Calculadora de longitud de arco
Resultado
Longitud del arco
Una calculadora de longitud de arco toma el radio de una circunferencia y un ángulo con vértice en su centro y devuelve cuánto mide el trozo de curva que hay entre los dos radios, en centímetros. Un arco de circunferencia es la parte curva que queda entre dos puntos de ella, y el ángulo que lo nombra es el ángulo central, el que forman los dos radios trazados hasta esos puntos. La aritmética es una proporción y nada más: la circunferencia completa son 360 grados y su contorno entero mide 2πr, así que un arco de θ grados es θ entre 360 de eso. La fracción de la circunferencia que cubre el ángulo es la misma fracción que cubre el arco. Que esta página exista por separado, en vez de dejarlo todo en una calculadora de circunferencia completa, se debe a que la mayoría de los sitios donde aparece una curva no son circunferencias enteras. Una curva de una carretera es un arco; también lo son el recorrido de una manilla, el barrido de un limpiaparabrisas, una encimera curva, un arco de obra o la cinta tensa de un dial. En todos esos casos la pregunta es cuánto mide la parte curva, porque eso es lo que se corta, se paga, se pavimenta o se recorre. Hay una sola trampa en este tema y es una trampa de unidades. La forma compacta de esta fórmula es L = rθ, y en esa forma θ va en radianes, no en grados: el radian es justamente la unidad que existe para que esa línea salga sin ningún factor delante. Si le metes 60 grados a L = rθ, el resultado vuelve unas 57 veces más grande. Y no lo parecerá, además: parecerá un arco largo. Esta página recibe grados, porque 60 es más fácil de teclear que 1,0472, y la fórmula que calcula está escrita con el 360 dentro para que los grados queden descontados antes de que ocurra la multiplicación.
La longitud de un arco a partir de su radio y del ángulo central
| Radio (cm) | Ángulo central (grados) | Longitud del arco (cm) |
|---|---|---|
| 5 | 60 | 5.236 |
| 5 | 90 | 7.854 |
| 5 | 180 | 15.708 |
| 5 | 360 | 31.4159 |
| 10 | 90 | 15.708 |
| 6 | 120 | 12.5664 |
| 12 | 270 | 56.5487 |
| 5 | 0 | 0 |
Ocho arcos y tres columnas. La primera fila es el par con el que carga la página, un sexto de circunferencia. La cuarta es la fila que contrasta la página con el resto del sitio: a 360 grados el arco se ha cerrado en una circunferencia completa, así que tiene que ser igual a la longitud de la circunferencia, y 31,4159 es lo que imprimen las páginas de circunferencia para un radio de 5. La quinta merece una pausa: un radio de 10 con 90 grados da los mismos 15,708 que un radio de 5 con 180 grados, porque doblar uno y dividir el otro entre dos deja el producto intacto. La sexta es la única fila cuya respuesta es un múltiplo exacto de π: un radio de 6 con 120 grados son 4π, es decir 12,5664. Todos los valores se recalculan a partir de sus dos entradas al construir la página, y como la página del sector calcula la misma cantidad con los mismos dos números, la columna de longitud del arco de esta tabla y la de aquella deben leerse igual línea por línea.
Fórmula
L = (θ ÷ 360) × 2πr
- Radius
- La distancia desde el centro de la circunferencia hasta el arco, en centímetros
- θ (theta)
- El ángulo central, en grados: el ángulo entre los dos radios que tocan los extremos del arco. No es el ángulo que parece girar la curva sobre el papel ni el ángulo entre los dos extremos visto desde fuera
- 360
- La circunferencia entera en grados, y el motivo de que esta fórmula esté escrita así. Dividir el ángulo entre 360 lo convierte en la fracción de la circunferencia que cubre el arco
- 2πr
- La longitud de la circunferencia completa, que es de lo que se está tomando una fracción. La π es la misma constante de toda circunferencia y la r es otra vez el radio
- L
- La longitud del arco, en centímetros. La misma fracción de la circunferencia que representa el ángulo respecto de 360 grados
- L = rθ
- La misma fórmula en su forma compacta, que es la que imprimen los libros de texto. En esa forma θ va en radianes y no en grados: usar 60 en lugar de 1,0472 es el error del que avisa toda esta página
- Four decimal places
- El ancho con el que se escribe la lectura. La respuesta casi nunca se puede escribir exacta, porque π no se puede: un cuarto de circunferencia de radio 5 da 7,854 y ahí se queda
Todo lo que sea parte de una circunferencia y cuya longitud importe. El caso más llano es el de medir: una pared curva, una encimera curva, un mirador, una curva en un sendero, la longitud de una valla que sigue una curva en lugar de una recta. Lo que se pide es el largo a lo largo de la curva, y siempre es mayor que la distancia en línea recta entre los dos extremos. Los materiales que vienen en tiras y se doblan son el segundo caso: perfil de remate, molduras, burletes, tubo corrugado, el tramo curvo de un pasamanos, una chapa laminada a un radio. Calcular la longitud antes de cortar es todo el asunto, y un arco cortado de menos es chatarra. Los vehículos y las máquinas son el tercero: la distancia que barre un limpiaparabrisas, el recorrido de un brazo articulado, una correa que pasa por una guía curva, la longitud de una cadena alrededor de un piñón. En cada uno de esos casos la longitud del arco es la distancia recorrida de verdad, y es para lo que hay que dimensionar el motor. Luego está el uso de aula. La proporción se ve fácil en una circunferencia dibujada con compás —un arco de 90 grados es un cuarto de la circunferencia, y puedes comprobarlo contra la fórmula— y es la pieza que permite pasar después a los sectores, a los segmentos y, finalmente, a los radianes, que no son más que la misma proporción dicha al revés.
Ejemplos resueltos
Un radio de 5 y un ángulo de 90 grados
- El ángulo como fracción de la circunferencia: 90 ÷ 360 = 1/4
- La longitud entera: 2 × π × 5 = 31,4159
- Un cuarto de eso: 31,4159 ÷ 4 = 7,854
Un cuarto de circunferencia, y el par con el que carga la página. Las dos lecturas que conviene retener juntas son este 7,854 y el 31,4159 que da el mismo radio a 360 grados: uno es exactamente cuatro veces el otro, que es la forma rápida de ver que el ángulo se está usando de verdad como una fracción y no como otra cosa.
Un radio de 5 y un ángulo de 60 grados
- El ángulo como fracción de la circunferencia: 60 ÷ 360 = 1/6
- La longitud entera: 2 × π × 5 = 31,4159
- Un sexto de eso: 31,4159 ÷ 6 = 5,236
Un sexto de circunferencia, que es el ángulo central de un triángulo equilátero y la razón de que 60 grados aparezca siempre que algo se divide en seis. Es la fila que también imprime la página del sector circular, así que las dos se pueden poner una al lado de la otra: sea cual sea la longitud que dé aquí, la del sector muestra la misma cifra para el mismo radio y el mismo ángulo.
Un radio de 5 y una vuelta completa
- El ángulo como fracción de la circunferencia: 360 ÷ 360 = 1
- La longitud entera: 2 × π × 5 = 31,4159
- Toda ella: 31,4159
El caso límite, y una comprobación de toda la página: a 360 grados el arco ha dado la vuelta entera y se ha cerrado, así que es la circunferencia, y la circunferencia de radio 5 mide 31,4159. Si esta fila imprimiera otra cosa, la fórmula estaría mal, y por eso merece la pena tenerla en la tabla.
Un radio de 10 y un ángulo de 90 grados
- El ángulo como fracción de la circunferencia: 90 ÷ 360 = 1/4
- La longitud entera: 2 × π × 10 = 62,8319
- Un cuarto de eso: 62,8319 ÷ 4 = 15,708
El mismo cuarto de circunferencia del primer ejemplo y la misma longitud que el arco de 180 grados con radio 5. Doblar el radio y dividir el ángulo entre dos deja el arco igual, porque la longitud depende de los dos juntos y no de uno solo. Es la demostración más barata que hay de por qué la fórmula multiplica en lugar de sumar.
Un radio de 5 y un ángulo de 0
- El ángulo como fracción de la circunferencia: 0 ÷ 360 = 0
- La longitud entera: 2 × π × 5 = 31,4159
- Nada de eso: 0
Un ángulo de cero significa que los dos radios se han cerrado uno sobre otro y que el arco se ha encogido a un solo punto de la circunferencia, así que mide cero. Es una respuesta real y la página la da, lo cual es distinto de dejar un campo vacío: un campo vacío no tiene de dónde calcular y no muestra ningún resultado.
Limitaciones
Esta página devuelve la longitud del arco y nada más. No da el área del sector, ni la longitud de la cuerda recta entre los dos extremos, ni el ángulo, ni el radio: el sector cubre los dos primeros, y volver desde una longitud de arco hasta el ángulo es otra página. El ángulo va en grados y está limitado a 360: un ángulo central mayor que una vuelta completa se rechaza en lugar de reducirse, porque un ángulo central no puede pasar por definición de una revolución. El cero se acepta en cualquiera de las dos entradas y da un arco de longitud cero, que es lo correcto para un punto y no es lo mismo que un campo vacío. Las dos entradas se toman en la misma unidad, así que un radio en pulgadas da una longitud de arco en pulgadas; no se convierte nada. La respuesta es la longitud a lo largo de un arco de circunferencia y no dice nada de ninguna otra curva: un arco elíptico, una espiral, una catenaria o una curva que no sea una circunferencia exacta no saldrán bien, y de todas ellas la elipse es el caso que la gente espera que sea más fácil de lo que es.
Preguntas frecuentes
- ¿El ángulo va en grados o en radianes?
- En grados. La fórmula que calcula esta página es (θ ÷ 360) × 2πr, escrita de modo que los grados se descuentan antes de que ocurra cualquier otra cosa. La forma compacta que quizá hayas visto en otro sitio, L = rθ, sí toma radianes, y conviene saberlo porque meter 60 ahí da una respuesta unas 57 veces mayor, y una respuesta que solo es larga no parece equivocada.
- ¿Cuál de los ángulos del dibujo es el central?
- El que tiene el vértice en el centro de la circunferencia, entre los dos radios trazados hasta los extremos del arco. No es el ángulo entre los dos extremos medido desde algún punto del arco, ni el ángulo que la curva parece girar sobre el papel. Si el dibujo tiene varios ángulos marcados, el central es el que tiene el vértice en el centro.
- ¿En qué se diferencia de la calculadora del sector circular?
- La página del sector da tres lecturas para las mismas dos entradas —el área de la porción, la longitud del arco y la cuerda recta entre los extremos— porque quien trabaja con un sector suele querer más de una. Esta página da la longitud del arco sola. Las dos coinciden exactamente en ese número, así que si solo necesitas la longitud, este es el camino corto.
- ¿Puede el ángulo pasar de 360 grados?
- No, y la página lo rechaza en lugar de reducirlo. Un ángulo central es por definición un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia, y no puede pasar de una vuelta completa; 400 grados significarían un arco más largo que la circunferencia entera, que no es un arco. El límite es deliberado y coincide con el de la página del sector, así que el mismo par de números se acepta o se rechaza igual en las dos.
- ¿La longitud del arco depende del radio?
- Sí, y la dependencia es una multiplicación y no una suma. Doblar el radio dobla el arco, y doblar el ángulo también lo dobla, así que un arco de 180 grados con radio 5 y uno de 90 grados con radio 10 miden lo mismo. Por eso la fórmula multiplica los dos en lugar de hacer cualquier otra cosa con ellos.
Referencias
- Arc — the definition of an arc of a circle and the proportion between its length, the radius and the angle at the centre — Wolfram MathWorld (United States)
- Circular Arc — the same subject in more detail, including the compact form L = rθ and the statement that the angle in it is measured in radians — Wolfram MathWorld (United States)
- Radian — the unit that the compact form of the formula requires, and the reason 60 degrees cannot be put into L = rθ — Wolfram MathWorld (United States)