Calculadora de rectángulo
Resultado
Superficie
- Perímetro
- 14,0000 cm
- Diagonal
- 5,0000 cm
La calculadora de rectángulo toma el largo y el ancho de un rectángulo y devuelve tres medidas suyas: el área, el perímetro y la diagonal. Nada de esta página va a sorprender a quien haya pasado por la escuela, y ese es justamente el interés que tiene: el rectángulo es donde las tres clases distintas de medida con las que trabaja toda esta familia de páginas se distinguen con más claridad, porque las tres toman las mismas dos entradas y las tres se comportan de forma distinta cuando esas entradas cambian. El área es el largo por el ancho, y responde a la pregunta de cuánta superficie cubre el rectángulo. El perímetro es dos veces el largo más el ancho, y responde a cuánto borde tiene, que es la pregunta que te haces cuando compras un marco o una tira de perfil. La diagonal es la raíz cuadrada del largo al cuadrado más el ancho al cuadrado, y responde a cuánto hay de una esquina a la opuesta, que es la pregunta que te haces cuando compruebas si algo va a pasar por una puerta o va a cruzar una habitación. Las dos primeras son fórmulas de escuela. La tercera es el teorema de Pitágoras, y merece la pena advertir que es él quien está haciendo el trabajo: la diagonal corta el rectángulo en dos triángulos rectángulos, el largo y el ancho son los dos catetos y la diagonal es la hipotenusa, y esa es la razón de que la respuesta sea la raíz cuadrada de una suma de cuadrados y no algo más simple. Si ya sabes resolver dos lados de un triángulo rectángulo, ya sabes hacer esta página, y si no, la página del teorema de Pitágoras de al lado es donde eso está contado por sí solo.
Rectángulos habituales, desde uno de 4 por 3 hasta uno achatado
| Largo (cm) | Ancho (cm) | Área (cm²) | Perímetro (cm) | Diagonal (cm) |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 3 | 12 | 14 | 5 |
| 5 | 5 | 25 | 20 | 7.0711 |
| 6 | 4 | 24 | 20 | 7.2111 |
| 12 | 5 | 60 | 34 | 13 |
| 10 | 10 | 100 | 40 | 14.1421 |
| 100 | 50 | 5000 | 300 | 111.8034 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 0 | 14 | 7 |
Ocho rectángulos, y la primera fila es con la que carga la página. La columna que hay que leer con atención es la del perímetro, porque se repite: la primera fila y la última suman las dos 14, y la segunda y la tercera suman las dos 20. No es un desliz de la tabla, es el hecho de que un perímetro no fija una forma: los de 5 por 5 y 6 por 4 tienen la misma cantidad de borde y un área y una diagonal bastante distintas, y por eso la página pide dos números en lugar de uno. La cuarta fila es el rectángulo 5-12-13, el único de aquí cuyas tres salidas son números enteros, y el que conviene guardar junto al 4 por 3 como segunda comprobación. La quinta fila es un cuadrado de 10 por 10, cuya diagonal es 14,1421, una raíz cuadrada que no termina nunca y la respuesta correcta para un cuadrado de ese tamaño. La sexta fila es grande a propósito, para que se vea el área escapándose de las otras dos: con 100 por 50 el área es 5000 pero el perímetro solo es 300 y la diagonal 111,8, porque el área va con el cuadrado del tamaño y las otras dos van con el tamaño. La última fila es un rectángulo achatado hasta quedarse sin ancho, donde el área es 0 y el perímetro sigue siendo 14. Todos los números de aquí se recalculan a partir de su largo y su ancho al construir la página, en centímetros, y los cuatro decimales son los mismos cuatro decimales que usa el panel de resultados.
Fórmula
A = l × w P = 2(l + w) d = √(l² + w²)
- Length
- El mayor de los dos lados, en centímetros. La página no comprueba que sea el mayor: cambiar los dos números de casilla da exactamente las mismas tres respuestas, porque todas las fórmulas de aquí tratan el largo y el ancho de la misma manera
- Width
- El otro lado, en centímetros, en ángulo recto con el largo. Junto con el largo fija el rectángulo por completo: dos números independientes son lo que necesita un rectángulo, donde un cuadrado necesita uno y un triángulo necesita tres
- Area
- La superficie que cubre el rectángulo, en centímetros cuadrados, que es el largo por el ancho. Es la única de las tres salidas que crece con el cuadrado del tamaño en lugar de con el tamaño: dobla los dos lados y el área se multiplica por cuatro
- Perimeter
- La distancia que recorre todo el borde, en centímetros: dos veces el largo más el ancho, una vez por cada uno de los dos pares de lados. Es la medida que quieres para todo lo que corra a lo largo del borde, y la que menos te dice sobre la forma, porque muchos rectángulos distintos comparten un mismo perímetro
- Diagonal
- La distancia en línea recta de una esquina a la opuesta, en centímetros. Es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forman el largo y el ancho, y es siempre la línea recta más larga que cabe dentro del rectángulo
- l² + w²
- La suma de los dos cuadrados, hecha antes de la raíz y no después. Es el teorema de Pitágoras en la forma en la que lo usa el rectángulo, y es la razón de que la diagonal sea un poco más larga que el largo pero nunca tanto como el largo más el ancho
- Four decimal places
- La anchura con la que se escribe cada salida. El área y el perímetro son exactos siempre que lo sean las dos entradas, pero la diagonal casi nunca lo es: es una raíz cuadrada, así que suele llevar una ristra de cifras y los cuatro decimales son una anchura de presentación y no una afirmación sobre la precisión
Las tres salidas responden a tres preguntas prácticas distintas sobre el mismo objeto, y saber cuál quieres es la mayor parte del trabajo. El suelo, la pintura, el césped y la tela se compran por área, así que esa es la columna que hay que leer cuando el rectángulo es una superficie. El rodapié, el perfil, el marco, la valla y la moldura se compran por longitud, así que esa es la del perímetro; y conviene saber que el perímetro por sí solo no puede decirte la forma, de modo que una habitación de 4 por 3 y una tira de 7 por 0 gastan el mismo rodapié, lo cual es verdad e inútil a partes iguales. La diagonal aparece cuando el rectángulo se está metiendo por algo o dentro de algo: el hueco de una puerta, un cuadro al que se le va a comprobar la escuadra, una pantalla que se anuncia por su diagonal y no por sus lados, o el objeto recto más largo que cabe tumbado en una caja. Es también la forma más rápida de comprobar que un rectángulo es de verdad rectangular: mide las dos diagonales de cualquier cosa que deba serlo y, si coinciden, las esquinas están a 90 grados, que es el truco que usan los carpinteros en las habitaciones y los enmarcadores en los paspartús. Y ojo con pedirle a la página lo que no puede dar: si el rectángulo es una tabla o una viga, el grosor es una tercera dimensión que aquí no tiene casilla, y si las esquinas están redondeadas, las tres fórmulas valen para el rectángulo que las contiene y no para la pieza terminada.
Ejemplos resueltos
Un rectángulo de 4 por 3
- Área: 4 × 3 = 12
- Perímetro: 2 × (4 + 3) = 14
- Diagonal: √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5
La entrada con la que carga la página, y el único rectángulo cuyas tres respuestas son números enteros pequeños. Es el triángulo 3-4-5 doblado por su hipotenusa, y por eso sale limpio: la diagonal de este rectángulo es uno de los triángulos rectángulos de lados enteros más antiguos que existen. Si solo vas a comprobar a mano una fila de esta página, comprueba esta: cada paso es aritmética que se hace sin calculadora.
Un cuadrado de 5 por 5
- Área: 5 × 5 = 25
- Perímetro: 2 × (5 + 5) = 20
- Diagonal: √(5² + 5²) = √50 = 7,0710678…, que redondea a 7,0711
Un rectángulo cuyos lados resultan ser iguales, o sea un cuadrado, y no necesita una página distinta: escribe el mismo número en las dos casillas y las tres fórmulas dan las respuestas correctas. La diagonal es 5√2, una raíz cuadrada que no termina nunca, y es la razón de que la calculadora del cuadrado de al lado imprima el mismo 7,0711 para un lado de 5. Dos páginas, un número, y es el mismo número a propósito.
Un rectángulo de 6 por 4
- Área: 6 × 4 = 24
- Perímetro: 2 × (6 + 4) = 20
- Diagonal: √(36 + 16) = √52 = 7,2111025…, que redondea a 7,2111
La fila que hay que poner frente a la de arriba: este rectángulo es más largo y más estrecho que el de 5 por 5, cubre algo menos de terreno, 24 frente a 25, y tiene exactamente el mismo perímetro de 20, pero su diagonal es 7,2111 frente a 7,0711. El mismo borde, distinta forma, y la diagonal es la salida que se da cuenta. Esa es toda la razón de que un perímetro por sí solo sea una descripción floja de un rectángulo.
El rectángulo 5-12-13
- Área: 12 × 5 = 60
- Perímetro: 2 × (12 + 5) = 34
- Diagonal: √(144 + 25) = √169 = 13
El otro triángulo rectángulo de lados enteros de esta página, y más grande. Un rectángulo de 5 por 12 y 13 merece recordarse como segunda comprobación junto al 3-4-5, porque es lo bastante grande como para que un error de escala se note: un rectángulo de 12 por 5 metros es una habitación plausible, y su diagonal de exactamente 13 metros es una medida que se puede comprobar con una cinta y no con una fórmula.
Un rectángulo sin ancho
- Área: 7 × 0 = 0
- Perímetro: 2 × (7 + 0) = 14
- Diagonal: √(49 + 0) = 7
Un ancho de cero está permitido, y las tres salidas que da son correctas y significan cosas distintas. El rectángulo se ha aplastado hasta convertirse en un segmento: no cubre ninguna superficie, así que el área es 0; no tiene diagonal propiamente dicha, así que la diagonal se queda encima del propio largo, en 7; y el perímetro sigue siendo 2 × 7 = 14, que es la distancia de ida y vuelta a lo largo del segmento, dos veces. Un perímetro para una figura sin área parece un error y no lo es.
Limitaciones
La página es solo para rectángulos: cuatro lados, cuatro ángulos rectos, lados opuestos iguales. Un paralelogramo que no sea un rectángulo tiene la misma forma de dos entradas y tres salidas pero una diagonal distinta, y la página del paralelogramo de al lado es donde se trata eso. Las salidas están en centímetros y centímetros cuadrados sea cual sea la unidad del desplegable, así que un largo escrito en pulgadas vuelve como una respuesta en centímetros que tienes que convertir tú. Los cuatro decimales son una anchura de presentación y no una afirmación sobre la precisión: el área y el perímetro son exactos siempre que lo sean las entradas, pero la diagonal es una raíz cuadrada y sus dos últimas cifras no significan nada salvo que las entradas fueran exactas de partida. La página no comprueba cuál de las dos entradas es mayor, y no le hace falta: todas las fórmulas de aquí son simétricas en el largo y el ancho, así que cambiarlos de sitio da las mismas tres respuestas y ningún aviso. Un ancho de cero se acepta y produce un juego de respuestas real, aunque degenerado; la página no lo trata como una casilla vacía. Aquí no se contempla un rectángulo con las esquinas redondeadas, ni un rectángulo dibujado sobre una superficie curva, ni el grosor de una tabla o de una viga de sección rectangular, que es una tercera dimensión para la que esta página no tiene casilla.
Preguntas frecuentes
- ¿Da igual en qué casilla ponga cada lado?
- Da igual. Todas las fórmulas de esta página tratan el largo y el ancho de la misma manera: el área los multiplica, el perímetro los suma y la diagonal los eleva al cuadrado y los suma, así que cambiar los dos números de casilla da exactamente las mismas tres respuestas. La página no comprueba cuál es mayor y no necesita hacerlo. Si te resulta más fácil no liarte poniendo siempre primero el número mayor, es una costumbre y no una obligación.
- ¿Por qué la diagonal es más larga que el largo pero más corta que el largo más el ancho?
- Porque es la hipotenusa del triángulo rectángulo que la diagonal recorta, así que es la raíz cuadrada del largo al cuadrado más el ancho al cuadrado. Elevar al cuadrado, sumar y luego sacar la raíz da siempre algo intermedio: más que cualquiera de los dos lados por separado, porque antes de la raíz has sumado algo positivo, y menos que la suma de los dos, porque el cuadrado de una suma es mayor que la suma de los cuadrados. La diferencia entre la diagonal y el largo más el ancho es lo que te ahorras yendo en diagonal en lugar de dando la vuelta.
- El perímetro me sale igual para dos rectángulos distintos. ¿Es un error?
- No, y la tabla está montada para que se vea pasar dos veces: 4 por 3 y 7 por 0 tienen los dos un perímetro de 14, y 5 por 5 y 6 por 4 tienen los dos un perímetro de 20. El perímetro fija cuánto borde tiene un rectángulo, pero no su forma: muchos rectángulos distintos comparten un mismo perímetro y tienen áreas y diagonales distintas. Para describir un rectángulo por completo hacen falta dos números, que es exactamente la razón de que la página pida dos.
- ¿Sirve para comprobar si una esquina está a 90 grados?
- Sí, y es el truco más antiguo que hay. Mide las dos diagonales de lo que estés comprobando. Si son iguales, las cuatro esquinas están a 90 grados y tienes un rectángulo; si no lo son, tienes un paralelogramo o una figura con una esquina torcida, y la diagonal más larga está del lado del ángulo obtuso. En una habitación grande es más fácil comparar dos diagonales medidas que intentar medir un ángulo de 90 grados, y por eso los albañiles y los carpinteros lo hacen así.
- ¿Por qué un ancho de cero da un perímetro de 14 en lugar de nada?
- Porque un rectángulo achatado sigue siendo una figura, solo que degenerada. Aplastarlo a un ancho cero lo convierte en un segmento de longitud 7, que no cubre ninguna superficie, así que el área es 0 y la diagonal se queda encima del largo. La fórmula del perímetro no se inmuta: dos veces el largo más el ancho es dos veces 7, que es la distancia de ida y vuelta por el segmento, una vez por cada uno de los dos lados largos que ahora están superpuestos. La respuesta es real, y la página trata el cero como una entrada y no como una casilla vacía.
- ¿En qué se diferencia de la calculadora del cuadrado?
- Un cuadrado es un rectángulo con los lados iguales, así que todo lo de aquí vale para un cuadrado: escribe el mismo número en las dos casillas y las tres respuestas serán correctas. La diferencia está en la dirección de la pregunta. Esta página toma dos números y da respuestas; la del cuadrado toma cualquiera de sus medidas, el lado, el perímetro o el área, y calcula el resto, porque un cuadrado tiene un solo grado de libertad y un rectángulo tiene dos. Usa esta página cuando conozcas los dos lados, y la del cuadrado cuando conozcas una sola medida y quieras las demás.
Referencias
- Rectangle — the four-sided figure with right angles whose area, perimeter and diagonal this page computes from its length and width — Wolfram MathWorld (United States)
- Pythagorean theorem — the relation the diagonal formula comes from, with the length and the width as the legs of the right triangle the diagonal cuts off — Wolfram MathWorld (United States)
- Quadrilateral — the family a rectangle belongs to, and the reason a shape with four sides needs more than its perimeter to be described — Wolfram MathWorld (United States)
- El Sistema Internacional de Unidades (SI) — the reference for the centimetre and the square centimetre in which this page reports the sides and the area — Centro Español de Metrología (España)