo cateto impreso no es que la página no haya calculado nada; el valor que imprime ha pasado por la conversión de unidades y por el redondeo, y las otras filas son las que llevan la información nueva.
Preguntas frecuentes
- ¿Cuántas de las cinco casillas relleno?
- Exactamente dos. Dos cualesquiera de los tres lados y los dos ángulos agudos bastan para determinar por completo un triángulo rectángulo, y una sola no basta: un único lado deja libre la forma y un único ángulo deja libre el tamaño. La página también rechaza tres, no porque tres medidas sean ambiguas sino porque el mensaje que necesitas entonces es sobre la cuenta y no sobre la aritmética. La única pareja que rellena las dos casillas y aun así falla es la de los dos ángulos, que fijan la forma y no el tamaño.
- ¿Por qué el panel imprime el lado que he escrito yo?
- Porque la página promete el triángulo entero y no solo las partes que no le diste. Su lista de salidas es fija, así que un cateto que escribiste aparece entre las siete filas junto con todo lo demás. La línea parece no haber hecho nada, pero el valor ha pasado por la conversión de unidades y por el redondeo, y las otras seis filas son las que traen la información nueva. La alternativa —un panel cuyas filas cambiaran según las casillas rellenadas— sería más difícil de leer, no más fácil.
- ¿Cuál de los dos ángulos es el ángulo A?
- El ángulo A es el que se enfrenta al cateto a, y el ángulo B el que se enfrenta al cateto b. Así que si escribes un cateto de 3 y un ángulo de 30 grados, la página lee ese 3 como el lado que mira al ángulo de treinta grados, lo que lo convierte en el cateto corto de un triángulo de 30, 60 y 90. Los dos ángulos agudos suman siempre exactamente noventa grados, porque el ángulo recto se queda con los otros noventa de los ciento ochenta del triángulo, y la página calcula el segundo como el resto en lugar de deducirlo por separado, que es la razón de que nunca redondeen a 89,99.
- ¿En qué unidades vienen las respuestas?
- Siempre en centímetros y centímetros cuadrados, sea cual sea la unidad con la que hayas entrado. La página convierte tu entrada a una unidad común antes de resolver el triángulo, y las salidas están declaradas en centímetros, así que un cateto escrito en pies vuelve como un número de centímetros. Los ángulos son siempre grados por el mismo motivo: puedes introducirlos en radianes o en grados centesimales, pero el panel informa en grados.
- ¿Qué diferencia hay entre esta página y la del teorema de Pitágoras?
- Esta acepta más entradas y devuelve más salidas. La del teorema de Pitágoras toma dos de los tres lados y responde a la pregunta más estrecha del lado que falta; esta toma dos cualesquiera de cinco medidas, ángulos incluidos, y devuelve la figura completa, empezando por la hipotenusa en todos los casos. Las dos coinciden exactamente allí donde se solapan, porque están trabajando sobre el mismo triángulo con el mismo redondeo.
- ¿Por qué se rechaza una hipotenusa más corta que un cateto?
- Porque ese triángulo no existe. La hipotenusa es el lado que se enfrenta al ángulo recto y es siempre el más largo de los tres, así que tiene que ser estrictamente mayor que cualquiera de los catetos. Cuando las dos casillas se rellenan con un cateto y una hipotenusa y la hipotenusa es el número menor, lo más probable es que se hayan introducido al revés, y la página lo dice y sugiere intercambiarlas en lugar de calcular la raíz cuadrada de un número negativo, que no daría ninguna respuesta.
Referencias
- Triángulo Rectángulo: el teorema de Pitágoras — la relación entre los tres lados, sus aplicaciones y los triángulos rectángulos que conviene reconocer por sus proporciones — Fisicalab
- Resolución de Triángulos — los cinco datos de un triángulo rectángulo, qué parejas lo determinan y cómo se obtienen los demás con las razones trigonométricas — Fisicalab
- Right Triangle — the five measurements, which combinations determine the triangle, and the identities that relate them — Wolfram MathWorld (United States)
- Finding a Side in a Right-Angled Triangle — using the sine, cosine and tangent to solve for a side from one side and one angle — Math is Fun (United Kingdom)