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CalcMax

Calculadora de octágono

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Resultado

173,8234 cm²

Superficie

Perímetro
48,0000 cm
Apotema
7,2426 cm
Diagonal menor
11,0866 cm
Diagonal media
14,4853 cm
Diagonal mayor
15,6788 cm
Ángulo interior
135 °

La calculadora de octágono toma el lado de un octágono regular y devuelve siete medidas: el área, el perímetro, la apotema, las tres diagonales y el ángulo interior. Con ocho lados un polígono regular deja de ser una figura que se resuelve de cabeza y pasa a ser una que se consulta, y el octágono es el primero de ellos que aparece en la vida corriente. Las señales de tráfico, las baldosas octogonales, las cúpulas de los kioscos, las tapas de hidromasaje, las lonas de las camas elásticas y las cabezas de algunos tornillos son octágonos, y la razón es casi siempre la misma: el octágono es la figura que sale de recortarle las esquinas a un cuadrado, de modo que conserva los lados planos y los ángulos rectos del cuadrado y a la vez elimina las cuatro esquinas que se enganchaban con todo. Esa es también la razón de que encaje como encaja: los octágonos solo embaldosan un suelo si se rellenan los pequeños huecos cuadrados que quedan entre ellos, que es exactamente el patrón del embaldosado octogonal con cuadrados intercalados. La aritmética sale de los lados. El perímetro son ocho lados. El ángulo interior de un polígono regular queda fijado por el número de lados y por nada más, y para ocho lados vale 135 grados, que es la cifra que hay que recordar de un octágono porque es lo que hace que la figura se pueda cortar: un inglete de 67,5 grados, la mitad de 135, es lo que une dos bordes de octágono, y un marco de ocho piezas usa exactamente esa puesta a punto. El área es la expresión dos por uno más la raíz de dos, multiplicada por el lado al cuadrado, y conviene saberse que esa constante vale unos 4,83, así que un octágono de lado uno cubre 4,83 unidades cuadradas frente a la única unidad cuadrada de un cuadrado del mismo lado. La apotema, la distancia del centro al punto medio de un lado, es el lado por uno más la raíz de dos, partido por dos. Y el octágono tiene tres diagonales en lugar de las dos que tiene un hexágono, porque con ocho vértices hay tres distancias distintas que se pueden abarcar: la corta, que se salta un vértice; la media, que se salta dos; y la larga, que cruza de lado a lado pasando por el centro. La diagonal media es exactamente el doble de la apotema, y no es casualidad, porque las dos salen de la misma expresión, una partida por dos y la otra no, mientras que la larga es el diámetro de la circunferencia circunscrita.

Octágonos regulares desde el lado cero hasta el lado diez

Lado (cm)Área (cm²)Perímetro (cm)Apotema (cm)Diagonal menor (cm)Diagonal media (cm)Diagonal mayor (cm)Ángulo interior (°)
6173.8234487.242611.086614.485315.6788135
14.828481.20711.84782.41422.6131135
219.3137162.41423.69554.82845.2263135
343.4558243.62135.54337.24267.8394135
5120.7107406.03559.238812.071113.0656135
7.5271.599609.053313.858218.106619.5984135
10482.84278012.071118.477624.142126.1313135
0000000135

Ocho octágonos, y la primera fila es la que carga la página. La última columna vale lo mismo en todas las filas, 135, y eso es lo que quiere decir y no un error de copia: el ángulo interior de un octágono regular está fijado por tener ocho lados, así que no se mueve cuando se mueve el tamaño, y es la única cifra de la página que sobrevive a que el lado se vaya a cero. Las dos columnas que hay que leer juntas son la apotema y la diagonal media, que guardan una relación fija de uno a dos en todas y cada una de las filas —1,2071 frente a 2,4142, 6,0355 frente a 12,0711, 12,0711 frente a 24,1421— porque las dos salen de la misma expresión, una partida por dos y la otra no. Esa es la comprobación más barata de toda la tabla: si en alguna fila la diagonal media no es exactamente el doble de la apotema, esa fila está mal. La séptima columna, la diagonal mayor, responde a una segunda pregunta que su etiqueta no menciona: es el diámetro de la circunferencia circunscrita, así que cada fila dice también de qué pieza redonda salió el octágono. Hay un par de celdas que repiten cifras en dos filas de una forma que parece un error y no lo es: la diagonal media con lado 5 vale 12,0711, y la apotema con lado 10 también. Es consecuencia de la regla del doble y no una casualidad, porque doblar el lado dobla todas las longitudes de la lista, así que la apotema del octágono grande tiene que caer sobre alguna longitud del pequeño, y aquí cae sobre la diagonal media. La primera fila es además la que se alinea con las otras dos páginas de polígonos con lado 6: 173,8234 aquí, frente a 93,5307 del hexágono y 61,9372 del pentágono, o sea que el mismo borde compra más superficie cuantos más lados haya. Todos los números de aquí se recalculan a partir del lado al construir la página, en centímetros y grados, y las anchuras decimales son las mismas que usa el panel de resultados.

Fórmula

A = 2(1 + √2) × s² P = 8s a = s(1 + √2) ÷ 2 d_menor = s√(2 + √2) d_media = s(1 + √2) d_mayor = s√(4 + 2√2) ángulo interior = 135°

Side
La longitud de cualquiera de los ocho lados, en centímetros. Como en todo polígono regular es la única entrada que hay, porque los ocho lados son iguales y los ocho ángulos están fijados en 135 grados, de modo que este único número decide el tamaño de toda la figura
Area
La superficie que cubre el octágono, en centímetros cuadrados: dos por uno más la raíz de dos, multiplicado por el lado al cuadrado. La constante ronda 4,828, y es la cifra que conviene llevar encima: un octágono cubre casi cinco veces el área del cuadrado dibujado sobre uno de sus lados
Perimeter
La distancia de todo el contorno, en centímetros: ocho veces el lado, ya que los ocho son iguales. Es la única salida que siempre es exacta cuando el lado lo es, y por eso es la cifra con la que se comprueban las demás cuando un resultado parece raro
Apothem
La distancia del centro al punto medio de un lado, en centímetros, que es el lado por uno más la raíz de dos, partido por dos. Es el radio de la circunferencia más grande que cabe dentro del octágono, y es la cifra que fija a qué distancia quedan los lados planos: dos veces la apotema es el ancho del octágono entre caras
Short diagonal
La distancia entre dos vértices con un vértice entre ellos, en centímetros, que es el lado por la raíz de dos más la raíz de dos. Es algo más corta que la diagonal media y algo más larga que el lado, y en un octágono queda tan cerca del lado que en un dibujo las dos se confunden con facilidad
Medium diagonal
La distancia entre dos vértices con dos vértices entre ellos, en centímetros: el lado por uno más la raíz de dos. Es exactamente el doble de la apotema, porque las dos son la misma expresión con un dos en otro sitio, y es la diagonal alrededor de la cual está construida la geometría del propio octágono regular
Long diagonal
La distancia de un vértice al opuesto pasando por el centro, en centímetros, que es el lado por la raíz de cuatro más dos veces la raíz de dos. Es la medida más ancha que se puede tomar sobre la figura y es además el diámetro de la circunferencia circunscrita, así que su mitad da el radio con el que se traza esa circunferencia
Interior angle
El ángulo entre dos lados contiguos, medido por dentro del octágono: 135 grados, fijados ahí por el número de lados y por nada más. No depende en absoluto de la longitud del lado, y por eso esta columna de la tabla de referencia vale lo mismo en todas las filas: un octágono de lado 1 y otro de lado 10 tienen el mismo ángulo interior, y solo cambia su tamaño
√2
La raíz cuadrada de dos, unos 1,4142136. Aparece en seis de las siete salidas, todas menos el perímetro y el ángulo interior, y está ahí porque el octágono es un cuadrado con las esquinas cortadas: cortar una esquina a 45 grados es exactamente de donde sale la raíz de dos

La página sirve para el octágono como objeto físico, y los dos casos más frecuentes son una pieza plana y un encaje redondo. Si vas a cortar un octágono de una plancha, ya sea un tablero, una baldosa, una losa o la placa de remate de un poste, el área te dice cuánto material gastas y la apotema te dice cómo trazarlo. La apotema es la cifra que se marca primero: dos veces ella es el ancho entre caras, y las caras planas son lo que se mide en un octágono ya cortado, porque a las esquinas cuesta llegar con la regla. La diagonal mayor da después el ancho entre vértices, que es lo que decide si la pieza terminada cabe dentro de la pieza redonda de la que la vas a recortar, porque esa misma cifra es el diámetro de la circunferencia circunscrita y una pieza redonda de ese diámetro contiene el octágono justo al ras. Si lo que estás haciendo es unir ocho piezas, como un marco, un farol o el techo de un kiosco, la cifra que buscas es el ángulo interior de 135 grados, porque el inglete de cada pieza es su mitad, 67,5 grados, y ese ajuste vale para cualquier octágono sea cual sea su tamaño. Si de lo que se trata es de encajar el octágono en un hueco, la diagonal mayor responde a si la pieza pasa por una abertura redonda y la apotema responde a cuánta superficie plana ofrece una vez dentro. Y si lo único que quieres es comparar un octágono con un cuadrado del mismo lado, la comparación entera es la constante del área, 4,83 frente a 1: el octágono cubre más superficie con el mismo borde, pero también tiene el doble de bordes, así que cuando lo que compras es material la columna del perímetro es la cifra más justa.

Ejemplos resueltos

  1. Un lado de 6

    1. Perímetro: 8 × 6 = 48
    2. Apotema: 6 × (1 + √2) ÷ 2 = 7,242640…, que redondea a 7,2426
    3. Diagonal media: 6 × (1 + √2) = 14,485281…, que redondea a 14,4853
    4. Diagonal menor: 6 × √(2 + √2) = 11,086554…, que redondea a 11,0866
    5. Diagonal mayor: 6 × √(4 + 2√2) = 15,678754…, que redondea a 15,6788
    6. Área: 2 × (1 + √2) × 36 = 173,823376…, que redondea a 173,8234
    7. Ángulo interior: (8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135, exacto

    La entrada con la que carga la página. En esta sola fila se ven dos comprobaciones. La diagonal media, 14,4853, es exactamente el doble de la apotema, 7,2426, y eso se cumple con cualquier lado y no solo con este, porque las dos salen de la misma expresión con un dos en otro sitio. Y la diagonal mayor de 15,6788 es el diámetro de la circunferencia circunscrita, así que un octágono de lado 6 cabe dentro de una circunferencia de 15,6788 centímetros de diámetro y en ninguna más pequeña. Esta es además la fila que se compara con las otras dos páginas de polígonos del mismo lote: un lado de 6 da 173,8234 aquí, 93,5307 en la del hexágono y 61,9372 en la del pentágono, o sea que el mismo borde encierra más superficie cuantos más lados haya.

  2. Un lado de 1

    1. Perímetro: 8 × 1 = 8
    2. Apotema: (1 + √2) ÷ 2 = 1,207106…, que redondea a 1,2071
    3. Diagonal media: 1 + √2 = 2,414213…, que redondea a 2,4142
    4. Diagonal menor: √(2 + √2) = 1,847759…, que redondea a 1,8478
    5. Diagonal mayor: √(4 + 2√2) = 2,613125…, que redondea a 2,6131
    6. Área: 2 × (1 + √2) = 4,828427…, que redondea a 4,8284
    7. Ángulo interior: 135

    El octágono unidad, y la fila que deja ver las dos constantes con más claridad: el área es 4,8284 y la diagonal media 2,4142, que es ese mismo número partido por dos. Merece la pena detenerse en la diagonal menor de 1,8478, porque es la que se salta un solo vértice y resulta ser menos del doble del lado: las esquinas de un octágono quedan juntas si se comparan con las de un hexágono, y eso es lo que hace que la figura parezca casi redonda. Frente a un cuadrado de lado uno, cuya área es 1, el octágono cubre 4,83 veces más superficie.

  3. Un lado de 5

    1. Perímetro: 8 × 5 = 40
    2. Apotema: 5 × (1 + √2) ÷ 2 = 6,035533…, que redondea a 6,0355
    3. Diagonal media: 5 × (1 + √2) = 12,071067…, que redondea a 12,0711
    4. Diagonal menor: 5 × √(2 + √2) = 9,238795…, que redondea a 9,2388
    5. Diagonal mayor: 5 × √(4 + 2√2) = 13,065628…, que redondea a 13,0656
    6. Área: 2 × (1 + √2) × 25 = 120,710678…, que redondea a 120,7107
    7. Ángulo interior: 135

    Un octágono de cinco centímetros, más o menos el tamaño de una baldosa pequeña o de la cabeza de un poste de cerca. Es la fila que coincide con otra fila de esta misma tabla de una forma que parece un error: la diagonal media de aquí, 12,0711, lleva las mismas cuatro cifras que la apotema con lado 10. Es porque doblar el lado dobla todas las longitudes de la lista, así que cualquier valor que tome la apotema con lado 10 tiene que aparecer en algún sitio con lado 5, y aquí aparece como la diagonal que es exactamente el doble de la apotema del octágono pequeño. No hay nada calculado dos veces.

  4. Un lado de 10

    1. Perímetro: 8 × 10 = 80
    2. Apotema: 10 × (1 + √2) ÷ 2 = 12,071067…, que redondea a 12,0711
    3. Diagonal media: 10 × (1 + √2) = 24,142135…, que redondea a 24,1421
    4. Diagonal menor: 10 × √(2 + √2) = 18,477590…, que redondea a 18,4776
    5. Diagonal mayor: 10 × √(4 + 2√2) = 26,131259…, que redondea a 26,1313
    6. Área: 2 × (1 + √2) × 100 = 482,842712…, que redondea a 482,8427
    7. Ángulo interior: 135

    Un octágono de diez centímetros, que es una medida habitual de losa de pavimento y de baldosa decorativa. La apotema de 12,0711 es la cifra con la que se traza: su doble, 24,1421, es el ancho entre caras, y esa es la distancia que se marca sobre el banco de trabajo. La diagonal mayor de 26,1313 es el ancho entre vértices, así que un agujero redondo de ese diámetro es el más pequeño por el que este octágono pasa. Compárense las dos anchuras, 24,14 entre caras frente a 26,13 entre vértices, y se tiene el octágono resumido en una línea: las esquinas sobresalen un 8 por ciento más allá de las caras, y en eso consiste todo lo que se consiguió al recortarlas de un cuadrado.

  5. Un lado de 0

    1. Perímetro: 8 × 0 = 0
    2. Apotema: 0 × (1 + √2) ÷ 2 = 0
    3. Diagonal media: 0 × (1 + √2) = 0
    4. Diagonal menor: 0 × √(2 + √2) = 0
    5. Diagonal mayor: 0 × √(4 + 2√2) = 0
    6. Área: 2 × (1 + √2) × 0 = 0
    7. Ángulo interior: (8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135

    El cero es una entrada legal y no una casilla vacía, y esta fila es la demostración más clara de qué es el ángulo interior: un octágono de lado cero se ha quedado en un punto, seis de las siete cifras valen cero y el ángulo interior sigue siendo 135 grados. Es una propiedad de la forma y no del tamaño, así que sobrevive incluso a que el tamaño desaparezca del todo. Dejar la casilla en blanco es el caso distinto: sin nada dentro, la página no muestra ningún resultado.

Limitaciones

La página es para octágonos regulares y solo regulares: los ocho lados iguales y los ocho ángulos de 135 grados. Un octágono que no sea regular, por ejemplo un cuadrado con las esquinas cortadas de forma desigual o uno alargado, no tiene una única longitud de lado y no se puede describir con un solo número, y la página te dará sin decir nada el octágono regular con ese lado en lugar de avisarte de que la figura que tienes en la cabeza es otra. Las salidas están en centímetros y centímetros cuadrados sea cual sea la unidad elegida en el desplegable, así que un lado escrito en pulgadas vuelve como una respuesta en centímetros que tienes que convertir tú. Los cuatro decimales son una anchura de presentación y no una afirmación sobre la precisión, y son generosos para un lado medido con una regla: las dos últimas cifras no significan nada salvo que la entrada fuera exacta. El ángulo interior es exacto, 135 grados, y por eso se imprime sin decimales, pero vale lo mismo en todas las filas, así que una página que parece no responder a un cambio de lado no se ha congelado: las otras seis cifras se han movido. La página es bidimensional y no tiene campo para el grosor del material, así que no puede dar el volumen de un prisma octogonal, el peso de una placa octogonal ni la profundidad de un agujero de esa forma. Tampoco modela los cuadrados que rellenan los huecos cuando los octágonos se embaldosan juntos, porque eso es un problema de reparto y no la medida de una figura.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el ángulo interior no cambia nunca al cambiar el lado?
Porque los ángulos de un octágono regular quedan fijados por el número de lados y por nada más. El ángulo interior de un polígono regular es el número de lados menos dos, por 180 grados, dividido entre el número de lados; para ocho lados eso son 135 grados, y en esa expresión no aparece ninguna longitud de lado. Un octágono de lado 1 y otro de lado 100 tienen exactamente los mismos ángulos y solo se diferencian en el tamaño. Por eso la última columna de la tabla de referencia vale lo mismo en todas las filas, y por eso el ajuste de inglete de 67,5 grados sirve para cualquier octágono que cortes.
¿Cuál de las tres diagonales es cada una?
La diagonal menor se salta un vértice y es el lado por la raíz de dos más la raíz de dos, o sea 1,85 para un lado unidad. La diagonal media se salta dos vértices y es el lado por uno más la raíz de dos, o sea 2,41. La diagonal mayor cruza por el centro y es el lado por la raíz de cuatro más dos veces la raíz de dos, o sea 2,61. Un hexágono solo tiene dos de estas porque con seis vértices solo hay dos distancias distintas; ocho vértices dan tres. La media es exactamente el doble de la apotema, que es la forma más rápida de distinguirla de las otras.
¿Qué es la apotema y por qué importa tanto en un octágono?
Es la distancia del centro al punto medio de un lado, y es el radio de la circunferencia más grande que cabe dentro. En un octágono importa más que en otras figuras porque las caras planas son lo que se mide en la pieza terminada: dos veces la apotema es el ancho entre caras, y a diferencia de los vértices, en las caras la regla se apoya sin problemas. Si estás trazando un octágono para cortarlo, la apotema es el primer número que se marca sobre el material.
¿Cuánto más grande es un octágono que un cuadrado del mismo lado?
Unas 4,83 veces el área, porque un octágono de lado uno cubre 4,8284 unidades cuadradas y un cuadrado de lado uno cubre 1. Ese número es toda la historia de la figura: un octágono es un cuadrado con las cuatro esquinas cortadas, y recortarlas quita área al cuadrado pero deja las cuatro caras casi con su anchura completa. Ahora bien, el octágono tiene ocho bordes en lugar de cuatro, así que si lo que compras es material de borde o de marco, compara perímetros y no áreas.
¿Cuál es el agujero redondo más pequeño por el que pasa un octágono?
Una circunferencia cuyo diámetro sea igual a la diagonal mayor, porque esa es la medida más ancha de la figura y va de vértice a vértice pasando por el centro. Con un lado de 10 son 26,1313 centímetros. Esa misma cifra leída al revés es el diámetro de la circunferencia dentro de la cual el octágono encaja exactamente, con sus ocho vértices tocándola, que es el dato útil cuando recortas el octágono de una pieza redonda y quieres desperdiciar lo menos posible.
¿Embaldosa un octágono un suelo por sí solo?
No, y los huecos son la parte interesante. Los octágonos colocados en plano dejan un pequeño hueco cuadrado entre cada cuatro de ellos, y esos cuadrados son justamente la razón de que el embaldosado octogonal funcione como patrón: en el suelo clásico de octágonos y cuadrados, los octágonos son los que cubren y los cuadrados los que rellenan. La página mide un octágono y no modela el reparto, así que cuántas piezas hacen falta para un suelo es un cálculo aparte de los que se ven aquí.

Referencias

Calculadoras relacionadas

Calculadora de hexágonoLado, apotema, perímetro y área de un hexágono regular.Calculadora de pentágonoLado, apotema, perímetro y área de un pentágono regular.Calculadora de polígonosPerímetro y área de un polígono regular de n lados.Calculadora de círculoRadio, diámetro, circunferencia y área de un círculo.