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CalcMax

Calculadora de hexágono

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Resultado

93,5307 cm²

Superficie

Perímetro
36,0000 cm
Diagonal mayor
12,0000 cm
Diagonal menor
10,3923 cm
Apotema
5,1962 cm
Ángulo interior
120 °

Un hexágono regular se descompone en seis triángulos equiláteros que comparten el centro, y de esa descomposición sale todo lo que calcula esta página. Escribes un lado y obtienes el área, el perímetro, las dos diagonales, la apotema y el ángulo interior, que en un hexágono regular mide siempre 120 grados. La clave está en los seis triángulos. Cada uno tiene un lado del hexágono como base y dos radios como lados laterales, y como el hexágono es regular los seis son iguales y los seis son equiláteros: sus tres lados miden lo mismo que el lado del hexágono. Esa es la razón de que un solo dato baste, y también la razón de que el hexágono sea la figura regular que más fácil resulta de calcular después del triángulo y el cuadrado. El área sale de multiplicar por seis el área de uno de esos triángulos, y equivale a tres raíz de tres partido por dos, multiplicado por el lado al cuadrado. Con lado 6 son 93,5307. La apotema es la distancia del centro al punto medio de un lado, o sea la altura de uno de esos seis triángulos, y vale raíz de tres partido por dos, multiplicado por el lado; con lado 6 son 5,1962. Conviene retener esa cifra, porque es exactamente la altura de un triángulo equilátero de lado 6: la apotema del hexágono y la altura del triángulo son la misma magnitud vista desde dos sitios. Las dos diagonales son las otras dos longitudes que se pueden medir entre vértices, y no son iguales. La diagonal mayor une dos vértices opuestos, pasa por el centro y mide el doble del lado, así que con lado 6 son 12. La diagonal menor salta un vértice y mide raíz de tres por el lado, o sea 10,3923 con lado 6. Merece la pena fijarse en que la diagonal menor es exactamente el doble de la apotema, y en que el ángulo interior de 120 grados es el suplementario del ángulo de 60 de los triángulos: cada vértice del hexágono junta dos de esos ángulos. Esto explica por qué el hexágono aparece tanto en la naturaleza y en el diseño. Es la única figura regular que encaja consigo misma sin dejar huecos ni solaparse y sin ser el cuadrado ni el triángulo, y por eso las abejas hacen panales hexagonales y por eso los paneles de nido de abeja son la estructura de relleno más usada: seis lados con 120 grados exactos cierran el plano con tres hexágonos en cada vértice.

Hexágonos regulares que aparecen a menudo

Lado (cm)Área (cm²)Perímetro (cm)Diagonal mayor (cm)Diagonal menor (cm)Apotema (cm)Ángulo interior (°)
693.5307361210.39235.1962120
12.5981621.73210.866120
210.39231243.46411.7321120
323.38271865.19622.5981120
564.951930108.66034.3301120
7.5146.1418451512.99046.4952120
10259.8076602017.32058.6603120
000000120

La tabla empieza con el lado 6, que es la entrada con la que carga la calculadora, y sigue con el lado 1, que es la fila que hay que recordar: con lado 1 las salidas son los coeficientes de las fórmulas sin multiplicar por nada, es decir 2,598 de área, 1,7321 de diagonal menor y 0,866 de apotema por cada unidad de lado. La tercera fila, con lado 2, es una coincidencia que conviene saber leer: el área y la diagonal menor valen las dos 10,3923 y solo coinciden en ese valor del lado. La cuarta, con lado 10, es un lado redondo con salidas que no lo son, y deja ver que la diagonal mayor es el doble del lado mientras las demás arrastran la raíz de tres. La quinta lleva el lado a cero y todas las longitudes se van con él, pero la última columna sigue en 120, que es la prueba de que el ángulo interior es una propiedad de la forma y no del tamaño. Las siete columnas se leen además en horizontal para comparar longitudes: en cualquier fila la diagonal mayor es el doble del lado, la diagonal menor es el doble de la apotema, y la apotema siempre queda entre la diagonal menor y el lado.

Fórmula

A = (3√3 ÷ 2) × s² P = 6s d_mayor = 2s d_menor = √3 × s apotema = (√3 ÷ 2) × s ángulo interior = 120°

Lado
La longitud de cualquiera de los seis lados, que en un hexágono regular miden todos lo mismo. Es el único dato que hay que escribir y tiene que ser mayor que cero. Con cero el hexágono degenera en un punto y todas las salidas valen cero; los 120 grados del ángulo interior siguen siendo 120, porque el ángulo no depende del tamaño
Área
La superficie encerrada, igual a tres raíz de tres partido por dos y multiplicado por el lado al cuadrado, o sea unas 2,598 veces el lado al cuadrado. Como el lado va al cuadrado, al doblar el lado el área se multiplica por cuatro. Se imprime con cuatro decimales porque lleva raíz de tres dentro
Perímetro
La suma de los seis lados, que al ser iguales es seis veces el lado. Es exacto siempre que el lado lo sea, sin ninguna raíz, y es la única salida que crece en proporción directa al lado en vez de con su cuadrado
Diagonal mayor
La distancia entre dos vértices opuestos, la que pasa por el centro de la figura. Mide exactamente el doble del lado, sin raíces y sin redondeo, y es también el diámetro de la circunferencia que pasa por los seis vértices. Es la diagonal más larga que se puede trazar dentro del hexágono
Diagonal menor
La distancia entre dos vértices que no son opuestos pero tampoco consecutivos, es decir la que se salta un vértice por el camino. Mide raíz de tres por el lado, y es exactamente el doble de la apotema. En un hexágono solo hay dos longitudes de diagonal y esta es la corta
Apotema
La distancia del centro al punto medio de cualquier lado, medida perpendicularmente. Es la altura de uno de los seis triángulos equiláteros en que se descompone el hexágono, vale raíz de tres partido por dos por el lado, y coincide con la altura de un triángulo equilátero del mismo lado. Es la cifra que hace falta para calcular el área como semiperímetro por apotema
√3
La raíz cuadrada de tres, que vale 1,7320508 y aparece en el área, en la diagonal menor y en la apotema. Está ahí porque el hexágono se arma con triángulos equiláteros, y la altura de un triángulo equilátero lleva raíz de tres dentro
Ángulo interior
El ángulo que forman dos lados consecutivos en un vértice, que en el hexágono regular vale 120 grados siempre, sea cual sea el tamaño. Es constante y no se calcula, pero se imprime porque es el dato que explica por qué el hexágono rellena el plano sin dejar huecos: tres de ellos suman 360 grados exactos
Cuatro decimales
La precisión de las salidas con raíz. El perímetro y la diagonal mayor se imprimen enteros cuando el lado lo es, porque son multiplicaciones por seis y por dos. El área, la diagonal menor y la apotema llevan raíz de tres y se recortan a cuatro decimales

Se usa cuando hay que medir una figura de seis lados iguales y se conoce uno de ellos. El área y el perímetro son las cuentas para pedir material: la chapa de una tuerca o de una cabeza de tornillo hexagonal, la superficie de un mosaico, la tela de un tablero de juego o la cantidad de rejilla de un panel. La apotema aparece cuando hay que calcular el volumen de un prisma hexagonal, porque el volumen es el área de la base por la altura del prisma, y también cuando se quiere la distancia del centro a un lado, que es lo que hace falta para saber si una pieza cabe dentro de un círculo. Las dos diagonales sirven para comprobar que una pieza es realmente regular: si mides las dos y su cociente no es dos partido por raíz de tres, o sea 1,1547, la figura no es un hexágono regular aunque lo parezca. Y hay un uso que justifica la página por sí solo. El hexágono es la forma que encaja consigo misma sin dejar huecos, así que cualquier superficie que se llene con hexágonos iguales se puede dimensionar con estas fórmulas: un panal, un panel de nido de abeja, un suelo de mosaico, una rejilla de juego de mesa. La página no convierte unidades ni da la orientación de la figura, porque el área, el perímetro, las diagonales y la apotema no dependen de cómo esté girado el hexágono ni de dónde esté situado.

Ejemplos resueltos

  1. Un hexágono regular de lado seis

    1. Perímetro: 6 × 6 = 36
    2. Diagonal mayor: 2 × 6 = 12
    3. Diagonal menor: √3 × 6 = 10,3923
    4. Apotema: (√3 ÷ 2) × 6 = 5,1962
    5. Área: (3√3 ÷ 2) × 36 = 2,5980762 × 36 = 93,5307, o también semiperímetro por apotema, 18 × 5,1962 = 93,5307
    6. Ángulo interior: 120 grados

    La entrada con la que carga la página, y el ejemplo que deja ver las dos relaciones que conviene memorizar. La apotema de 5,1962 es exactamente el doble de pequeña que la diagonal menor de 10,3923, y las dos llevan la misma raíz de tres dentro, así que comprobar esa proporción es inmediato. El área se puede obtener por dos caminos que coinciden: con el factor tres raíz de tres partido por dos, o con la fórmula de semiperímetro por apotema, que es la que se usa en todos los polígonos regulares. Que las dos den 93,5307 es la mejor comprobación de que la apotema que devuelve la página es la correcta.

  2. El hexágono de lado uno

    1. Perímetro: 6
    2. Diagonal mayor: 2
    3. Diagonal menor: √3 = 1,7321
    4. Apotema: √3 ÷ 2 = 0,866
    5. Área: 3√3 ÷ 2 = 2,5981

    Con lado 1 las salidas son los coeficientes desnudos, y por eso esta es la fila que hay que recordar: el área de un hexágono regular es 2,598 veces el lado al cuadrado, su apotema es 0,866 veces el lado y su diagonal menor es 1,7321 veces el lado. La apotema de 0,866 es el mismo número que la altura de un triángulo equilátero de lado 1, y no es coincidencia: es la misma magnitud. Y el ángulo interior sigue siendo 120 aunque la figura sea diminuta, porque el ángulo no depende del tamaño.

  3. El lado dos y una coincidencia que hay que saber leer

    1. Perímetro: 12
    2. Diagonal mayor: 4
    3. Diagonal menor: √3 × 2 = 3,4641
    4. Apotema: √3 = 1,7321
    5. Área: (3√3 ÷ 2) × 4 = 10,3923

    Aquí el área y la diagonal menor salen las dos 10,3923, que es la clase de coincidencia que hace pensar en un error de la calculadora. No lo es: una está en centímetros cuadrados y la otra en centímetros, y solo coinciden porque el lado vale dos y las dos expresiones se igualan en ese valor concreto. Compruébese con el lado 1: el área vale 2,5981 y la diagonal menor 1,7321, y ya no se parecen. Es el mismo tipo de coincidencia que aparece en la página del triángulo equilátero con el lado 2, y se resuelve igual, mirando las unidades.

  4. Un hexágono regular de lado diez

    1. Perímetro: 60
    2. Diagonal mayor: 20, que es el diámetro del círculo que pasa por los seis vértices
    3. Diagonal menor: √3 × 10 = 17,3205
    4. Apotema: (√3 ÷ 2) × 10 = 8,6603
    5. Área: 2,5980762 × 100 = 259,8076

    Un lado redondo con salidas que no lo son, que es la situación normal. La diagonal mayor de 20 frente al lado de 10 deja ver la relación más simple de todas: la distancia entre vértices opuestos es el doble del lado, así que el hexágono cabe exactamente en un círculo de radio 10 y sus seis vértices lo tocan. La apotema de 8,6603 es la distancia del centro a cada lado y es menor que el radio, como tiene que ser, porque el punto medio de un lado está más cerca del centro que los propios vértices.

  5. El caso límite con el lado en cero

    1. Todas las longitudes se van a cero: perímetro, diagonales y apotema
    2. Área: 2,5980762 × 0 = 0
    3. El ángulo interior sigue siendo 120 grados, porque no depende del tamaño
    4. Comprobación: el área también sale cero por semiperímetro por apotema, 0 × 0 = 0

    El hexágono degenerado en un punto, con todas las longitudes reducidas a cero. Lo único que sobrevive es el ángulo interior, que sigue valiendo 120 grados, y esa es la lección de la fila: el ángulo es una propiedad de la forma y no del tamaño, así que no puede encogerse con ella. Es también la razón de que la última columna de la tabla valga 120 en todas las filas sin excepción, incluida esta: no es un resultado que la página calcule, sino una característica del hexágono regular.

Limitaciones

La página calcula hexágonos regulares y solo regulares, y no comprueba que el tuyo lo sea: si los seis lados no miden lo mismo, los resultados que devuelve no describen tu figura y nada lo advertirá. Tampoco los lados tienen que ser iguales para que la fórmula dé un número, así que un hexágono irregular introducido como si fuera regular pasa por la calculadora sin ninguna queja. Un hexágono irregular no se puede resolver con una sola casilla, porque necesita más datos y se descompone en triángulos, y para eso hay que ir a una herramienta más general. Solo hay un campo, el lado, y no hay ninguno para el área, la apotema o la diagonal, así que la página no despeja hacia atrás: si lo que se tiene es el área, el lado se obtiene dividiéndola entre tres raíz de tres partido por dos y sacando la raíz cuadrada, y esa cuenta hay que hacerla a mano. Las diagonales que se devuelven son solo las dos longitudes que existen entre vértices no consecutivos de un hexágono regular; la página no da las diagonales de un hexágono irregular, que tendrían varias longitudes distintas. El ángulo interior se imprime como 120 grados fijos y no responde a ningún cálculo sobre la entrada, así que su presencia es informativa y no un resultado que cambie con el lado. Las longitudes entran en la unidad que uses y salen en esa misma unidad, el área al cuadrado, sin conversión y sin ninguna casilla para elegirla. El lado tiene que ser mayor o igual que cero, y además la página no dibuja la figura ni comprueba que la respuesta encaje con lo que estés midiendo.

Preguntas frecuentes

¿Por qué basta con un solo lado para un hexágono regular?
Porque un hexágono regular se descompone en seis triángulos equiláteros iguales que comparten el centro, y cada uno tiene por base un lado del hexágono. Como todos los lados son iguales y todos los ángulos también, la forma queda fijada de antemano y lo único que queda por elegir es el tamaño. Ese tamaño lo dice un lado. La descomposición es además la razón de que el hexágono sea tan cómodo de calcular: sus fórmulas son las del triángulo equilátero multiplicadas por seis.
¿Cuál es la fórmula del área de un hexágono regular?
Tres raíz de tres partido por dos, multiplicado por el lado al cuadrado, o sea unas 2,598 veces el lado al cuadrado. Con lado 6 son 93,5307. También se puede calcular como semiperímetro por apotema, que es la fórmula que vale para cualquier polígono regular: con lado 6 el semiperímetro es 18 y la apotema 5,1962, y su producto son 93,5307, exactamente lo mismo. Las dos vías son equivalentes y usar una u otra sirve de comprobación.
¿Qué es la apotema y cómo se calcula?
Es la distancia del centro al punto medio de un lado, medida perpendicularmente. En un hexágono regular vale raíz de tres partido por dos multiplicado por el lado, o sea unas 0,866 veces el lado, y coincide exactamente con la altura de un triángulo equilátero del mismo lado, porque es la misma magnitud: la apotema es la altura de uno de los seis triángulos en que se divide el hexágono. Siempre es menor que el radio, porque el punto medio de un lado está más cerca del centro que los vértices.
¿Cuánto miden las diagonales de un hexágono regular?
Hay dos longitudes distintas. La diagonal mayor une dos vértices opuestos, pasa por el centro y mide el doble del lado, así que con lado 6 son 12; es también el diámetro del círculo que pasa por los seis vértices. La diagonal menor salta un vértice y mide raíz de tres por el lado, o sea 10,3923 con lado 6. La diagonal menor es exactamente el doble de la apotema, y su cociente con la diagonal mayor es raíz de tres partido por dos, o sea 0,866, que es una forma rápida de comprobar si un hexágono es regular.
¿Por qué el ángulo interior vale siempre 120 grados?
Porque la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180 por n menos 2, y en el hexágono eso son 720 grados repartidos entre seis vértices iguales, o sea 120 en cada uno. No depende del tamaño del hexágono, solo del número de lados, así que es el mismo para un panal diminuto que para una losa de seis metros. Es también el motivo de que tres hexágonos encajen en cada vértice sin dejar hueco: 120 por 3 son 360 grados exactos.
¿Sirve para un hexágono irregular?
No, porque la fórmula supone que los seis lados y los seis ángulos son iguales. Si tu figura tiene lados distintos, el número que devuelve la página no describe tu hexágono y nada te avisará, porque la calculadora no comprueba la regularidad: solo tiene un campo y aplica las fórmulas del hexágono regular a lo que escribas. Un hexágono irregular necesita más datos y se resuelve descomponiéndolo en triángulos, con la fórmula de Herón para cada uno o con las coordenadas de sus vértices.
¿Cómo se pasa del área al lado?
Esta página no lo hace, porque solo tiene el campo del lado. Para ir del área al lado hay que dividir el área entre tres raíz de tres partido por dos, o sea entre 2,598, y sacar la raíz cuadrada del resultado. Con un área de 93,5307 la división da 36 y su raíz es 6, que es el lado de partida. Para ir de la apotema al lado se divide la apotema entre raíz de tres partido por dos, y para ir de la diagonal mayor al lado se divide entre dos, que es la operación más sencilla de las tres.

Referencias

Calculadoras relacionadas

Calculadora de perímetroPerímetro de las figuras planas más comunes.Calculadora de área de paralelogramoÁrea y perímetro de un paralelogramo por base, altura y lado.Calculadora de polígonosPerímetro y área de un polígono regular de n lados.Calculadora de octágonoLado, apotema, perímetro y área de un octágono regular.