Calculadora de área de paralelogramo
Resultado
Superficie
- Perímetro
- 22,0000 cm
La calculadora de paralelogramo toma una base, una altura y un lado contiguo, y devuelve el área y el perímetro. Un paralelogramo es cualquier figura de cuatro lados con dos pares de lados paralelos: el rectángulo, el rombo y el cuadrado son casos particulares suyos, y la forma que sale de empujar un rectángulo de lado es el caso general. Su área es la fórmula más sencilla de la geometría, base por altura, y es la misma fórmula que usa un rectángulo, que es el hecho ante el que merece la pena detenerse, porque un rectángulo inclinado encierra obviamente menos que el rectángulo recto y la fórmula dice otra cosa. La explicación es que la altura no es el lado contiguo. Es la distancia perpendicular entre la base y el lado opuesto, medida en vertical y no a lo largo de la pendiente, y es el número del que depende realmente el área. Inclina el rectángulo y el lado contiguo se alarga mientras la altura perpendicular se queda igual, así que un rectángulo y su versión inclinada tienen exactamente la misma área. El perímetro es donde la pendiente sí importa, y es la razón de que esta página pida tres números en lugar de dos. Un paralelogramo tiene dos lados de una longitud y dos de otra, así que su perímetro es dos veces la suma de esas dos longitudes, y esas dos longitudes son la base y el lado contiguo, no la base y la altura. Altura y lado contiguo son números distintos en todo paralelogramo que no sea un rectángulo, donde coinciden. De ahí sale el único rechazo de la página: un lado contiguo más corto que la altura no describe ningún paralelogramo, porque la altura es el lado contiguo multiplicado por el seno del ángulo que forma con la base, y el seno de un ángulo nunca pasa de uno. Una base de 6 con una altura de 4 y un lado contiguo de 1 son tres números que no se pueden dibujar, y la página lo dice en lugar de devolver una cifra. Todo está en centímetros y centímetros cuadrados independientemente de los desplegables de unidad, y las dos salidas son exactas siempre que lo sean las entradas.
Paralelogramos a partir de una base, una altura y un lado contiguo
| Base (cm) | Altura (cm) | Lado contiguo (cm) | Área (cm²) | Perímetro (cm) |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 4 | 5 | 24 | 22 |
| 3 | 4 | 5 | 12 | 16 |
| 12 | 5 | 13 | 60 | 50 |
| 10 | 1 | 10 | 10 | 40 |
| 2.5 | 2 | 3 | 5 | 11 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 4 |
| 100 | 1 | 1 | 100 | 202 |
| 5 | 0 | 3 | 0 | 16 |
Ocho paralelogramos, y la primera fila es la que carga la página. La segunda fila es la que hay que leer junto a la página del triángulo: una base de 3 y una altura de 4 dan aquí un área de 12, y el triángulo con esa misma base y esa misma altura tiene un área de 6, que es la relación de dos a uno que el corte por la diagonal hace evidente. La cuarta fila es uno largo y bajo, de diez por uno con un lado contiguo de diez, una figura aplastada casi del todo, y es el sitio más claro de la tabla para ver que el área la manda la altura perpendicular mientras que el perímetro lo mandan las dos longitudes de lado y apenas se entera de la altura. La séptima fila lleva eso más lejos: una base de 100 con una altura de 1 y un lado contiguo de 1 es una lámina de cien centímetros de largo y uno de alto, cuya área es 100 centímetros cuadrados y cuyo perímetro es 202. La sexta fila es el límite que la página permite: un lado contiguo igual a la altura, que hace que el ángulo sea recto y la figura un cuadrado. La octava y última fila es una altura de cero, con el lado de arriba derrumbado sobre el de abajo: el área es 0, con toda honestidad, y el perímetro sigue siendo 16, porque los cuatro lados siguen ahí para recorrerlos. Dos números que parecen incoherentes en una fila donde la figura se ha aplastado hasta ser una línea es de esas cosas que conviene encontrarse antes en una tabla que en el panel de resultados. Todas las cifras de aquí se recalculan a partir de sus tres entradas al construir la página, en centímetros, y todas son exactas, porque nada en esta página introduce un π ni una raíz cuadrada.
Fórmula
Área = b × h Perímetro = 2(b + a)
- Base
- La longitud de uno de los dos lados paralelos sobre los que se apoya el paralelogramo, en centímetros. Cualquiera de los dos pares de lados paralelos puede llamarse base; lo que importa es que la altura se mida perpendicular a la que elijas
- Height
- La distancia perpendicular desde la base hasta el lado opuesto, en centímetros, medida en vertical y no a lo largo del lado que sube. Es el número del que depende el área, y es el que la gente confunde con el lado contiguo, que mide otra cosa en todo paralelogramo que no sea un rectángulo
- Adjacent side
- La longitud de uno de los dos lados que suben, en centímetros. El área lo ignora por completo y el perímetro no puede pasar sin él: el perímetro es dos veces la base más dos veces este lado. Tiene que medir al menos lo que la altura, porque es la altura dividida entre el seno del ángulo que forma con la base
- Area
- La superficie encerrada, en centímetros cuadrados: base por altura, la misma fórmula que usa un rectángulo. Es exactamente el doble del área del triángulo que comparte esa misma base y esa misma altura, que es lo que muestra la segunda fila de la tabla de referencia
- Perimeter
- La distancia de todo el contorno, en centímetros: dos veces la base más dos veces el lado contiguo, ya que los dos pares de lados son iguales. La altura no interviene en absoluto, y por eso una página que solo pidiera base y altura no podría darte esta cifra
- Centimetres and square centimetres
- Las unidades de las dos salidas, siempre, sea cual sea la unidad elegida en los desplegables. El perímetro es una longitud y el área es una longitud al cuadrado, así que las dos no son comparables y doblar una no dobla la otra
- Four decimal places
- El ancho con el que se escriben las dos salidas. Cuatro en lugar de dos porque la página funciona con números enteros en su tabla de referencia pero no está limitada a ellos, y una base escrita en metros a través del desplegable llega como decimal
La fórmula del área es la que más importa, y conviene saber que es la misma base por altura que comparten todos los paralelogramos, el rectángulo incluido. Donde se gana su sitio es en demostrar que una figura inclinada no es más pequeña que una recta con la misma base y la misma altura: un terreno al que una valla torcida le ha sacado de escuadra no pierde nada de área, y eso no es lo que dice la vista. Si lo que necesitas es el área de una parcela cuyos lados has medido por el suelo, ve con cuidado, porque la altura es la distancia perpendicular, que rara vez es lo que da una cinta métrica, y el lado contiguo no sirve de sustituto. Para el perímetro, esa misma parcela necesita las dos longitudes de lado, y ahí es donde esta página pide el tercer número. Merece la pena provocar el rechazo a propósito y no por accidente: si escribes un lado contiguo más corto que la altura, los dos números se contradicen entre sí, y la causa más frecuente es que se hayan medido una base y un lado contiguo pero la altura perpendicular se haya supuesto o se haya tomado como el otro lado. La página del triángulo que acompaña a esta usa la misma base y la misma altura y devuelve la mitad del área, y la del rectángulo devuelve la misma área con el lado contiguo igual a la altura: esas dos son las comprobaciones más rápidas de que esta página se está comportando bien.
Ejemplos resueltos
Una base de 6, una altura de 4 y un lado contiguo de 5
- Área: 6 × 4 = 24 centímetros cuadrados
- Perímetro: 2 × (6 + 5) = 22 centímetros
- La altura de 4 no se usa en el perímetro, y el lado contiguo de 5 no se usa en el área
La entrada con la que carga la página, y el par de cálculos que deja ver por qué hacen falta tres números: el área sale de la base y la altura, y el perímetro de la base y el lado contiguo, así que ninguna de las dos salidas usa los tres. La figura es un rectángulo de 3, 4 y 5 empujado de lado, y de ahí que los números salgan tan redondos.
Una base de 3, una altura de 4 y un lado contiguo de 5
- Área: 3 × 4 = 12 centímetros cuadrados
- Perímetro: 2 × (3 + 5) = 16 centímetros
- Doce es exactamente el doble del área del triángulo con la misma base y la misma altura, que es 3 × 4 ÷ 2 = 6
La fila que hace visible el factor dos. Toma el paralelogramo y córtalo por una diagonal y salen dos triángulos con la misma base y la misma altura, así que el área del paralelogramo es exactamente el doble de la del triángulo: 12 frente a 6. De ahí sale el dos del denominador en la fórmula del triángulo, leído al revés.
Una base de 12, una altura de 5 y un lado contiguo de 13
- Área: 12 × 5 = 60 centímetros cuadrados
- Perímetro: 2 × (12 + 13) = 50 centímetros
- El triángulo de 5, 12 y 13 es el segundo triángulo rectángulo más pequeño con los tres lados enteros, y es la razón de que estos números sean redondos
Un paralelogramo largo y bajo, y la fila en la que las dos salidas están más lejos una de otra: el área es 60 mientras que el perímetro es 50, lo cual recuerda que son dos cantidades distintas medidas en unidades distintas y que no hay ninguna regla que obligue a que una supere a la otra. El 5, el 12 y el 13 de los tres campos son los lados de un triángulo rectángulo, que es la forma más ordenada de construir un paralelogramo cuya pendiente sea exactamente la perpendicular.
Una base de 1, una altura de 1 y un lado contiguo de 1
- Área: 1 × 1 = 1 centímetro cuadrado
- Perímetro: 2 × (1 + 1) = 4 centímetros
- El lado contiguo es igual a la altura, así que el ángulo es de 90 grados y la figura es un cuadrado
El límite que la página permite en lugar de rechazar. Cuando el lado contiguo es igual a la altura, el seno del ángulo vale uno, el ángulo es recto y el paralelogramo es un cuadrado: un miembro de pleno derecho de la familia y no un caso degenerado. La regla que aplica la página es que el lado contiguo mida al menos la altura, y no más que ella, y este es el caso que marca la diferencia.
Una base de 5, una altura de 0 y un lado contiguo de 3
- Área: 5 × 0 = 0 centímetros cuadrados
- Perímetro: 2 × (5 + 3) = 16 centímetros
- Las dos cifras salen de sus propias fórmulas, y describen cosas distintas de la misma figura aplastada
El caso en el que las dos salidas parecen contradecirse y no lo hacen. Una altura de cero significa que el lado de arriba ha bajado hasta el de abajo y la figura se ha aplastado en un segmento, así que no encierra área ninguna: cero es la respuesta correcta. El perímetro, en cambio, es la longitud total de los cuatro lados, que es lo que calcula la fórmula y lo que significa un perímetro: recorre la base, vuelve por el lado contiguo, otra vez la base y de nuevo el lado contiguo. No es la longitud del resultado aplastado, que serían 2 × 5 = 10. La página da la longitud del borde de la figura de cuatro lados, y eso conviene saberlo antes de que uno de los dos números parezca un error.
Limitaciones
La altura es la distancia perpendicular entre la base y el lado opuesto, y la página no puede saber si lo que mediste fue el lado contiguo en su lugar. Escribir el lado contiguo en el campo de la altura da un área demasiado grande, y es el error más frecuente que ve esta página, porque el lado contiguo es al que llega una cinta métrica. El perímetro usa la base y el lado contiguo y no tiene en cuenta la altura, así que si facilitas una altura y ningún lado contiguo la página no puede funcionar en absoluto. Un lado contiguo más corto que la altura se rechaza, porque no describe ningún paralelogramo: la altura es igual al lado contiguo por el seno del ángulo que forma con la base, y ningún ángulo tiene seno mayor que uno. Las salidas están en centímetros y centímetros cuadrados sea cual sea la unidad elegida en los desplegables. Los cuatro decimales son una anchura de presentación y no una afirmación sobre la precisión. La página supone un paralelogramo verdadero, con dos pares de lados paralelos, así que no comprobará un cuadrilátero cuyos lados opuestos no sean iguales, y no da ángulos, ni diagonales, ni ninguna forma de escribir directamente el ángulo entre los lados. Una altura de cero se acepta y devuelve un área de cero con un perímetro distinto de cero, lo cual es aritméticamente correcto y físicamente un segmento en lugar de una figura: el perímetro describe entonces el camino alrededor de los cuatro lados y no la longitud del resultado aplastado.
Preguntas frecuentes
- ¿Por qué pide tres números si el área solo necesita dos?
- Porque el perímetro necesita un número que el área no usa. El área es base por altura; el perímetro es dos veces la base más dos veces el lado contiguo, y la altura y el lado contiguo son longitudes distintas en todo paralelogramo que no sea un rectángulo. Una base y una altura fijan el área pero dejan la figura libre para ser aplastada, y aplastarla cambia el perímetro mientras el área se queda igual.
- ¿La altura es lo mismo que el lado contiguo?
- No, y este es el error que más ve la página. La altura es la distancia perpendicular desde la base hasta el lado opuesto; el lado contiguo es la longitud del propio borde. Solo son iguales en un rectángulo. En un paralelogramo inclinado 30 grados el lado contiguo mide el doble que la altura, así que escribir el lado contiguo en el campo de la altura duplicaría el área.
- ¿Por qué no acepta un lado contiguo más corto que la altura?
- Porque ese paralelogramo no existe. La altura es el lado contiguo multiplicado por el seno del ángulo que ese lado forma con la base, y un seno nunca pasa de uno, así que el lado contiguo siempre mide al menos lo que la altura. Un lado contiguo igual a la altura significa que el ángulo es de 90 grados y que la figura es un rectángulo, y por eso la página admite la igualdad en lugar de rechazarla.
- ¿Por qué el área es la misma que la de un rectángulo?
- Porque un paralelogramo y un rectángulo con la misma base y la misma altura perpendicular encierran la misma área, por mucho que se incline el paralelogramo. Desliza el triángulo de un extremo del paralelogramo y encaja exactamente en el otro extremo, y la figura se convierte en un rectángulo de la misma base y la misma altura. Inclinar un rectángulo alarga sus lados contiguos sin cambiar lo que encierra.
- El área sale cero pero el perímetro no: ¿cuál de los dos está mal?
- Ninguno. Una altura de cero significa que el lado de arriba ha bajado hasta el de abajo, así que la figura es un segmento y no encierra área ninguna; el cero es correcto. El perímetro es la longitud total de los cuatro lados, o sea recorrer la base, volver por el lado contiguo, otra vez la base y de nuevo el lado contiguo, y ese camino sigue midiendo 16 centímetros cuando la base es 5 y el lado es 3. No es la longitud del resultado aplastado, que serían 10.
- ¿Y si lo que quiero es el área de un triángulo?
- Divide entre dos el área de esta página, siempre que el triángulo comparta la misma base y la misma altura perpendicular. Cortar un paralelogramo por una diagonal da dos triángulos de área igual, y de ahí sale exactamente el medio de la fórmula del triángulo. Si lo que has medido de tu triángulo son los tres lados y no su base y su altura, las páginas de triángulos de este mismo sitio toman los tres lados directamente.
Referencias
- Parallelogram — the quadrilateral with two pairs of parallel sides, with the base-times-height area formula and the note that a parallelogram and a rectangle on the same base and height have equal areas — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle — the figure a parallelogram splits into along a diagonal, which is why the triangle's area carries a half and the parallelogram's does not — Wolfram MathWorld (United States)
- Sine — the function that relates a parallelogram's sloping side, its height and the angle between them, and the reason a sloping side can never be shorter than the height — Wolfram MathWorld (United States)
- El Sistema Internacional de Unidades (SI) — the reference for the length and area units in which the sides and the results of this page are expressed — Centro Español de Metrología (España)