Calculadora de área de trapecio
Resultado
Superficie
Una calculadora de área de trapecio toma los dos lados paralelos y la distancia que los separa y devuelve cuánta superficie cubre la figura, en centímetros cuadrados. Un trapecio es un cuadrilátero con un par de lados opuestos paralelos: esas dos bases paralelas son las que entran en la fórmula, y todo lo demás sale de ellas. La fórmula es el promedio de las dos bases multiplicado por la altura, y el promedio es la parte que conviene entender, porque explica por qué esta página es más general que las que tiene al lado. Toma un trapecio y cópialo, gira la copia media vuelta y une las dos por uno de los lados oblicuos: lo que sale es un paralelogramo cuya base es la suma de las dos bases y cuya altura no ha cambiado. La parte que le toca al trapecio es la mitad de eso, que es lo mismo que decir el promedio de las dos bases por la altura. Cuando las dos bases resultan ser iguales, promediarlas no cambia nada y la fórmula se convierte en base por altura, que es el paralelogramo. Cuando una de ellas vale cero, el promedio es la mitad de la otra y la fórmula se convierte en la del triángulo. Así que un trapecio no es una figura rara que necesitara su propia regla: es el caso general, y las otras dos son lo que resulta en los extremos. Hay una cosa que conviene saber antes de empezar a teclear, y ahorra bastante tiempo: da igual qué base vaya en cada campo. La fórmula suma las dos antes de hacer cualquier otra cosa, así que un trapecio apoyado en su lado largo y el mismo trapecio apoyado en su lado corto dan la misma respuesta, y que la base superior sea más larga que la inferior no es un error: solo significa que la figura está boca abajo. La palabra que sí hay que cuidar es altura. Es la distancia perpendicular entre las dos bases, no la longitud de ninguno de los lados oblicuos, por la misma razón que en la página del triángulo. Y hay un detalle de vocabulario que ahorra una confusión: en el aula a las dos bases se les llama base mayor y base menor, y son exactamente los campos que aquí se llaman base inferior y base superior.
El área de un trapecio a partir de sus dos lados paralelos y de la distancia entre ellos
| Base superior (cm) | Base inferior (cm) | Altura (cm) | Área (cm²) |
|---|---|---|---|
| 6 | 10 | 4 | 32 |
| 5 | 9 | 6 | 42 |
| 3 | 7 | 2 | 10 |
| 8 | 8 | 5 | 40 |
| 0 | 10 | 4 | 20 |
| 12 | 4 | 7 | 56 |
| 2 | 2 | 3 | 6 |
| 1 | 9 | 10 | 50 |
Ocho trapecios y cuatro columnas, y dos de las filas son la razón de que la página exista. La cuarta es la línea del paralelogramo: dos bases de 8 con altura 5 dan 40, que es lo que imprime la página del paralelogramo para la misma figura, así que esta tabla y aquella se encuentran en esa fila. La quinta es la línea del triángulo: una base superior de 0 con una base inferior de 10 y una altura de 4 dan 20, que es lo que da la página del triángulo al escribir una base de 10 y una altura de 4. Leídas juntas, esas dos filas dicen que el trapecio es el caso general y las otras figuras son sus extremos. La primera fila es el par con el que carga la página, y la sexta es su imagen simétrica: una base superior de 12 sobre una base inferior de 4 es una figura apoyada en su lado largo, e intercambiar las dos entradas llega igualmente a 56. La séptima es un paralelogramo pequeño, dos bases de 2 con altura 3, que la fórmula general resuelve sin ningún caso especial. Todos los valores se recalculan a partir de sus tres entradas al construir la página, en centímetros, y los cuatro decimales son los mismos cuatro decimales que usa el panel de resultados.
Fórmula
A = (a + b) ÷ 2 × h
- a
- Uno de los dos lados paralelos, en centímetros. Da igual a cuál llames a y a cuál b: los dos se suman, así que ponerlos al revés da la misma respuesta
- b
- El otro lado paralelo, en centímetros. Puede ser más larga o más corta que a; una base superior más larga que la inferior solo es la figura boca abajo
- h
- La distancia perpendicular entre las dos bases, en centímetros: medida en ángulo recto respecto de las dos, nunca a lo largo de un lado oblicuo
- (a + b) ÷ 2
- El promedio de las dos bases, y todo el truco de la fórmula. El área de un trapecio se comporta como si la figura fuera un rectángulo cuyo ancho fuese el promedio de sus dos bases
- Two
- El divisor, y la razón de que esta página contenga a las otras dos figuras. Cuando las bases son iguales, el dividir entre dos y el promediar se anulan y vuelve base por altura; cuando una base es cero, el promedio es la mitad de la otra y aparece el dividir entre dos del triángulo
- Area
- La superficie que encierra el trapecio, en centímetros cuadrados: siempre en esta unidad, digan lo que digan los desplegables
- Four decimal places
- El ancho con el que se escribe la lectura. Dividir entre dos la suma de dos bases es exacto con centímetros enteros, así que solo aparece una fracción cuando las entradas ya la traen
Todo lo que tenga forma de trapecio y se pague o se cubra por área. Los tejados son el caso clásico y la razón de que la figura tenga nombre en el vocabulario de cualquier oficio: un tejado a cuatro aguas, un hastial visto de lado, el trapecio entre dos buhardillas, todo eso es esta fórmula, y las tejas se piden por metro cuadrado. El terreno es el otro caso antiguo. Una parcela con dos lados paralelos y dos que no lo son es un trapecio, y una parcela con más lados se suele cortar en trapecios y triángulos, que es como los topógrafos miden el suelo irregular desde mucho antes de que hubiera calculadoras. Fuera de esos dos, es la misma figura apareciendo donde algo es más ancho en un extremo que en el otro: una entrada de coches que se ensancha, un terreno entre dos carreteras que se separan, un panel acústico, un tramo de conducto que se abre, una mesa trapezoidal, la cara de una presa, una canaleta de drenaje. También merece la pena conocerla por una razón que no tiene nada que ver con los trapecios. Como el caso de bases iguales da el paralelogramo y el de base cero da el triángulo, esta única fórmula cubre el área de todo cuadrilátero con un par de lados paralelos; de modo que si solo te acuerdas de esta, tienes las otras dos gratis, y el rectángulo también. En ese sentido es la página general.
Ejemplos resueltos
Una base superior de 6, una base inferior de 10 y una altura de 4
- Suma las dos bases: 6 + 10 = 16
- Divide entre dos para obtener el ancho medio: 16 ÷ 2 = 8
- Multiplica por la altura: 8 × 4 = 32
El par con el que carga la página. Es también la fila para demostrar que el orden de las bases da igual: pon 10 en el campo de arriba y 6 en el de abajo, y vuelve a salir 32. Los dos se suman antes de que ocurra cualquier otra cosa, así que los campos no son realmente una base de arriba y otra de abajo: son simplemente los dos lados paralelos.
Una base superior de 12, una base inferior de 4 y una altura de 7
- Suma las dos bases: 12 + 4 = 16
- Divide entre dos: 16 ÷ 2 = 8
- Multiplica por la altura: 8 × 7 = 56
Un trapecio cuya base superior es más larga que la inferior, lo cual no es un error ni una figura distinta en nada que importe: solo significa que la figura está apoyada en su lado largo. Como las dos bases se suman antes de cualquier otra cosa, escribir 4 arriba y 12 abajo llega al mismo 56. Pruébalo en los dos sentidos y observa cómo la respuesta se niega a cambiar.
Una base superior de 8 y una base inferior de 8
- Suma las dos bases: 8 + 8 = 16
- Divide entre dos: 16 ÷ 2 = 8
- Multiplica por la altura: 8 × 5 = 40
La línea del paralelogramo. Cuando las dos bases son iguales, ya no hay nada que promediar y la fórmula hace lo que la página del paralelogramo: base por altura, 40. El dividir entre dos y el promediar se anulan exactamente, y por eso esta página contiene a aquella en lugar de competir con ella.
Una base superior de 0 y una base inferior de 10
- Suma las dos bases: 0 + 10 = 10
- Divide entre dos: 10 ÷ 2 = 5
- Multiplica por la altura: 5 × 4 = 20
La línea del triángulo, y el otro extremo de la fórmula. Una base superior de cero significa que la figura se ha apretado hasta un punto, así que es un triángulo de base 10 y altura 4, y la página del triángulo da 20 exactamente para esos dos números. El promedio de 0 y 10 es 5, que es la mitad de la base, que es el dividir entre dos del triángulo llegando desde el otro lado.
Una base superior de 1, una base inferior de 9 y una altura de 10
- Suma las dos bases: 1 + 9 = 10
- Divide entre dos: 10 ÷ 2 = 5
- Multiplica por la altura: 5 × 10 = 50
Una franja estrecha encima de otra mucho más ancha, que es el aspecto real de una parcela que se estrecha o de un conducto que se abre. El promedio de 1 y 9 es 5, y 5 es también el promedio de 0 y 10, que es el mismo hecho de la fila anterior visto con otro par de números. Aquí no ha hecho falta ningún decimal y no se ha redondeado nada.
Limitaciones
Esta página calcula el área y nada más. No da el perímetro, ni los lados oblicuos, ni la altura, ni los ángulos, y no funciona hacia atrás desde un área hasta una medida que falte: un área por sí sola no determina un trapecio, así que no hay nada a lo que volver. La altura es la distancia perpendicular entre las dos bases y no la longitud de un lado oblicuo; si la única medida que tienes recorre uno de los lados inclinados, ese número no es el de este campo. Las dos bases y la altura tienen que estar en la misma unidad, y la respuesta sale siempre en centímetros cuadrados digan lo que digan los desplegables, así que una figura medida en pulgadas vuelve como una cifra en centímetros cuadrados que hay que dividir entre 6,4516 para leerla en pulgadas cuadradas. La figura tiene que tener exactamente un par de lados paralelos: un cuadrilátero general sin lados paralelos hay que partirlo en triángulos, y una figura con dos pares de lados paralelos es un paralelogramo, que esta página calculará igual pero que tiene página propia. Un trapecio dibujado sobre una superficie curva queda fuera de alcance, y también el volumen de un cuerpo con caras trapezoidales.
Preguntas frecuentes
- ¿Importa cuál de las dos bases va en cada campo?
- No, y merece la pena saberlo antes de empezar. La fórmula suma las dos antes de hacer cualquier otra cosa, así que una base de 6 con una base de 10 da la misma respuesta se escriban como se escriban. Que la base superior sea más larga que la inferior tampoco es un error: solo significa que el trapecio está apoyado al revés.
- ¿Qué es exactamente la altura?
- La distancia perpendicular entre los dos lados paralelos, medida en ángulo recto respecto de ambos. No es la longitud de ninguno de los lados oblicuos, que siempre es mayor en cuanto la figura se inclina. Es el mismo aviso que en la página del triángulo y por la misma razón: meter un lado oblicuo da un área mayor que parece perfectamente razonable.
- ¿Por qué existe la página del paralelogramo si esta ya lo cubre?
- Porque la mayoría de quien quiere el área de un paralelogramo no piensa en él como un trapecio de dos bases iguales, y obligarle a dar ese paso es trabajo sin provecho. Las dos páginas coinciden exactamente: dale a esta dos bases de 8 y una altura de 5 y obtienes 40, que es lo que imprime la del paralelogramo para la misma figura. El solapamiento es deliberado, y la tabla de cada página tiene una fila justo en ese punto.
- ¿Y si una de las bases es cero?
- Entonces el trapecio se ha apretado hasta un punto y es un triángulo, y la respuesta es correcta. Una base superior de cero con una base inferior de 10 y una altura de 4 da 20, el mismo 20 que da la página del triángulo para una base de 10 y una altura de 4, porque es la misma figura. El cero se trata como un valor real y no como un campo vacío; dejar un campo en blanco es otra cosa y no muestra ningún resultado.
- ¿Puedo despejar una base que me falta a partir del área?
- No solo con el área. Un área no determina un trapecio: hay infinitos trapecios con la misma área y lados muy distintos, así que no hay nada que despejar. Si conoces el área, la altura y una de las bases, entonces la otra sí sale de la fórmula reordenándola, pero esa es una aritmética que harías a mano y no algo que ofrezca esta página.
Referencias
- Trapezoid — the shape, the vocabulary of bases and legs, and the area formula this page computes — Wolfram MathWorld (United States)
- Parallelogram — what a trapezoid becomes when its two bases are equal, and the base-times-height result it collapses into — Wolfram MathWorld (United States)
- Quadrilateral — the family this shape belongs to, and where the trapezoid sits in it relative to the parallelogram and the rectangle — Wolfram MathWorld (United States)