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CalcMax

Calculadora de área de sector

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervalo: 0 ° – 360 °

Resultado

13,0900 cm²

Superficie

Longitud del arco
5,2360 cm
Cuerda
5,0000 cm

La calculadora de área de sector toma el radio de un círculo y un ángulo central, y devuelve tres medidas de la porción que esos dos números recortan: la superficie, la longitud del arco y la cuerda. Un sector circular es la forma de un trozo de tarta —la región limitada por dos radios y el arco que hay entre ellos—, y es la primera página de este grupo cuyo formulario pide dos cosas de clases distintas. El radio es una longitud y el ángulo es un ángulo, y ninguno de los dos se puede deducir del otro: una porción ancha de un círculo pequeño y una porción estrecha de uno grande son figuras diferentes, así que los dos números hacen falta de verdad. Merece la pena fijarse en eso, porque la página del círculo de al lado es lo contrario: dale cualquiera de sus cuatro medidas y produce las demás, porque un círculo queda fijado por un solo número. Un sector es un círculo al que le han quitado un bocado, y hay que decir aparte de qué tamaño es el bocado. Las tres salidas responden a tres preguntas distintas sobre la misma porción. La superficie es cuánto terreno cubre, que es lo que quieres para un trozo de pizza, una parcela con un lindero curvo o la abertura de un obturador de cámara. La longitud del arco es cuánto mide el borde curvo, que es lo que quieres para un remate que se dobla siguiendo una curva o un tramo de valla sobre un lindero que se comba. La cuerda es la recta que cierra la porción, que es lo que quieres para el lado plano de un trozo o para la anchura de la abertura que subtiende. Las tres salen del mismo par de números, y las tres son una fracción fija del círculo entero —el ángulo entre 360— aplicada a la medida correspondiente de ese círculo. Conviene conocer cada fórmula por separado, y las tres están desglosadas más abajo. La fila con la que carga la página es la mejor para empezar: un radio de 5 centímetros y 60 grados. La fracción es un sexto, así que la superficie es 13,09 centímetros cuadrados y el arco mide 5,236 centímetros, pero la cuerda sale exactamente 5, igual que el radio. Eso pasa porque la cuerda es 2r por el seno de la mitad del ángulo, el seno de 30 grados vale exactamente un medio, y el 2 y el medio se cancelan. Seis porciones como esa puestas punta con punta forman un hexágono regular, que es la página siguiente de este mismo grupo. El otro extremo de la tabla es igual de instructivo: con 360 grados la superficie y el arco son exactamente los que imprime la página del círculo para un radio de 5 —78,5398 y 31,4159—, mientras que la cuerda es 0, porque los dos extremos del arco han terminado por encontrarse. Una cuerda puede valer cero en el mismo momento en que la superficie alcanza su máximo, y esas dos medidas no tienen nada que ver entre sí.

Sectores habituales, desde un sexto de círculo hasta el círculo entero

Radio (cm)Ángulo central (°)Superficie (cm²)Longitud del arco (cm)Cuerda (cm)
56013.095.2365
59019.6357.8547.0711
518039.269915.70810
536078.539831.41590
109078.539815.70814.1421
612037.699112.566410.3923
12270339.29256.548716.9706
50000

Ocho sectores, y las dos primeras columnas son las dos entradas, cosa que conviene decir porque ninguna otra tabla de este grupo las imprime: en las demás los datos de partida van escondidos en la figura. La primera fila es con la que carga la página y la que hay que leer primero: a 60 grados la cuerda vale exactamente 5, igual que el radio, porque el seno de 30 grados es exactamente un medio. La cuarta fila es el círculo entero, y su superficie y su arco son exactamente los que imprime la página del círculo para un radio de 5 —78,5398 y 31,4159— mientras que su cuerda es 0, porque los dos extremos se han encontrado. La quinta fila es otro círculo con otro ángulo y la misma superficie que la cuarta: un radio de 10 centímetros a 90 grados cubre 78,5398 centímetros cuadrados, lo mismo que cubre entero un círculo de 5, y eso recuerda que la superficie depende de las dos entradas. La séptima fila está pasada la mitad, donde la cuerda mide por el lado corto una porción que son tres cuartos del círculo; la página la calcula sin quejarse, y decidir cuál de las dos regiones ha cortado esa cuerda es cosa de la página del segmento y no de esta. La última fila es un ángulo de cero, donde la porción se ha quedado reducida a un solo radio y las tres lecturas son cero. Cada número se recalcula a partir de su radio y su ángulo al construir la página, en centímetros y grados, y los cuatro decimales son los mismos que usa el panel de resultados.

Fórmula

A = (θ ÷ 360) × πr² L = (θ ÷ 360) × 2πr c = 2r × sen(θ ÷ 2)

Radius
La distancia del centro al borde curvo, en centímetros. Es la mitad de los dos lados rectos de la porción y el número que dice de qué tamaño era el círculo del que se recortó
Central angle
El ángulo entre los dos lados rectos, medido en el centro, en grados. Junto con el radio fija la porción por completo, y es el número que dice qué fracción del círculo te has llevado: 90 es un cuarto, 60 es un sexto, 120 es un tercio
Area
La superficie que cubre la porción, en centímetros cuadrados. Sale como la fracción del círculo multiplicada por la superficie del círculo entero, y es la única de las tres que va con el cuadrado del radio: dobla el radio y la superficie se multiplica por cuatro
Arc length
La distancia a lo largo del borde curvo, en centímetros. La misma fracción del círculo, aplicada a la circunferencia en vez de a la superficie, así que va con el radio y no con su cuadrado, y sale exactamente igual al radio cuando el ángulo es de un radián
Chord
La recta que va de un extremo del arco al otro, en centímetros. Es el lado plano del trozo, y la única de las tres salidas que necesita trigonometría en lugar de una simple fracción: es dos veces el radio por el seno de la mitad del ángulo
sen(θ ÷ 2)
El seno de la mitad del ángulo, y lo que conviene retener es que sea la mitad y no el ángulo entero: la cuerda y los dos radios forman un triángulo isósceles, y bajar una perpendicular desde el centro parte en dos tanto el ángulo como la cuerda
θ ÷ 360
La fracción del círculo entero que ocupa la porción. Es el factor que comparten la superficie y la longitud del arco, y es la razón de que las dos sean simplemente una copia a escala reducida de las medidas del propio círculo
Four decimal places
El ancho con el que se escribe cada lectura. La superficie y la longitud del arco llevan un π dentro y por eso casi nunca terminan; la cuerda solo es exacta en los ángulos en los que lo es el seno, que es la razón de que 60 grados y 180 grados salgan redondos y casi ningún otro lo haga

Las tres salidas responden a tres preguntas distintas sobre la misma porción, y elegir la correcta es casi todo el trabajo. La superficie es para lo que se compra o se cuenta por área: un trozo de pizza que se cobra por bandeja, una porción de terreno entre dos vallas que se encuentran en una esquina, un cristal cortado a un marco curvo, o la fracción del campo de visión de una cámara que deja pasar un ajuste de obturador concreto. La longitud del arco es para lo que sigue la curva: el remate que hace falta alrededor de un mostrador curvo, la valla a lo largo de un lindero que se comba, el recorrido de una correa alrededor de una parte de una polea, o la distancia que avanza un punto del borde cuando la rueda gira un ángulo dado. La cuerda es para la línea recta: la anchura de la pala de un ventilador en su punta, la cara plana de un trozo que se apoya en un plato, la luz de un arco de obra, o cuánto acaban separándose dos puntos de una circunferencia cuando a los dos se les gira el mismo ángulo desde un centro común. Y hay un cuarto uso que recorre las tres: el sector es la unidad con la que se construyen muchísimas cosas circulares. Un gráfico de tarta no es más que sectores, un hexágono son seis de ellos, y el diente de un engranaje es uno con la punta recortada.

Ejemplos resueltos

  1. Una porción de 60 grados de un círculo de 5 cm

    1. Fracción del círculo: 60 ÷ 360 = 1/6
    2. Superficie: (1/6) × π × 5² = 25π ÷ 6 = 13,0899…, que redondeado es 13,09
    3. Longitud del arco: (1/6) × 2π × 5 = 10π ÷ 6 = 5,2359…, que redondeado es 5,236
    4. Cuerda: 2 × 5 × sen(30°) = 10 × 0,5 = 5

    La entrada con la que carga la página, y la fila que enseña qué está haciendo la fracción: una porción de 60 grados es exactamente un sexto del círculo, así que su superficie es un sexto de 25π y su arco un sexto de 10π. La cuerda es la parte ante la que merece la pena detenerse: sale exactamente 5, igual que el radio, porque el seno de 30 grados vale exactamente un medio y el 2 y el medio se cancelan. Seis de estas porciones puestas punta con punta forman un hexágono regular, que es la página de al lado.

  2. Un cuarto de un círculo de 5 cm

    1. Fracción del círculo: 90 ÷ 360 = 1/4
    2. Superficie: 25π ÷ 4 = 19,6349…, que redondeado es 19,635
    3. Longitud del arco: 10π ÷ 4 = 7,8539…, que redondeado es 7,854
    4. Cuerda: 2 × 5 × sen(45°) = 10 × 0,7071068 = 7,0710678…, que redondeado es 7,0711

    El cuarto de círculo. La cuerda de un sector de 90 grados es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos dos catetos son los dos el radio, así que vale r√2: aquí 5√2, el mismo 7,0711 que imprime la página del cuadrado para su diagonal, y el mismo número que necesitaría el cuadrado inscrito en la página del círculo. Tres páginas, un solo número, y las tres son el mismo triángulo visto desde lados distintos.

  3. Medio círculo

    1. Fracción del círculo: 180 ÷ 360 = 1/2
    2. Superficie: 25π ÷ 2 = 39,2699…, que redondeado es 39,2699
    3. Longitud del arco: 10π ÷ 2 = 15,7079…, que redondeado es 15,708
    4. Cuerda: 2 × 5 × sen(90°) = 10 × 1 = 10

    El ángulo en el que la cuerda deja de ser una cuerda y pasa a ser un diámetro: los dos extremos del arco están ahora uno enfrente del otro, así que la recta que los une pasa por el centro y mide 2r. El seno de 90 grados vale exactamente 1, que es la razón de que la respuesta salga redonda. Todo lo de esta fila es la mitad de lo del círculo entero de más abajo, salvo la cuerda, que aquí alcanza su máximo: pasados los 180 grados la cuerda empieza a encogerse otra vez aunque la superficie siga creciendo.

  4. Un tercio de un círculo de 6 cm

    1. Fracción del círculo: 120 ÷ 360 = 1/3
    2. Superficie: 36π ÷ 3 = 12π = 37,6991…, que redondeado es 37,6991
    3. Longitud del arco: 12π ÷ 3 = 4π = 12,5664…, que redondeado es 12,5664
    4. Cuerda: 2 × 6 × sen(60°) = 12 × 0,8660254 = 10,3923048…, que redondeado es 10,3923

    Un tercio de un círculo de radio 6, y la fila que ata esta página con la de al lado. La cuerda es 6√3, que es exactamente la diagonal corta de un hexágono regular de lado 6, y no es casualidad: tres de estas porciones forman medio hexágono y seis forman el hexágono entero. Que la superficie sea 12π y el arco 4π es lo otro que hay que mirar: cuando la fracción sale limpia, las respuestas conservan el π y sueltan todo lo demás.

  5. El círculo entero

    1. Fracción del círculo: 360 ÷ 360 = 1
    2. Superficie: 1 × π × 5² = 25π = 78,5398…, que redondeado es 78,5398
    3. Longitud del arco: 1 × 2π × 5 = 10π = 31,4159…, que redondeado es 31,4159
    4. Cuerda: 2 × 5 × sen(180°) = 10 × 0 = 0

    Un sector de 360 grados es el círculo entero, y la superficie y el arco son exactamente los que imprime la página del círculo para un radio de 5: los mismos 78,5398 y los mismos 31,4159. Tienen que serlo: un sector que ocupa todo el círculo es el círculo. La interesante es la cuerda. Vale 0, y esa es la respuesta correcta y no un fallo: los dos extremos del arco han dado la vuelta hasta encontrarse, así que la recta que los une no tiene longitud ninguna. Una cuerda puede ser cero justo cuando la superficie alcanza su máximo.

Limitaciones

Esta página es solo para sectores: dos radios rectos y el arco que hay entre ellos, sobre un círculo plano. Un segmento —la región entre una cuerda y su arco, que es lo que queda si a esta porción le cortas el triángulo— es otra figura y tiene su propia página al lado. Las lecturas van en centímetros y centímetros cuadrados sea cual sea la unidad que marque el desplegable, así que un radio escrito en pulgadas vuelve como una respuesta en centímetros que tienes que convertir tú; el ángulo va en grados y el desplegable acepta radianes o gradianes, pero el resultado se calcula siempre a partir de grados. Los ángulos por encima de 360 grados se rechazan en lugar de dar la vuelta: pasada una vuelta completa hay más de una manera de leer qué porción querías, y la página prefiere decirlo a adivinarlo. Los cuatro decimales son un ancho de visualización y no una afirmación sobre la precisión: la superficie y la longitud del arco llevan un π dentro y casi nunca terminan, y la cuerda solo es exacta en los ángulos en los que lo es el seno. La cuerda mide la recta que cruza la porción, así que por encima de 180 grados está midiendo por el lado corto una porción que es más de medio círculo, lo cual es correcto pero rara vez es lo que tiene en la cabeza quien está dibujando un gráfico de tarta. Aquí no se trata la porción de una elipse ni de ninguna otra curva que no sea circular, ni una porción de punta redondeada, ni el grosor de un trozo físico como un pastel o una cuña de queso.

Preguntas frecuentes

¿Por qué esta página necesita dos entradas si la del círculo necesita una?
Porque un sector no queda fijado por un solo número. Un círculo sí: dale su radio y sabes todo sobre él. Un sector es un círculo con un bocado quitado, y hay que decir aparte de qué tamaño es el bocado: una porción de 30 grados de un círculo grande y una de 180 grados de uno pequeño son figuras completamente distintas. El radio fija el círculo y el ángulo fija cuánto de él te has llevado, así que los dos hacen falta y ninguno se deduce del otro.
¿Por qué a 60 grados la cuerda sale exactamente igual al radio?
Porque la cuerda es 2r por el seno de la mitad del ángulo, y a 60 grados la mitad es 30 grados, cuyo seno vale exactamente un medio. El 2 y el medio se cancelan y queda r. Es uno de los pocos ángulos en los que la cuerda sale un número redondo, y es la razón de que funcione el hexágono: seis porciones de 60 grados puestas punta con punta dan una figura en la que todos los lados —los seis radios y las seis cuerdas— miden lo mismo.
¿Cuál es la diferencia entre un sector y un segmento?
Un sector es la porción limitada por dos radios y un arco, como un trozo de tarta. Un segmento es la región entre una cuerda y su arco, que es lo que queda de esa porción cuando le cortas el triángulo formado por los dos radios y la cuerda. La página del segmento de al lado calcula esa otra región, y su superficie es la de esta página menos la de ese triángulo.
¿Cuál de las tres lecturas me interesa?
La superficie si la porción es un área: un trozo de pizza, una cuña de terreno, un cristal. La longitud del arco si algo sigue la curva: un remate alrededor de un mostrador curvo, una valla sobre un lindero que se comba, el recorrido de una correa en parte de una polea. La cuerda si necesitas la recta que cruza la porción: la anchura de la pala de un ventilador en su punta, la luz de un arco, o cuánto acaban separándose dos puntos del borde.
La cuerda vale 0 para el círculo entero, ¿es un fallo?
No, es la respuesta correcta. A 360 grados los dos extremos del arco han dado la vuelta completa hasta encontrarse, así que la recta que los une no tiene longitud. Merece la pena ver que la superficie alcanza su máximo —el círculo entero— en el mismo momento en el que la cuerda alcanza su mínimo, porque esas dos medidas no tienen nada que ver entre sí. Solo las cuerdas se comportan así; la longitud del arco simplemente pasa a ser la circunferencia.
¿Puedo escribir el ángulo en radianes?
Sí, el desplegable que hay junto al ángulo acepta grados, radianes o gradianes, y convierte lo que escribas a grados antes de calcular nada. Las entradas de la tabla de referencia están todas en grados, así que un valor en radianes de aproximadamente 1,047 es la misma porción que la fila de 60 grados. Ninguna salida cambia con la unidad: la superficie va en centímetros cuadrados y el arco y la cuerda en centímetros en cualquiera de los casos.

Referencias

Calculadoras relacionadas

Calculadora de área de segmentoÁrea del segmento circular, con la cuerda y la flecha.Calculadora de círculoRadio, diámetro, circunferencia y área de un círculo.Calculadora de longitud de arcoLongitud de arco a partir del radio y el ángulo.Calculadora de ángulo centralÁngulo central a partir del radio y la longitud del arco.