Calculadora de trapecio

A = ((a + b) ÷ 2) × h P = a + b + c + d x = (c² − d² + Δ²) ÷ (2Δ) h = √(c² − x²)

a, b

Los dos lados paralelos, en centímetros: las bases. Cualquiera de los dos puede ser el más largo; la página trabaja con la diferencia entre ambos y le da igual a cuál llames superior. Su promedio, (a + b) ÷ 2, multiplicado por la altura, es el área, que es la fórmula alrededor de la cual está construida toda la página

c, d

Los dos lados oblicuos, en centímetros: los lados que no son paralelos. Sus longitudes deciden si la figura existe, porque entre los dos tienen que abarcar la diferencia entre las bases. No hace falta que sean iguales —un trapecio con lados de 5 y 4 es perfectamente corriente— y cuando lo son la figura se llama trapecio isósceles y la altura es simplemente la raíz cuadrada del lado al cuadrado menos la mitad de la diferencia de bases al cuadrado

Δ

La diferencia entre las dos bases, |b − a|, en centímetros. Es la base del triángulo que encierran los dos lados oblicuos y las dos bases, y es la cantidad que decide en cuál de los tres casos estás: menor de lo que los lados abarcan, justo en el límite, o mayor de lo que alcanzan. Cuando vale 0 —bases iguales— la figura es un paralelogramo y los cuatro lados dejan de determinar la altura, que es la razón de que la página reporte un error en vez de responder

x

Dónde cae la altura a lo largo de la diferencia de bases, en centímetros: la distancia desde un extremo de esa diferencia hasta el pie de la perpendicular. Sale del teorema del coseno aplicado al triángulo de lados c, d y Δ, y la página solo la usa para llegar a la altura. Puede quedar fuera del intervalo de 0 a Δ, que es lo que pasa cuando un lado oblicuo se sale por fuera del extremo de la base corta: la figura sigue siendo un trapecio y la aritmética sigue funcionando

h

La altura, en centímetros: la distancia perpendicular entre las dos bases paralelas, y el número que la fórmula del área necesita. Sale igual a la raíz cuadrada de c² − x² y se imprime con cuatro decimales. Como es la raíz de una diferencia, el caso en que los lados no abarcan la diferencia de bases es el caso en que el número de dentro de la raíz se volvería negativo, y por eso la página comprueba antes la desigualdad triangular en lugar de dejar que la raíz produzca un sinsentido

A, P

El área en centímetros cuadrados y el perímetro en centímetros. El área es el promedio de las bases por la altura, que es lo mismo que la mitad de su suma por la altura: un trapecio y un rectángulo de la misma altura cubren el mismo suelo cuando el ancho del rectángulo es el promedio de las dos bases. El perímetro es la suma de los cuatro lados y no interviene la altura en ningún momento

Usa esta página cuando lo que tengas sean los cuatro bordes. Es el caso habitual del terreno: una parcela con dos lados paralelos y dos que no lo son, medida con la cinta por el borde, donde las bases y los lados oblicuos se miden fácil y la altura perpendicular no —habría que atravesar la parcela a pasos, que en una cuesta o entre un cultivo es justo lo que no se puede hacer—. También es el caso de un panel cortado según un plano que da cuatro bordes y ninguna altura, y el de comprobar una figura que ha especificado otra persona: escribe los cuatro lados y mira si describen un trapecio. La tabla de abajo tiene una fila para eso: el séptimo caso, con lados de 4 y 2 bajo bases de 10 y 4, da una altura de 0, porque la diferencia de 6 es exactamente lo que suman los dos lados y la figura se ha plegado en plano. Acorta cualquiera de los dos lados un centímetro y la página reporta un error. Usa la página del área del trapecio cuando tengas las dos bases y la altura y no los lados oblicuos, porque esa toma ese par directamente y se salta el paso intermedio. Usa la del paralelogramo cuando las dos bases sean iguales, porque entonces la figura es un paralelogramo y los cuatro lados de esta página dejan de determinarla. Y usa la del área del triángulo cuando la base corta sea 0: un triángulo es un trapecio con una base de cero, y la tabla de abajo tiene una fila que es el triángulo rectángulo de lados 6, 8 y 10 hallado así, con un área de 24.

1. Bases de 4 y 10 con lados oblicuos de 5 y 5

   1. Diferencia entre las bases: 10 − 4 = 6
   2. Los lados son iguales, así que a cada uno le toca la mitad de esa diferencia: 6 ÷ 2 = 3
   3. Altura: √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4
   4. Promedio de las bases: (4 + 10) ÷ 2 = 7
   5. Área: 7 × 4 = 28
   6. Perímetro: 4 + 10 + 5 + 5 = 24

   La fila con la que carga la página, y la que conviene comprobar a mano, porque los números son el triángulo 3-4-5 disfrazado: un lado de 5 y media diferencia de bases de 3 dan una altura de 4 exacta. La altura es además la única cantidad que no se puede leer en los cuatro lados, que es el motivo entero de la página. Compara el área con el rectángulo que tiene la misma altura y una anchura de 7 —el promedio de las bases— y sale el mismo 28, que es la manera más limpia de ver por qué la fórmula promedia en lugar de hacer algo más complicado.

2. Bases de 7 y 10 con lados oblicuos de 5 y 4

   1. Diferencia entre las bases: 10 − 7 = 3
   2. Los lados son desiguales, así que la diferencia se reparte de forma desigual: (25 − 16 + 9) ÷ (2 × 3) = 18 ÷ 6 = 3
   3. Altura: √(25 − 9) = √16 = 4
   4. Promedio de las bases: (7 + 10) ÷ 2 = 8,5
   5. Área: 8,5 × 4 = 34
   6. Perímetro: 7 + 10 + 5 + 4 = 26

   Un trapecio escaleno, donde los dos lados oblicuos miden distinto y la altura cae en un punto que no es el centro de la diferencia de bases. Lo que ocurre aquí es que el lado de 4 cm se levanta vertical entre los extremos derechos de las dos bases —la distancia x sale igual a la diferencia entera, 3, así que el otro lado no se queda con nada de ella—, que es lo que hace un par de lados desigual: la altura acaba siendo igual a la longitud de ese lado. La altura vuelve a dar 4 exacto, así que esta fila y la primera comparten altura y tienen áreas distintas, 28 y 34, solo porque sus bases son distintas. Es un recordatorio de que los cuatro lados de un trapecio trabajan todos: aquí la misma altura de 4 se apoya en dos pares de bases diferentes, así que son los cuatro juntos, y no la altura por sí sola, lo que fija el área.

3. Bases de 0 y 10 con lados oblicuos de 6 y 8

   1. Diferencia entre las bases: 10 − 0 = 10
   2. Lados desiguales: (36 − 64 + 100) ÷ (2 × 10) = 72 ÷ 20 = 3,6
   3. Altura: √(36 − 12,96) = √23,04 = 4,8
   4. Promedio de las bases: (0 + 10) ÷ 2 = 5
   5. Área: 5 × 4,8 = 24
   6. Perímetro: 0 + 10 + 6 + 8 = 24

   Un triángulo disfrazado de trapecio: con una base de 0 la figura se cierra en un triángulo, y los números de aquí son el triángulo rectángulo 6-8-10, cuyo área de 24 centímetros cuadrados es la misma respuesta que da la página del área del triángulo. La aritmética recuerda que la fórmula del trapecio lleva dentro la del triángulo: con una base en cero, el promedio de las bases se convierte en la mitad de la otra base, que es exactamente el factor del triángulo. El perímetro de una figura con un lado de longitud cero es la suma de los otros tres, que aquí también da 24: una coincidencia de estos números y no una regla.

4. Bases de 4 y 10 con lados oblicuos de 4 y 2

   1. Diferencia entre las bases: 10 − 4 = 6
   2. Los dos lados suman 4 + 2 = 6, exactamente la diferencia
   3. Altura: los lados llegan justo a abarcar la diferencia, así que la altura es 0
   4. Promedio de las bases: (4 + 10) ÷ 2 = 7
   5. Área: 7 × 0 = 0
   6. Perímetro: 4 + 10 + 4 + 2 = 20

   El borde de lo que la página acepta, y la razón de que compruebe los lados antes de sacar una raíz cuadrada. Aquí los dos lados suman exactamente la diferencia entre las bases, así que ambos se tumban sobre la base larga, las dos bases quedan una encima de la otra y la figura no encierra nada. La página responde 0 en lugar de negarse, porque esos cuatro lados sí describen una figura: una plana. Acorta cualquiera de los dos lados un centímetro y ya no hay tal trapecio, y ese es el caso que se reporta como error, por el motivo de que un número negativo bajo una raíz cuadrada no es una altura.

Esta página calcula el área, el perímetro y la altura de un trapecio a partir de sus cuatro lados, y nada más. No da los ángulos, ni las diagonales, ni la longitud de la mediana, ni la posición de la altura a lo largo de las bases, todo lo cual sí queda determinado por los cuatro lados: la página simplemente no lo reporta, y la diagonal de un trapecio en particular exige una segunda aplicación de la misma aritmética triangular que esta página ya hace por dentro. No funciona hacia atrás: no hay camino de un área a los lados que la producen, y un trapecio con un área dada tiene infinitas descripciones por cuatro lados. Las salidas van en centímetros y centímetros cuadrados, sean cuales sean las unidades con las que se escribieron las entradas, porque los desplegables convierten cada lado a centímetros antes de la aritmética. La página da por supuesto que la figura es un trapecio con exactamente un par de lados paralelos y que los dos lados que escribes como bases son ese par: si cambias una base por un lado oblicuo, la página calculará la altura de otra figura y no reportará ningún error, porque cuatro números que formen un triángulo válido con la diferencia de bases siempre producen una respuesta. Las dos bases se tratan como longitudes que no pueden ser negativas. Unas bases iguales se reportan como error en lugar de resolverse, lo cual es deliberado pero conviene saberlo: en ese caso la figura es un paralelogramo y su altura no queda determinada de verdad por los cuatro lados, así que una página que devolviera un número se lo estaría inventando. La página no dice en cuál de los tres casos degenerados estás más allá del mensaje de error: un trapecio plegado con altura 0 se responde, mientras que unos lados demasiado cortos para abarcar la diferencia de bases se rechazan, y entre los dos casos hay un centímetro de diferencia en uno de los lados. Los cuatro decimales son un ancho de visualización compartido con las otras páginas de área de este grupo, no una afirmación sobre la precisión: un lado medido al centímetro más próximo mueve la altura más que el cuarto decimal. Aquí no se cuenta el desperdicio, el corte de la sierra ni el desnivel del suelo, así que el área devuelta es la de la figura tal como se describe y no la cantidad de material que hay que pedir.

¿Cómo saco el área de un trapecio a partir de sus cuatro lados?

Primero la altura, y después el promedio de las bases multiplicado por ella. Las dos bases se diferencian en una cantidad Δ; esa diferencia, junto con los dos lados oblicuos, forma un triángulo, y la altura del trapecio es la altura de ese triángulo. Con bases de 4 y 10 y lados de 5 y 5: la diferencia es 6, a cada lado le tocan 3, la altura es √(25 − 9) = 4, el promedio de las bases es 7 y el área son 28 centímetros cuadrados.

¿Por qué la página rechaza algunos conjuntos de cuatro lados?

Porque la mayoría de los conjuntos de cuatro lados no describen un trapecio. Los dos lados oblicuos tienen que poder abarcar la diferencia entre las bases, exactamente igual que los dos lados cortos de un triángulo tienen que poder abarcar el más largo. Unas bases de 10 y 4 se diferencian en 6, así que unos lados de 4 y 2 llegan por los pelos —la altura es 0—, mientras que unos lados de 3 y 2 no abarcan 6 de ninguna manera y esa figura no existe. La página lo reporta en lugar de devolver un número negativo salido de la raíz cuadrada.

¿Y si las dos bases miden lo mismo?

Entonces la figura es un paralelogramo y sus cuatro lados dejan de determinarla. Unos lados de 5, 5, 6 y 6 describen un rectángulo de 6 por 5 con una altura de 5, y también una figura tumbada casi en plano con una altura de casi nada: los mismos cuatro lados, áreas distintas. Esta página reporta un error en lugar de elegir una por ti. La página del paralelogramo toma una base y una altura y responde a esa pregunta directamente.

¿Qué es un trapecio isósceles y en qué simplifica las cosas?

Aquel cuyos dos lados oblicuos son iguales. La diferencia de bases se reparte entonces por igual entre los dos lados, así que cada lado y la mitad de la diferencia forman un triángulo rectángulo, y la altura es √(lado² − (Δ ÷ 2)²). Con bases de 4 y 10 y lados iguales, Δ es 6, su mitad es 3 y un lado de 5 da √(25 − 9) = 4. La primera fila de la tabla es este caso, y su figura es simétrica: los dos ángulos de la base son iguales y las dos diagonales también.

¿Es el triángulo un caso particular del trapecio?

Aritméticamente sí, cuando una de las bases es 0. El promedio de las bases se convierte entonces en la mitad de la base que queda, y la fórmula del área pasa a ser mitad de base por altura, que es la del triángulo. Escribe una base superior de 0 con lados de 6 y 8 y una base inferior de 10 y la página devuelve 24 centímetros cuadrados, la misma respuesta que da la página del área del triángulo para un triángulo de 6, 8 y 10. Que un triángulo cuente como trapecio es una cuestión de definición, pero a la fórmula le da igual.

¿Por qué la altura no es uno de los cuatro lados?

Porque en un trapecio no es un lado: es la distancia perpendicular entre las dos bases paralelas, y va por dentro de la figura y no por su borde. Es la única cantidad que no se obtiene pasando una cinta por el contorno, y por eso sirve una página como esta, que deduce la altura a partir de los cuatro lados que sí se pueden medir. La altura coincide con el lado más corto solo en el caso degenerado en que ese lado se levanta perpendicular a las dos bases.

• Trapezoid — the four-sided figure with one pair of parallel sides that this page describes, including the area formula based on the average of the bases and the relations between the sides and the height — Wolfram MathWorld (United States)
• Isosceles Trapezoid — the case where the two legs are equal, where the base difference splits evenly and the height is the square root of the leg squared minus half the difference squared — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the figure the two legs and the difference between the bases form, and the source of the triangle inequality that decides whether four given sides describe a trapezoid at all — Wolfram MathWorld (United States)
• Trapecio — qué es, los nombres de sus lados y las fórmulas del área y del perímetro, en español — Universo Formulas (España)