Calculadora de área de triángulo
Resultado
Superficie
Una calculadora de área de triángulo toma una base y la altura perpendicular sobre ella y devuelve cuánta superficie cubre el triángulo, en centímetros cuadrados. La fórmula es una de las más cortas de la matemática —base por altura, dividido entre dos— y el dividir entre dos es justo la parte que conviene entender, porque todo lo demás de esta página sale de ahí. Toma un triángulo cualquiera, cópialo, gira la copia media vuelta y une las dos por un lado que coincida: lo que sale es un paralelogramo con la misma base, la misma altura y el doble de área. Por eso a la figura le toca la mitad y no el total, y el argumento vale para todos los triángulos, no solo para los ordenados. Un triángulo rectángulo es el caso más fácil de ver, porque la copia se desliza sin inclinarse y el paralelogramo se convierte en un rectángulo, pero el razonamiento no necesita que haya un ángulo recto en ninguna parte de la figura, y la fórmula tampoco. La palabra que hay que cuidar es altura. Es la distancia perpendicular desde la base hasta el vértice opuesto, medida en ángulo recto respecto de la base, y no la longitud de ninguno de los lados inclinados. Esos dos números solo coinciden cuando el triángulo es rectángulo, y meter un lado inclinado donde va la altura es la manera más común de obtener un resultado que parece perfectamente razonable y está mal. Una calculadora que pide la altura perpendicular te está pidiendo que hagas esa medición antes de escribir nada, así que merece la pena estar seguro de cuál de los dos números tienes en la mano.
El área de un triángulo a partir de una base y de su altura perpendicular
| Base (cm) | Altura (cm) | Área (cm²) |
|---|---|---|
| 10 | 6 | 30 |
| 7 | 4 | 14 |
| 5 | 8 | 20 |
| 12 | 9 | 54 |
| 4 | 4 | 8 |
| 6 | 2.5 | 7.5 |
| 1 | 1 | 0.5 |
| 0 | 5 | 0 |
Ocho triángulos y tres columnas, porque la página tiene una fórmula y una respuesta. La primera fila es el par con el que carga la página, y es también la que explica la fórmula: compárala con la página del paralelogramo, donde una base de 10 y una altura de 6 dan 60 en lugar de 30. Exactamente el doble, siempre, y ahí queda justificado el dividir entre dos. La tercera fila es la que se compara con la página del trapecio: una base de 5 con una altura de 8 da 20, y un trapecio con la base superior en cero, la inferior en 10 y una altura de 4 también da 20, porque ese trapecio es un triángulo. La quinta fila es el triángulo rectángulo isósceles, donde la base y la altura son el mismo número por casualidad y el área es la mitad de ese cuadrado: 4 y 4 dan 8. La sexta lleva un decimal en la altura, y partir 15 entre dos da 7,5 exacto, sin perder nada por redondear. La séptima es el triángulo unidad, base de 1 con altura de 1, que tiene un área de 0,5 y merece recordarse como la respuesta sensata más pequeña. La última fila es una altura de cero, donde el triángulo se ha hundido sobre su base y no cubre nada: una respuesta real y no una que falte. Todos los valores se recalculan a partir de sus dos entradas al construir la página, en centímetros, y los cuatro decimales son los mismos cuatro decimales que usa el panel de resultados.
Fórmula
A = b × h ÷ 2
- Base
- Cualquiera de los tres lados, en centímetros. Da igual cuál elijas siempre que la altura se mida contra ese mismo lado
- Height
- La distancia perpendicular desde la base hasta el vértice opuesto, en centímetros: medida en ángulo recto respecto de la base, nunca a lo largo de un lado inclinado
- Area
- La superficie que encierra el triángulo, en centímetros cuadrados. La mitad de lo que cubriría un paralelogramo con la misma base y la misma altura
- Two
- El divisor, y la razón entera de que la fórmula no sea simplemente base por altura. Un triángulo es la mitad del paralelogramo que se forma girando media vuelta una copia suya
- b × h
- El área de ese paralelogramo, calculada primero y partida por la mitad después. Multiplicar antes de dividir es lo que mantiene el último dígito en su sitio cuando los números no son enteros
- Four decimal places
- El ancho con el que se escribe la lectura. Partir por la mitad un producto exacto puede dejar una fracción: una base de 7 con una altura de 5 da 17,5, y una base de medio centímetro da un cuarto
- Square centimetres
- La unidad de la respuesta, diga lo que diga el desplegable. Un área va siempre en unidades al cuadrado, así que una base y una altura dadas en pulgadas vuelven como una cifra en centímetros cuadrados que hay que dividir entre 6,4516 para leerla en pulgadas cuadradas
Esta página responde a la pregunta del área para cualquier figura que sea un triángulo, sea cual sea su material y su dibujo. El terreno es el uso más antiguo: una parcela que acaba en punta es un triángulo, y una parcela de cuatro esquinas son dos triángulos, que es la razón de que los topógrafos midan así desde mucho antes de que hubiera calculadoras. La cubierta, el revestimiento y el acristalamiento son los usos modernos, y todos traen factura: un hastial, un cristal triangular, una cuña de chapa, cada uno se cobra por metro cuadrado, así que el área tiene que estar bien antes de pasar el pedido. La tela y el papel cortados en diagonal son la misma cuenta con otra unidad, y lo mismo la vela de un barco o la cara triangular de una pirámide. También es la segunda mitad de muchísimos otros trabajos: cualquier polígono se puede partir en triángulos, y una vez que sabes hacer uno el resto es aritmética, que es la razón de que esta fórmula aparezca por dentro de las calculadoras de cuadriláteros, de prismas y de tejados, y de que merezca la pena tenerla segura por sí sola. Y está la versión de aula: triángulos rectángulos, isósceles, los dibujados sobre papel cuadriculado donde puedes contar los cuadritos y comprobar la respuesta tú mismo. Esa comprobación vale la pena hacerla una vez, porque ver que el recuento y la fórmula coinciden es lo que hace que el dividir entre dos deje de ser una regla que memorizar.
Ejemplos resueltos
Una base de 10 y una altura de 6
- Multiplica la base por la altura: 10 × 6 = 60
- Pártelo por la mitad: 60 ÷ 2 = 30
El par con el que carga la página, y la fila que enseña la relación con el paralelogramo: escribe la misma base y la misma altura en la página del paralelogramo y obtienes 60, exactamente el doble. Si te vas a quedar con un solo número de esta página, quédate con ese: es la manera más rápida de saber si un área de triángulo que te han dado es verosímil.
Una base de 7 y una altura de 4
- Multiplica la base por la altura: 7 × 4 = 28
- Pártelo por la mitad: 28 ÷ 2 = 14
El caso corriente: base impar, altura par y respuesta entera. Aquí no hay ninguna figura especial ni hubo que medir en un ángulo cómodo. Así son casi todos los triángulos reales —una parcela irregular, un hastial, un cartón cortado al sesgo— y a la fórmula le da igual que los lados sean desiguales.
Una base de 5 y una altura de 8
- Multiplica la base por la altura: 5 × 8 = 40
- Pártelo por la mitad: 40 ÷ 2 = 20
La fila para comparar con la página del trapecio. Dale a un trapecio una base superior de cero, una base inferior de 10 y una altura de 4 y obtienes 20: el mismo número, porque un trapecio con una base de cero es un triángulo. Las dos páginas imprimen la misma cifra para la misma figura, que es justo el motivo de que existan las dos.
Una base de 12,5 y una altura de 8
- Multiplica la base por la altura: 12,5 × 8 = 100
- Pártelo por la mitad: 100 ÷ 2 = 50
Una medida con decimales, que es lo que suele dar un metro de obra. La multiplicación ocurre antes del dividir entre dos y ese dividir es exacto, así que no se cuela ningún error de redondeo: la respuesta es 50 exacto, y no un 50,0000 y pico.
Una base de 20 y una altura de 0
- Multiplica la base por la altura: 20 × 0 = 0
- Pártelo por la mitad: 0 ÷ 2 = 0
Una altura de cero significa que el triángulo se ha aplastado sobre su propia base y ahora es un segmento. El cero es una entrada legal, así que esto es una respuesta real y no una que falte: la página lo distingue de dejar la casilla vacía, que no muestra ningún resultado porque no hay de dónde calcular.
Limitaciones
Esta página toma una base y una altura perpendicular y nada más. No trabaja a partir de los tres lados de un triángulo, que es otra cuenta con otra fórmula y otra página. No da perímetro, ni ángulos, ni longitudes de lado, y la altura no es un lado inclinado: si la única medida que tienes recorre uno de los bordes del triángulo, ese borde hay que convertirlo en una altura perpendicular antes de que sirva aquí. La respuesta sale siempre en centímetros cuadrados digan lo que digan los desplegables, y como esto es un área la conversión va al cuadrado: una base y una altura escritas en pulgadas vuelven como centímetros cuadrados, y para leerlo en pulgadas cuadradas hay que dividir entre 6,4516 y no entre 2,54. Los cuatro decimales son un ancho de visualización y no una afirmación sobre la precisión, y la mitad de un producto exacto puede ser de verdad una fracción: una base de 7 con una altura de 5 da 17,5. El cero se acepta en cualquiera de las dos entradas y da un área de cero, que es lo correcto para un triángulo degenerado y no es lo mismo que dejar las casillas en blanco. La página no admite un lado curvo, ni un triángulo dibujado sobre una esfera, ni el grosor de un material: es la figura plana de dos dimensiones y nada más.
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál de los lados es la base?
- Cualquiera de los tres, siempre que la altura se mida contra el que hayas elegido. Un triángulo tiene tres pares posibles de base y altura y los tres dan la misma área, que es una buena comprobación para hacer una vez: coge un triángulo, calcula el área desde cada esquina por turno y mira cómo coinciden las tres respuestas. A la página le da igual qué par uses.
- ¿Por qué la respuesta es la mitad de base por altura?
- Porque dos copias de un triángulo forman un paralelogramo. Coge el triángulo, cópialo, gira la copia media vuelta y une las dos por un lado que coincida: la figura que sale tiene la misma base, la misma altura y exactamente el doble de área. El triángulo es la mitad de eso. Ese es todo el argumento, y vale para cualquier triángulo, no solo para los ordenados.
- ¿Puedo usar un lado inclinado como altura?
- No, y este es el error que la página existe para evitar. La altura es la distancia perpendicular desde la base hasta el vértice opuesto, medida en ángulo recto respecto de la base. Un lado inclinado es más largo que esa distancia en cuanto la figura se tumba, así que usarlo infla el área. Los dos números coinciden solo en un triángulo rectángulo, donde uno de los lados ya está en ángulo recto con la base.
- ¿Dónde está la versión con los tres lados?
- En su propia página. Sacar el área de un triángulo a partir de sus tres lados usa otra fórmula y una raíz cuadrada en lugar de un dividir entre dos, y es un herramienta aparte, la de la fórmula de Herón. Esta página hace deliberadamente una sola cosa, que es la misma elección que hacen las páginas del círculo y de la esfera de este grupo: una página que responde a una pregunta se usa mejor que una que te pregunta cuál de varias querías.
- ¿Importan las unidades?
- El desplegable cambia lo que escribes, no lo que sale. La lectura va siempre en centímetros cuadrados, y como esto es un área la conversión va al cuadrado: un triángulo medido en pulgadas vuelve como una cifra en centímetros cuadrados, y hay que dividir entre 6,4516 para leerla en pulgadas cuadradas. Escribir pies y leer la respuesta como pies cuadrados es el error que hay que vigilar.
- ¿Y si uno de los números es cero?
- La respuesta es cero, y es lo correcto: un triángulo sin altura se ha aplastado sobre su base y no cubre nada. El cero se trata como un valor real y no como una casilla vacía, así que la página imprime un resultado. Dejar la casilla en blanco es otra cosa: no hay de dónde calcular y la página no muestra ningún resultado.
Referencias
- Triangle Area — the half-base-times-height formula this page computes, with the parallelogram argument that shows why the halving is there — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle — what a triangle is, the vocabulary of base and altitude, and the several ways its area can be arrived at — Wolfram MathWorld (United States)
- Área de un triángulo — la fórmula de base por altura dividido entre dos y los distintos caminos para llegar a ella, en español — Universo Formulas (España)