Saltar al contenido principal
CalcMax

Calculadora de triángulo isósceles

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Resultado

12,0000 cm²

Superficie

Perímetro
16,0000 cm
Altura
4,0000 cm
Ángulo del vértice
73,74 °
Ángulo de la base
53,13 °

Un triángulo isósceles es el que tiene dos lados iguales y uno distinto, y esta calculadora de triángulo isósceles te pide esos dos datos: la base y la longitud del lado que se repite. Con ellos devuelve el área, el perímetro, la altura y los tres ángulos. La forma de la figura está determinada, pero a diferencia del triángulo equilátero, que se resuelve con un solo dato, aquí hacen falta dos, y el motivo es que un isósceles conserva un grado de libertad: se puede hacer el vértice más agudo o más abierto sin dejar de tener los mismos dos lados iguales. La altura es la pieza que lo resuelve todo, así que conviene empezar por ella. Un triángulo isósceles siempre se puede partir por la mitad con una línea que va del vértice donde se juntan los dos lados iguales hasta el punto medio de la base, y esa línea es perpendicular a la base y es exactamente la altura. Al partirlo quedan dos triángulos rectángulos iguales, cada uno con la hipotenusa igual al lado igual, un cateto igual a la mitad de la base y el otro cateto igual a la altura. Con esos dos datos, la altura sale del teorema de Pitágoras, y de ahí salen el área por la fórmula clásica de base por altura entre dos y los ángulos por trigonometría. Esa partición no es un truco de cálculo: es una propiedad de la figura, y es la razón de que la altura de un isósceles coincida con la mediana, con la bisectriz del ángulo del vértice y con la mediatriz de la base, cuatro cosas que solo se juntan en este tipo de triángulos. De ahí sale una condición que hay que respetar al escribir los datos. Para que el triángulo exista, cada lado igual tiene que ser más largo que la mitad de la base, porque la altura es la raíz cuadrada de un cuadrado menos otro, y si la mitad de la base supera al lado esa resta da negativo. Con la base 6 y el lado igual 3 la cuenta da exactamente cero: el triángulo se aplasta en un segmento, con ángulo del vértice de 180 grados y los dos ángulos de la base de 0. Con el lado igual por debajo de 3 no hay ninguna figura, y la página rechaza la entrada. Los ángulos son la parte que más gente no sabe calcular de memoria y la más útil de las salidas. Los dos ángulos de la base son siempre iguales, por la simetría de la figura, y el del vértice es el que queda hasta 180. En un isósceles de base 6 y lado 5 el vértice mide 73,74 grados y cada ángulo de la base 53,13; y cuando la base y los lados iguales miden lo mismo, el vértice llega a 60 y los tres ángulos se igualan, que es el caso del triángulo equilátero visto desde aquí.

Triángulos isósceles que aparecen a menudo

Base (cm)Lado igual (cm)Área (cm²)Altura (cm)Ángulo del vértice (°)Ángulo de la base (°)
6512473.7453.13
85123106.2636.87
1013601245.2467.38
6615.58855.19626060
434.47212.236183.6248.19
0505090
63001800

Las dos primeras columnas son los datos y las cuatro siguientes los resultados, con los ángulos al final porque son la salida que más se consulta al cortar piezas. La primera fila es la entrada con la que carga la calculadora, base 6 y lados 5, donde la mitad de la base y el lado forman el triángulo rectángulo 3-4-5 y por eso la altura sale exacta, en 4, y el área en 12. La segunda es el caso equilátero escondido, con la base igual a los lados: los tres ángulos se igualan en 60 y las cifras coinciden con las de la calculadora de triángulo equilátero para el lado 6. La tercera tiene el mismo lado igual que la primera, 5, y la misma área, 12, pero una base de 8, y los ángulos se han intercambiado: el vértice pasa a 106,26 grados y la base a 36,87. La cuarta es el triángulo 5-12-13, con altura exacta de 12 y área de 60. La quinta lleva la base a cero y deja un triángulo aguja con el vértice en 0 grados, los ángulos de la base en 90 y un área nula. La sexta lleva el lado igual a la mitad de la base y aplasta la figura del todo: altura y área en cero, vértice en 180 y ángulos de la base en 0. Las dos últimas filas son los dos extremos entre los que cabe cualquier isósceles, y compararlas con las primeras deja ver que la proporción entre la base y el lado igual es lo que decide si la figura es ancha y baja o estrecha y alta.

Fórmula

h = √(l² − (b ÷ 2)²) A = b·h ÷ 2 P = b + 2l vértice = 2·asin((b ÷ 2) ÷ l) base = (180° − vértice) ÷ 2

Base
El lado que no se repite, el que queda abajo cuando el triángulo se dibuja con el vértice arriba. Es el lado desigual y puede ser más corto o más largo que los otros dos, siempre que cada lado igual supere su mitad. Con base cero el triángulo degenera en un segmento vertical recorrido dos veces y el vértice mide cero
Lado igual
La longitud de los dos lados que se repiten, la que va del vértice a cada extremo de la base. Tiene que ser mayor que la mitad de la base para que la figura exista, y cuando vale exactamente la mitad de la base las dos alturas se anulan y el triángulo se aplasta. Si además es igual a la base, el triángulo es equilátero
Área
La superficie encerrada, igual a la base por la altura dividido entre dos, la fórmula clásica de cualquier triángulo. Es exacta cuando la altura lo es, y eso ocurre cuando la mitad de la base y el lado igual forman un triángulo rectángulo de lados enteros, lo cual pasa en el caso de base 6 y lado 5, donde la altura vale justo 4
Perímetro
La suma de los tres lados, que al haber dos iguales es la base más dos veces el lado. Es exacto siempre que los datos lo sean y no lleva ninguna raíz ni ningún redondeo, así que sirve de comprobación barata: no puede depender de la altura
Altura
La distancia perpendicular del vértice a la base, o sea la línea que parte el triángulo en dos mitades iguales. Sale del teorema de Pitágoras aplicado a uno de esos dos triángulos rectángulos, donde la hipotenusa es el lado igual y un cateto es la mitad de la base. Es siempre menor que el lado igual, porque es un cateto y el lado es la hipotenusa
Ángulo del vértice
El ángulo que forman los dos lados iguales en su punto de encuentro, calculado con el arcoseno de la mitad de la base dividida entre el lado igual y multiplicado por dos. Puede ir de casi 180 grados, cuando la base es muy ancha y el triángulo está aplastado, a casi 0, cuando la base es diminuta y el triángulo es una aguja
Ángulos de la base
Los dos ángulos que forman la base con cada lado igual, que son iguales entre sí por la simetría de la figura. Cada uno mide 180 menos el ángulo del vértice, todo dividido entre dos. En el caso equilátero los tres valen 60, y en el límite aplastado se van a cero mientras el del vértice se va a 180
Dos decimales para los ángulos
La precisión con que se imprimen los ángulos, menor que la de las longitudes. Se eligen dos decimales porque el arcoseno obliga a pasar por una función trigonométrica y el tercer decimal ya no aporta nada a un ángulo, mientras que las longitudes sí llevan cuatro porque son las que se usan después para medir

Se usa cuando la figura que hay que medir es simétrica y se conocen su base y sus lados iguales, que es la situación más corriente de todas. Un tejado a dos aguas es un triángulo isósceles visto de frente: la base es el ancho del edificio y los dos faldones son los lados iguales, y de aquí salen la altura del caballete, la superficie de cada faldón y el ángulo que hay que cortar en cada pieza. Lo mismo vale para un frontón, para la vela de un barco, para un banderín, para la chapa de una escuadra y para cualquier pieza de simetría triangular. Los ángulos son la salida que más se usa cuando el trabajo es de corte y no de superficie: el ángulo del vértice es el que hay que respetar al unir las dos piezas iguales, y los dos de la base son los cortes de los extremos, que como son iguales en los dos lados permiten cortar las dos piezas con la misma plantilla. La altura sirve además para saber si la figura cabe en un sitio, porque es el punto más alto del triángulo cuando se apoya en la base. Y hay un uso menos evidente: comprobar que un triángulo que se cree isósceles lo es de verdad. Si mides los tres lados y los dos que deberían ser iguales difieren, esta página no es la herramienta, porque solo acepta dos datos y supondrá que los dos lados son exactamente iguales; para el caso general hay que ir a la fórmula de Herón con los tres lados, que sí distingue.

Ejemplos resueltos

  1. El isósceles clásico de base 6 y lados 5

    1. Media base: 6 ÷ 2 = 3
    2. Altura: √(25 - 9) = √16 = 4, exacta
    3. Área: 6 × 4 ÷ 2 = 12
    4. Perímetro: 6 + 2 × 5 = 16
    5. Ángulo del vértice: 2 × asin(3 ÷ 5) = 2 × 36,87 = 73,74 grados
    6. Ángulos de la base: (180 - 73,74) ÷ 2 = 53,13 grados cada uno
    7. Comprobación: 73,74 + 53,13 + 53,13 = 180

    La entrada con la que carga la página, y el caso más didáctico que hay porque la mitad de la base y el lado igual son 3 y 5, que con la altura 4 forman el triángulo rectángulo 3-4-5. La altura sale entera, el área también, y los ángulos son los del triángulo rectángulo 3-4-5 vistos desde otro sitio: el de 53,13 grados es el ángulo del vértice recto, es decir el que tiene el seno en 0,8. La suma de los tres ángulos da 180 clavados, que es la comprobación que hay que hacer siempre que se trabaje con ángulos.

  2. El caso equilátero escondido

    1. Media base: 3
    2. Altura: √(36 - 9) = √27 = 5,1962
    3. Área: 6 × 5,1962 ÷ 2 = 15,5885
    4. Perímetro: 6 + 12 = 18
    5. Ángulo del vértice: 2 × asin(3 ÷ 6) = 2 × 30 = 60 grados
    6. Ángulos de la base: (180 - 60) ÷ 2 = 60 grados cada uno

    Cuando la base y los lados iguales coinciden, el triángulo isósceles se convierte en equilátero y los tres ángulos se igualan en 60. Los datos de esta fila coinciden exactamente con los de la calculadora de triángulo equilátero para el lado 6, incluidos el área de 15,5885 y la altura de 5,1962, lo cual no es una coincidencia sino la misma figura calculada por dos caminos distintos. Es una buena forma de ver que el isósceles es una familia más amplia que contiene al equilátero como un caso particular.

  3. Un isósceles ancho y bajo

    1. Media base: 4
    2. Altura: √(25 - 16) = √9 = 3
    3. Área: 8 × 3 ÷ 2 = 12
    4. Perímetro: 8 + 10 = 18
    5. Ángulo del vértice: 2 × asin(4 ÷ 5) = 2 × 53,13 = 106,26 grados
    6. Ángulos de la base: (180 - 106,26) ÷ 2 = 36,87 grados

    Comparado con el primer ejemplo, este tiene el mismo lado igual de 5 y la misma área de 12, pero la base es más ancha y el triángulo es bajo y abierto: el vértice pasa de 73,74 a 106,26 grados y los ángulos de la base bajan de 53,13 a 36,87. Los papeles se han intercambiado, porque este es el mismo par de triángulos rectángulos 3-4-5 con los catetos cambiados de sitio. Que dos triángulos distintos compartan área y perímetro es una buena advertencia de que ninguna de esas dos cifras identifica una figura por sí sola, y de que hacen falta los ángulos para describirla.

  4. El isósceles de base 10 y lados 13

    1. Media base: 5
    2. Altura: √(169 - 25) = √144 = 12, exacta
    3. Área: 10 × 12 ÷ 2 = 60
    4. Perímetro: 10 + 26 = 36
    5. Ángulo del vértice: 2 × asin(5 ÷ 13) = 2 × 22,62 = 45,24 grados
    6. Ángulos de la base: (180 - 45,24) ÷ 2 = 67,38 grados

    El otro triángulo rectángulo de lados enteros pequeños, el 5-12-13, que vuelve a aparecer aquí como en la página de la fórmula de Herón: la mitad de la base y la altura son 5 y 12, y el lado igual es 13. La altura sale entera otra vez, 12, y el área también, 60. Este es un isósceles alto y estrecho, con un vértice de 45,24 grados, y sirve de contraste con el anterior: la misma familia de figuras admite desde triángulos casi planos hasta agujas, y lo que decide cuál es la proporción entre la base y los lados iguales.

  5. El caso límite con la base en cero

    1. Media base: 0
    2. Altura: √(25 - 0) = 5, igual al lado igual
    3. Área: 0 × 5 ÷ 2 = 0
    4. Perímetro: 0 + 10 = 10
    5. Ángulo del vértice: 2 × asin(0) = 0 grados
    6. Ángulos de la base: (180 - 0) ÷ 2 = 90 grados cada uno

    El extremo estrecho: la base se anula y los dos lados iguales se superponen uno sobre otro, así que el triángulo degenera en un segmento vertical de longitud 5 recorrido dos veces. El ángulo del vértice se va a cero y los de la base a 90, que es lo coherente: los dos lados iguales quedan perpendiculares a una base de longitud nula. El área es cero porque no hay anchura, pero la altura no: sigue valiendo 5, que es toda la longitud del lado. Es la fila que enseña que una figura degenerada puede conservar algunas magnitudes y anular otras.

  6. El otro caso límite, con el lado igual en la mitad de la base

    1. Media base: 3
    2. Altura: √(9 - 9) = 0, justo cero
    3. Área: 6 × 0 ÷ 2 = 0
    4. Perímetro: 6 + 6 = 12
    5. Ángulo del vértice: 2 × asin(1) = 2 × 90 = 180 grados
    6. Ángulos de la base: (180 - 180) ÷ 2 = 0 grados

    El límite opuesto, donde cada lado igual mide exactamente la mitad de la base y la altura se anula. Los dos lados iguales se tumban sobre la base, uno hacia cada lado, y el triángulo degenera en un segmento horizontal de longitud 3 recorrido dos veces. El ángulo del vértice llega a 180 grados y los de la base a 0, que es el caso extremo del triángulo aplastado. Un paso más allá, con un lado igual de 2 y una base de 6, la resta de los cuadrados daría negativo, no existiría ninguna figura y la página rechazaría la entrada. Esta fila es el límite exacto entre lo que se puede calcular y lo que no.

Limitaciones

La página solo acepta figuras que sean isósceles de verdad, es decir con dos lados exactamente iguales. Solo hay dos campos y el segundo se aplica a los dos lados a la vez, así que un triángulo escaleno no se puede introducir, y un triángulo que sea casi isósceles pero no exactamente se calculará como si lo fuera, con un resultado que no corresponde a la figura real y sin ninguna advertencia. Para el caso de tres lados distintos hay que usar la fórmula de Herón. Los datos tienen que respetar la condición de existencia: cada lado igual tiene que ser más largo que la mitad de la base. Cuando vale exactamente la mitad el triángulo degenera en un segmento, la altura y el área valen cero y los ángulos son 0 y 180, y eso se acepta porque es el límite; cuando se queda por debajo, no hay figura y la entrada se rechaza en lugar de devolver la raíz de un número negativo. La página no dice cuál de los dos lados es la base ni comprueba que hayas escrito el más corto en ese campo: la etiqueta marca la convención, y escribir los datos al revés da un resultado que corresponde a otro triángulo. Los ángulos se imprimen con dos decimales y las longitudes con cuatro, y esa diferencia es deliberada, pero significa que la suma de los tres ángulos impresos puede no dar exactamente 180 por efecto del redondeo. No hay campos para los ángulos ni para el área, así que la página no despeja hacia atrás: del área a la altura se pasa dividiendo entre la base y multiplicando por dos, y de ahí al lado igual hay que volver por Pitágoras. Las longitudes entran en la unidad que uses y salen en esa misma unidad, el área al cuadrado, sin conversión y sin ninguna casilla para elegirla. Y la página no dibuja la figura ni comprueba que el resultado encaje con lo que estés midiendo.

Preguntas frecuentes

¿Qué datos necesita un triángulo isósceles para quedar determinado?
Dos: la base y la longitud de los lados iguales. Un isósceles conserva un grado de libertad, porque se puede abrir o cerrar el vértice sin dejar de tener los mismos dos lados iguales, así que un solo dato no basta. Con esos dos números ya no queda nada por decidir: la altura sale de Pitágoras, el área de base por altura entre dos y los tres ángulos de la trigonometría. Es un dato más que el triángulo equilátero, que se resuelve con un solo lado, y uno menos que el escaleno, que necesita los tres.
¿Cómo se calcula la altura de un triángulo isósceles?
Se parte el triángulo en dos por el vértice, con una línea perpendicular a la base, y quedan dos triángulos rectángulos iguales. En cada uno la hipotenusa es el lado igual, un cateto es la mitad de la base y el otro cateto es la altura, así que la altura es la raíz cuadrada del lado igual al cuadrado menos la mitad de la base al cuadrado. Con base 6 y lados 5, la media base es 3, y la altura es la raíz de 25 menos 9, o sea 4. Esa misma línea es a la vez la mediana y la bisectriz, lo cual solo ocurre en los triángulos isósceles.
¿Por qué los dos ángulos de la base son iguales?
Por la simetría de la figura. Un triángulo isósceles se puede doblar por la altura y las dos mitades coinciden exactamente, así que todo lo que hay a un lado de la altura tiene su reflejo al otro: el lado igual, el trozo de base y también el ángulo. Eso no pasa en un triángulo escaleno, donde los tres ángulos pueden ser distintos. Como en cualquier triángulo los tres ángulos suman 180 grados, basta con conocer el del vértice para tener los otros dos: cada uno es 180 menos el del vértice, dividido entre dos.
¿Cuánto puede medir la base?
Tiene que ser menor que el doble del lado igual. La razón está en la fórmula de la altura, que es la raíz cuadrada de una resta: si la mitad de la base supera al lado igual, esa resta da negativo y no hay ningún triángulo. Cuando la mitad de la base vale exactamente lo mismo que el lado igual, la altura es cero, el triángulo se aplasta en un segmento y los ángulos salen 0 y 180, y ese caso límite sí se acepta. La base puede ser tan pequeña como se quiera, incluso cero, y entonces el triángulo degenera en una aguja con ángulos de 0 y 90.
¿Cómo se obtienen los tres ángulos?
El del vértice se calcula con el arcoseno de la mitad de la base dividida entre el lado igual, multiplicado por dos. Con base 6 y lados 5: 3 entre 5 es 0,6, el arcoseno de 0,6 son 36,87 grados y el doble son 73,74. Los dos ángulos de la base salen de restar ese valor a 180 y dividir entre dos, lo que da 53,13 grados cada uno. La suma de los tres, 73,74 más 53,13 más 53,13, da 180, que es la comprobación de que el cálculo está bien.
¿Qué pasa si pongo la base y el lado igual al revés?
Obtendrás el resultado de otro triángulo distinto, y nada te avisará. Los dos campos están etiquetados y la fórmula trata a cada uno de forma diferente: el segundo se duplica para el perímetro y se usa como hipotenusa en la altura, así que intercambiarlos no da el mismo resultado salvo en el caso equilátero, donde los dos valores coinciden. Si tienes dudas sobre cuál es la base, es el lado que no se repite; si los tres lados son iguales, el triángulo es equilátero y da igual qué campo uses.

Referencias

Calculadoras relacionadas

Calculadora de área de triánguloÁrea de un triángulo por base y altura, o por sus lados.Calculadora de la fórmula de HerónÁrea de un triángulo por sus tres lados, con la de Herón.Calculadora de triángulo equiláteroÁrea, altura y perímetro de un triángulo equilátero.Calculadora de triángulo rectánguloLados y ángulos de un triángulo rectángulo.