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CalcMax

Calculadora de área de segmento

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervalo: 0 ° – 360 °

Resultado

7,1350 cm²

Superficie

Cuerda
7,0711 cm
Longitud del arco
7,8540 cm
Altura del segmento
1,4645 cm

La calculadora de área de segmento toma el radio de un círculo y un ángulo central, y devuelve la superficie de la región que queda entre la cuerda que esos dos recortan y el arco que hay por encima, junto con la cuerda, el arco y la altura de esa región. Un segmento circular es lo que sale si tomas un sector —la porción limitada por dos radios y un arco— y le cortas el triángulo formado por los dos radios y la cuerda. Lo que queda es la pieza con forma de luna entre la recta y la curva, y es la forma de una rodaja de manzana, de una ventana en arco, de la sección de una tubería parcialmente llena o de la región que una cuerda recorta en una parcela circular. La aritmética es una resta en cuanto tienes las dos piezas: la superficie del sector es la fracción del círculo, y la del triángulo es la mitad del radio al cuadrado por el seno del ángulo. Quita una de la otra. Esa resta merece entenderse en lugar de solo aplicarse, porque es el punto en el que esta página deja de poder decirte cuál de las dos respuestas querías. Una cuerda divide un círculo en dos regiones, una pequeña y otra grande, y el mismo radio y el mismo ángulo describen las dos según de qué lado de la cuerda estés hablando. Por debajo de medio círculo no hay ambigüedad ninguna. Por encima, la fórmula se pasa en silencio a la otra. Hay dos números de la tabla que conviene mirar antes de escribir nada, porque son los que enseñan el mecanismo. El primero es 180 grados: ahí el triángulo no tiene superficie, los dos radios se tumban sobre la cuerda y el segmento es simplemente el semicírculo, 39,2699, exactamente lo que imprime la página del sector para su medio círculo. El segundo es 270 grados: el seno pasa a ser negativo, el signo menos de sector menos triángulo se convierte en un más, y la página devuelve el segmento mayor, 71,4049, la más grande de las dos regiones que corta una cuerda. Por eso esta página no clasifica ninguna respuesta: una herramienta que no puede decir cuál de las dos regiones ha cortado la cuerda no tiene por qué ponerle etiqueta a un número. La columna de la altura es la que se puede medir de verdad. Es lo que sobresale el arco por encima del centro de la cuerda, así que basta con apoyar una regla sobre el lado plano y medir hasta el punto más profundo de la curva: es la manera habitual de describir una tubería a medio llenar, y por eso está en el panel aunque el ángulo sea lo que se introduce.

Segmentos habituales, desde una lonja fina hasta el círculo entero

Radio (cm)Ángulo central (°)Superficie (cm²)Cuerda (cm)Longitud del arco (cm)Altura del segmento (cm)
5907.1357.07117.8541.4645
5602.264755.2360.6699
518039.26991015.7085
612022.110710.392312.56643
527071.40497.071123.56198.5355
10180157.07962031.415910
536078.5398031.415910
500000

Ocho segmentos, y las dos primeras columnas son las entradas. Hay que leer juntas las dos primeras filas para ver a qué velocidad encoge un segmento: la de 60 grados tiene dos tercios del ángulo de la de 90 y menos de un tercio de su superficie, porque con ángulos pequeños el triángulo se está comiendo casi toda la porción. La tercera fila son 180 grados, donde el triángulo no tiene superficie ninguna y el segmento es simplemente el semicírculo: 39,2699, exactamente lo que imprime la página del sector para su medio círculo. La quinta fila es la que hay que leer con cuidado: a 270 grados el seno es negativo, la resta se convierte en suma y la página devuelve 71,4049, la mayor de las dos regiones que corta la cuerda en vez de la menor. Su cuerda es 7,0711, la misma que la fila de 90 grados, porque el seno de 135° y el de 45° son iguales: dos ángulos, una sola cuerda, y el segmento es diez veces más grande. La última fila es la vuelta completa, donde la cuerda se ha encogido a 0 y el segmento ha crecido hasta ser el círculo entero, con una altura de 10: el diámetro completo, que es lo máximo que puede abombarse un arco. La fila anterior es un ángulo de cero, donde el segmento se ha quedado reducido a nada. Cada número se recalcula a partir de su radio y su ángulo al construir la página, en centímetros y grados, y los cuatro decimales son los mismos que usa el panel de resultados.

Fórmula

A = (θ ÷ 360) × πr² − ½r²sen θ c = 2r sen(θ ÷ 2) h = r(1 − cos(θ ÷ 2))

Radius
La distancia del centro al arco, en centímetros. Es la mitad de la base del triángulo que se recorta, y el número que dice de qué tamaño era el círculo
Central angle
El ángulo que la cuerda subtiende en el centro, en grados. Fija el segmento junto con el radio: determina a la vez cuánto del círculo ocupa el sector y cuánto de alto es el triángulo que se quita
Area
La superficie del segmento, en centímetros cuadrados: la del sector menos la del triángulo. Por debajo de 180 grados es la menor de las dos regiones que forma una cuerda; por encima, la resta se convierte en suma y sale la mayor
Chord
La recta que cierra el segmento, en centímetros, y base del triángulo que se retiró. Crece hasta ser un diámetro a 180 grados y luego vuelve a encogerse, hasta valer cero en la vuelta completa
Arc length
La distancia a lo largo del borde curvo, en centímetros: la misma que el arco del sector, porque cortar el triángulo no toca la curva. Es el límite exterior del segmento y simplemente va creciendo con el ángulo
Segment height
Cuánto sobresale el arco por encima de la cuerda en su punto medio, en centímetros. Es la profundidad del segmento y la cantidad que medirías con una regla apoyada sobre el lado plano: va de 0 sin ángulo hasta el diámetro entero en una vuelta completa
½r² sen θ
La superficie del triángulo que forman los dos radios y la cuerda. Alcanza su máximo a 90 grados y se apaga hasta nada a 180, que es la razón de que un semicírculo no tenga triángulo que restar
Four decimal places
El ancho con el que se escribe cada lectura. Las cuatro llevan un π o un seno dentro y por eso casi nunca terminan, y la superficie es una diferencia de dos números así, lo que significa que sus últimas cifras son las menos fiables de la página

Esta página es para la región que una recta recorta en un círculo, que resulta ser una forma mucho más corriente que la porción de la que se deriva. Una ventana en arco o una puerta con la parte de arriba curva es un segmento apoyado sobre un rectángulo, y lo mismo la sección de un túnel cuyo techo es un arco y cuyos costados son rectos. Las tuberías y los depósitos a medio llenar son el caso clásico: la superficie mojada de un cilindro horizontal es un segmento, y por eso el volumen de líquido de un barril es un problema de segmentos y no de círculos. Sobre un plano, la superficie entre un lindero recto y una carretera o un río que se curva es un segmento, y también la lonja que queda fuera de una valla recta en una parcela circular. En fabricación, un corte recto transversal en una barra redonda o en una pieza circular deja un segmento como sobrante, y ahí la fórmula que hay que usar es la de la altura cuando lo que se puede medir es cuánto entra el corte y no el ángulo: una regla apoyada sobre la cara plana y bajada hasta el punto más profundo de la curva da la altura directamente, y el ángulo se puede recuperar a partir de ella. Y es la forma de un mordisco: el que se le da a una galleta redonda es un segmento, con la cuerda en la marca de los dientes y la altura como profundidad del bocado.

Ejemplos resueltos

  1. Un segmento de un cuarto de círculo

    1. Superficie del sector: (90 ÷ 360) × π × 5² = 19,6349…
    2. Superficie del triángulo: ½ × 5² × sen(90°) = 12,5
    3. Superficie del segmento: 19,6349 − 12,5 = 7,1349…, que redondeado es 7,135
    4. Cuerda: 2 × 5 × sen(45°) = 7,0711
    5. Longitud del arco: (90 ÷ 360) × 2π × 5 = 7,854
    6. Altura: 5 × (1 − cos(45°)) = 5 × 0,2928932 = 1,4645

    La entrada con la que carga la página, y el caso más claro de qué hace la resta. El sector mide 19,6349 y el triángulo le quita 12,5, así que quedan 7,135: un tercio de lo que cubría la porción. La altura hace concreta la figura: el arco se levanta solo 1,4645 centímetros por encima de la cuerda, así que esto es una lonja bastante plana y no un trozo grueso del círculo.

  2. Un segmento fino de 60 grados

    1. Superficie del sector: (60 ÷ 360) × π × 5² = 13,0899…
    2. Superficie del triángulo: ½ × 5² × sen(60°) = 12,5 × 0,8660254 = 10,8253
    3. Superficie del segmento: 13,0899 − 10,8253 = 2,2646…, que redondeado es 2,2647
    4. Cuerda: 2 × 5 × sen(30°) = 5
    5. Longitud del arco: (60 ÷ 360) × 2π × 5 = 5,236
    6. Altura: 5 × (1 − cos(30°)) = 5 × 0,1339746 = 0,6699

    El mismo círculo que la fila de arriba con un ángulo más estrecho, y el segmento es mucho más pequeño de lo que sugiere el cambio de ángulo: 2,2647 frente a 7,135 con dos tercios del ángulo. La razón es que el triángulo se está comiendo casi toda la porción: el sector mide 13,0899 y el triángulo se lleva 10,8253. Con ángulos pequeños un segmento es una lonja delgada, y la superficie cae mucho más deprisa que el ángulo.

  3. Medio círculo

    1. Superficie del sector: (180 ÷ 360) × π × 5² = 39,2699…
    2. Superficie del triángulo: ½ × 5² × sen(180°) = 0
    3. Superficie del segmento: 39,2699 − 0 = 39,2699
    4. Cuerda: 2 × 5 × sen(90°) = 10
    5. Longitud del arco: (180 ÷ 360) × 2π × 5 = 15,708
    6. Altura: 5 × (1 − cos(90°)) = 5 × 1 = 5

    El ángulo en el que el triángulo se desvanece. A 180 grados la cuerda es un diámetro y los dos radios se tumban a lo largo de ella, así que el triángulo no tiene superficie que restar y el segmento es el semicírculo entero: 39,2699, exactamente lo que imprime la página del sector para su medio círculo. La altura es 5, el radio, que es lo máximo que puede abombarse un segmento de este círculo.

  4. Un tercio de círculo

    1. Superficie del sector: (120 ÷ 360) × π × 6² = 37,6991
    2. Superficie del triángulo: ½ × 6² × sen(120°) = 18 × 0,8660254 = 15,5885
    3. Superficie del segmento: 37,6991 − 15,5885 = 22,1106…, que redondeado es 22,1107
    4. Cuerda: 2 × 6 × sen(60°) = 10,3923
    5. Longitud del arco: (120 ÷ 360) × 2π × 6 = 12,5664
    6. Altura: 6 × (1 − cos(60°)) = 6 × 0,5 = 3

    La fila que encaja con las páginas de los dos lados. La cuerda es 6√3 y el arco 4π, los mismos números que imprime la página del sector para una porción de 120 grados del mismo círculo: ni la cuerda ni el arco cambian cuando se retira el triángulo, porque ninguno de los dos forma parte de él. La altura es exactamente 3, la mitad del radio, porque el coseno de 60 grados es un medio.

  5. El segmento mayor a 270 grados

    1. Superficie del sector: (270 ÷ 360) × π × 5² = 58,9049
    2. Superficie del triángulo: ½ × 5² × sen(270°) = 12,5 × (−1) = −12,5
    3. Superficie del segmento: 58,9049 − (−12,5) = 71,4049
    4. Cuerda: 2 × 5 × sen(135°) = 7,0711
    5. Longitud del arco: (270 ÷ 360) × 2π × 5 = 23,5619
    6. Altura: 5 × (1 − cos(135°)) = 5 × 1,7071068 = 8,5355

    La fila que hay que leer con cuidado, y la que explica por qué esta página no opina sobre si una respuesta es razonable. A 270 grados el seno es negativo, así que restar el triángulo suma 12,5 en vez de quitarlos, y la página devuelve 71,4049: la mayor de las dos regiones que corta la cuerda, no la menor. Esa es la respuesta correcta a la aritmética y muy a menudo no es la región que el lector tenía en la cabeza, y por eso aquí nada está etiquetado como segmento menor ni como segmento mayor. La cuerda es 7,0711, la misma que la fila de 90 grados de más arriba, porque el seno de 135° es igual al de 45°: dos ángulos distintos, una sola cuerda.

Limitaciones

La página es solo para segmentos circulares: una cuerda recta y el arco que hay por encima, sobre un círculo plano. Por encima de 180 grados la aritmética se cruza y devuelve la mayor de las dos regiones que corta la cuerda en lugar de la menor, lo cual es deliberado e inevitable, porque a la fórmula no se le puede decir cuál de las dos querías; esa es la razón de que ninguna respuesta de aquí venga etiquetada como segmento mayor o menor. La superficie es una diferencia de dos números que llevan cada uno un π o un seno, así que sus últimas cifras son las menos fiables de la página. La cuerda y el arco no cambian al retirar el triángulo, de modo que quien quisiera la porción y no la lonja debería usar la página del sector de al lado. Las lecturas van en centímetros y centímetros cuadrados sea cual sea la unidad del desplegable, así que un radio escrito en pulgadas vuelve como una respuesta en centímetros que hay que convertir. La altura se mide desde la cuerda hasta el punto más profundo del arco y es la cantidad a la que recurrir cuando el ángulo es desconocido, pero la página no funciona hacia atrás desde una altura hasta un ángulo. Los ángulos por encima de 360 grados se rechazan en lugar de dar la vuelta. Aquí no se trata el segmento de una elipse, ni una cuerda que no abarque todo el arco, ni el grosor y las tapas de una pieza física como una duela de barril o un ladrillo de arco.

Preguntas frecuentes

¿En qué se diferencia un segmento de un sector?
Un sector es la porción limitada por dos radios y un arco, un trozo de tarta. Un segmento es lo que queda cuando a esa porción le cortas el triángulo: solo la región entre la cuerda y el arco. La página del sector de al lado calcula la porción, y esta calcula lo que sobrevive después de restarle ½r²sen θ.
¿Por qué a 270 grados la página da la región más grande?
Porque la superficie del triángulo es ½r²sen θ, y pasados los 180 grados el seno es negativo, así que restarlo suma en vez de quitar. La aritmética es correcta y la respuesta es la mayor de las dos regiones que corta la cuerda. La página no etiqueta a propósito ninguna respuesta como mayor o menor: con un radio y un ángulo no hay manera de saber cuál de las dos regiones querías, así que calcula una y te deja a ti la lectura.
¿Para qué sirve la altura del segmento?
Es cuánto sobresale el arco por encima del centro de la cuerda, o sea la profundidad del segmento. Está en la página porque es la medida que de verdad puedes tomar: apoya una regla sobre el lado plano y mide hasta el punto más profundo de la curva, y ya la tienes, sin necesidad de ángulo. Va de 0 sin ángulo hasta el diámetro entero en una vuelta completa, y es la manera habitual de describir una tubería a medio llenar.
¿Por qué la cuerda y el arco son los mismos que en la página del sector?
Porque ninguno de los dos forma parte del triángulo que se corta. La resta elimina la región encerrada por los dos radios y la cuerda; la cuerda es el límite de ese triángulo y no parte de su interior, y el arco no se toca en absoluto. Así que un segmento de 120 grados y un sector de 120 grados del mismo círculo tienen cuerdas idénticas, arcos idénticos y superficies distintas.
¿Para qué se usa esta figura?
Para todo aquello en lo que una recta cruza un círculo. Una tubería o un depósito horizontal a medio llenar tiene un segmento como sección del líquido, y por eso el volumen de líquido de un barril es un problema de segmentos. Una ventana en arco, la bóveda de un túnel sobre paredes rectas, la superficie entre un lindero recto y una carretera que se curva, el sobrante al cortar una barra redonda con un corte recto, y el mordisco de una galleta redonda son segmentos.
¿Puedo sacar el ángulo a partir de la altura?
En esta página no: la altura es una salida, no una entrada. El ángulo se puede recuperar de ella, porque la altura es r(1 − cos(θ ÷ 2)), pero eso obliga a despejar el coseno y aplicar su inversa, y la página no lo hace. Si lo que tienes es la profundidad medida, el camino práctico es probar ángulos hasta que la columna de la altura coincida con lo que mediste, o resolver la inversa aparte.

Referencias

Calculadoras relacionadas

Calculadora de área de sectorÁrea y longitud de arco de un sector circular.Calculadora de círculoRadio, diámetro, circunferencia y área de un círculo.Calculadora de longitud de arcoLongitud de arco a partir del radio y el ángulo.Calculadora de ángulo centralÁngulo central a partir del radio y la longitud del arco.