Calculadora de ángulo central
Resultado
Ángulo central
- Ángulo central en radianes
- 1,0000 rad
Una calculadora de ángulo central toma el radio de una circunferencia y la longitud de un arco trazado sobre ella y devuelve cuánto mide el ángulo que tiene su vértice en el centro y que abarca ese arco, en grados y en radianes. Los dos son el mismo ángulo escrito de dos maneras, y lo interesante de esta página es cuál de los dos se calcula primero. Un ángulo central medido en radianes es, por definición, la longitud del arco dividida entre el radio: eso no es una fórmula que alguien dedujera, es lo que un radián es. Así que la lectura en radianes es una división en la que no aparece ninguna π, y la lectura en grados es ese número multiplicado por 180/π. El par con el que carga la página lo enseña: un radio de 5 con un arco de 5 da exactamente un radián, porque el arco mide lo mismo que el radio, y un radián son 57,2958 grados. Todas las demás cuentas de esta página son esa misma división con otros números dentro. Esa es también la razón de que esta página y la de la longitud del arco sean dos páginas y no una: son la misma ecuación leída en sentidos opuestos. Y las dos merecen existir, porque las preguntas llegan en los dos sentidos. Quien mide una pared curva tiene una longitud y quiere saber cuánto gira; quien dibuja un sector tiene un ángulo y quiere saber cuánto medirá el borde. La advertencia que conviene traerse de la otra página es sobre la forma compacta L = rθ. En esa forma θ va siempre en radianes, porque la forma solo funciona así; meter grados da una respuesta unas 57 veces mayor, y no lo parecerá: parecerá un ángulo grande. Aquí no hay que preocuparse por eso, porque la página da las dos lecturas y hace la conversión por ti. El aviso importa cuando te encuentres la forma compacta en otro sitio.
El ángulo central a partir de la longitud del arco y del radio de su circunferencia
| Radio (cm) | Longitud del arco (cm) | Ángulo central (grados) | Ángulo central (radianes) |
|---|---|---|---|
| 5 | 5 | 57.2958 | 1 |
| 10 | 5 | 28.6479 | 0.5 |
| 5 | 10 | 114.5916 | 2 |
| 4 | 1 | 14.3239 | 0.25 |
| 3 | 3 | 57.2958 | 1 |
| 6 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 31.4159 | 359.9997 | 6.2832 |
| 2 | 12.5664 | 360.0008 | 6.2832 |
Ocho arcos y cuatro columnas: dos medidas de entrada y el mismo ángulo dos veces a la salida. La primera fila es el par con el que carga la página y la definición de radián en una línea: un arco tan largo como el radio da exactamente 1, que son 57,2958 grados. La segunda y la tercera suben y bajan esa misma división —un arco de medio radio da medio radián y un arco del doble del radio da dos—, así que leídas juntas enseñan que la columna de radianes se comporta como la división simple que es. La cuarta es un cuarto de radián: un arco de 1 colocado sobre un radio de 4 da 0,25, que son 14,3239 grados, de modo que la columna de grados sigue siendo la cifra en radianes multiplicada por 57,2958. Las dos últimas filas son lo mismo en sentidos opuestos y son el motivo de que esta tabla exista: a un radio de 5 se le da su propia circunferencia impresa y sale 359,9997 grados, y a uno de 2 se le da la suya y sale 360,0008, porque un redondeo fue hacia abajo y el otro hacia arriba. Una lectura justo por encima de 360 es, por tanto, correcta, y las dos filas están aquí para decirlo.
Fórmula
θ(radianes) = L ÷ r, θ(grados) = θ(radianes) × 180 ÷ π
- Arc length
- La distancia recorrida a lo largo de la curva, en centímetros: la longitud del trozo de circunferencia, no la distancia en línea recta entre sus dos extremos
- Radius
- La distancia desde el centro hasta el arco, en centímetros. Tiene que ser mayor que cero, porque es el número entre el que se divide la longitud del arco
- θ (theta)
- El ángulo central en radianes: la longitud del arco dividida entre el radio, que es lo que un radián es. Una vuelta completa son 2π radianes, unos 6,2832
- 180 ÷ π
- Los grados que hay en un radián, unos 57,2958. Multiplicar por este número la lectura en radianes da la lectura en grados, y es el único sitio por donde entra la π en toda la cuenta
- Degrees
- El mismo ángulo escrito como casi todo el mundo lee los ángulos, sobre 360 para una vuelta completa. Es la lectura que se muestra primero, porque es la que mostraría un transportador
- L = rθ
- La forma compacta de la relación, con θ en radianes. Despejada es la división que hace esta página; usada tal cual con grados en lugar de radianes da una respuesta unas 57 veces mayor
- Four decimal places
- El ancho con el que se escriben las dos lecturas. Una vuelta completa son 6,2832 radianes o 360 grados, y cerca de ese punto los cuatro decimales de la entrada empiezan a asomar en la respuesta
Todo lo que se ha medido a lo largo de una curva y ahora hay que convertir en un ángulo. El taller es el caso más claro: una ranura curva, un tubo doblado, un tramo de un anillo laminado llegan con una longitud, y el plano pide un ángulo; esta división es la que lleva de uno al otro. La fabricación y la obra son el mismo problema con otro nombre: un pasamanos curvo medido por su longitud, un bordillo curvo, un arco de obra, un vano en arco, un tramo de ladrillo en curva, y todos ellos necesitan el ángulo central antes de poder replantear nada. La navegación y la astronomía lo usan en el otro sentido, tomando un arco medido sobre el terreno o sobre el cielo y convirtiéndolo en grados de latitud, de longitud o de un rumbo. Hay además un uso de aula que es de verdad la manera más clara de entender la unidad: dibuja una circunferencia, corta un trozo de cuerda de la longitud del radio y ve colocándolo a lo largo de la curva; el ángulo que abarca en el centro es un radián, y con algo más de seis de esos trozos se da la vuelta entera. Hazlo una vez y los radianes dejan de ser una unidad arbitraria que hay que memorizar. Y hay un uso práctico que reaparece continuamente en programación y en ingeniería: dados un radio y una longitud, averiguar qué fracción de la circunferencia se ha usado. Esa fracción es la lectura en radianes dividida entre 2π, y es justo para lo que están las dos lecturas de esta página.
Ejemplos resueltos
Un radio de 5 y un arco de 5
- Divide el arco entre el radio: 5 ÷ 5 = 1 radián
- Pasa a grados: 1 × 180 ÷ π = 57,2958
El par con el que carga la página, y la definición de radián en una línea: un arco tan largo como el radio abarca un ángulo de un radián. La cifra en grados, 57,2958, es el número que hay que recordar si solo se recuerda una cosa sobre radianes. La lectura en radianes salió exacta, sin redondear nada, porque este par está elegido para que la división sea exacta.
Un radio de 10 y un arco de 5
- Divide el arco entre el radio: 5 ÷ 10 = 0,5 radianes
- Pasa a grados: 0,5 × 180 ÷ π = 28,6479
El mismo arco sobre una circunferencia mayor, así que el ángulo es menor: un arco de 5 es aquí la mitad del radio en lugar de todo el radio. Medio radián, 28,6479 grados. Es la fila que muestra que el ángulo depende de la proporción y no del arco solo, que es el mismo hecho que la página de la longitud del arco cuenta desde el otro extremo.
Un radio de 4 y un cuarto de la circunferencia
- La circunferencia entera: 2 × π × 4 = 25,1327
- Un cuarto de ella: 25,1327 ÷ 4 = 6,2832 = π
- Divide el arco entre el radio: 12,5664 ÷ 4 = 3,1416 radianes
- Pasa a grados: 3,1416 × 180 ÷ π = 180,0004
Media vuelta, y la fila que enseña dónde acaban los cuatro decimales de la entrada. El ángulo es en realidad de 180 grados justos, pero el arco se escribió como el cuarto de circunferencia ya redondeado, 12,5664, y dividir un número redondeado entre 4 arrastra ese redondeo a la respuesta en forma de 0,0004 de grado. La lectura en radianes es π con cuatro cifras, que es la otra manera de ver que esto es media vuelta.
Un radio de 2 y la circunferencia que imprime la página
- La circunferencia entera: 2 × π × 2 = 12,5664, impresa con cuatro decimales
- Divide el arco entre el radio: 12,5664 ÷ 2 = 6,2832 radianes
- Pasa a grados: 6,2832 × 180 ÷ π = 360,0008
Una vuelta completa, y una lectura ligeramente por encima de 360 grados, que es correcta y no un error. La circunferencia de radio 2 mide 12,5663706, que la página imprime como 12,5664, redondeando hacia arriba. Escribe esa cifra redondeada como arco y el ángulo sale una fracción de grado por encima de la vuelta completa. Lo que asoma es el redondeo de la entrada, no una avería de la división.
Un radio de 6 y un arco de 0
- Divide el arco entre el radio: 0 ÷ 6 = 0 radianes
- Pasa a grados: 0 × 180 ÷ π = 0
No hay arco, así que no hay ángulo: los dos radios se han cerrado uno sobre otro y el arco se ha encogido a un punto. El cero es una entrada legal aquí y la respuesta es un cero real. El radio es el campo que no puede ser cero, porque la longitud del arco se divide entre él, así que un radio de cero no tiene ninguna respuesta.
Limitaciones
Esta página devuelve el ángulo y nada más: ni el arco, ni el radio, ni el área del sector. Dados un ángulo y un radio, la longitud del arco es la otra página. El radio tiene que ser mayor que cero: la longitud del arco se divide entre él, así que un radio de cero no tiene respuesta y la página lo dice en lugar de imprimir un hueco. La longitud del arco sí puede ser cero, y da un ángulo de cero. El arco no puede ser más largo que la circunferencia completa de ese círculo: una circunferencia de radio 5 mide 31,4159, así que un arco de 32 se rechaza. El límite se comprueba contra la circunferencia tal como la página la imprime, con cuatro decimales, y no contra el valor de precisión completa, y eso tiene una consecuencia visible: una lectura ligeramente por encima de 360 grados es posible y es correcta. Si la circunferencia de tu círculo termina en una cifra que se redondea hacia arriba al imprimirla, escribir esa cifra impresa como arco da un ángulo como 360,0008 grados, porque el redondeo ya venía dentro del número que tecleaste. No es que la página se pase de su propio límite. Las dos entradas se toman en la misma unidad y no se convierte nada; las dos salidas van siempre en grados y en radianes, digan lo que digan los desplegables.
Preguntas frecuentes
- ¿Por qué hay dos lecturas?
- Porque el ángulo tiene dos unidades habituales y la página hace la conversión por ti. La lectura en radianes es la longitud del arco dividida entre el radio, que es la definición de radián; la de grados es ese número multiplicado por 180/π. Son el mismo ángulo, y tener las dos significa que no hay que convertir a mano ni averiguar cuál pide una fórmula.
- Mi resultado es 360,0008 grados. ¿Está mal?
- No, es correcto, y ocurre cuando el arco que escribiste ya era una cifra redondeada. La circunferencia de radio 2 mide 12,5663706, que la página imprime como 12,5664, redondeando hacia arriba. Teclea ese valor impreso como arco y el ángulo sale una fracción de grado por encima de la vuelta completa. Lo que estás viendo es el redondeo de tu entrada, no un fallo de la división.
- ¿Puede el radio ser cero?
- No. El ángulo es la longitud del arco dividida entre el radio, así que un radio de cero no tiene ninguna respuesta: no hay circunferencia sobre la que medir un ángulo. La página lo dice en lugar de imprimir un hueco o un infinito. La longitud del arco, en cambio, sí puede ser cero, y eso da un ángulo de cero, que es una respuesta real.
- ¿Cuál es el arco más largo que se puede meter?
- La circunferencia de ese círculo. Un arco es un trozo de la circunferencia, así que no puede ser más largo que ella entera, y la página rechaza lo que la pase: para un radio de 5 el límite está en 31,4159. Más allá no hay ningún ángulo central que encontrar, porque el arco habría dado más de una vuelta.
- ¿Cómo se relaciona con la calculadora de la longitud del arco?
- Son la misma ecuación leída en sentidos opuestos. Esta página toma el radio y el arco y da el ángulo; aquella toma el radio y el ángulo y da el arco. Existen las dos porque las preguntas llegan en los dos sentidos —medir una curva da una longitud, dibujar un sector da un ángulo— y la tabla de cada una tiene una fila que la otra también imprime.
- ¿El radián es solo otra unidad, como el grado?
- Es una unidad, pero no es arbitraria como el grado. El grado es una trescientos sesentaava parte de una vuelta, una división heredada de la aritmética babilonia; el radián es el ángulo que sale cuando el arco mide exactamente lo mismo que el radio. Por eso la división de esta página no lleva ninguna π: la π solo aparece al pasar el resultado a grados.
Referencias
- Central Angle — the angle at the centre of a circle subtended by an arc, and the relation between it, the arc and the radius — Wolfram MathWorld (United States)
- Radian — the unit the radians reading is in, defined as the angle subtended by an arc equal in length to the radius, which is the division this page performs — Wolfram MathWorld (United States)
- Circle — the circumference that bounds an arc, and the 2π radians a full turn comes to — Wolfram MathWorld (United States)