Calculadora de círculo
Resultado
Radio
- Diámetro
- 10,0000 cm
- Perímetro
- 31,4159 cm
- Superficie
- 78,5398 cm²
Una calculadora de círculo toma la medida que conozcas de las cuatro posibles y te da las otras tres. Radio, diámetro, circunferencia y área son el mismo círculo descrito de cuatro maneras, así que cualquiera de ellas fija las demás: escribe 5 en el campo del radio y la página devuelve un diámetro de 10, una circunferencia de 31,4159 y un área de 78,5398. La aritmética que hay detrás son dos fórmulas y sus inversas. La circunferencia es π por el diámetro, el área es π por el radio al cuadrado, y dividiendo entre dos, entre dos π o entre π se vuelve al radio desde cualquiera de las otras tres. Esa es la razón de que la página pida rellenar exactamente un campo y no obligue a dar el radio: pedir el radio estaría bien si el radio fuera siempre lo que uno tiene, pero un círculo dibujado en un plano llega muchas veces como su área o como una longitud de borde, y una página que exigiera el radio te obligaría a hacer tú la división, o a pasar por el radio a mano, antes de ayudarte. Así que los cuatro campos son opcionales y sirve cualquiera de ellos. Rellenar dos se rechaza en lugar de ignorarse, porque dos de los cuatro nunca son independientes: un radio y un diámetro que no concuerdan no tienen ningún círculo detrás, y elegir uno en silencio escondería la contradicción en vez de enseñarla. Antes de usar las respuestas hay dos cosas que conviene saber. Los resultados van en centímetros y en centímetros cuadrados, sea cual sea la unidad en la que se haya dejado el desplegable de la entrada. Es una decisión deliberada y no un descuido: las cuatro salidas son un conjunto fijo calculado igual para todo el mundo, y la tabla de referencia de más abajo se calcula en la misma unidad para que la página no se contradiga. Cambiar la entrada a pulgadas solo cambia cómo se lee tu número a la entrada. Y los cuatro números impresos pertenecen al valor que escribiste y no unos a otros. Una circunferencia de 20 da un radio de 3,1831, y el área verdadera de ese círculo es 31,8310; multiplicar el radio impreso por sí mismo y por π da 31,8309, porque 3,1831 ya es una versión redondeada de un número que no termina. El área impresa es la correcta, porque sale del radio sin redondear, y la discrepancia es una propiedad de escribir un número irracional. Una nota de vocabulario que la propia página hace visible: la misma longitud aparece en el panel como circunferencia en el campo de entrada y como perímetro en la fila de resultados, y son el mismo número.
Círculos alcanzados desde cada uno de los cuatro puntos de partida
| Dato de partida | Radio (cm) | Diámetro (cm) | Perímetro (cm) | Área (cm²) |
|---|---|---|---|---|
| r | 5 | 10 | 31.4159 | 78.5398 |
| d | 6 | 12 | 37.6991 | 113.0973 |
| C | 3.1831 | 6.3662 | 20 | 31.831 |
| A | 5.6419 | 11.2838 | 35.4491 | 100 |
| r | 1 | 2 | 6.2832 | 3.1416 |
| r | 0.5 | 1 | 3.1416 | 0.7854 |
| r | 0 | 0 | 0 | 0 |
| A | 564.1896 | 1128.3792 | 3544.9077 | 1000000 |
Ocho círculos, y la primera columna dice de cuál de los cuatro valores parte cada fila: r para un radio, d para un diámetro, C para una circunferencia y A para un área. Esa columna está ahí porque los cuatro números se imprimen en todas las filas: una vez resuelto el círculo no le falta nada, así que sin la primera columna no se sabría cuál de los cuatro fue el dato. Las cuatro primeras filas toman los cuatro puntos de partida en orden, y la primera de ellas es la entrada con la que carga la página. La tercera es la que hay que estudiar, porque parte de una circunferencia y muestra la aritmética que hace que los números impresos no se reproduzcan entre sí: el área de 31,831 es cien dividido entre π, y elevar al cuadrado el radio impreso daría 31,8309. La cuarta parte de un área de cien y obtiene un radio de 5,6419, que es la raíz cuadrada que se olvida: dividir cien entre π habría dado 31,831. La quinta y la sexta son el círculo unidad y su mitad, y entre las dos hacen un punto que merece una segunda mirada: el área del círculo de radio uno es 3,1416, que es exactamente la circunferencia del círculo de radio medio impresa una fila más abajo. Los mismos cuatro dígitos significan un área en una fila y una longitud en la otra, que es el recordatorio más afilado de esta tabla de que el encabezado de una columna carga tanto de la respuesta como el número. La séptima es un círculo de radio cero, donde todas las columnas son cero y la respuesta es real y no vacía. La octava parte de un área de un millón de centímetros cuadrados y da un radio de 564,1896 centímetros, algo más de cinco metros y medio, que es el tipo de entrada para el que está dimensionado el campo del área. Fíjate además en que la primera columna no está repartida por igual: cuatro de las ocho filas parten de un radio, porque el radio es el valor del que se definen los otros tres, mientras que el diámetro y la circunferencia aparecen una vez cada uno. Todos los números se recalculan a partir de su valor de partida al construir la página, y todos están en centímetros. La columna del perímetro es la misma longitud que el campo de entrada llama circunferencia, y la del área es la que el panel de resultados titula Superficie; los encabezados de esta tabla usan las palabras más cortas para cada una, y son las mismas cantidades.
Fórmula
d = 2r C = 2πr = πd A = πr² y a la inversa: r = d ÷ 2 = C ÷ 2π = √(A ÷ π)
- Radius
- La distancia del centro al borde, en centímetros. Se admite el cero y describe un círculo sin tamaño, en cuyo caso las cuatro salidas son cero
- Diameter
- La distancia de un borde al otro pasando por el centro, el doble del radio. Rellenar este campo en lugar del radio no cambia nada de la respuesta, porque la página lo divide entre dos lo primero
- Circumference
- La distancia de la vuelta completa, π por el diámetro. Es la única entrada que necesita una división entre dos π para volver al radio, así que es donde los cuatro dígitos impresos dejan de bastar para reproducir las demás a mano
- Area
- El espacio interior del círculo, π por el radio al cuadrado, en centímetros cuadrados. Ir en el otro sentido implica dividir entre π y sacar una raíz cuadrada, y por eso el campo del área admite valores mucho mayores que los tres campos de longitud
- π
- La razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, unos 3,14159. La página usa el valor completo de doble precisión en lugar de acortarlo a tres decimales, así que una cuenta hecha a mano con 3,14 se irá del resultado impreso
- Four decimal places
- El ancho con el que se escribe cada salida. El radio y el diámetro son a menudo exactos y se imprimen con ceros detrás; la circunferencia y el área son casi siempre irracionales, así que en esas dos los cuatro dígitos son el sitio donde la respuesta se corta y no donde termina
La página sirve precisamente porque un círculo casi nunca llega como radio. Una mesa redonda se vende por su diámetro, una valla alrededor de un arriate se vende por metros y es una circunferencia, un bote de pintura cubre tantos metros cuadrados y la mancha que vas a pintar es un círculo, y una rueda de bicicleta viene dada por la medida de su neumático. Cada uno de esos casos llega con uno distinto de los cuatro números y cada uno entra directo en su campo. El sentido inverso es donde la gente se equivoca a mano. Dado el área, el radio no es el área dividida entre π, sino la raíz cuadrada de esa división, y olvidar la raíz produce un radio desviado por un factor de su propia raíz cuadrada, que para un jardín de tamaño medio no es un error pequeño. Dada la circunferencia, el radio es la circunferencia dividida entre dos π, y usar 3,14 en lugar del valor completo basta para mover el último dígito impreso. La página hace las dos cosas bien, lo que la convierte en una manera razonable de comprobar una cuenta a mano de la que no estés seguro. Y hay dos comprobaciones de sentido común que merece la pena traerse de la geometría que rodea a esta página: el diámetro tiene que ser menor que la circunferencia, y el radio menor que el diámetro, así que si el diámetro sale mayor que la circunferencia es que has metido el dato en el campo equivocado.
Ejemplos resueltos
Un radio de cinco
- Diámetro: 5 × 2 = 10
- Circunferencia: 2 × π × 5 = 31,415926…, que se redondea a 31,4159
- Área: π × 5 × 5 = 78,539816…, que se redondea a 78,5398
- El radio vuelve sin cambios, porque es el dato que se dio
La entrada con la que carga la página, y la más fácil de comprobar: un círculo de radio cinco tiene un diámetro de diez y un área algo por encima de las tres cuartas partes de cien, que es lo razonable, porque π pasa un poco de tres y cinco al cuadrado son veinticinco. El radio se imprime como 5,0000 en lugar de 5, que es un ancho de visualización y no una afirmación sobre la precisión: son exactamente cinco.
Un diámetro de doce
- Radio: 12 ÷ 2 = 6
- Circunferencia: π × 12 = 37,699111…, que se redondea a 37,6991
- Área: π × 6 × 6 = 113,097335…, que se redondea a 113,0973
- El diámetro se queda como se dio
La misma figura alcanzada desde el otro extremo, y un recordatorio de que las salidas de radio y diámetro son exactas mientras las otras dos no lo son: dividir un número par entre dos no introduce ningún error, y multiplicar por π lo introduce siempre. Que el área pase un poco de 113 es una comprobación razonable: seis al cuadrado son treinta y seis, y treinta y seis por π es algo más de ciento trece.
Una circunferencia de veinte
- Radio: 20 ÷ (2 × π) = 3,1830988…, que se redondea a 3,1831
- Diámetro: ese radio doblado es 6,3661977…, que se redondea a 6,3662
- Área: π por el radio sin redondear al cuadrado, que es 100 ÷ π = 31,830988…, y se redondea a 31,8310
- La circunferencia se queda como se dio
El caso que enseña por qué los cuatro números impresos no siempre se reproducen unos a otros. El área es exactamente cien dividido entre π, y se calcula a partir del radio sin redondear y no del 3,1831 de la pantalla; elevar al cuadrado el radio impreso y multiplicar por π da 31,8309. La cifra impresa es la correcta. Leído al revés, el área de un círculo de circunferencia 20 es un tercio de cien, que es la comprobación mental rápida que dice que 31,83 está en la zona buena.
Un área de cien centímetros cuadrados
- Radio: √(100 ÷ π) = 5,6418958…, que se redondea a 5,6419
- Diámetro: eso doblado es 11,2837916…, que se redondea a 11,2838
- Circunferencia: 2 × π × el radio sin redondear = 35,449077…, que se redondea a 35,4491
- El área se queda como se dio
La dirección en la que se falla en el papel: el radio es la raíz cuadrada del área dividida entre π y no el área dividida entre π, que daría 31,831. Cien centímetros cuadrados son una figura de unos once centímetros de ancho, que es una comprobación útil: un círculo de radio 31,8 tendría un área de tres mil, no de cien. Ese mismo número 31,831 es el área calculada en el ejemplo de arriba a partir de una circunferencia de veinte; aquí es lo que produciría la cuenta equivocada, que es una coincidencia de estas dos entradas y nada más.
Un radio de cero
- Diámetro: 0 × 2 = 0
- Circunferencia: 2 × π × 0 = 0
- Área: π × 0 × 0 = 0
- Las cuatro salidas son cero, que es la lectura correcta de un círculo sin tamaño
El cero es aquí una entrada legal y no un campo vacío. Un círculo de radio cero es un solo punto, y cada una de las cuatro medidas es cero, así que una fila de ceros es una respuesta real. La página distingue esto de dejarlo todo en blanco, que se rechaza con un mensaje pidiendo que rellenes un campo: la diferencia entre una figura que se ha quedado en nada y un formulario que no se ha rellenado.
Limitaciones
Las salidas van siempre en centímetros y centímetros cuadrados, sea cual sea la unidad a la que esté puesto el desplegable de entrada. Elegir pulgadas en el desplegable cambia cómo se interpreta tu número a la entrada y nada de cómo se muestra la respuesta, así que un círculo escrito como diez pulgadas vuelve con un radio de 25,4 centímetros. Es una decisión deliberada y la tabla de referencia sigue la misma regla para que la página no se contradiga, pero significa que tienes que convertir tú la respuesta si la querías en la unidad que escribiste: divide las longitudes entre 2,54 y el área entre 6,4516. Los cuatro valores impresos se derivan cada uno del valor que escribiste y no unos de otros, así que no siempre se reproducen entre sí hasta el último dígito: multiplicar el radio impreso por π puede diferir de la circunferencia impresa en el cuarto decimal, y la que hay que creerse es la impresa. La circunferencia y el área son casi siempre números irracionales, así que los cuatro decimales son un corte y no una respuesta completa, y redondear dos veces, leyendo un valor impreso y usándolo en la cuenta siguiente, es justo como aparece la discrepancia. El radio y el diámetro son exactos siempre que la entrada lo fuera, pero también van redondeados cuando salen de un área o de una circunferencia. Como mucho se puede rellenar un campo: dos o más se rechazan, porque los cuatro valores no son independientes y una pareja que no concuerda no describe ningún círculo. La página no acepta un valor negativo en ningún campo, y no te dirá que el radio de un área dada se obtiene antes sacando una raíz cuadrada que dividiendo.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué campos relleno?
- Exactamente uno, el que conozcas. Los cuatro son opcionales y sirve cualquiera de ellos: la página toma el valor que le des, calcula el radio y deriva de ahí los otros tres. Rellenar dos se rechaza en lugar de resolverse, porque las cuatro medidas no son independientes entre sí: un radio de 5 y un diámetro de 12 no pueden describir el mismo círculo, y la página prefiere decirlo a elegir uno en silencio.
- ¿Por qué la respuesta está en centímetros si yo escribí pulgadas?
- Porque las cuatro salidas son un conjunto fijo en centímetros y centímetros cuadrados, elegido para que el panel de resultados y la tabla de referencia de debajo concuerden siempre. El desplegable cambia cómo se entiende tu número a la entrada, no cómo se escribe la respuesta, así que un radio escrito como 10 pulgadas vuelve como 25,4 centímetros. Si necesitas la respuesta en pulgadas, divide las longitudes entre 2,54 y el área entre 6,4516.
- ¿Por qué el área no concuerda con el radio que se muestra?
- Porque el radio impreso ya está redondeado y el área no se calcula a partir de él. La página obtiene el área del radio con toda la precisión y solo redondea la visualización al final, así que para una circunferencia de 20 el área es 31,8310, mientras que elevar al cuadrado el radio impreso, 3,1831, y multiplicar por π da 31,8309. El área impresa es la correcta. Lo mismo ocurre al revés cada vez que coges un número de la pantalla y lo devuelves a una cuenta.
- ¿Usa la página 3,14 para π?
- No. Usa toda la precisión disponible en aritmética de doble precisión, que es π con unos quince dígitos significativos, y solo redondea el resultado que muestra. Eso importa en el cuarto decimal: una circunferencia calculada a mano con 3,14 suele diferir de la respuesta impresa en el último dígito o en los dos últimos, y la diferencia es la constante acortada y no un error de la cuenta. Para comprobaciones mentales rápidas, 3,14 va bien, y es lo que debería usar casi todo el mundo.
- ¿Cómo saco el radio a partir del área?
- Divide el área entre π y saca la raíz cuadrada. La raíz es el paso que se salta: sin ella obtienes un número del tamaño del área, que para cien centímetros cuadrados es 31,831 en lugar del 5,6419 correcto. Comprueba el resultado elevándolo al cuadrado y multiplicando por π: deberías volver al área de la que partiste, salvo por el redondeo de los dígitos impresos.
- ¿Puede el radio ser cero?
- Sí, y las cuatro salidas vuelven como cero, que es la descripción honesta de un círculo sin tamaño. El cero se trata como una entrada real y no como un campo vacío, así que una fila de ceros en el panel de resultados no es señal de que algo haya fallado al rellenarse. Un formulario completamente vacío es otra cosa: si ninguno de los cuatro campos tiene valor, la página pide uno, porque no hay de dónde calcular.
Referencias
- Circle — the set of points at a fixed distance from a centre, with the relations between radius, diameter, circumference and area that this page solves in both directions — Wolfram MathWorld (United States)
- Circumference — the distance around a circle, π times the diameter, which is the relation the circumference box inverts — Wolfram MathWorld (United States)
- Pi — the ratio of a circle's circumference to its diameter, and the constant that makes the circumference and area outputs irrational for almost every input — Wolfram MathWorld (United States)